LAS POTENCIAS EN PRIMARIA

ELISABET BERMÚDEZ CAMACHO

VANESA CARDOSO BONILLA

EVA ROMERO GARCÍA

 

DEFINICIÓN DE POTENCIA

Potencia. Base y exponente

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

 

Nivel 4

 

 

Nivel 3

 

 

 

Nivel 2

 

 

 

Nivel 1

 

 

 

Nivel 0

 


 

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

 

Operación

Resultado

Padres

2 = 21

2

Abuelos

2*2 = 22

4

Bisabuelos

2*2*2 = 23

8

Tatarabuelos

2*2*2*2 = 24

16

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.

24 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

52 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual.

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 24, la base es 2 y el exponente es 4.

1. Calcula las siguientes potencias: 35,  53,   72,  27,  104,  410. En cada caso escribe cuál es la base y cuál es el exponente. Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

(Nota: si calculas otras potencias y el resultado de la potencia supera las siete cifras, la escena muestra el resultado en notación científica, que se explica más abajo)

ALGUNAS POTENCIAS ESPECIALES

2. Utiliza la escena anterior para calcular las siguientes potencias:

Escribe en tu cuaderno cinco conclusiones que deduces de los resultados de cada uno de los apartados anteriores.

CUADRADOS PERFECTOS

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos mucho en la clase de matemáticas a partir de ahora.

3. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Número

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Cuadrado

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Como sabes, el área de un cuadrado de lado l mide l2. Por tanto, geométricamente, calcular el cuadrado de un número equivale a calcular el área de un cuadrado cuyo lado mida el número dado.

4. En la escena siguiente asígnale a la variable lado los diez primeros

números naturales y cuenta, en cada caso, el número de cuadraditos que contiene el cuadrado correspondiente.

CUBOS PERFECTOS

Igual que en el caso de los cuadrados, las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos.

5. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Número

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Cubo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

NÚMEROS CUADRADOS Y NÚMEROS CÚBICOS

 

Los patrones numéricos constituyen uno de los elementos más potentes para el inicio del estudio de las potencias. Con ellos se hace más tangible la compresión de dos potencias concretas, vinculando los contextos aritmético y geométrico: el cuadrado y el cubo.

   En efecto, construyamos una secuencia de configuraciones puntuales que partan de la unidad y que representen los vértices de los sucesivos cuadrados:

                                                                                                              

                                                                            ● ● ● ●                     ● ● ● ● ●

                                               ● ● ●                       ● ● ● ●                     ● ● ● ● ●

                      ● ●                   ● ● ●                       ● ●  ● ●                    ● ● ● ● ●

                   ● ●                   ● ● ●                       ● ● ● ●                   ● ● ● ● ●

 

 

A continuación se van a tabular los datos obtenidos para una posterior búsqueda de relaciones:

 

Cuadrado

     

    

de puntos

Secuencia

de construcción

Último

valor

      

sumandos

   1

   1

  1

   1

   1

   2

   4

  1+3

   3

   2

   3

   9

  1+3+5

   5

   3

   4

   16

  1+3+5+7

   7

   4

   5

   25

  1+3+5+7+9

   9

   5

   11

 

 

 

 

   15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En la segunda columna podemos observar la secuencia de los cuadrados de los números enteros, mientras que en la tercera se encuentra una relación cuyo descubrimiento se atribuye también a Fibonacci: “ Al reflexionar sobre el origen de todos los números cuadrados, descubrí que surgen de la progresión ordenada de los números impares”.

NOTACIÓN CIENTÍFICA DE LOS NÚMEROS. NÚMEROS GRANDES

Como viste en el último apartado de la actividad número 2 anterior, las potencias en base 10 son muy fáciles de calcular. Así:

102 = 100; 104 = 10.000; 107 = 10.000.000; 1011 = 100.000.000.000

Como habrás deducido fácilmente, podemos establecer una regla general para dichas potencias:

El resultado de la potencia 10n es igual a la unidad seguida de n ceros.

Utiliza la calculadora y calcula el producto 9857 * 37563.

El resultado que muestra la calculadora (que tenga una pantalla con una capacidad de mostrar 8 dígitos) es

9857 * 37563 = 3.7025849 08

En las escenas de este programa la notación científica se expresa de la siguiente manera:

9857 * 37563 = 3.7025849 E08

Este resultado hay que interpretarlo de la siguiente manera:

3.7025849 08 = 3.7025849 E08 = 3,7025849 * 108 = 370.258.490

Esta forma extraña de presentar el resultado es debido a que el producto es un número que tiene 9 cifras (el resultado del producto es 370.258.491) que no cabe en la pantalla. Es decir, la calculadora no es capaz de mostrar el resultado exacto de la operación y lo muestra aproximado: no ofrece la última cifra que es la menos representativa del resultado, la menos importante.

