Asignatura:
Matemáticas y su Didáctica.
Profesor:
Luis Carlos Contreras.
Facultad de Ciencias de la
Educación.
Universidad de Huelva.
Curso 2002/2003.
Autores:
Caraballo Romero, David.
Carcela Esquina, Sara.
Gomar Aguilar, Noelia.
González Caballero, Jesús.
Después de reunirnos los componentes del grupo para discutir sobre la temática a tratar en nuestro trabajo, decidimos elegir el cálculo mental y su desarrollo a lo largo de toda la educación primaria, especialmente nos centramos en el tercer, cuarto y quinto curso, ya que dicha temática nos parecía muy poco trabajada y que podía ser un tema de gran ayuda, incluso para nosotros mismos y el resto de compañeros de la clase, a quienes lógicamente iría destinada nuestra exposición; desconocedores, al igual que nosotros, del cálculo mental en la etapa de Primaria.
El grupo se basó en libros de texto encontrados en la biblioteca de la universidad, de la editorial Anaya, de los cursos 3º , 4º y 5º de primaria, aunque para ampliar nuestro conocimientos y el de la clase en general, recurrimos a bibliografía de Bernardo Gómez, en dos de sus libros, uno de ellos contenía su tesis que versaba sobre el cálculo mental y otro de uso más práctico denominado numeración y cálculo, ambos igualmente encontrados en la Biblioteca universitaria de Huelva.
Queremos dejar claro que el
verdadero sentido de este trabajo estaba en la exposición de clase y no en esta
redacción, que para nosotros más bien consiste en un informe sobre lo que fue
la exposición a nuestros compañeros, esperando que les sirva de guía a la hora
de recordar nuestro trabajo.
El era preciso.grupo se mostró satisfecho tras la exposición, pues los compañeros supieron seguir la dinámica de nuestra puesta en común, en la que era imprescindible su cooperación. Así mismo, al término de la exposición la opinión general del grupo era de satisfacción al comprobar que el objetivo se había conseguido y que buena parte de los compañeros participaron cuando
Se puede dividir en tres apartados dependiendo de las fechas; 1970, 1981 y en la actualidad.
En
1970 el cálculo mental no aparece de
modo explícito, únicamente se refleja entre los objetivos específicos del área
de matemáticas “Desarrollo de la agilidad mental”.
En
1981 se renueva la propuesta
curricular, en la cual ya se menciona el cálculo mental centrándolo en el ciclo
medio y relacionándolo con la aplicación de las propiedades de las operaciones
y resoluciones de situaciones de la vida real:
-
Cálculo mental y rápido de suma, resta, multiplicación y división.
-
Desarrollo de la agilidad mental
en el cálculo de estas 4 operaciones.
-
Aplicar las propiedades conocidas para simplificar y agilizar el cálculo mental.
Como
se puede apreciar en esta propuesta no se explicitan los métodos que hay que
estudiar, tampoco se aprecia como desarrollar los objetivos de la propuesta,
más allá de lo que significa “ejercitar”.
Actualmente en la propuesta del curriculum oficial español se otorga al cálculo mental un
innovador protagonismo, exponiendo orientaciones concretas tanto para el
aprendizaje del alumno como para la actuación del profesor. Así se le concede
prioridad para profundizar los
conocimientos matemáticos intuitivos antes de su formación. Se concreta el tipo
de estrategias que hay que manejar y el proceso que hay que seguir para que no
sea un mero conocimiento, sino una reflexión de los estudiantes y la evaluación
y reorientación del proceso seguido por parte del profesor.
Estos
nuevos planteamientos restan importancia al cálculo escrito y se la otorgan al
cálculo variado y en particular al mental, por el papel que puede desempeñar en
la adquisición de los conceptos relacionados con las técnicas de cálculo y su
flexibilización.
RETICENCIAS FRENTE A LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO
MENTAL.
Las reticencias de la enseñanza del cálculo mental por parte de los profesores pueden ser debidas, a hechos como los siguientes:
- Creencias inapropiadas, como por ejemplo: el cálculo mental es personal, cada uno hace una cosa por más que se insista en la escuela sobre uno u otro procedimiento. El cálculo mental obstaculiza el aprendizaje de métodos. Es una pérdida de tiempo porque la calculadora puede suplirlo. Está ligado a la capacidad de memoria.
