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LA ADQUISICIÓN DE LOS CONCEPTOS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Carpenter, T. y Moser, M. (1982), en Lesh, R. Y Landau, M. (Eds.) Acquisition of Mathematical Conceps and Development. New York: Academic Press.

1. Un recorrido por las investigaciones realizadas

El concepto de estructura aditiva, del cual la adición y sustracción son sus ejemplos más elementales, subyace en una gran parte de la matemática y se desarrolla sobre un extenso período de tiempo. La transición de los recuentos informales y el modelado de estrategias, que los niños realizan al margen de su instrucción formal, hasta el uso de datos numéricos memorizados y los algoritmos formales de la adición y sustracción, es un estadio crítico en el aprendizaje de las matemáticas en los niños, y aún más, algunas de las dificultades posteriores en matemáticas pueden tener su origen en la instrucción inicial en la suma y la resta.

            Los primeros estudios sobre adición y sustracción intentaron ordenar la dificultad relativa de 100 combinaciones numéricas para la adición y sustracción. La única consistencia clara en los ordenamientos de los distintos estudios es que la dificultad de las combinaciones en la suma y resta aumenta cuando los números son mayores.

            Otros trabajos han supuesto que las sumas en las que el sumando mayor aparece en primer lugar son más sencillas que aquellas otras en las que aparece primero el menor. Otros suponen que los problemas en los que los dos sumandos son pares son más sencillos que aquellos en los que un sumando es par y el otro impar. Algunos llegan a la conclusión de que sólo cuando los sumandos son iguales (p.e. 8+8) la combinación es más sencilla que el resto.

            En general, cualquier orden de dificultad es una medida contaminada de la dificultad inherente de las diferentes combinaciones, de la instrucción transmitida y también de una cantidad desconocida de práctica realizada con cada combinación. Se han discutido mucho los supuestos básicos que subyacen en la búsqueda de hechos clave que ordenen la dificultad y se ha concluido que no hay un orden intrínseco de dificultad entre las combinaciones numéricas: "Debe suponerse que todos los ordenamientos de dificultad son auténticos bajo las condiciones que han sido obtenidos y con las técnicas por las que han sido determinados. Y es precisamente por ello por lo que la investigación para establecer la dificultad comparada de las combinaciones ha resultado desaprovechable. No hay algo parecido a una dificultad intrínseca en los datos numéricos; su dificulta es relativa, contingente a muchas condiciones, la principal de las cuales es el método de enseñanza; o visto de otro modo, el número, orden y naturaleza de las experiencias de aprendizaje por parte de los alumnos".

            Una variable interesante es el tipo de sentencia abierta dada en el problema. Si estructuramos el problema según su forma algebraica, dependiendo del lugar de la incógnita se pueden generar seis sentencias abiertas para la adición y sustracción:

a+b=?           1          ¿=a+b

a+?=c             2           c=a+?

¿+b=c             3           c=?+b

a-b=?             4          ¿=a-b

a-¿=c               5           c=a-¿

¿-b=c              6             c=?-b

 
 

 

 

 

 


Tabla 1

            Al estudiar la dificultad de las diferentes sentencias se ha llegado a las siguientes conclusiones:

1.      Las sentencias canónicas de adición y sustracción (1,4) son menos difíciles que las no canónicas (2,3,5,6).

2.      Las sentencias canónicas de sustracción (4) son generalmente más difíciles que las sentencias canónicas de adición (1).

3.      No hay diferencias claras de dificultad entre las sentencias a+?=c, ¿+b=c y a-¿=c.

4.      La sentencia de minuendo desconocido es significativamente más difícil que las otras cinco sentencias de sustracción.

5.      Las sentencias con la operación en el lado derecho de la igualdad son significativamente más difíciles que las de lado izquierdo.

También se han obtenido resultados consistentes al estudiar el refuerzo que proporcionan las ayudas con material concreto y los dibujos en la resolución de problemas verbales sencillos de adición y sustracción. El rendimiento suele ser más alto, aunque esta diferencia se minimiza a medida que los niños son más mayores.

            En general, las investigaciones que han estudiado extensamente la dificultad de los distintos ítems no han proporcionado información sobre cómo se produce el aprendizaje. El primer intento complejo de ir más allá del simple análisis de dificultad se ha conseguido a partir de la teoría de Piaget.

            Algunos estudios han examinado la comprensión básica de la suma y la resta en los niños que son capaces de reconocer situaciones cómo que 4+4=1+7 (tercer estadio piagetiano), sobre la base de que algunas transformaciones producen un cambio en la cantidad y otras no; las transformaciones clásicas de los problemas de conservación no producen cambio, las de suma y resta sí. Incluso los niños de educación infantil son capaces de tomar conciencia de que quitar disminuye y añadir aumenta.

            Los niños no reconocen inicialmente que el efecto de añadir elementos a grupo de objetos puede ser neutralizado separando el mismo número de objetos, o que añadir una cantidad de objetos a uno de dos grupos equivalentes puede compensarse añadiendo la misma cantidad al otro.