Diremos que el resultado de la calculadora se expresa en notación científica.

6. Utiliza la escena siguiente para calcular las siguientes potencias: 1255,  4444,   1212,  99992,  56783. Anota en tu cuaderno el resultado y escríbelo a continuación en notación normal, como en el ejemplo anterior. Aumenta hasta 7 el número de decimales para aumentar así la precisión en el resultado.

POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

Si n es un número natural se define

a-n = 1 / an

7. Calcula las siguientes potencias: 3-5,  5-3,   7-2,  2-7,  5-4,  4-5. Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

NOTACIÓN CIENTÍFICA DE LOS NÚMEROS. NÚMEROS PEQUEÑOS

Las potencias de base 10 y exponente negativo son fáciles de calcular. Así por ejemplo,

10-2 = 1 / 102 = 1 / 100 = 0,01

10-3 = 1 / 103 = 1 / 1000 = 0,001

10-5 = 1 / 105 = 1 / 10000 = 0,00001

Ya hemos visto que cuando el resultado de una operación es muy grande (supera las 8 cifras) las calculadoras lo expresan en notación científica. Lo mismo ocurre cuando el resultado de la operación es muy pequeño, inferior a 0,0000001. Así por ejemplo,

10-7 = 1 / 107 = 1 / 10.000.000 = 0,0000001

Si calculas el cociente anterior en una calculadora, como no le cabe el resultado en la pantalla, muestra el resultado en notación científica 1.-07 que, igual que en el caso de números grandes, debes interpretarlo como 1 * 10-07.

8. Utiliza la escena siguiente para calcular las siguientes potencias: 125-5,  444-4,  12-12,  9999-2,  5678-3. Anota en tu cuaderno el resultado y escríbelo a continuación en notación normal, como en el ejemplo anterior.

Utiliza la tecla 1/x de tu calculadora para comprobar que los resultados de este ejercicio son inversos que los del ejercicio 6.

OPERACIONES CON POTENCIAS

Producto de potencias de la misma base

Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento:

43 = 4 * 4 * 4  

y  

45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4,

luego

43 * 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5

En general:

El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores

am * an = am+n

La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos. Haz un razonamiento similar al anterior para comprobar la regla en el caso de que alguno de los exponentes (o ambos) sea negativo.

10. Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:

    a) 23 * 27          b) 35 * 33          c) 55 * 53

    d) 2-3 * 25         e) 3-5 * 3-3        f) 5-5 * 53

    a) 2 * 24 * 25          b) 42 * 44 * 43          c) 8 * 8 * 84

    d) 2 * 2-4 * 25         e) 4-2 * 44 * 4-3       f) 8-1 * 8 * 84

Cociente de potencias de la misma base

De manera similar al producto, puedes deducir la siguiente regla general que es válida tanto para exponentes positivos como negativos:

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.

am : an = am-n

Por ejemplo,

45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3

12. Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:

    a) 27 : 23          b) 35 : 33          c) 56 : 53

    d) 27 : 2-3        e) 3-2 : 32          f) 5-4 : 5-3

 

Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación: (2*3)2, observamos que

(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33

Para calcular el resultado podemos multiplicar 2*3 y elevar el producto al cubo: (2*3)3 = 63 = 216

O bien, elevar al cubo cada uno de los factores 23 = 8 y 33= 27 y multiplicar el resultado 8*27 = 216.

En general:

La potencia de un producto es igual al producto de la potencia

(a*b)m = am * bm

13. Expresa en forma de producto de potencias las siguientes expresiones:

    a) (2*5)6         b) (3*4)2         c) (2*8)3         d) (4*6)4

    e) (2*5)-2         f) (3*2)-3         g) (2*5)-3  

 

Potencia de un cociente

De manera similar al caso de la potencia de un producto es fácil deducir que

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor

(a/b)m = am / bm

14. Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:

    a) (18/2)6         b) (8/4)2         c) (10/5)3         d) (12/3)4

    e) (18/2)-3         f) (8/4)-2        g) (10/5)-3       h) (9/3)-4

Potencia de una potencia

Si queremos calcular (45)3 utilizamos la siguiente razonamiento:

(45)3 = 45 * 45 * 45 = 45+5+5 = 45*3

Y deducimos así la siguiente regla, también válida para exponentes negativos:

Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva:

(am)n = am*n

15. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:

    a) (23)7          b) (35)3          c) (55)3

    d) (2-3)2         e) (33)-2         f) (5-2)-3

POTENCIAS DE BASE NEGATIVA

Calcula las potencias (-5)3 y (-5)4.

(-5)3 = (-5)*(-5)*(-5) = -125. El resultado es negativo.

(-5)4 = (-5)*(-5)*(-5)*(-5) = 625. El resultado es positivo.