- Consecuencias de la falta de éxito esperado. La falta de éxito del cálculo mental, ya sea por falta de preparación de alumnos y profesores, o por falta de buenas propuestas didácticas, es una de las causas del desánimo y pérdida de interés escolar.
- Consecuencias de la planificación oficial. La masificación, la presión de los programas, el escaso tiempo dedicado a la clase de matemáticas, lleva a los profesores a relegar la enseñanza del cálculo mental a un plano secundario e incluso a abandonarlo.
- Efectos de los sentimientos negativos del profesor como su propia dificultad y temor al fracaso ante los alumnos. Se piensa que en Infantil no es apropiado el uso del cálculo mental; que la mayoría de las personas no están capacitadas para el cálculo mental, que sólo es apropiado para personas con buena memoria y que tienen fascinación por los números.
- El efecto en contra derivado de sobrevaloraciones equivocadas, tal como: pánico al error como consecuencia de sobrevalorar el éxito. La presión del tiempo derivada de sobrevalorar la rapidez.
- El efecto que provocan teorías obsoletas. Por ejemplo: unir cálculo mental con inteligencia. Consideración de los estudiantes rápidos como los brillantes y los lentos como los torpes.
-
El efecto en contra del ambiente social. Es
frecuente que las personas rehuyan a la utilización del cálculo mental. Se
suele identificar a las personas hábiles en cálculo mental con aquellas que
ejercen profesiones poco consideradas (camarero,...), queriéndose explicar este
hecho por no tener buen aprendizaje escolar e imponer este tipo de cálculo las
características propias de su profesión.
-
La falta de investigación actual. Hay pocas
sugerencias didácticas desde el punto de vista de los objetivos que se postulan
hoy día para evaluar estas habilidades.
-
La falta de materiales actualizados. Este hecho
se puede ver fácilmente en la poca atención que los libros de textos le prestan
al desarrollo de la habilidad mental.
ASPECTOS POR LOS QUE PUEDE SER VALIOSO EL CÁLCULO MENTAL.
-
Puede contribuir a la comprensión y sentido del número al hacer uso de
la forma en que está constituido.
-
Puede ser un dominio para contrastar las concepciones de los
estudiantes sobre los procedimientos de cálculo y su disponibilidad ya que hace
emerger procesos cognitivos.
-
Puede contribuir a enriquecer y flexibilizar la experiencia y
comprensión algorítmica.
-
Puede estimular la búsqueda de soluciones por caminos alternativos.
-
Puede ser una ayuda para el cálculo estimado predictivo y un estilo de
comprobación de determinados resultados.
-
Puede intervenir en el desarrollo de las capacidades cognitivas.
-
Puede estimular el análisis de situaciones numéricas.
-
Puede dar una visión participativa de las matemáticas.
-
Puede ser lúdico, rehabilitador del cálculo y motivador.
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ALGUNAS DIFERENCIAS ENTRE CÁLCULO MENTAL Y CÁLCULO CON LÁPIZ Y PAPEL |
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CÁLCULO MENTAL
|
CÁLCULO LÁPIZ Y PAPEL
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MENOS TRABAJADO EN LA ESCUELA |
MÁS TRABAJADO EN LA ESCUELA |
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NO SE UTILIZAN ALGORITMOS |
SE UTILIZAN ALGORITMOS |
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GRAN UTILIDAD SOCIAL |
POCA UTILIDAD SOCIAL |
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COMPLEMENTA LA UTILIZACIÓN DE
LA CALCULADORA |
UTILIZA LA CALCULADORA COMO
MERO INSTRUMENTO |
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BÚSQUEDA DE SOLUCIONES POR
CAMINOS ALTERNATIVOS |
SE PRIORIZA UN SOLO CAMINO |
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ABARCA LA ESTIMACIÓN |
NO ABARCA LA ESTIMACIÓN |
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DESARROLLA LA CAPACIDAD
COGITIVA |
DESARROLLA LA CAPACIDAD
MECÁNICA |
|
ES MÁS MOTIVADOR Y
PARTICIPATIVO |
ES MENOS MOTIVADOR Y
PARTICIPATIVO |
1) SUMA Y RESTA
a) Sumar o restar 11 a un número:
11= 10 + 1
Ejemplos:
53 +
11 = 53 + (10 + 1) = 53 + 10 +1 = 63 + 1 = 64
53 – 11 = 53 – (10 + 1) = 53 – 10 – 1 =
43 – 1 = 42
b) Sumar varios números de una
cifra:
-
Se agrupan los números cuya suma sea 10.