2. Investigaciones actuales: un proceso de aproximación inicio

            A diferencia de la investigación piagetiana basada en el nivel de aciertos o errores ante determinadas pruebas, la investigación actual se centra en el desarrollo de estrategias para resolver problemas, intentando analizar una relación entre la estructura de los problemas y las estrategias desarrolladas por los niños.

2.1 Caracterización de problemas

            La caracterización de los problemas verbales de adición y sustracción es bastante más compleja que la clasificación de los problema simbólicos hecha en la tabla 1. Se han estudiado variables sintácticas (número de palabras, secuencia de la información, presencia de palabras que expresan una determinada acción,...) que afectan a la dificultad de un problema. Sin embargo, se ha señalado que las variables semánticas (relativas a los significados de los elementos que intervienen) son mucho más importantes que las anteriores.

            En ese sentido se han identificado cuatro grandes grupos de problemas verbales de adición y sustracción: cambio, combinación, comparación e igualamiento.

            Hay dos tipos básicos de problemas de cambio, ambos acompañados de una acción.

En los problemas de unión-cambio, hay una cantidad inicial y una acción directa o implicada que causa un incremento de esa cantidad. En los problemas de separación-cambio, se separa de un grupo conocido un subgrupo de objetos. En ambas clases de problemas el cambio ocurre en el tiempo. Hay una situación inicial I, seguida por un cambio que se produce en un tiempo T y que conduce a una situación final F. Dentro de ambas clases, hay tres tipos distintos de problemas dependiendo de cuál sea la cantidad desconocida (ver tabla 2).

UNIÓN

SEPARACIÓN

CAMBIO

1.      María tiene 5 cromos, Jaime le da ocho más, ¿cuántos tiene ahora?

2.      María tiene 5 cromos, ¿cuántos tiene que conseguir para tener 13?

3.      A los cromos que tenía María, Jaime le añadió 5. Si ahora tiene 13, ¿cuántos tenía al principio?

·  María tiene 13 cromos y le da 5 a Jaime, ¿con cuántos se ha quedado?

·  María tiene 13 cromos y da algunos a Jaime. Si ahora tiene 8, ¿cuántos le dio?

·  María tenía algunos cromos de los que dio 5 a Jaime. Si ahora tiene 8, ¿cuántos tenía al comenzar?

COMBINACIÓN

·  María tiene cinco canicas rojas y 8 azules, ¿cuántas canicas tiene en total?

·  María tiene 13 canicas, cinco de ellas rojas y el resto azules. ¿Cuántas canicas azules tiene?

COMPARACIÓN inicio tabla

·  María tiene 13 años y Jaime 5, ¿cuántos años tiene María más que Jaime?

·  Jaime tiene 5 años y María 8 más que él, ¿cuántos años tiene María?

·  María tiene 13 años, cinco más que Jaime, ¿cuántos años tiene Jaime?

·  María tiene 13 años y Jaime 5, ¿cuántos años tiene Jaime menos que María?

·  Jaime tiene 5 años, 8 menos que María. ¿Cuántos años tiene María?

·  María tiene 13 años y Jaime tiene 8 menos, ¿cuántos años tiene Jaime?

IGUALAMIENTO inicio tabla

·  María tiene 13 cromos y Jaime 5. ¿Cuántos tiene que conseguir Jaime para tener tantos como María?

·  Jaime tiene 5 cromos, si gana 8 tendrá tantos como María. ¿Cuántos tiene María?

·  María tiene 13 cromos, si Jaime gana 5 tendrá tantos como María. ¿Cuántos cromos tiene Jaime?

·  María tiene 13 cromos y Jaime 5. Para tener tantos como Jaime, ¿cuántos debe perder María?

·  Jaime tiene 5 cromos, si María perdiera 8 tendría tantos como él. ¿cuántos cromos tiene María?

·  María tiene 13 cromos, si pierde 5 tendrá tantos como Jaime. ¿Cuántos cromos tiene Jaime?

Tabla 2 inicio tabla

            Los problemas de combinación y comparación suponen relaciones estáticas en las que no hay una acción. Los problemas de combinación suponen una relación existente entre un grupo particular y dos subgrupos suyos. Dependiendo que se conozcan los dos subgrupos o uno de ellos y el total nos preguntarán por una suma o una resta, ello nos lleva a dos tipos de problemas.. Los problemas de comparación suponen el hecho de comparar dos grupos distintos de objetos. Existen seis tipos distintos de problemas de comparación.

            Los problemas de igualación son un híbrido entre los de cambio y comparación. Hay algún tipo de acción, pero está basada en la comparación de dos conjuntos disjuntos. Se suele plantear "¿qué hay que hacer a uno de los grupos para obtener uno igual al otro?". Dependiendo de la acción, estaremos ante una unión-igualamiento o una separación-igualamiento. Dependiendo de la posición sintáctica del valor desconocido, estaremos ante tres problemas por cada tipo.

            El análisis anterior de los problemas verbales de adición y sustracción está limitado a los problemas simples (de una etapa), apropiados para niños de los primeros niveles (primer ciclo de primaria), y ha sido útil para ayudar a clasificar los distintos problemas tipo ayudando a distinguir entre sus características semánticas.

