El niño reinventa la aritmética

Síntesis elaborada por Isabel Ramírez Romero

 

LA TEORIA DEL NÚMERO DE PIAGET

 

El enfoque propugnado en este libro empieza con la teoría del número de Piaget, según la cual el número es una estructura mental que construye cada niño mediante una aptitud natural para pensar, en vez de aprenderla del entorno.

El propósito de este capítulo es clarificar esta teoría del número antes de examinar la importancia de la interacción social en relación con esta teoría en el próximo capítulo. Se examinarán en detalle dos tareas experimentales para proporcionar la evidencia empírica de la teoría. Una es la tarea de conservación y la otra implica echar cuentas en dos vasos etc....

Dado que la teoría de Piaget sólo puede comprenderse dentro del contexto epistemológico en el que trabajó, empezaré por examinar su postura respecto al empirismo y el racionalismo.

 

REVISIÓN DEL EMPIRISMO, EL RACIONALISMO Y EL CONSTRUCTIVISMO DE PIAGET.

 

            Normalmente se cree que Piaget era un psicólogo, pero realmente fue un epistemólogo genético. La epistemología es el estudio de la naturaleza y los orígenes del conocimiento. Históricamente, se han desarrollado dos corrientes principales de pensamiento para responder a estas cuestiones: El empirismo y el racionalismo.

            En esencia, los empiristas mantenían que la fuente del conocimiento es externa al sujeto y que aquél es interiorizado a través de los sentidos.

            Los racionalistas no negaban la importancia de la experiencia sensorial, pero insistían en que la razón es más poderosa que ella porque nos permite conocer con certeza muchas verdades que los sentidos nunca pueden comprobar.

            Piaget observó elementos de verdad y de falsedad en ambos campo. Como científico formado en biología, estaba convencido de que la única manera de responder a las cuestiones, epistemológicas era estudiarlas científicamente en vez de hacerlo mediante la especulación. Con esta convicción decidió que una buena manera de estudiar el conocimiento empírico y la razón del hombre era la consistente en estudiar el desarrollo del conocimiento en los niños.

            Aunque Piaget veía que tanto la información sensorial como la razón eran importantes. La tarea de conservación de cantidades numéricas que se expone a continuación debería entenderse a la luz de estos conocimientos.

 

LA CONSERVACIÓN DE CANTIDADES NUMÉRICAS

 

Es la capacidad de deducir que la cantidad de objetos de una colección permanece igual cuando la apariencia empírica de los objetos es modificada.

 

EL CONOCIMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO Y EL CONOCIMIENTO FÍSICO

            Son los dos tipos principales del conocimiento distinguidor por Piaget.

            El conocimiento físico: es el conocimiento de objetos de la realidad exterior. El color y el pero de una ficha son ejemplos de propiedades físicas que están en objetos de la realidad exterior y que pueden conocerse mediante la observación.

            El conocimiento lógico-matemático se compone de relaciones construidas por cada individuo. Por ejemplo, cuando se nos muestran dos fichas, una roja y otra azul y creemos que son diferentes, esta diferencia es un ejemplo de los fundamentos del conocimiento lógico-matemático.

            Otros ejemplos de relaciones que se pueden crear entre las fichas son similares. Es tan correcto decir que las fichas rojas y azules son similares que decir que son distintas. La relación que establece el sujeto entre los objetos depende del propio sujeto.

            El niño progresa en la construcción del conocimiento lógico-matemático mediante la coordinación del as relaciones simples que ha creado anteriormente entre distintos objetos.

            Piaget admitía la existencia de fuentes internas y externas del conocimiento. La fuente del conocimiento físico es en parte externa al sujeto. Por el contrario, la fuente del conocimiento lógico-matemático es interna.

 

CONSTRUCCIÓN MEDIANTE ABSTRACCIÓN EMPÍRICA Y REFLEXIONANTE

 

            El punto de vista de Piaget sobre la naturaleza lógico-matemático del número contrasta con el de quienes enseñan matemáticas y que se encuentra en la mayoría de textos.         

            Según la teoría de Piaget, la abstracción del color de los objetos es de naturaleza muy distinta a la abstracción del número. En realidad son tan diferentes, que se designan con términos distintos. En la abstracción empírica, todo lo que el niño hace es centrarse en una propiedad determinada del objeto, simplemente ignora las propiedades restantes como el peso y el material de que está hecho el objeto.

            La abstracción reflexionante comporta la construcción de relaciones entre objetos. Las relaciones no tienen existencia en la realidad exterior. La semejanza o diferencia entre una ficha u otra no existe en ninguna de las fichas ni en ningún otro lugar de la realidad exterior. Ésta sólo existe en el pensamiento de quienes la pueden establecer entre los objetos.

