Podemos
afirmar que el Número Natural constituye el primer campo conceptual al que
tiene acceso el niño, en la etapa de Educación Infantil y Primaria.
Antes
de su escolarización, los niños han estado sujetos a vivencias y experiencias
relacionadas con el campo matemático y, más concretamente, con el ámbito de la
numeración. En este sentido, hay dos aspectos que conviene señalar:
a) el conocimiento, en algún nivel, de la
secuencia numérica
b) el conocimiento de algunos numerales.
Ninguno
de los dos aspectos, como veremos más adelante, son en sí mismos suficientes
para garantizar la adquisición de la trama numérica, pero el hecho de
constituir un conocimiento social de base puede utilizarse para una correcta
construcción del concepto de número natural.
Entendemos
por secuencia numérica la sucesión convencional uno, dos, tres,.... El uso de
esta sucesión es, muchas veces, previo al hecho de contar objetos (aunque suele
confundirse con él), y matemáticamente está constituido por hechos (los
términos a recordar) y destrezas (desarrollo de los términos en el orden
adecuado).
Los
niños acceden al dominio de la secuencia numérica en varios niveles, que para
Fuson y Hall son los siguientes:
* Nivel de cuerda: la sucesión
comienza en uno, pero los términos parecen estar unidos (uno, dostres,
cuatrocinco,...)
* Nivel de cadena irrompible: la
sucesión comienza desde uno y los términos están diferenciados. Es el caso más
común.
* Nivel de cadena rompible: a diferencia
del anterior, la sucesión puede comenzar as partir de cualquiera de sus
términos, aunque en sentido ascendente.
* Nivel de cadena numerable: la
sucesión se utiliza en procesos en los que se comienza por un término
cualquiera, contando n a partir de él para dar otro término por respuesta (cuatro,
cinco, seis, siete, ocho).
* Nivel de cadena bidireccional: la
sucesión puede recorrerse indistintamente en sentido ascendente o descendente,
comenzando por un término cualquiera.
El uso de la secuencia en la acción de contar. inicio
Como
hemos señalado, el uso más común de la secuencia (desde su nivel de cadena
irrompible) es el de contar. En la acción de contar, cada término de la
secuencia numérica se asocia a un objeto bien diferenciado. Se trata de una destreza
básica en la que nos ayudamos con la acción de señalar
Según
Castro et al., en la acción de contar utilizamos tres tipos de
correspondencias:
a) entre el término numérico y la acción de
señalar
b) entre la acción de señalar y un objeto
concreto
c) entre el término numérico y el objeto
concreto.
Las
dos primeras son asociaciones temporales, la última es la síntesis final. La
acción de señalar tiene el objetivo de asegurar que cada objeto es contado una
y sólo una vez, en un proceso físico o mental que consiste en separar los
objetos contados de los no contados.
No
obstante, en la acción de contar deben observarse también los siguientes
principios básicos:
1. Principio de abstracción: la
naturaleza de los objetos que se van a contar no juega papel alguno en el
resultado de la acción.
2. Principio de orden estable: los
elementos de la secuencia han de utilizarse correctamente, en su orden
convencional.
3. Principio de irrelevancia del orden:
no obstante lo anterior, el total de una colección no varía por el hecho de
comenzar a contar por un objeto determinado.
4. Principio de biunivocidad: la
acción de señalar debe asegurar que todos los objetos han sido contados y que
ninguno ha sido señalado dos veces.
5. Principio de cardinalidad: cuando
señalamos el último objeto y asignamos el correspondiente término de la
secuencia, estamos estableciendo el total (número cardinal) de la colección.
Algunas cuestiones sobre la acción de contar. inicio
En
la acción de contar juega un papel importante la disposición física de los
objetos. Las formas en las que pueden estar dispuestos los objetos pueden
clasificarse en tres grandes grupos:
a) objetos dispuestos aleatoriamente
b) objetos alineados
c) objetos en disposición de números
figurados.
De
los tres grandes grupos, es el tercero el que plantea menos dificultad a la
hora de contar, por tanto conviene partir de grupos en la situación a) para que
se puedan desarrollar estrategias de agrupamiento del tipo b) o c), en orden a
adquirir el principio de biunivocidad. Además, la no conservación de cantidades
discretas en los niños de Educación Infantil (Kamii,1985), les lleva a
apreciaciones erróneas en la evaluación inicial de la cantidad de objetos a contar,
por lo que el desarrollo de estrategias de conteo en distintas situaciones de
distribución espacial puede ayudar a superar el citado obstáculo
epistemológico.
Orden e Inclusión Jerárquica. inicio
Según
lo expuesto anteriormente, la ordenación física - o mental- de los objetos (lo
que constituye el desarrollo del principio de biunivocidad) no es suficiente
para asegurar la construcción del concepto de número.
Según
Piaget e Inhelder (citados por Kamii,1992) cuando un niño ha realizado un
recuento y dice p.e. la palabra ocho , no necesariamente tiene la idea
de ocho; es decir, puede suceder que ocho no sea para él más que un nombre
aislado. Dicho de otra manera, el principio de cardinalidad no viene
automáticamente después del de biunivocidad, es preciso, al contar, tener en
cuenta que cada elemento contado engrosa el total de objetos señalados hasta el
momento y que la palabra que utilizamos para diferenciar el último objeto es
también la que determina el total de la colección.