-
Se halla el total.
Ejemplo:
6
+ 4 + 7 + 5 + 3 = (6 + 4) + (7 + 3) + 5 = 10 + 10 + 5 = 25
c) Suma o restar 9 a un número:
9 = 10 – 1
Ejemplos:
36
+ 9 = 36 + (10 – 1) = 36 + 10 – 1 = 46 – 1 = 45
49
– 9 = 49 – (10 – 1) = 49 – 10 + 1 = 39 + 1 = 40
d) Sumar completando decenas:
- Se agrupan los números cuya suma sean decenas acabadas en 0 como: 10,20,30,...
-
Después se suman dichas agrupaciones.
Ejemplo:
6 + 5 + 14 + 55 = (6 + 14) + (5 + 55) = 20 +
60 = 80
e) Sumar completando centenas:
-
Se agrupan los números cuyas sumas sean centenas, como 100, 200,
300,....
-
Se suman dichas agrupaciones.
Ejemplo:
60 + 40 + 25 + 75 = (60 + 40) + (25 +75) = 100
+ 100 = 200
f) Sumar y restar 18 a un número:
18 = 20 – 2
Ejemplos:
45
+18 = 45 + (20 – 2) = 45 + 20 – 2 = 65 – 2 = 63
63
–18 = 63 – (20 – 2) = 63 – 20 + 2 = 43 + 2 = 45
g) Sumar números de dos cifras:
- Primero se descomponen los sumandos en decenas y unidades.
-
Se suman decenas y unidades por separado.
-
Se suman los resultados de dicha suma.
Ejemplo:
43 + 26 = 40 + 3 + 20 + 6 = 40 +
20 + 6 + 3 = 60 + 9 = 69
h) Restar números de dos cifras:
- Se siguen los pasos del anterior apartados pero restando.
Ejemplo:
47 – 32 = 47 – 30 – 2 = 17 – 2 = 15
i) Sumar o restar 21 a un número:
21
= 20 + 1
Ejemplo:
76 + 21 = 76 + ( 20 + 1) = 76 + 20 + 1 = 96 + 1 = 97
47 – 21 = 47 – (20 + 1) = 47 – 20 – 1 = 27 – 1 = 26
j) Sumar o restar 99 a un número:
99
= 100 – 1
Ejemplos:
218 + 99 = 218 + (100 – 1) = 218 + 100 – 1 = 318 – 1 = 317
302 – 99 = 302 - ( 100 – 1) = 302 – 100 + 1 = 202 + 1 = 203
k) Sumar o restar 101 a
un número:
101 = 100 + 1
Ejemplos:
246 + 101 = 246 + (100 + 1) = 246 + 100 + 1 = 346 + 1 = 347
632 – 101 = 632 – (100 + 1) = 632 – 100 –1 = 532 – 1 = 531
2)
MULTIPLICACIÓN
a.
Multiplicar por 4
un número:
4= 2 x 2
Ejemplo:
25 x 4 = 25 x 2 x 2 = 50 x 2 = 100
b.
Multiplicar un
número por seis:
6
= 2 x 3
Ejemplo.
41 x 6 = 41 x 2 x 3 = 82 x 3 = 246
c.
Multiplicar varios
números:
- Primero multiplicamos aquellos números cuyo producto termine en 0.
- Multiplicamos el producto obtenido por el otro factor.
Ejemplo:
5 x 7 x8 = 5 x 8 x 7 = 40 x 7 = 280
d.
Multiplicar un
número de una cifra por otro de dos cifras.
- Primero se descompone el número de dos cifras en decenas y en unidades.
- Se multiplican las decenas y unidades por el número de una cifra.
- Se suman los resultados.
Ejemplo:
6 x 59 = 6 x (50 + 9) = 6 x 50 + 6 x 9 =300 + 54 = 354
e.
Multiplicar 15 por
un número:
15
= 10 + 5
- se multiplica por 10
- se multiplica por cinco
- se suman ambos resultados.
Ejemplo:
15 x 8 = (10 + 5) x 8 = 10 x 8 + 5 x 8 = 80 + 40 = 120
f.
Multiplicar un
número por 5:
5
= 10 : 2
- multiplicamos por 10 y dividimos entre 2
Ejemplo:
46 x 5 = 46 x 10= 460
460 : 2 = 230
g.
