A. Javier Barragán Piña

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Análisis del comportamiento dinámico de los sistemas

Este capítulo generaliza el concepto de modelo de estado, tanto desde el punto de vista continuo como discreto. Así se verá como recorrer el amplio espectro existente entre el caso más general, léase sistema no lineal variante con el tiempo, al más particular, sistema lineal e invariante con el tiempo. Esto es muy importante porque el lector debe tener siempre claro el rango de validez del modelo que está utilizando, de modo que debe evitar tanto cometer errores de modelado inasumibles, como sobreesfuerzos inútiles; ya que la mayoría de las veces los modelos admiten simplificaciones dentro de un rango de funcionamiento. A partir del modelo de estado de un sistema se pueden extraer múltiples enseñanzas de su comportamiento dinámico. Quizás la primera sea conocer la naturaleza de sus estados de equilibrio (o puntos singulares de su espacio de estado). Cuando el sistema es lineal, sólo puede tener un estado de equilibrio o un conjunto continuo de ellos (si la ecuación diferencial que lo modela no tiene término independiente); sin embargo, los sistemas no lineales pueden tener más de un estado de equilibrio. El análisis de los sistemas en su plano de fase (espacio de estado para sistemas de orden 2) caracteriza de forma cualitativa su comportamiento dinámico. Para los sistemas lineales éste depende sólo del carácter del estado de equilibrio, el cual queda definido por los autovalores de la matriz de estado; sin embargo, cuando los sistemas son no lineales, el carácter de los estados de equilibrio no es suficiente para entender su comportamiento global. Tanto es así que la riqueza dinámica de los mismos lleva a comportamientos sorprendentes, como los ciclos límite en los sistemas de orden 2  o incluso el caos en los de orden 3. Por último, si bien el conocimiento del comportamiento global de las trayectorias de un sistema no lineal puede ser una tarea muy compleja, el conocimiento local en torno a sus estados de equilibrio requiere menos esfuerzo, la mayoría de las veces basta con linealizar el sistema en torno a dichos estados. A partir de ahí, el estudio de los autovalores de la matriz de estado resultante (la matriz Jacobiana en este caso) permite realizar interpretaciones locales similares a las realizadas a nivel global para los sistemas lineales.