DIVISIBILIDAD
ELISA GAVIRA
DELGADO
Ø
INTRODUCCIÓN
Ø
LOS OBJETIVOS EN LA
DIVISIBILIDAD
Ø
ASPECTOS METODOLÓGICOS
Ø
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NUMERO
Ø
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Ø
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Ø
DESCOMPOSICIÓN DE UN NUMERO EN FACTORES PRIMOS
Ø
DETERMINACIÓN DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO.
Ø
DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS (mcd).
Ø
MÚLTIPLOS COMUNES A DIVERSOS NÚMEROS (mcm).
Ø
PROPIEDADES DEL mcd Y DEL mcm.
Ø
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS mcd y mcm.
Ø
GENERAMOS CONFLICTO EN EL AULA
Ø
BIBLIOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN
Al
enfrentarnos a ciertas situaciones problemáticas en la vida cotidiana,
utilizamos de modo más o menos explícito los conceptos que forman parte de la
Teoría de la divisibilidad.
Un
ama de casa, en sus variadas ocupaciones, utiliza implícitamente los conceptos
de múltiplo o divisor cuando, por ejemplo trata de confeccionar unas cortinas y
previamente mide el hueco de la ventana, decide la longitud que deben tener con
sus pliegues correspondientes y se dirige al comercio a comprar la tela.
De modo más explícito, si encargamos
a un marmolista que nos enlose un cuarto de baño de forma rectangular,
interesará que al obtener las baldosas mediante despiece no aparezcan trozos
que rompan la estética ; entonces lo habitual será encargar baldosas cuadradas
que tengan el mayor posible. Si por ejemplo las dimensiones del mismo son 2,80
x 1,80m las baldosas deberán tener 20 cm de lado. Para resolver esta situación
, se utilizan los conceptos de múltiplo y de m.c.d.
El
tema que voy a abordar a lo largo de este trabajo es “LA DIVISIBILIDAD
EN SEXTO DE PRIMARIA” y a su vez me he
centrado en los siguientes contenidos: múltiplos y divisores de un número,
criterios de divisibilidad, números primos y compuestos, descomposición de un
número en factores primos, determinación de todos los divisores de un número,
divisores comunes a varios números (mcd), múltiplos comunes a diversos números
(mcm) y propiedades del mcd y del mcm.
La
divisibilidad se comienza a dar en el tercer
ciclo de primaria y en el primer ciclo de la ESO. Me he decidido
centrarme en el tercer ciclo, en concreto en sexto de primaria porque es aquí
donde se empieza a dar este contenido.
LOS OBJETIVOS EN LA DIVISIBILIDAD
-
Adquirir el concepto de múltiplo y divisor y saber
reconocer múltiplos y divisores.
-
Reconocer y definir números primos y compuestos.
-
Conocer y memorizar los criterios de divisibilidad por
2, 3, 5, 9 y 11.
-
Adquirir el concepto de mcd y mcm.
-
Calcular el mcd y el mcm de dos o tres números.
-
Plantear y resolver problemas de mcd y mcm.
ASPECTOS METODOLÓGICOS
Se entiende
el aprendizaje de las matemáticas bajo dos aspectos, el formativo y el
instrumental. Formativo porque desarrollan la capacidad mental, forman la
inteligencia y enseñan a discurrir, lo que ayudará en el desarrollo de otras
áreas, y a nivel instrumental, porque capacita al alumno para desenvolverse en
la vida, le sirve de ayuda en otras áreas y desde el punto de vista acumulativo
de la materia, no se puede aprender un proceso si no se conocen los anteriores.
Describe el
proceso de aprendizaje a seguir:
-
Como las matemáticas son fruto de una experiencia ,
los alumnos han de vivir el proceso de conocimiento.
-
Construir los conceptos por medio de la
experimentación.
Señala que
el paso de lo concreto a lo abstracto ha
de seguir una serie de etapas:
-
Etapa experimental.
-
Etapa figurativa.
-
Etapa simbólica.
Los
conceptos matemáticos han de ser : comprendidos, interiorizados, expresados y
aplicados.
Características
del proceso de aprendizaje:
-
Ha de ser cíclico, partiendo del nivel real del
alumno.
-
Ha de adaptarse a una etapa evolutiva del alumno.
-
Ha de ser una enseñanza activa, de forma que sea el
propio alumno quien construya los conceptos, a través de sus vivencias.
-
Se ha de procurar que el aprendizaje sea motivador.
