CAPITULO1

Capítulo I

INTRODUCCIÓN

I.1. FINALIDADES DESEABLES DE LA INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

I.2. MARCOS DE LA TESIS: CONCEPCIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

I.3. FINALIDAD DE ESTA INVESTIGACIÓN

I.4. CARACTERIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

I.5. LA MUESTRA

"HERMENÉUTICA: Procedimiento encaminado a conseguir la comprensión en el ámbito de las ciencias humanas. Su cometido es facilitar la interpretación de acciones, instituciones, documentos, etc., que nos lleve a la comprensión de éstos." (Calvo, T. y Navarro, J.M., 1994, p.77)

I.1. FINALIDADES DESEABLES DE LA INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA

Opino que todo trabajo de esta índole se mueve entre, o posee una MOTIVACIÓN (o determinadas causas que empujaron al investigador a acometerlo; causas concretas, relativas a la investigación, no concernientes a deseos de progreso en la carrera docente, legítimos por otra parte) y cierta RELEVANCIA (que hace justificable, tanto para el investigador como para la comunidad científica, tamaña inversión de tiempo y energía), aspecto enormemente difícil de valorar objetivamente (la historia ha puesto de relieve la ceguera de los científicos ante algunas investigaciones que posteriormente demostraron su importancia). Esta ideal combinación de motivación y relevancia otorgan a la investigación un potencial de disfrute para el investigador y de interés para los demás investigadores. El primer objetivo ha sido ampliamente conseguido, y, en cuanto al segundo, deseo que así sea.

En tal sentido, pienso que LA LICITACIÓN DE UN TRABAJO EN EL TERRENO DE LA DIDÁCTICA PROVIENE DE SU APLICABILIDAD, aunque no sea inmediata, en el ámbito educativo, por encima de corrientes o modas imperantes. Así, pues, desde mi punto de vista y sin intención de ser categórico, considero que un trabajo o una investigación didáctica adquiere un interés objetivo SI PROCURA MEJORAR, DIRECTA O INDIRECTAMENTE, cualquiera de las variables, estamentos, segmentos o factores en general que intervienen en EL FENÓMENO EDUCATIVO. Tal mejora puede significar el intento de presentación de alternativas a situaciones o teorías que no funcionan, el desarrollo de ejemplos que pongan de relieve la bondad de ciertas teorías, avances en la fundamentación de éstas, el desarrollo de instrumentos que permitan o faciliten otras investigaciones, y, en general, la profundización en la comprensión de cualquier interrogante que tenga que ver con el proceso de enseñanza-aprendizaje.

ESTE TRABAJO HA TENIDO SIEMPRE DE FONDO UN PLANTEAMIENTO SOBRE SU CONVENIENCIA DENTRO DE LA FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE DEL PROFESORADO, entendiendo esta formación como un medio (no como un fin) para mejorar las condiciones de la enseñanza, lo que a su vez debe enmarcarse dentro de unos objetivos relativos a la consecución de ciudadanos más felices, comprometidos, críticos, justos e integrados en la sociedad. Al mismo tiempo, es deseo del investigador mostrar el proceso, no sólo los resultados, lo que obedece a dos motivos. De un lado, la crítica, que comparto, de la habitual presentación de resultados finales en las clases de matemáticas debe verse correspondida en el campo de la didáctica por la explicitación del proceso metodológico, con sus progresos y obstáculos. De otro lado, EL PROPIO PROCESO ES UN RESULTADO DE LA INVESTIGACIÓN y como tal debe ser considerado (a veces, el proceso es mucho más generalizable o aplicable, aunque con adaptaciones, que otro tipo de resultados).

I.2. MARCOS DE LA TESIS: CONCEPCIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Volviendo a la Formación del Profesor, hay dos parcelas que han merecido mi atención: concepciones y resolución de problemas. Si el objetivo es mejorar la enseñanza a través de una mejor cualificación del profesor, es inevitable aproximarse a sus concepciones (a menos que se pretenda imponer una cualificación que, como es por todos sabido, resulta absolutamente ineficaz):

"Para entender la enseñanza desde la perspectiva de los profesores hemos de comprender las creencias con las que ellos definen su trabajo" (Nespor, 1987, p. 323).

Abundando en esta idea, puedo reseñar una frase pronunciada por RV, una de las profesoras analizadas en el estudio de casos que se describe en I.4., al preguntársele cómo podrían mejorarse los resultados de aprendizaje, frase que respalda la idea de que las concepciones son como un filtro:

"...Tú tienes que buscarte una Didáctica con tu carácter, tú no puedes hacer cosas que contigo no vayan, vamos. Y a veces lo intentas hacer bien, pero no son cosas que tú..., que vayan contigo..., tú no estás natural en la clase, entonces eso también influiría..."

Asimismo, Ernest (1989a) apuntó que, entre los muchos ELEMENTOS FUNDAMENTALES QUE INFLUENCIAN LA PRÁCTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, tres son los más notables:

"- Los contenidos o esquemas mentales de los profesores, particularmente el SISTEMA DE CREENCIAS CONCERNIENTE A LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE.

- El contexto social de la situación de enseñanza, particularmente las limitaciones y oportunidades que provee.