Multiplicar un
número por 11:
11= 10 + 1
- Se multiplica el número por 10
- Se suma el número al resultado obtenido.
Ejemplo:
35 x 11 = 35 x(10 + 1) = 35 x 10 + 35= 350 + 35 = 385
h.
Multiplicar 101 por
un número:
101
= 100 + 1
- Se multiplica el número por 100.
- Se suma el número al resultado obtenido.
Ejemplo:
33 x 101 = 33 x (100 + 1) = 3300 + 33 = 3333
i.
Multiplicar un
número por 9.
9
= 10 – 1
- Se multiplica el número por 10
- Se resta el número al resultado que se obtenga.
Ejemplo:
72 x 9 = 72 x ( 10 – 1 )= 72 x 10 – 72= 720 – 72 = 648
j.
Multiplicar un
número por 99:
99=
100- 1
- Se multiplica por 100 el número.
- Se resta el número al resultado obtenido.
Ejemplo:
25 x 99 = 25 x (100 – 1)= 25 x
100 – 25 = 2500 – 25 = 2475
k. multiplicar un número por 20:
20 = 10 x 2
-
Se multiplica el número por 2.
-
Se multiplica el número obtenido por 10
Ejemplo:
21 x 20 = 21 x 2 = 42
42 x 10 = 420
l.
Multiplicar un
número por 25:
25 = 100 : 4
-
Se multiplica el número por 100.
-
Se divide el resultado entre cuatro.
Ejemplo:
28
x 25 = 28 x 100 = 2800
2800
: 4 = 700
3) DIVISIÓN
a) Dividir un número entre 5.
5 = 10 : 2
- Se divide el número por 10.
- Se multiplica el resultado por 2.
Ejemplo:
430 : 5 = 430 : 10 = 43 x 2 = 86
b) Dividir un número entre 20.
20 = 10 x 2
-
Se divide el número entre 10.
-
Se divide el resultado entre 2.
Ejemplo:
80 : 20 = 80 : 10 = 8 : 2 = 4
4) ESTIMACIÓN.
“ESTIMAR ES CALCULAR EL VALOR APROXIMADO DE UNA OPERACIÓN.”
a)
Estimar sumas o restas.
- primero se aproximan los factores a la decena, centena o millar más cercano.
- Se realiza la operación.
Ejemplo:
3145 + 396 = 3150 + 400 = 3550
2894 – 790 = 2900 – 800 = 2100
b)
Estimar productos:
- Se siguen los pasos anteriores.
- Se realiza la multiplicación.
Ejemplo:
416 x 79 = 420 x 80 = 33600
c)
Estimar cocientes.
- Se siguen los mismos pasos.
- Se realiza la división.
Ejemplo:
319 : 11 = 320 : 10 = 32
5)
CASOS ESPECIALES.
a)
Hallar la mitad de
un número:
Para calcular la mitad de un número se divide entre dos
Ejemplo:
28 : 2 = 14
b)
hallar la cuarta
parte de un número:
para calcular la cuarta parte de un número se divide un número entre dos y el resultado se vuelve a dividir entre dos.
Ejemplo:
12 : 4 = 12 : 2 = 6 : 2 = 3
c)
Decimales en el
cálculo mental:
- Multiplicar por 0,5 es como dividir entre 2.
- Multiplicar por 0,25 es como dividir entre 4.
- Multiplicar por 0,125 es como dividir entre 8.
Ejemplos:
3 x 0,5 = 3 : 2 = 1,5
3 x 0,25 = 3 : 4 = 0,75
3 x 0,125 = 3 . 8 = 0,375
- Multiplicar por 4,5.
Vamos a multiplicar 12 x 4,5. Para ello hallamos el doble de 4,5 que es 9. la decena más cercana a 9 es 10, entonces realizamos la multiplicación 12 x 10 que es igual a 120, resultado al cual restamos 12, con lo cual hallaríamos el resultado de 12 x 9, que sería 108, el cual dividiremos entre dos para hallar el resultado de 12 x 4,5, es decir 12 x 4, 5 es igual a 108 : 2 = 54.
Numéricamente el proceso para realizar 4,5 x 12 sería el siguiente:
4,5 x 2 = 9
Decena más cercana a 9 = 10
12 x 10 = 120
120 – 12 = 108
108 : 2 = 54