            La abstracción constructiva podría ser más fácil de entender que abstracción reflexionante, para indicar que la abstracción es una verdadera construcción llevada a cabo por el pensamiento en vez de ser un enfoque sobre algo que ya existe en los objetos. Piaget continuó afirmando que, en la realidad psicológica del niño pequeño, la una no puede darse sin la otra. El niño no podría construir conocimientos físicos si no poseyera un marco de referencia lógico-matemático que le permitiera relacionar nuevas observaciones con el conocimiento que ya posee.

            Así pues, aunque la abstracción reflexionante no puede darse independientemente de la abstracción empírica durante lo períodos sensoriomotor y preoperacional, posteriormente sí que se hace posible esta independencia. Puede que la distinción entre los dos tipos de abstracción no parezca importante mientras el niño aprende números pequeños, sin embargo, cuando pasa a números mayores es evidente que no es posible aprender cada número entero hasta el infinito a partir de conjuntos de objetos o imágenes.

 

LA CONSTRUCCIÓN DEL NUMERO COMO SÍNTESIS DEL ORDEN Y DE LA INCLUSIÓN JERARQUICA.

 

            Según Piaget, el número es una síntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre objetos. Una es el orden y la otra la inclusión jerárquica.

            Piaget entendía por orden, la única manera de asegurarnos de no pasar por alto ningún objeto o de no contar el mismo más de una vez es poniéndolos en orden. Sin embargo, el niño no tiene que poner los objetos literalmente en un orden especial para establecer entre ellos una relación de orden. Lo importante es que los ordene mentalmente.

            Si la ordenación fuera la única acción mental que se realizara sobre los objetos, la colección no podría cuantificarse puesto que el niño tendría en cuenta un objeto cada vez y no un grupo de muchos al mismo tiempo.

            La reacción de los niños pequeños a las tareas de inclusión de clases nos ayuda a comprender lo difícil que es construir la estructura jerárquica.

            Después de muchos ejemplos Piaget explicó la consecución de la estructura jerárquica de la inclusión de clases mediante el aumento de la movilidad del pensamiento del niño. De ahí la importancia que tiene para los niños establecer todo tipo de relaciones entre todo tipo de contenidos. Cuando los niños establecen relaciones entre todo tipo de contenidos, su pensamiento se hace más móvil, y uno de los resultados de esta movilidad es la estructura lógico-matemática del número.

 

CONOCIMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO Y CONOCIMIENTO SOCIAL.

 

La teoría del número de Piaget también contrasta con la suposición habitual según la cual los números pueden enseñarse por transmisión social, como un conocimiento social, especialmente enseñando a los niños a contar.

            Al igual que el conocimiento físico, el conocimiento social es un conocimiento de contenidos y requiere un marco de referencia lógico-matemático para su asimilación y organización. El niño usa el mismo marco de referencia lógico-matemático tanto para construir el conocimiento físico como el social. La gente cree que los números deberían enseñarse por transmisión social, no realizan la distinción fundamental entre conocimiento lógico-matemático, la fuente última del conocimiento es el niño mismo, y en este ámbito no hay nada arbitrario.

            Las palabras uno, dos, tres.... son ejemplos de conocimiento social. Cada lengua posee un conjunto diferente de palabras para contar.

            Así pues, el punto de vista de Piaget contrasta con la creencia de que existe un mundo de números en el cual debe ser socializado cada niño.

POR QUÉ CONSERVAN LOS NIÑOS QUE CONSERVAN

 

            Los niños llegan a ser capaces de conservar cuando han construido mentalmente la estructura lógico-matemático del número, al menos hasta cierto punto. Los que han construido esta estructura pueden imponerla a las hileras de diferente longitud. Los que han construido sólo pueden basar sus juicios en rasgos perceptivos. Para ellos, sobrepasar especialmente los límites significa más.

 

LA TAREA CONSISTENTE EN DEJAR CAER CUENTAS

 

            Inhelder y Piaget dieron a niños pequeños dos vasos de formas diferentes. Los experimentadores pidieron a cada niño que pusiera una cuenta en uno de los vasos con una mano y que al mismo tiempo, con la otra mano pusiera otra cuenta en el otro vaso. Mientras que los niveles en ambos vasos fueran parecidos, el niño replicaba que en ambos vasos había el mismo número. Sin embargo, se llegaba a un punto en que los niveles eran demasiado diferentes para que algunos niños pensaran que había el mismo número en ambos vasos...Esta tarea se representan a continuación:

  1. MÉTODO
    1. Materiales.
    2. Procedimiento
  1. RESULTADO

El número no se construye mediante la abstracción empírica de conjuntos. También muestra que la descripción o explicación que normalmente se da de la conservación es correcta.