En general, al elevar un número negativo a un exponente par el resultado es siempre positivo. Al elevarlo a un exponente impar, el resultado es siempre negativo.

9. Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a)     (-3)5  

b)     (-3)6

c)       (-4)4

d)     (-4)5

e)     (-10)5

f)       (-13)9


Nota: Si calculas potencias cuyo resultado sea superior a 7 cifras, por ejemplo, la del apartado f), deberás aumentar el número de decimales de la potencia para aumentar la precisión en el resultado.

Pero (los paréntesis sirven para algo)

Cuando hay una potencia con paréntesis el exponente afecta a todo el paréntesis

Cuando una potencia no tiene paréntesis el exponente afecta solamente al número o letra que tiene debajo.

Vamos a poner en el mismo color el exponente y la base, o sea la expresión a la que afecta la potencia.

Por ejemplo:   (2.3)2=(2.3)2=(2.3).(2.3)=2.3.2.3=2.2.3.3=22.32=4.9=36
Pero:2.32= 2.32=2.3.3=18
No es lo mismo ¿verdad?

Otro ejemplo:
5x2=5x2=5.x.x=5x2
(5x)2=(5x)2=(5x)(5x)=5.x.5.x=5.5.x.x=52.x2=25x2
Tampoco es lo mismo

ATENCIÓN CON EL SIGNO MENOS

-x2=-x2=-x.x   o sea que ¿cuánto vale -x2  si x=3?

Pues muy fácil   -x2=-x2=-x.x=-3.3=-32=-9

Pero  (-x)2=(-x)2=(-x).(-x)=+x.x=x2

¿Cuánto vale ahora (-x)2  si x=3? Pues será lo mismo que x2 o sea 32=9
 

Ejercicio 4 
Si x=5, calcula las siguientes expresiones: 
a) 3x2 
b) 5 - x2 
c) (-x)2 
d) (2x)2 
e) - x2

 Aquí están las soluciones y dos números más para despistar, y además están en otro orden. A ver si sabes asociar cada apartado con su solución.

30

-25 

-20

75

25

100

Solución   4

 Ahora vamos a ponerlo un poco más difícil

Si x=-3 ¿Cuánto vale (-x)2 y -x2?

Solución: (-x)2=(- (-3))2=32=9     Y con colores: (-x)2=(- (-3))2=32=9
           -x2=-32=-3.3=-9                       -x2=-32=-3.3=-9
 
 
  Ejercicio 5 
Si x = -2, ¿Cuánto valen las mismas expresiones de antes? 
a) 3x2 
b) 5 - x2 
c) (-x)2 
d) (2x)2 
e) - x2

¿Pueden ser estos números?

Ahora también sobra alguno, pero en este caso también falta alguno.

36

9

0

4

-4

12

1

Solución 5

 

ASPECTOS CONCEPTUALES

 

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

 

Desde el punto de vista estrictamente matemático, la potenciación y la radicación son una misma cosa, basta ampliar el ámbito numérico del exponente. Los dos elementos esenciales de esta operación son la base y el exponente. En el caso de exponente entero, el segundo indica “ el número de veces que se repite” el primero. En el caso de exponente racional, la base se llama también radicando y , al inverso del exponente, índice de la raíz.

 

nÖ a = b  àb n  = a àb = a1/n

 

En el manual consultado y en los libros de texto de primaria aparece que toda es elevada a cero es uno por convenio. Aunque esto sea así hemos preferido demostrarlo de la siguiente forma

 

a n x a –n = a 0

 

a n x a –n  = a n  x 1/an  = an  / an  = 1

 

ERRORES MÁS FRECUENTES EN OPERACIONES CON RAICES Y POTENCIAS.

 

 

Errores de magnitud

 

Errores de signo

Errores de generalización indebida de propiedades

 

-          Afirmar que elevar a una potencia hace al número más grande.

-          Afirmar que la radicación hace a los números más pequeños.

-        Confundir a2  con 2ª.

 

-          Afirmar que si el exponente es negativo, la potencia lo es.

-          Ignorar que no tiene sentido la raíz de orden par de un número negativo.

-          Afirmar que no tienen sentido las raíces de orden impar de un número negativo.

-        Confundir –an    con (-a)n  .

 

-        (a + b)n = an +  bn

-        an . a = anm

-        an /am = an7m

-        (an ) = an+m

-         Öa + b =Öa +  Öb

-        Öa2 + b2 =a + b

 

 

 

 

MATERIALES Y RECURSOS

Los materiales que se citan a continuación pueden ser de utilidad para la construcción de algunos conceptos y procedimientos.

Ø      Geoplanos, multicubos o cualquier material que sirva como modelo para configuraciones puntuales nos serán de utilidad para una introducción intuitiva a la raíz cuadrada ( los bloques multibase también para la raíz cúbica) y para los cuadrados y cubos. Con los geoplanos se pueden visualizar y construir todas las raíces cuadradas que provienen de la diagonal de algún rectángulo.