- El NIVEL DE REFLEXIÓN Y DE LOS PROCESOS DE PENSAMIENTO DE LOS PROFESORES." (p. 99) [1]

De entre las líneas de investigación en Educación Matemática seguidas en las dos últimas décadas, podríamos resaltar el estudio y caracterización de las concepciones de los alumnos, errores de aprendizaje y obstáculos epistemológicos; el análisis e identificación de los hábitos o usos didácticos que, de manera implícita, establecen determinadas pautas de comportamiento socialmente establecidas en las aulas, por profesores y alumnos; la búsqueda y construcción de situaciones didácticas que puedan determinar un conocimiento matemático concreto y el estudio de las concepciones, creencias o conocimientos del profesor sobre la Matemática y la Educación Matemática, que constituirían su eventual conocimiento profesional específico (Carrillo y Contreras, 1993).

Pues bien, estimo que posee relevancia, además del estudio sobre concepciones y sobre los procesos de pensamiento de los profesores (elementos remarcados por Ernest), el estudio de las posibles interrelaciones entre dichos elementos, lo cual he acometido en este trabajo. Más aún, aparte de la relevancia del estudio de las CONCEPCIONES DE LOS PROFESORES a nivel general, su consideración dentro del marco de la tesis ha sido totalmente necesaria, pues había que encontrar RASGOS DIFERENCIADORES, entre los profesores, QUE PUDIERAN SER ASOCIADOS A SUS MODOS [2] DE RESOLVER PROBLEMAS. Aunque inicialmente se pensó en una clasificación según su experiencia (por ejemplo, docente), luego se vio más adecuada una caracterización según sus concepciones, pues podría aportar datos más significativos en relación con el estado actual de los procesos cognitivos y metacognitivos, con independencia incluso de la procedencia de dichas concepciones (procedencia en la que evidentemente participa la experiencia, en particular la docente, la formación inicial y otras muchas variables).

La concepción del fenómeno educativo como una realidad compleja y su estudio desde una perspectiva sistémica, ha permitido que los paradigmas de investigación enunciados anteriormente vayan adoptando un enfoque mixto, entendiendo que un determinado ámbito de investigación puede aportar enfoques adicionales a los otros.

(gráfico 1)

Podría objetarse un olvido del papel que desempeña el conocimiento matemático del profesor, al menos en apariencia, aunque ello no es así. De hecho, Ernest (1989) incluye el conocimiento matemático dentro de los contenidos, si bien otorgándole menor relevancia que a las creencias o a las concepciones sobre la matemática y su enseñanza [3].

Es ésta una de las razones que avalan de forma contundente la importancia de la consideración de las concepciones de los profesores si se pretende un cambio educativo, lo que hace asimismo necesario su estudio por parte de los investigadores [4].

Por otra parte, si queremos que en las aulas se haga resolución de problemas (según sugieren las nuevas propuestas curriculares y puede inferirse de una teoría constructivista del aprendizaje), resulta de especial interés todo aquello que esté relacionado con la preparación del profesor en resolución de problemas. Éste ha sido mi interés durante mucho tiempo, en el que me he preocupado, como profesor, como ponente en cursos de Formación Permanente y como investigador, de profundizar en aspectos de la Resolución de Problemas, buscando factores que pudieran mejorar tanto la actuación de los alumnos como la de los propios profesores, pues estoy convencido (coincidiendo con Elstgeest, Goffree y Harlen, 1993) de que la vivencia personal de aprendizaje es uno de los mejores medios para poner en práctica en el aula cualquier estrategia metodológica, por delante de discursos informativos más o menos próximos a las inquietudes y creencias del profesor. (Es así que la preocupación didáctica se ha convertido en tópico de investigación, al tiempo que en apasionante dedicación.) [5]

Respecto a la importancia del estudio de relaciones entre los procesos de pensamiento de los profesores y sus concepciones, he de decir, por una parte, que dichos procesos tienen una clara manifestación en la forma de resolver problemas de los profesores [6], y, por otra, que, aunque en este trabajo no he abordado las concepciones de los profesores sobre la resolución de problemas en el aula, sino sus modos de resolver problemas, parece lógico pensar que cambios en dichas concepciones pueden activar cambio en los modos y viceversa. Este hecho adquiere relevancia dado que es evidente que optar por la resolución de problemas, según la concepción de la Teoría del Significado, como estrategia metodológica básica, al mismo tiempo que concebir la Ciencia en continua evolución, implica tener que adoptar, como profesor, decisiones coherentes sobre:

- objetivos

- contenidos

- papel del alumno

- papel del profesor

- metodología

- organización de la clase

- evaluación

- ...

Por si no hubiera ya muchas, es preciso añadir una dificultad: tal opción no puede ser decisión administrativa, ha de contar con el profesor, depende, y mucho, de la concepción que éste tenga tanto de la Matemática como de la enseñanza de ésta.

Este trabajo debe entenderse en todo momento como un ser vivo; además de su estado actual, tiene un antes y un después, no acaba aquí y ahora, es sólo (es lo que deseo) un elemento más que contribuye a acercarnos a la realidad educativa de una forma más comprensiva.

Soy de los que piensan que existe una relación importante entre las concepciones y los modos de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Hart, 1991; Carrillo y Contreras, 1994), en el sentido de que éstos pueden proporcionar datos sobre aquéllas y, asimismo, pueden servir de INSTRUMENTO PARA su eventual MODIFICACIÓN [7], lo cual nos habla de una posible continuidad del estudio [8].