-
Se facilitará la interrelación de los distintos
conceptos y la interdisciplinariedad.
-
Ha de ser un proceso creativo iniciado en el medio
para volver al medio.
PROPUESTA DE CONTENIDOS DE LAS DISTINTAS EDITORIALES
Según la
editorial "Anaya" la
DIVISIBILIDAD no se da en 6º de educación primaria sino que se comienza a
trabajarse en 1º de ESO.
Ø
CONTENIDOS
TRABAJADOS EN 1º DE ESO
-
Números que caben en otros una cantidad exacta de
veces.
-
DIVISIBILIDAD = múltiplos y divisores.
-
Divisores comunes a varios números.
-
Múltiplos comunes a varios números.
Según la
editorial "Casals".
Esta
editorial comienza a trabajar la divisibilidad en 6º de primaria.
Ø
CONTENIDOS
TRABAJADOS EN 6º DE PRIMARIA:
-
Operaciones con números naturales.
-
Composición y descomposición de números.
-
Propiedades de los múltiplos.
-
Múltiplo de un número.
-
Propiedades de los divisores.
-
Divisibilidad.
-
Números naturales : múltiplo y divisores.
-
MCD y MCM.
Ø
CONTENIDOS
TRABAJADOS EN 1º DE ESO SEGÚN LA EDITORIAL CASALS:
-
Múltiplos y divisores de un número.
-
Criterios de divisibilidad.
-
Descomposición factorial.
-
MCD y MCM.
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NUMERO
Ø
Contenidos:
-
Definición de múltiplo y divisor
-
Propiedades de los múltiplos y los divisores
-
Dificultades que presentan estos conceptos.
-
Actividades
Un
número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un
número natural. Para indicar abreviadamente que un número es múltiplo de otro
escribiremos:
_
18 = 9 , se lee 18 es múltiplo de 9.
Cuando
dividimos 9, 18, 27, 36 y 45 entre 9, el resto es 0. Son divisiones exactas.
Un
número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el
resto de la división es 0.
Para
indicar que un número es divisor de otro, escribiremos:
9 = D(18) se lee 9 es divisor de 18
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES
PROPIEDADES
DE LOS MÚLTIPLOS
a) El cero
es múltiplo de cualquier número.
b) Un
número siempre es múltiplo de el mismo.
c) la suma
de múltiplos de un número también es un múltiplo de este número.
d) El
producto de múltiplos de un número también es múltiplo de este número.
PROPIEDADES
DE LOS DIVISORES
a) El
número 1 es divisor de cualquier número.
b) Un
número siempre es divisor de él mismo.
c) Si un
número es divisor de otro y es te lo es de un tercero, el primero es divisible
del tercero.
DIFICULTADES QUE PRESENTAN ESTOS CONCEPTOS.
- Los alumnos que no han asimilado
bien los conceptos y propiedades de la
multiplicación y división tienen dificultades en el aprendizaje de esta parte
de la Aritmética.
- Los automatismos, a veces, no se
han adquirido con seguridad y precisión y esto dificulta calcular con cierta
fluidez los múltiplos y divisores de un número.
- Cuando no han captado que la
expresión a x b = c es equivalente a c: b = a y
c : a = b, no identifican que si
c es múltiplo de a y b, entonces éstos son divisores de c. Al tratar de
resolver problemas sobre divisores su consecución, para muchos, no es fácil
cuando el enunciado se fundamenta sobre aspectos relacionados con la idea de
múltiplos y viceversa.
-
Más dificultad tiene el divisor que el múltiplo, por
el proceso de reversibilidad que lleva involucrado.
-
La búsqueda de múltiplos le es sencilla, ya que al
multiplicar por cualquier número obtiene un múltiplo. En el caso de divisor, a
pesar de ser finito el número de ellos, no siempre se obtiene directamente ,
dado que al dividir un número por otro hay veces que no da exacto el resultado.
-
Otro concepto que confunde a los alumnos es la
aparente contradicción entre mínimo y múltiplo, y máximo y divisor. Cuando es
un problema se habla de máximo o mayor los alumnos automáticamente lo
relacionan con múltiplo; por el contrario, cuando se habla de mínimo o menor ,
lo relacionan con divisor.
-
La terminología empleada también es fuente de dificultades,
así por ejemplo puede llevar a equívocos el doble sentido de la palabra "
divisor", como un término de la división (dividendo , divisor ,cociente ,resto) o como " divisor de" en el
sentido de la divisibilidad.