Ø      Los tangrams para visualizar la relación diagonal-lado en un cuadrado.

Ø      Aunque estos recursos no se han trabajado o se han trabajado poco a lo largo de nuestras clases de la asignatura de “Matemáticas y su didáctica”, también podemos trabajar las potencias con os siguientes materiales:

-         La papiroflexia como material base para la potenciación.

-         Los poliminós.

 

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

 

Tradicionalmente ( y en la actualidad en la mayor parte de los casos) se ha seguido una secuencia muy similar a las recomendadas en los documentos curriculares; es decir, se ha desarrollado el concepto de cuadrado y cubo en Educación Primaria y, en Secundaria, se han abordado el resto de las potencias de base racional y exponente entero y las raíces ( a las que no se ha identificado usualmente con potencias de exponente fraccionario). Las potencias suelen introducirse a través del producto iterado de un número por sí mismo, normalmente en contextos aritméticos, y su desarrollo se vincula a la necesidad de representar grandes o pequeñas cantidades ( particularmente cuando se utilizan para la notación científica). Las raíces y, en particular la raíz cuadrada, suelen tratarse como operaciones inversas de las potencias en contextos aritméticos o algebraicos. En algunos casos, la raíz cuadrada aparece vinculada a modelos geométricos similares a los bloques multibase.

 

POTENCIAS Y RAÍCES EN EL CURRÍCULUM

Lo que ocurre en el paso de los racionales a los irracionales vuelve a repetirse en el caso de las potencias y raíces; se produce una ruptura en la secuenciación de estos contenidos, que se reparten entre la Educación Primaria y la Educación Secundaria Obligatoria. En los distintos niveles de concreción del currículum se establecen, como contenidos conceptuales en Educación Primaria, el cuadrado y el cubo, quedando relegado a la ESO el estudio de las potencias de exponente entero y la raíz cuadrada, Así como la notación científica.

 

CONTEXTOS DE LAS POTENCIAS DE BASE RACIONAL

 

El origen de muchos términos matemáticos está en los elementos geométricos elementales. En el caso del cuadrado y el cubo esta relación es bien patente. En particular, cuadrado, tiene la misma raíz latina que cuadro o cuatro.

No obstante, para n > 3 la expresión an tiene connotaciones fundamentalmente aritméticas o algebraicas.

Usamos las potencias para:

a)     Entender la noción de producto en el caso de factores iguales, así  ¾ x ¾ x ¾ x ¾ x ¾  puede expresarse como ( ¾)5  o, lo que es lo mismo, 35/45.

b)     Calcular la superficie de un cuadrado o el volumen de un cubo.

c)      Expresar algunas cantidades de magnitud, como 5 m2 o 250 cm3.

d)     Expresar cantidades elevadas y, particularmente, la unidad seguida de muchos ceros, como 10.000.000, que escribimos como 107.

e)     Expresar cantidades muy pequeñas, como ocurre con 0,00000017, que lo transformamos en 1,7 x 10-7.

 

ANEXO

 


CONTENIDOS DEL TEMA DE POTENCIAS DE LA EDITORIAL MAGISTERIO CASAL

 

 

5º PRIMARIA

6º PRIMARIA

1º E.S.O.

Concepto de potencia: Definición y términos

Concepto de potencia (definición y términos)

Concepto de potencia: Definición.

Lectura y escritura de potencias

Lectura y escritura de potencias

Lectura y escritura de potencias

 

Cuadrados y cubos perfectos.

 

Descomposición polinómica de un número.

Expresión polinómica de un número. Potencias de base 10

 

 

Operaciones con potencias: suma, resta, multiplicar y dividir.

Operaciones combinadas con potencias:

  • Producto de potencias.
  • Cocientes de potencias
  • Potencias de otra potencia
  • Potencia de un producto

 

Raíz cuadrada de un número

Raíz cuadrada de un número.

 

 

Tras examinar los contenidos referentes al tema de potencias en los distintos niveles aquí expuestos, hemos podido comprobar que los contenidos de Magisterio Casal son semejantes y coinciden en su tratamiento con respecto al temario de cada curso, a los de la Editorial  Santillana, mientras que con respecto a la editorial Anaya vemos que posee un nivel más bajo por curso, es decir, si en quinto de primaria en otras editoriales empiezan con las potencias, en Anaya no se trata este tema hasta 6º.


 

BIBLIOGRAFÍA

 

 

·        Alzu, J. Luís (2.000) MATEMÁTICAS 6. Madrid. Editorial: Santillana.

·        Castro, E.(2.001) DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA Madrid. Editorial: Síntesis Educación.

 

·        http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/Potencias/POTENCIAS.htm

 

·        http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/matemat/operaZ/opera5.html