I.3. FINALIDAD DE ESTA INVESTIGACIÓN. OBJETIVOS

En otro orden de cosas, de manera muy general, podemos distinguir DOS GRANDES BLOQUES DE INVESTIGACIONES en relación con el desarrollo profesional del profesor. Por una parte, hemos de considerar las investigaciones destinadas primordialmente a aportar RESULTADOS METODOLÓGICOS, es decir, investigaciones cuyo objetivo principal es contribuir al desarrollo de instrumentos o métodos de investigación que permitan conocer mejor al profesor. Por otra parte, están las investigaciones que tratan de obtener información sobre las CLAVES DEL DESARROLLO PROFESIONAL, intentando encontrar elementos que propicien una eventual transformación del profesor y aportando en algunos casos recursos para ello. No es extraño, por otra parte, encontrar investigaciones que presentan resultados pertenecientes a los dos bloques o al menos tratan de obtenerlos, como es el caso de la presente, en la que SE PRETENDE MOSTRAR ALGUNAS RELACIONES DE INTERÉS ENTRE CONCEPCIONES Y MODOS DE RESOLVER PROBLEMAS, ASÍ COMO INSTRUMENTOS METODOLÓGICOS PARA LA INVESTIGACIÓN EN AMBAS PARCELAS.

En la coincidencia con aquellos que piensan que deberíamos enfocar nuestros esfuerzos en el desarrollo profesional (referido a bajo qué condiciones cambia el profesor), más que en aspectos metodológicos, considero necesario ir obteniendo instrumentos de investigación que, sobre todo en lo que se refiere a los estudios cualitativos, permitan caracterizaciones cada vez más finas y objetivables, lo que además facilita una fructífera comunicación entre investigadores. Más aún, estimo peligroso dejar de lado los aspectos metodológicos, ya que podría conducir a una falta de rigor en los resultados [9]. Por tanto, aunque nuestras miras deben estar puestas en el progreso profesional, siendo los aspectos metodológicos un paso ineludible para conseguir dicho progreso, éstos no deben menospreciarse, lo que no quita que debamos conceder trascendencia a las investigaciones que intenten encontrar claves del progreso profesional, que nos den alguna luz sobre qué resortes tocar para que se produzca una regeneración, renovación o cambio en el profesor. A todo ello hay que añadir la necesidad de desarrollar más investigaciones tanto empíricas como teóricas relativas al progreso profesional. Por otro lado, no debemos menospreciar tampoco las investigaciones que, desde un plano teórico, se reducen a sugerir ideas al respecto, aunque deban ser contrastadas posteriormente.

Ahora bien, dentro de la complejidad que entraña el desarrollo profesional y bajo una óptica constructivista, opino que un verdadero desarrollo sólo es posible tras la explicitación de las propias concepciones o creencias (sobre la matemática y su enseñanza). Por esta razón, concedo mucha importancia a las concepciones, no sólo a la hora de buscar las claves generales del progreso profesional (aplicables en principio a cualquier profesor), sino a la hora de individualizarlas y adaptarlas a las necesidades de cada uno. Podríamos olvidar las concepciones del profesor, pero jamás podríamos evitarlas, pues son parte de su personalidad. No podemos, pues, prescindir de esas creencias, que actúan como las ideas previas de los alumnos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, si pretendemos que nuestro diseño de formación tenga el efecto deseado. Así, las concepciones, con entidad suficiente como para convertirse en punto de partida del eventual trabajo con el profesor encaminado a mejorar su práctica docente, son al mismo tiempo un espejo en el que se va reflejando el progreso del profesor en su posicionamiento epistemológico profesional.

Por ello, el ser las concepciones un elemento vertebrador de la evolución profesional y, por otra parte, ser la resolución de problemas una metodología aconsejable como propulsora del quehacer y la construcción de conocimiento matemático, conceden interés al estudio de sus posibles relaciones como punto de partida de la mejora en ambos campos. Si a esto se añade lo que Thompson (1992) refiere sobre la consistencia entre creencias y práctica:

"En su mayoría, los estudios sobre relaciones entre las creencias de los profesores sobre la enseñanza y su práctica docente han examinado la congruencia entre las creencias profesadas de los profesores y la práctica observada. Los resultados no han sido tan consistentes... como los resultados sobre la relación entre las concepciones sobre la naturaleza de la matemática y la práctica docente. Algunos investigadores han informado de un elevado grado de acuerdo..., mientras que otros han informado de agudos contrastes" (p. 137) [10], aparece un atractivo campo de exploración e investigación en lo que concierne, no a la concepción de la matemática en abstracto, sino a la concepción de la matemática emergente de la concepción profesada de la enseñanza de la matemática, en relación o no con aspectos propios del conocimiento matemático del individuo (cual es su perfil como resolutor de problemas) [11].

[Cuadro 1]

OBJETIVOS

Consecuentemente, dentro del amplio marco del modelo mental (operativo para la Formación del Profesor a través de la resolución de problemas), hay que hablar de un propósito fundamental, ya nombrado, que consiste en detectar posibles relaciones, en los sujetos estudiados, entre sus concepciones sobre la Matemática y su Enseñanza y su modo de resolver problemas. Éste es el fin (ver cuadro 2) que ha guiado todo el trabajo y, aunque no he pretendido en ningún momento extrapolar los resultados, sí estimo que el método seguido puede ser aplicable en otros casos y que los propios resultados pueden servir para reflexionar sobre dichas relaciones.