-
En cuanto a la notación, si se usa la barra I, en aIb
se debe leer " a divide a b ", asegurándose que el alumno no la
confunde con la fracción a/b.
-
Algunos alumnos no se dan cuenta que la propiedad
reflexiva de la relación "ser múltiplo de " y la propiedad que tiene
el cero de ser múltiplo de cualquier número les proporcionan los dos primeros
elementos de la serie de los múltiplos de un número, por lo que al escribir
dicha serie los omiten. Lo mismo ocurre con los divisores respecto del número
dado y el 1.
ACTIVIDADES:
Ø
Actividad 1:
Escribe cuatro múltiplos de tres y cuatro múltiplos de
siete.
Ø
Actividad 2
Escribe cuatro múltiplos de nueve más grande que 54.
Ø
Actividad 3
Escribe de forma abreviada:
a) 40 es múltiplo de 8.
b) 49 es múltiplo de 7.
c) 4 es divisor de 32.
Ø
Actividad 4
Un número está comprendido entre 150 y 220. Si es
divisible por 70 ¿qué número es?
Ø
Actividad 5
Comprueba con otros ejemplos que se cumplen las
propiedades de los múltiplos y divisores.
Antes
hemos visto que un número es divisible por otro si cuando dividimos el primero
entre el segundo, el resto es cero.
Cuando
los números son grandes hay reglas que permiten reconocer directamente que un número
es divisible por otro; se llaman criterios de divisibilidad. Veremos
algunos de estos criterios:
DIVISIBILIDAD
POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en
cifra par.
DIVISIBILIDAD
POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras absolutas es
múltiplo de tres.
DIVISIBILIDAD POR 4: fíjate en las dos últimas cifras. Tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4.
DIVISIBILIDAD
POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.
DIVISIBILIDAD
POR 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3.
DIVISIBILIDAD
POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es
múltiplo de nueve.
DIVISIBILIDAD
POR 10: tiene que terminar en cero. De manera similar, si termina en 00 es
divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.
DIVISIBILIDAD
POR 11: Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de
las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la
posición impar son múltiplo de once.
AMPLIACIÓN:
existen otras reglas para saber si un número es divisible por 13, 17, 19. Si
quieres conocer los criterios
Indica cuales de estos números son divisibles por dos y cuales lo son por cinco: 3925, 492, 305, 690, 884 y 9998.
Indica
cuales de estos números son múltiplos de tres: 354, 975, 9560, 3789, 973 y
1026.
Escribe cinco números de seis cifras que sean múltiplos de once.
Completa la
cifra que falta para que el número resultante sea múltiplo de nueve. Escribe
todas las posibilidades para cada caso:
1_4
, 27_ , 6_ , 2_0 y 70_1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Los criterios de divisibilidad nos permiten encontrar con rapidez divisores de un número. Algunos números como el siete, trece, diecinueve, ... solo tienen dos divisores: la unidad y el mismo. Estos números se llaman números primos. Los números que no son primos se llaman números compuestos.
Haremos lo
siguiente.
a)
Dividimos este número por los números primos 2, 3, 5, 7, ... hasta que
lleguemos a una división exacta o a una división en el que el cociente del cual
sea igual o más pequeño que el divisor.
b) Si
alumna de las divisiones es exacta, el número es COMPUESTO.
c) Si todas
las divisiones son enteras, el número es PRIMO.
Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de números primos.
En la
practica, para descomponer un número en factores primos lo dividimos sucesivamente
por los números primos comenzando por el primer número primo mayor que uno
hasta que encontremos un cociente que sea igual a uno.
ACTIVIDAD 1
Descomponer en factores primos los siguientes números: 288, 298, 360, 540 y 2520.
La descomposición de un número es 23 . 32 . 7 ¿Qué número es? Si fuese el número cinco veces más grande ¿cual sería su descomposición factorial?
ACTIVIDAD 3
¿Es posible que la descomposición en factores primos de un número sea 22 . 9 . 11? ¿Porqué? Escribe su descomposición correcta.
DETERMINACIÓN
DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
Para
calcular todos los divisores de un número, lo dividimos entre la serie de
números naturales (1, 2, 3, 4, 5,...) hasta que el cociente obtenido sea igual
o más pequeño que el divisor.
EJEMPLO
Vamos a
calcular todos los divisores de 60.
1.-
Realizamos la descomposición factorial del número: 60 = 22 . 3 . 5
2.-
Determinamos los divisores de cada uno de los factores:
D(22) = D(4) = {1, 2, 4} D(3)
= {1, 3} D(5) = {1, 5}
3.-
Construimos un esquema con los divisores obtenidos y resolvemos todas las
multiplicaciones que se pueden formar.