Es
lo que Piaget denominaba inclusión jerárquica, que nos hace distinguir
entre enumeración de objetos (dar nombre) y numeración de los
mismos (averiguar el total estable de una colección de objetos
discretos).
En
este proceso de inclusión juega un papel importante la idea de que cada número
se obtiene por adición de la unidad a su correspondiente anterior en la
secuencia numérica, a lo que contribuyen de manera decisiva las actividades de
comparación de grupos de objetos.
Clasificando y Ordenando inicio
Dentro
de las actividades tendentes a la identificación de las cualidades definitorias
de situaciones y objetos, vamos a destacar la clasificación y la seriación.
Clasificar
es un proceso humano básico que no se reduce a la actividad matemática. Nuestra
actividad clasificatoria comienza en el momento en que elaboramos los primeros
conceptos; no olvidemos que un concepto, al fin y al cabo, no es más que un
conjunto de regularidades percibidas a las que se dotan de un nombre (clase)
distintivo.
Matemáticamente
hablando, una clasificación es el resultado de definir en un conjunto una
relación binaria de equivalencia; las clases obtenidas tienen dos
propiedades:
*
son disjuntas
*
son una partición del conjunto inicial
El
proceso de clasificación en el niño sigue aproximadamente las siguientes
etapas:
*
agrupar parejas semejantes
*
agrupar más de dos objetos, dejando otros sin clasificar
*
agrupar todos atendiendo a u atributo
*
utilizar más atributos y más abstractos (desligados de las cualidades físicas).
Seriar
es la habilidad para colocar objetos (físicos o mentales) en una determinada
secuencia. Esta secuencia, normalmente, viene sugerida por sus primeros
términos, por tanto, el primer aspecto de la seriación es el descubrir el
criterio (s) y hacerlo operativo, después, completando la serie.
Un
caso particular de las series, cuando el criterio que se utiliza es
cuantitativo, son las ordenaciones.
En
el caso del concepto de número y, más concretamente, en su uso en las
operaciones aritméticas, la ordenación ocupa un papel muy relevante, puesto que
en las primeras comparaciones que el niño realizará con grupos de objetos será
de vital importancia la toma de conciencia de la "mayor o menor
cantidad" en la evaluación inicial de dichos grupos.
Sistemas de numeración. inicio
A
al hora de representar cantidades, de manera indisociable del concepto de
número, aparece la idea de sistema de numeración.
Cuando
la cantidad a representar no es muy elevada nos la podemos arreglar utilizando
el principio de biunivocidad. Por este método, habitual en los niños, cada
objeto se representa con una marca (un palito vertical, para cada unidad).
Pero ya vimos que el principio de biunivocidad no es suficiente para
cuantificar; de hecho el niño, cuando ha colocado bastantes palitos no tiene
conciencia del total, para ello tendría que contar. Ello en sí mismo no es
problemático, lo que ocurre es que cuando el número de marcas es muy elevado
(supongamos 500 o 600) se nos antoja utilizar un procedimiento que abrevie el
tiempo del proceso. Es también habitual el uso de agrupamientos, así
cada cinco, seis, diez,...remarcamos y de esta manera luego contamos los grupos
y multiplicamos por las marcas de cada grupo para obtener el total.
Podemos
pensar que este proceso nos basta, pero cuando el número de grupos es muy
elevado tenemos el mismo problema que al principio. Este problema se suele
solucionar agrupando grupos,..., y así sucesivamente.
Un
sistema de numeración tiene como objetivo disponer de unas reglas de
agrupamiento y organización de símbolos que solucionen los problemas citados
anteriormente de manera automática.
El
conocimiento y uso del sistema decimal es imprescindible en el contexto escolar
asociado al concepto de número. De hecho, la mayor parte de los errores de los
niños en las operaciones aritméticas tienen su origen en una insuficiente
comprensión del sistema posicional base diez.
Cuestiones para autoevaluación inicio
1. Analiza y justifica cada una de las
siguientes situaciones:
a) Un niño de cuatro años que ante una
colección de doce objetos dice haber contado catorce.
b) (En la situación anterior) Cuenta los doce
objetos pero cuando se le pregunta cuántos hay parece no entender la pregunta.
c) Un niño de cuatro años que es invitado por
su madre a colocar servilletas para cada comensal y realiza tantos viajes del
mueble a la mesa como comensales hay.
2. ¿Es la enumeración suficiente para obtener
el cardinal de un grupo de objetos?
3. ¿Cuales son las características básicas de
nuestro sistema decimal?
4. Analiza la existencia de vestigios de
otros sistemas de numeración en nuestra cultura. Discute las razones de su
permanencia.
5. Recupera el documento de Jean Marie Auel
(Ayla y Jondalar) y extrae conclusiones de carácter numérico para el aula.
6. Haz un breve diseño de la estrategia
didáctica a seguir en primaria para trabajar el concepto de número (utiliza los
DCB y las propuestas de secuencia), ¿qué relevancia otorgarías a la
representación?