A este objetivo hay que añadir otros dos fundamentalmente:

- Aportar instrumentos que sirvan para una mejor caracterización de la tendencia didáctica de un profesor y de su concepción de la matemática.

[Cuadro 2]

- Aportar instrumentos que sirvan tanto para evaluar detalladamente protocolos de resolución de problemas como para caracterizar de forma pormenorizada el modo de resolver problemas.

Los fines que esta investigación ha perseguido, así como los objetivos específicos que acabo de mencionar, están sintetizados en el cuadro 2, que está organizado por niveles de menor a mayor concreción.

I.4. CARACTERIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

Los instrumentos diseñados, desarrollados y puestos en práctica a lo largo de la elaboración de este trabajo deben ser situados dentro de una metodología de investigación específica y dentro del convencimiento de que la Didáctica de la Matemática es una verdadera ciencia social y que, por lo tanto, puede incluirse dentro de las Humanidades, al igual que dentro de la propia Matemática (Jiménez y otros, 1994).

En lo que atañe a la forma de obtener DATOS RELATIVOS AL MODO DE RESOLVER PROBLEMAS, el método ha consistido en proponer problemas, dando 40 minutos para su resolución por escrito (teniendo el resolutor la posibilidad de grabar en audio simultáneamente los comentarios que estimara conveniente para que el PROTOCOLO fuera más completo y fidedigno), a cada uno de los cuales seguía una ENTREVISTA con el propósito de aclarar el protocolo; a esto hay que añadir las respuestas a un CUESTIONARIO general. Es decir, el modo de resolver problemas se ha analizado a partir fundamentalmente de las propias resoluciones, no de sus opiniones sobre cómo los resuelven.

De otro lado, aunque los instrumentos (CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS) PARA LA OBTENCIÓN DE DATOS PARA EL ANÁLISIS DE CONCEPCIONES han sido diseñados cuidadosamente, con la intención de lograr datos fiables, soy consciente de que el carácter implícito de estas concepciones hace que su identificación sea compleja y que cualquier sistema tendente a su explicitación, mediante verbalización, esté condicionado y mediatizado por diversos factores intrínsecos o extrínsecos (Llinares y Sánchez, 1990). Además, el carácter interactivo (teórico-práctico) del conocimiento profesional puede conducir al profesor a expresar ideas que éste considera deseables y que aún no caracterizan su práctica [13]. Esta razón, unida a la escasa toma de conciencia de sus propias concepciones, justifica la inconsistencia entre la manifestación verbal de éstas y las inferidas a partir de la observación de la práctica docente (Thompson, 1984).

Es por ello que no he trabajado con las concepciones obtenidas como si fueran las concepciones reales ni ha sido mi propósito llegar a ellas, puesto que el objetivo final de esta tesis es indagar sobre relaciones, a nivel mental (inmerso en el modelo mental), entre concepciones y modos de resolver problemas, así como la obtención de instrumentos de análisis de concepciones y modos de resolver problemas que permitan un estudio cada vez más riguroso, como ya se ha comentado. Tal objetivo se halla enmarcado en una de las DOS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN SOBRE LAS CREENCIAS MATEMÁTICAS DE LOS PROFESORES QUE THOMPSON (1992) ACONSEJA: "EXAMEN DE DATOS EXPRESADOS VERBALMENTE ADEMÁS DE LOS OBTENIDOS A PARTIR DE LA PRÁCTICA DOCENTE O DE LA CONDUCTA MATEMÁTICA" (p. 135). La mayor parte de los estudios suelen recomendar la observación del profesor en el aula como un elemento de contraste de las informaciones obtenidas por otros procedimientos. No obstante, los estudios que han utilizado este método de obtención de datos no ocultan las enormes dificultades que conlleva y discuten su rentabilidad (Canavarro, 1993; Guimaraes, 1988), sobre todo cuando ya se ha seleccionado una variable externa (conocimiento matemático) para establecer comparaciones. Parece pertinente, por tanto, la búsqueda de elementos de estudio que, garantizando un tipo de información cuya fiabilidad sea equiparable a la obtenida por la observación, pueda eludirla. EN LA SEGUNDA DE LAS LÍNEAS ANTES CITADAS HEMOS DE SITUAR EL PROPÓSITO DE LA TESIS: DATOS VERBALES QUE CONDUCEN A UN TIPO DE CONCEPCIONES EN RELACIÓN CON LA CONDUCTA MATEMÁTICA (MANIFESTADA A TRAVÉS DE UNA DE SUS COMPONENTES, LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS) [14].

Además de lo anterior, la dedicación a investigaciones de este tipo es consecuencia de la existencia de profesores (la gran mayoría) que no se hallan dispuestos a involucrarse en programas de desarrollo profesional de alto compromiso, en muchos casos por motivos ajenos a su deseo de mejora profesional; sin embargo, estos profesores están insatisfechos con sus logros docentes y predispuestos, probablemente, a una paulatina dedicación a labores de formación. Para ellos también debemos diseñar estrategias de formación y estimo que un primer paso es el diseño de instrumentos que permitan acercarnos a su modelo mental. Éste es tan sólo el primer eslabón de una cadena que, en muchos casos, conducirá a que estos mismos profesores adquieran un compromiso cada vez mayor con su desarrollo profesional.