Divisores de 60
------ 1
1 . 1 . 1 = 1
------ 1
------ 5
1 . 1 . 5 = 5
1
------ 1
1 . 3 . 1 = 3
----- 3
------ 5
1 . 3 . 5 = 15
------ 1
2 . 1 . 1 = 2
----- 1
------ 5
2 . 1 . 5 = 10
2
------ 1
2 . 3 . 1 = 6
----- 3
------ 5
2 . 3 . 5 = 30
------ 1
4 . 1 . 1 = 4
----- 1
------ 5
4 . 1 . 5 = 20
4
------ 1
4 . 3 . 1 = 12
---- 3
------ 5
4 . 3 . 5 = 60
1)
Encuentra los divisores de 32, 120, 96, 378, 85 y 310.
2) En una
clase hay 37 alumnos. El profesor quiere hacer grupos de manera que sean del
mismo número de alumnos y sin que sobre ninguno. ¿Lo podría hacer? ¿Porqué?
DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS
Al
descomponer dos o más números en factores primos podemos encontrar que
coinciden varios divisores, los llamaremos DIVISORES COMUNES.
El máximo
común divisor (mcd) de dos o más números es el divisor común más grande que
tienen estos números.
EJEMPLO
Calcular el
mcd de 120 y 252:
a.-
Descomponemos los dos números en factores primos:
120 = 23 . 3 . 5 252 = 22 . 32 . 7
b.- Los
factores comunes de 120 y 252 son 2 y 3: el factor 2 aparece en 23 y en 22.
Cogemos el 22 porque tiene el exponente más pequeño y por tanto es divisor de
los dos. El factor 3 aparece en 3 y en 32, por el mismo motivo cogemos el 3.
El máximo
común divisor de 120 y 252 será: mcd(120, 252) = 22 . 3 = 12
1.- Calcula
el mcd de 480 y 100 ; de 675 y 336 ; 450 y 180.
2.- Indica
cuales de las siguientes parejas de números son primos entre ellos: 24 y 25: 9
y 36; 27 y 10; 16 y 54; 35 y 26
MÚLTIPLOS COMUNES A DIVERSOS NÚMEROS
Para
calcularlos descompondremos los números en factores primos, cogeremos los
múltiplos comunes de los números y escribiremos el más pequeño.
El mínimo
común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño que tienen
dos números.
Para su
cálculo utilizaremos la siguiente regla práctica:
a)
Descomponemos los números en factores primos.
b) Cogemos
los factores comunes y no comunes dotados de mayor exponente y calculamos su
producto.
EJEMPLO
Calcula el
mcm de 12 y 30: 12 = 22 . 3
30 = 2 . 3 . 5
Cogeremos
los factores primos comunes y no comunes:
factores del 12: 2 y 3.
factores del 30: 2, 3 y 5.
En el mcm
han de aparecer los factores 2, 3 y 5. Además para que el número que busquemos
sea múltiplo de los números, hemos de coger los factores elevados al exponente
más grande y calculamos su producto:
El mcm(12,
30) = 22 . 3 . 5 = 60
ACTIVIDADES
1.- Calcula el mcm de los siguientes números:
a) 14 y 18 b) 25, 35 y 45
c) 6, 10 y 24.
2.- En una
autopista de 700 km de longitud encontraremos: una gasolinera cada 40 km, un
área de descanso cada 30 km y un puesto de socorro cada 45 km. Calcula en que
punto kilométrico encontraremos juntos:
a) Una gasolinera y un área de descanso.
b) Una gasolinera y un puesto de socorro.
c) Los tres servicios a la vez.
PROPIEDADES DEL mcd Y DEL mcm
1.- Si un número es múltiplo de otro, el más grande será el mcm de los dos y el más pequeño será su mcd.
EJEMPLO
12 es
múltiplo de 6 y 6 es divisor de 12.
mcm (6, 12) = 12
mcd (6, 12) = 6
2.-
Los divisores comunes de dos o más números son divisores del mcd de estos
números.
EJEMPLO
El 2 es
divisor de 12 y 18
mcd (12, 18) = 6
El 2 también es divisor de 6.
3.- El mcm
de dos números primos entre sí es igual al producto de estos números.