 

LA TAREA QUE IMPLICA DIFERENCIAS DE 1

 

            Hay otras dos tareas que indican que la adición en las inferencias aritméticas y la partición de conjuntos también surgen de la capacidad natural que tiene el niño para pensar. La investigación piagetiana muestra que el razonamiento numérico a veces es más fácil y a veces más difícil de lo que hace suponer el sentido común.

 

UNA TAREA EN LA QUE EL TODO SE DIVIDE EN DOS PARTES

 

            Esta tarea muestra la composición aditiva del número y el hecho de que el niño también construye la partición de conjuntos mediante su propia capacidad de pensar. En esta situación se le fijo a un niño que un todo permanecería igual, pero que sería dividido de forma distinta en dos días consecutivos. Ésta le daba la respuesta al niño, puesto que se le decía explícitamente que tendría la misma cantidad al día siguiente. De los dos niños que se mencionan a continuación, el primero se centró en el subconjunto de 7 mientras que el segundo comparó los subconjuntos de la izquierda.

 

COMENTARIOS Y CONCLUSIONES

 

            Piaget y sus colaboradores han llevado a cabo muchísimos otros estudios sobre el número, y la mayoría de ellos no se han traducido al inglés. Las investigaciones más importantes pertinentes a la aritmética de los grados elementales pueden encontrarse en los volúmenes XI, XIII y XVII de los Études d·Epistémologie Génétique, pero hay muchas otras publicadas en diversos libros y revistar. Para quienes no estén convencidos de que los niños construyen el conocimiento lógico-matemático por su cuenta, sin ninguna instrucción.

            En conclusión, los puntos más importantes en relación a la aritmética de primer curso que pueden desprenderse de las investigaciones anteriormente mencionadas son laos siguientes:

1.      El número no es de naturaleza empírica. El niño construye mediante la abstracción reflexionante a partir de su propia acción mental de establecer relaciones entre objetos.

2.      Los conceptos numéricos no pueden enseñarse. Si bien esto puede ser una mala noticia para los educadores, la buena noticia es que el número no ha de ser enseñado ya que el niño lo construye desde dentro, a partir de su propia capacidad natural para pensar.

3.      La adición tampoco ha de ser enseñada. La propia construcción del número implica la adición repetida de 1.

 

CAPITULO III

 

LA AUTONOMÍA: EL OBJETIVO DE LA EDUCACIÓN SEGÚN PIAGET

 

Si la preocupación principal de los maestros es que sus clases sean disciplinadas y silenciosas, reaccionarán ante las disputas entre los niños de una manera determinada. Si, por otra parte, su principal preocupación es producir ciudadanos autónomos que puedan pensar por su cuenta en cualquier tipo de situación, reaccionarán ante la misma disputa de forma distinta. Normalmente, la conducción de las disputas no se encuentra en un libro de aritmética. Pero las maneras de poder resolver los conflictos entre los niños, tanto desde el punto de vista de lo que permite el maestro como de lo que los niños pueden controlar, hacen que la manera en que los niños pueden aprender aritmética sea muy diferente.

            La cuestión más importante y al mismo tiempo más pasada por alto de la educación, es la manera de conceptualizar los objetivos. Para Piaget, el objetivo de la educación, a largo plazo, era la autonomía. Ello contrasta claramente con la preocupación que sienten los educadores por los medios.

            En este capítulo aclararé en primer lugar lo que Piaget quería decir con autonomía y a continuación a examinar la autonomía como objetivo principal de la educación.

 

¿QUÉ ES LA AUTONOMÍA?

Es lo opuesto a heteronomía, que significa gobernado por alguien más. La autonomía tiene un aspecto moral y otro intelectual.

 

Autonomía moral

            Se refiere a la capacidad de realizar juicios morales y de tomar decisiones uno mismo, independientemente del sistema de recompensas, teniendo en cuenta los puntos de vista de las otras personas implicadas.

 

Autonomía intelectual

            Como en el ámbito moral, la autonomía también significa ser gobernado por uno mismo y tomar decisiones por cuenta propia. Mientras que la autonomía moral trata de lo correcto y lo incorrecto, la autonomía intelectual trata de lo verdadero y lo falso. En el ámbito intelectual, la heteronomía significa simplemente seguir puntos de vista ajenos. Se puede encontrar un ejemplo extremo de autonomía intelectual en la historia de Copérnico, a quien se atribuye la teoría heliocéntrica.