Asimismo, como ya he resaltado, el contexto social de la situación de enseñanza es para Ernest (1989) uno de los elementos que ejercen más influencia en la práctica docente, de ahí que el propio Ernest diferencie entre el modelo expuesto y el modelo en acción de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas [15]. Según qué tipo de profesores es necesario aproximarse en primer lugar al modelo expuesto de forma rigurosa y respetuosa, para posteriormente ir obteniendo información sobre el modelo en acción (una de cuyas limitaciones proviene precisamente de su propia idiosincrasia, del hecho de depender del contexto social), lo cual posibilitará a profesor e investigador la introducción de elementos de mejora profesional adecuados al contexto.

Todas las pretensiones anteriores pueden tener múltiples lecturas desde la perspectiva de la metodología global de la investigación. A tal respecto, es claro que podría haberme decantado por un análisis cuantitativo en lugar de elegir, como he hecho, un estudio cualitativo de la información [16]. Pues bien, estoy convencido de que, no sólo no debemos menospreciar (como se viene haciendo con demasiada asiduidad últimamente) los análisis cuantitativos, sino que debemos incentivarlos en determinados campos de la investigación, entre los que destacaría los estudios comparativos entre países sobre concepciones de alumnos y profesores. Ahora bien, cuando se pretende ir dando pasos hacia una profundización en la comprensión de algunas claves del desarrollo profesional, una vez que los estudios cuantitativos (o/y las intuiciones) han puesto de manifiesto el estado general, son los análisis cualitativos los que más se aproximan al individuo concreto, ajeno a medias y desviaciones típicas [17].

Para tal análisis he seguido fundamentalmente a Lincoln y Guba (1985), Bardin (1986), Wittrock (1986) y Goetz y LeCompte (1988).

Éstos últimos diferencian la etnografía como producto ("descripción o reconstrucción analítica de escenarios y grupos culturales", p. 28) y como proceso ("una forma de estudiar la vida humana", p. 28), considerándola como un modelo de investigación. Siguiendo a Goetz y LeCompte, los supuestos inmersos en los modelos de investigación pueden conceptualizarse en función de cuatro dimensiones: "inductivo-deductiva, subjetivo-objetiva, generativo-verificativa y constructivo-enumerativa" (p. 29). Sitúan la investigación etnográfica [18], en general, cercana a lo inductivo [19], subjetivo [20], generativo [21] y constructivo [22]. Consecuentemente, mis objetivos, como ya he reseñado, son: mejorar la explicación de fenómenos humanos en base a unas categorías que se han ido perfilando en función de los profesores analizados (sin pretender corroborar nada establecido), y descubrir algunas claves del desarrollo profesional.

Asumo los riesgos de la investigación cualitativa y también alabo sus bondades [23]. Está amenazada de subjetividad, pero se refiere a detalles profundos de personas concretas. Además, dicha subjetividad está contrarrestada parcialmente por la cooperación de otros investigadores en el estudio.

He pretendido dar rigor a los diversos momentos del proceso de investigación, diferenciando su tratamiento. Es así que CADA INSTRUMENTO POSEE UN ORDEN DETERMINADO:

- INSTRUMENTOS DE PRIMER ORDEN (RECOGIDA DE DATOS): CUESTIONARIOS, ENTREVISTAS Y PROBLEMAS, distinguiendo el propio cuestionario, la entrevista o el enunciado escrito del problema de las respuestas dadas y el protocolo escrito del problema.

En este primer orden se incluye el proceso de obtención de la constatación escrita de la información. Las entrevistas han sido grabadas en audio y los individuos han dispuesto también de grabadora durante el abordaje de cada problema (aunque ha sido poco empleada en general en este último caso). La transcripción de las entrevistas ha sido literal y los cuestionarios y protocolos no han sido sometidos a más manipulación que la de ser fotocopiados.

Los cuestionarios han sido abiertos y las entrevistas semiestructuradas, persiguiendo siempre el objetivo de obtener información clara, no sujeta a los patrones marcados por preguntas cerradas.

- INSTRUMENTOS DE SEGUNDO ORDEN (ANÁLISIS DE LOS DATOS): CATEGORÍAS E INDICADORES QUE PERMITAN LA INTERPRETACIÓN POSTERIOR DE LA INFORMACIÓN DE FORMA DETALLADA.

- INSTRUMENTOS DE TERCER ORDEN (PRESENTACIÓN CLASIFICADA E INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS).

Una vez se dispone de los datos y se sabe qué se pretende analizar y en función de qué categorías (aunque éstas no se hallen definitivamente perfiladas o cerradas), PROCEDE LA DISTINCIÓN DE LAS UNIDADES DE INFORMACIÓN (EN CUESTIONARIOS Y ENTREVISTAS) Y DIVISIÓN DE LOS PROTOCOLOS DE RESOLUCIÓN EN EPISODIOS.