EJEMPLO
7 y 12 son
primos entre ellos
mcm (7, 12) = 7 .12 = 84
4.- Los
múltiplos comunes de dos o más números son múltiplos del mcm de estos números.
EJEMPLO
12 es
múltiplo de 6 y 6 es divisor de 12.
El mcm (15,
18) = 90. Cualquier múltiplo común de 15 y 18, por ejemplo 360, también
lo es de 90.
5.-
El producto del mcm por el mcd de dos números cualesquiera es igual al producto
de estos números.
EJEMPLO
mcm (12, 15) = 60
mcd (12, 15) = 3
mcm . mcd = 60 . 3 = 180
(12 . 15 = 180)
6.-
Si dividimos dos números por su mcd, los cocientes que se obtienen son primos
entre ellos.
EJEMPLO
El
mcd (25, 80) = 5. Si dividimos 25 y 80 entre 5, obtenemos,
respectivamente 5 y 16. Estos números son primos entre ellos.
1.- Los
números 8 y 15 son primos entre sí. Calcula rápidamente su mcm y mcd.
2.- El mcd
de 12 y 18 es 6. Comprueba si los divisores de 6 lo son de 12 y 18.
3.- El mcm
de dos números es 130 y su mcd es 2. Uno de los números es 26. ¿Cuál es
el otro?
4.- ¿Se puede encontrar un número que sea divisor de 25 y que no lo sea ni de 50 ni de 75?
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE mcm Y
mcd
Los contenidos que hemos visto hasta ahora nos sirven para resolver problemas de la vida cotidiana. Para enfrentarnos a ellos debemos tener en cuenta cuatro pasos fundamentales.
1.-
Comprensión del enunciado.
2.-
Planificación de la resolución.
3.-
Ejecución del plan de resolución.
4.-
Revisión del resultado y del proceso seguido.
EJEMPLO
La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo?
1.-
Comprensión del enunciado: Lee atentamente el enunciado y completa
número de alumnos de 1º A = .....
número de alumnos de 1º B = ......
Dato desconocido = ......
2.-
Planificación de la resolución: Para resolver el problema, hemos de buscar el
número más grande que divide a 32 y 36.
Calcularemos por lo tanto el ......
3.-
Ejecución del plan de resolución: Descomponer en factores primos los números 32
y 36 y calcularemos el mcd.
4.- Revisión del resultado y el proceso seguido: Calcula el número de equipos que se pueden formar encada clase. Para hacerlo divide 32 y 36 entre el mcd. Las divisiones han de ser exactas. El resultado obtenido, ¿te parece razonable?
ACTIVIDADES
1.- Tres
aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada
18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez?
2.-
Queremos cubrir el suelo de una habitación rectangular de 82 dm de largo por 44
dm de anchura con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el
lado de cada baldosa y su superficie.
GENERAMOS
CONFLICTO EN EL AULA
1.- Sabemos que cierto número de teléfono tiene siete
cifras, todas diferentes y formando grupo de tres cifras seguidas, siempre
resulta un número divisible por 17.
Vamos a
intentar calcular ese número:
1.
Escribe las cifras del número con las siete primeras
letras del abecedario. Te quedará: abcdefg.
2.
Escribe todos los múltiplos de 17 de dos y tres cifras. Debes obtener 58 números:
Comprueba que son los siguientes:
017 102
204 306 408
510 612 714
816 901
034 119
221 323 425
527 629 731
833 918
051 136
238 340 442
544 646 748
850 935
068 153
255 357 459
561 663 765
867 952
085 170
272 374 476
578 680 782
884 969
187
289 391 493
595 697 799 986
3.
De éstos se eliminan los que tienen dos cifras
iguales.
Habrás eliminado:
119-221-255-272-323-442--544-595-646-663-799-833-884-969.
4.
Empezamos buscando las tres primeras cifras siguiendo
la serie anterior. No se consideran los múltiplos que tienen dos cifras porque
no hay ningún teléfono que empiece por 0.
·
102 se elimina porque las cifras bcd no pueden ser de
la forma 02d por no haber ningún múltiplo de 17 de esta forma.
·
Lo mismo ocurre, si el número empezara por
136,153,170,187,204,238 y 289.
·
Cuando llegamos al número 306, podemos utilizar como
cifra "d" el 8, porque 068 aparece en la lista anterior de múltiplos
de 17. Podemos seguir utilizando como cifra " e" el 0, porque 680 es
múltiplo de 17, pero entonces tendríamos las cifras 30680 en las que se repite
el 0 dos veces por lo tanto no sirve.