2.2 Proceso de resolución inicio tabla1 tabla2

            La siguiente discusión está centrada en los procesos que los niños utilizan para resolver problemas de adición y sustracción, con números pequeños, que no requieren el uso de algoritmos formales. Muchas veces, de estos procesos personales de resolución (no aprendidos en el contexto escolar) no son conscientes los niños que los utilizan; por ello se hacen difícil de describir y de observar.

            Para estudiar tales procesos se han utilizado básicamente entrevistas y análisis de los errores tipo.

2.2.1 Estrategias de adición

            Se han identificado tres niveles básicos de adición:

·         Estrategias basadas en la elaboración de un modelo con dedos o con objetos físicos,

·         Estrategias basadas en el uso de secuencias de recuento y

·         Estrategias basadas en datos numéricos recordados.

En la estrategia más básica (contar todo), los objetos físicos o los dedos se emplean para representar cada uno de los sumandos para, una vez unidos calcular el total comenzando en uno.

Bajo el punto de vista teórico habría otras dos formas de resolver la situación. Una primera en la que, una vez construidos los dos grupos pueden ser físicamente unidos moviendo ambos o uniendo uno al otro; y también el total puede obtenerse sin juntar físicamente los grupos. El primer caso puede representar los problemas de unión-cambio, mientras que el segundo representa mejor una relación estática característica de los problemas de combinación. Sin embargo, los niños no distinguen entre estos dos medios, usando la estrategia de contar todo valiéndose, a veces, de estrategias para agrupar los objetos.

Hay una tercer vía, construir uno de los sumandos (preferiblemente el mayor) e incrementarlo en el valor del otro para construir el total.

En el uso de la secuencia numérica para obtener el total hay tres estrategias distintas. En la más elemental el recuento comienza en uno y termina al alcanzar el total (ésta es también una estrategia contar todo –sin el uso de modelos para representar los sumandos- y se denomina SUM). Esta estrategia requiere un control de lo que se va a añadir y para ello suelen usarse los dedos, una cadencia rítmica, un doble recuento (6 es 1, 7 es 2, 8 es 3....., si se está añadiendo algo a 5) o estrategias similares.

Las otras dos estrategias de secuencia son más eficientes e implican una aplicación menos mecánica del recuento. Se trata de contar a partir del primero o contar a partir del mayor. En la primera se empieza a contar a partir del primer sumando, y en la segunda se comienza a partir del mayor de ambos (estrategia MIN).

Por último, aunque el aprendizaje datos y hechos numéricos básicos parece requerir un largo período de tiempo, muchos niños resuelven problemas sencillos por empleo de combinaciones numéricas antes que empleando el recuento o la construcción de modelos. Se trata de estrategias que aparecen incluso antes de haber elaborado la tabla de sumar, como uso de dobles u soma de 10. Así, la respuesta a 6+8 puede venir dada a partir de 6+6, sumándole 2, o construyendo 10 a partir de 8 y sumarle los 4 restantes.

2.2.2 Estrategias de sustracción inicio tabla1 tabla2

Los mismos niveles de abstracción descritos para las estrategias de adición son válidos para los problemas de sustracción. Cuando se emplean objetos concretos, la estrategia se denomina quitando de. El niño construye el mayor de los grupos y entonces procede a separar de uno en uno un número de objetos igual al sustraendo. Contando el número de objetos que permanecen tiene la respuesta. Una segunda estrategia es la denominada contar hacia abajo desde, en la que el recuento se inicia en el mayor de los números y se inicia un recuento regresivo con tantos términos como el menor de los números dados. El último número citado es la respuesta. Una tercera estrategia, quitando hasta, es similar a la quitando de excepto que se separan elementos del mayor hasta que el número de objetos que permanece es igual al segundo número (sustraendo); contando el número de elementos apartados tenemos la respuesta al problema. Similar a esta es la estrategia contar hacia abajo hasta.

Otro par de estrategias, que suponen una acción aditiva, lo constituyen las añadiendo hasta, construyendo con objetos concretos el menor de los números y añade objetos, uno a uno, hasta que la nueva colección es el mayor de los números; contando el número de objetos añadidos se tiene la respuesta. La estrategia paralela se denomina contar hacia arriba desde uno dado.

Hay dos estrategias más: emparejamiento y elección.

El emparejamiento, para el que se precisan objetos concretos, consiste en hacer parejas con los objetos que representan los conjuntos dados hasta que uno de ellos se acaba, lo que queda es la respuesta. La estrategia de elección supone una combinación de contar hacia abajo desde y contar hacia arriba desde uno dado, dependiendo de la que, en ese momento resulta más rentable por contener menor número de recuentos.

Al igual que en la adición, las estrategias anteriores dan paso a hechos numéricos recordados. Así, responden que 13-7 es 6 puesto que 6+7 son 13; 14-8 son 6 puesto que 7 y 7 son 14 y como 8 es 1 más que 7, la respuesta ha de ser uno menos que 7.

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