Dice Bardin (1986) que la unidad de registro (así es como la llama) es

"la unidad de significación que se ha de codificar. Corresponde al segmento de contenido que será necesario considerar como unidad de base con miras a la categorización y al recuento frecuencial. La unidad de registro puede ser de naturaleza y tamaño muy variables. Reina una cierta ambigüedad en cuanto a los criterios de distinción de las unidades de registro..., el criterio de descomposición en el análisis de contenido [se refiere a que no es análisis de la expresión] es siempre de orden semántico, si bien existe a veces una correspondencia con las unidades formales." (p. 79)

Dentro de la ambigüedad intrínseca a la definición de unidad de información he estimado conveniente precisar un poco sus fronteras. Así, pues,

defino UNIDAD DE INFORMACIÓN como aquellos enunciados correspondientes a una misma pregunta base con una ligazón sintáctica o/y semántica. Por tanto, podemos encontrarla dentro de una respuesta concreta o a través de varias respuestas coordinadas. Además, en una unidad de información, el sujeto puede ofrecer datos sobre uno o más parámetros (indicadores de las categorías).

El objetivo básico de dividir los protocolos en episodios ha sido el de poseer un vehículo de localización fácil de los comentarios realizados en análisis e informes. A este objetivo hay que añadir el de la coherencia del mismo protocolo respecto a los momentos de transición entre fases o decisiones importantes, pero este objetivo se ha visto siempre subordinado al primero.

El siguiente paso es interpretar las unidades y episodios y partes significativas en relación con los indicadores. Tras esto, aparecen los indicadores acompañados de las anteriores justificaciones.

- INSTRUMENTOS DE CUARTO ORDEN (PRESENTACIÓN FINAL): INFORMES.

EN ESTOS INFORMES SE INCLUYE LA BÚSQUEDA DE RELACIONES Y PROPIEDADES Y EL ÉNFASIS EN ASPECTOS DE ESPECIAL INTERÉS. Su versión final ha venido precedida de una fase de consenso en el caso del análisis de las concepciones. Dicha fase se hizo posible a través de una entrevista en la que cada sujeto debía posicionarse en una de las descripciones que el investigador le facilitaba sobre cada indicador, descripciones que se ofrecían en orden de proximidad a la que el investigador suponía correspondía a dicho sujeto en ese indicador. Esta fase fue descartada para el análisis del modo de resolver problemas, pues estimé que el grado de sinceridad a la hora de reconocer posibles deficiencias en aspectos que habitualmente se dan por superados podía ser bastante bajo.

Parece claro, por tanto, que este estudio puede enmarcarse dentro de las investigaciones sobre una práctica reflexiva (Zeichner, 1993, aboga por la consideración del docente como profesional reflexivo, no como mero aplicador de criterios y designios externos), así como en el paradigma del pensamiento del profesor, aunque sólo pretenda dar un primer paso en el camino del desarrollo profesional. Zeichner (1994) nombra varios tipos de práctica reflexiva en Estados Unidos: la académica, uno de cuyos principales exponentes es Shulman (1986, 1987), en la que predominan las decisiones del profesor respecto a los cambios en el contenido de la materia; la enfocada en la eficiencia social, en la cual la labor del profesor es aplicar los resultados de investigaciones sobre la enseñanza ajenas a él (Good, 1990); la desarrollista, en la que se pone el énfasis en la comprensión de los intereses, pensamiento y desarrollo de los alumnos (Duckworth, 1987); la de reconstrucción social, encabezada por Kemmis (1985), en la que las condiciones escolares son tomadas de forma crítica y la formación se concibe como una acción encaminada a la construcción de una sociedad más justa y humana; y la genérica, en la que lo importante es en sí la práctica reflexiva, no importando dónde se pone el énfasis, pues en tal contexto las acciones de los profesores serán más razonadas en cualquier caso (Valli, 1990).

Mi opinión personal es que todo investigador o equipo de investigación posee unas metas u objetivos más o menos explícitos, acordes con sus concepciones sobre la vida y el ser humano, en general, que se materializan en unas concepciones sobre la finalidad de la enseñanza y su papel como trabajador de la misma. Considero conveniente que dichas concepciones se hagan explícitas, pues, por una parte, eso daría explicación a sus resultados, ofreciendo un contexto y, por ende, mejorando el poder de comunicación, y, por otra parte, evitaría muchas discrepancias que suelen surgir dentro de los equipos de investigación a lo largo de su trabajo. Creo en una práctica reflexiva encaminada a la reconstrucción social (perspectiva crítica, Carr y Kemmis, 1986). Tal meta debe dar luz a nuestras investigaciones, pero, al mismo tiempo, hemos de ser conscientes de que para obtener esa meta es preciso agotar previamente algunas etapas. Por ello, los diferentes tipos de práctica reflexiva citados por Zeichner no son excluyentes, sino todo lo contrario, para mí los tres primeros (académica, enfocada en la eficiencia social y desarrollista) y eventualmente el quinto (genérica) están incluidos en el cuarto (reconstrucción social). Al respecto suscribo y traslado a este terreno lo que Toulmin (1977) dice acerca de la separación o diferenciación de las ciencias:

"Si establecemos fronteras entre las ciencias...por sus dominios respectivos, incluso sus respectivos dominios tienen que ser identificados no por las clases de objetos que tratan sino más bien por las cuestiones que de ellos se derivan... Cualquier tipo particular de objeto caerá en el dominio de (por ejemplo) la bioquímica tan sólo si es un tópico para las correspondientes cuestiones bioquímicas" (p. 149)

Así, en lo que a la enseñanza atañe, podemos indagar sobre las actitudes o las aptitudes de los alumnos o los profesores, o sobre la influencia del contexto social, o sobre cualquier otro aspecto; no son más que diferentes lentes, no son más que diferentes tópicos de investigación sobre el mismo objeto, dirigidos todos a su mejora, entendida ésta en función del logro de una serie de objetivos que, obviamente, no son universales.