·
De esta forma se sigue hasta encontrar el número en
cuestión
El número
obtenido es 4935782.
2.- - ¿
Cuántos años tienen ya tus tres hijas? - pregunta el primero.
-
! Seguro
que lo aciertas! - contesta el segundo-. El producto del número de años que
tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa
-
Me falta un
dato, dice el primero.
-
!Ah! !Es
verdad! - reconoce el segundo-. La mayor toca el piano.
¿ Sabrías decir la edades de las
tres hijas?
¨
Solución
del problema:
Se
descompone el número 36 en tres factores como sumandos. Mediante una discusión
con los alumnos sobre estas descomposiciones, deberán llegar a que, si el
número de la casa fuese distinto de 13, sobrará la parte del diálogo en la que
cada uno de los interlocutores dice que le falta un dato.
|
36 = 1 x
1 x 36 1 + 1 + 36 =
38 |
|
36 = 1 x
2 x 18 1 + 2 + 18 = 21 |
|
36 = 1 x
3 x 12 1 + 3 + 12 = 16 |
|
36 = 1 x
4 x 9 1 + 4 + 9 = 14 |
|
36 = 1 x
6 x 6 1 + 6 + 6 = 13 |
|
36 = 2 x
2 x 9 2 + 2 + 9 = 13 |
|
36 = 2 x
3 x 6 2 +3 + 6 = 11 |
|
36 = 3 x
3 x 4 3 + 3 + 4 = 10 |
Ante el
resultado 13 de la suma caben dos respuestas: 1, 6 ,6 o bien 2, 2, 9 con el
dato de que toca el piano sabemos que hay una hija mayor. Luego el resultado es
2, 2, 9.
3.-
Dos personas A y B juegan del siguiente modo:
Dado un números de objetos N (de manera que permita
hacer varias jugadas a cada jugador), toman alternativamente, a su elección,
uno, dos o tres objetos, con la condición de que el que retire el último
objeto, pierde en el juego.
Se plantean dos cuestiones:
1.
¿Cómo tiene que jugar A para estar seguro de ganar?.
2.
¿Es necesario que A tenga libertad de empezar o no el juego?.
Según sea el número N de objetos empleados, al dividirlo por 4 nos dará:
a)
Un cociente exacto (si N es múltiplo de 4).
b)
Resto 1 (si N es múltiplo de 4 + 1).
c)
Resto 2 (si N es múltiplo de 4 + 2).
d)
Resto 3 (si N es múltiplo de 4 + 3).
Para
que gane A se procederá así:
·
Si N es múltiplo de 4 + 1: Tiene que empezar a jugar
B, retirando sucesivamente A el complemento a 4 del número de objetos que
retire B.
* Si N es múltiplo de 4: Tiene que empezar a jugar A, retirando 3 objetos en la
primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 de los que tome B.
* Si N es
múltiplo de 4 + 2: Tiene que empezar a jugar A, retirando 1 objeto en la
primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 de los que retire B.
* Si
N es múltiplo de 4 + 3: Tiene que empezar a jugar A, retirando 2 objetos en la
primera jugada, y después, sucesivamente, el complemento a 4 de los que tome B.
4.- Juegan dos
personas con 17 fichas, piedras o palillos (17 es múltiplo de 4 + 1).
. Cada
persona, por turno, retira 1, 2 o 3 fichas.
. Pierde el
que se lleve la última ficha.
. Observa
las fichas que se lleva tu contrincante. Toma tú las que faltan hasta 4.
Ejemplo:
1ª jugada:
Sale B y retira 2 fichas; A toma 2 fichas.
2ª jugada:
B retira 1 ficha; A retirará 3.
3ª jugada:
B retira 3; A tomará 1.
4ª jugada:
B retira 2 fichas; A tomará 2.
5ª jugada:
B retira la última y pierde.
El jugador
A retira en cada jugada un número de fichas que sumadas a las que retira B da
4. Como el resto de las divisiones (17:4), (13:4), (9:4), etc., es siempre 1,
la última ficha tiene que ser retirada por el jugador B.
BIBLIOGRAFÍA:
- Martinez
.B y otros (1994), "6º de educación primaria", Madrid. Editorial
Magisterio Casals.
- Martinez.
B y otros (1994), 1º de ESO, Madrid. Editorial Magisterio Casals.
- Alsina, C
y otros (1997), “Divisibilidad” Nº 7, Madrid: Editorial Síntesis.
- Apuntes de matemáticas básicas de primero de primaria