Como es natural, esta tesis es sólo un pequeño trabajo en el marco de tópicos mucho más amplios. Ya he indicado que es una investigación cualitativa y que tiene un objetivo metodológico claro en el camino hacia posteriores estudios participativos dentro de una perspectiva crítica. Ahora bien, se puede mirar una investigación desde muchas perspectivas, una de las cuales es la que se ofrece en Howson y Wilson (1986), donde se resalta una función integradora de distintos focos de investigación: contenidos matemáticos, enseñanza y aprendizaje, tecnología, contextos del aprendizaje, procesos de cambio, práctica educativa y construcciones teóricas. A tal respecto, este trabajo se sitúa en el foco de investigación sobre los procesos de cambio (desarrollo profesional, formación inicial y permanente del profesorado).

También podemos clasificar el modelo de investigación según otros parámetros. Arnal, Del Rincón y Latorre (1992) señalan algunos modos: según la finalidad (básica y aplicada), según el alcance temporal (transversal o longitudinal), según la profundidad u objetivo (exploratoria, descriptiva, explicativa o experimental), según el carácter de la medida (cuantitativa o cualitativa), según el marco en que tiene lugar (de laboratorio o de campo), según la concepción del fenómeno educativo (nomotética o idiográfica), según la dimensión temporal (histórica, descriptiva o experimental) y según la orientación que asume (comprobación, descubrimiento o aplicación). Algunos de estos parámetros ya habían sido mencionados. Según los modos citados, tanto en este párrafo como en anteriores, el VECTOR QUE CARACTERIZARÍA ESTA INVESTIGACIÓN SERÍA:

(Inductiva, Subjetiva, Generativa, Constructiva, Básica,Transversal, Descriptiva-Explicativa, Cualitativa, de Laboratorio, Idiográfica, Descriptiva, Descubrimiento),

haciendo notar que no se descartan pistas sobre explicaciones de tipo algo más general, así como la ampliación del conocimiento sobre las claves del desarrollo profesional, aspectos ambos que dan a la investigación cierta pretensión nomotética.

Asimismo, dentro del referido paradigma del pensamiento del profesor, fundamentado, según Shavelson y Stern (1983), en las hipótesis de que los profesores son profesionales racionales que realizan juicios y toman decisiones en un entorno complejo e incierto, y de que el comportamiento del profesor está dirigido por sus pensamientos, juicios y decisiones, Pagés (1993) distingue dos enfoques: el cognitivo (que abarca tres categorías: planificación, pensamientos y decisiones interactivas y teorías y creencias del profesor) y el alternativo (sucesor de la investigación-acción de Stenhouse (1984) y Elliot (1993) [24], el conocimiento en la acción, la reflexión en la acción y la reflexión sobre la acción de Schön (1987) y el modelo ecológico de Doyle (1985)). Entiendo que esta investigación se halla dentro del enfoque cognitivo, aunque como paso previo al alternativo.

En otros términos se expresan Reynolds y Salters (1995). Ellos hablan de modelos de competencia en relación con modelos de formación y distinguen los siguientes: el conductista (Gagné, 1965), basado en la combinación de partes discretas y en el aprendizaje de las tareas (de enseñanza en nuestro caso) a través de asociación y refuerzo; el también conductista (Medley, 1984), con énfasis en la reflexión acerca de las experiencias llevadas a cabo y en los procesos y la resolución de problemas, pero, al igual que el primero, suponiendo que el entrenamiento en conductas deseables garantiza un aprendizaje apropiado; y el holístico (Black y Wolf, 1990), que entiende que el conocimiento y la comprensión son factores esenciales de competencia, además de la experiencia y la habilidad ejecutiva. Creo haber dejado ya suficientemente claro que el objetivo último de la formación del profesorado debe ser, no cambiar su forma de actuar, sin más, sino provocar eventualmente dicho cambio a través de una mejor comprensión del fenómeno educativo y, por consiguiente, a través de la adecuación de sus concepciones, de su propia conducta docente y, en suma, a través de la adecuación de su conocimiento profesional, lo que sitúa mi posición en el último modelo.

I.5. LA MUESTRA [25]

Hablar de la muestra es, en parte, hablar del proceso que he llevado a cabo desde los preludios de la tesis hasta su definitiva elaboración.

Los primeros que padecieron los rigores de mi observación no fueron profesores, sino alumnos de 3º de B.U.P., en concreto, dos alumnas, Antonia Mª y Nuria, a las que siempre agradeceré su entusiasta colaboración. Grabé varios protocolos de resolución de problemas, que intentaban resolver pensando en voz alta. Ese trabajo, que quizás vea su continuidad en el futuro, tenía como objeto explorar estilos heurísticos de alumnos, pero mi investigación iba a adquirir otros derroteros. Por supuesto que analizar las formas de resolver problemas que poseen los alumnos es interesante, sin duda, pero quería actuar directamente sobre el elemento que, desde mi punto de vista, ejerce más influjo en la enseñanza, el profesor.

¿Y qué tipo de profesores? Al principio me interesó cualquier profesor que tuviera o hubiera tenido recientemente experiencia docente en ámbitos no universitarios en el área de matemáticas. Así es como surgen AG (que abordó una batería de problemas), FG (que abordó una batería de problemas y respondió a cuestionarios sobre la matemática y su enseñanza), CO (idem FG), JCB (idem FG), MG (que resolvió un problema), JV (idem FG), JB (idem AG), PM (idem FG), MM, JMA, AR, JJC, FA, IS y JC (profesores que respondieron a cuestionarios sobre la matemática y su enseñanza) y 24 profesores más que de forma anónima respondieron a tales cuestionarios. El objetivo fue, en lo que respecta a las concepciones, por una parte, estudiar la viabilidad de los cuestionarios y sugerir eventuales modificaciones, y, por otra, ir conformando las categorías e indicadores para el estudio posterior con los individuos tesis, al mismo tiempo que mejorar el adiestramiento en el análisis de la información. En cuanto a la resolución de problemas, el objetivo fue analizar el juego que daban diferentes clases de problemas, así como ir esbozando un instrumento de valoración de las características de los resolutores y, como en el caso anterior, incrementar el adiestramiento en el análisis de protocolos de resolución de problemas. Asimismo, 8 alumnos del CAP respondieron a los cuestionarios y además se obtuvo información adicional sobre la mayoría de los reseñados con código, como la opinión de sus alumnos sobre su papel como profesor, y algunos fueron grabados en vídeo durante una clase. Esta información fue marginada posteriormente a lo largo de la investigación, en función de los objetivos trazados. En suma, las DIFERENTES MUESTRAS PREVIAS SIRVIERON PARA CRIBAR INSTRUMENTOS DE RECOGIDA DE DATOS, CONFORMAR CATEGORÍAS DE ANÁLISIS Y ADIESTRAR AL INVESTIGADOR EN EL ANÁLISIS DE LOS DATOS.

Entre los profesores había de EGB, de BUP y de FP, dispersión que se minimizó a continuación. En general, los profesores de EGB no profundizaban en las cuestiones relativas a la concepción de la matemática, al igual que muchos profesores de FP, pues poseían una formación bastante elemental en matemáticas, por lo que decidí considerar exclusivamente aquellos profesores que tuvieran la licenciatura de Matemáticas (o de Física, como es el caso de RC) y experiencia docente en el BUP o Reforma. De esta decisión provinieron JA, FC y FD, así como los definitivos AP, CG, JR, KN, LD, PG, PN, RC y RV. Efectivamente, es 12 una cantidad que puede parecer excesiva para un estudio de casos, pero quería garantizar la participación de elementos de todas las tendencias didácticas [26] y modelos de concepción de la matemática [27]. De hecho, JA declinó continuar sometiéndose al estudio casi al comienzo, mientras que FC y FD abandonaron cuando ya tan sólo faltaba un problema, sin por ello verse menoscabado ninguno de los objetivos pretendidos en esta tesis. Precisamente, debido a estos objetivos, estimé conveniente disponer de varios elementos de cada tipo o, en su defecto, de elementos que ofrecieran indicadores de los tipos menos frecuentes en el estudio (como es el caso de la tendencia espontaneísta). En definitiva, LEJOS DE CRITERIOS DE ALEATORIEDAD, LA SELECCIÓN FUE GUIADA POR CRITERIOS DE RELEVANCIA PARA LA INVESTIGACIÓN (bastante frecuente en investigaciones etnográficas, como afirman Goetz y LeCompte (1988)).

EN UN ESTUDIO DE ESTAS CARACTERÍSTICAS, PERSONALIZADO, NO HA DE BUSCARSE LA UNIFORMIDAD, AUNQUE, POR OTRA PARTE, HAY QUE SER CONSCIENTE DE LA GRAN CANTIDAD DE VARIABLES INCONTROLADAS QUE INELUDIBLEMENTE PUEDEN TOMAR PARTE DE FORMA IMPLÍCITA. En concreto:

AP es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada, de 30 años, con 6 de experiencia docente en enseñanza media como profesor de matemáticas y ha participado escasamente en proyectos de formación permanente.

CG es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 34 años, con 5 de experiencia docente en enseñanza media y los 2 últimos en la universidad como profesor de matemáticas y ha participado durante dos años en un proyecto de formación permanente.

JR es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 32 años, con 7 de experiencia docente en enseñanza media y los 3 últimos en la universidad como profesor de matemáticas y no ha participado en proyectos de formación permanente.

KN es licenciada en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 32 años, con 7 de experiencia docente en enseñanza media como profesora de matemáticas y no ha participado en proyectos de formación permanente.

LD es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 31 años, con 4 de experiencia docente en enseñanza media como profesor de matemáticas y ha participado en algún que otro proyecto de formación permanente.

PG es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 33 años, con 5 de experiencia docente en enseñanza media como profesor de matemáticas y no ha participado en proyectos de formación permanente.

PN es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 39 años, con 15 de experiencia docente en enseñanza media como profesor de matemáticas y ha participado muy activamente en proyectos de formación permanente, incluso como ponente.

RC es licenciado en Físicas por la Universidad de Sevilla, de 38 años, con 12 de experiencia docente en enseñanza media como profesor de matemáticas y ha participado muy activamente en proyectos de formación permanente, incluso como ponente.

RV es licenciada en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, de 29 años, con 3 de experiencia docente en enseñanza media como profesora de matemáticas y ha participado escasamente en proyectos de formación permanente.

"M. Heidegger describe en 'El ser y el tiempo' el llamado 'círculo hermenéutico' (la interpretación es un proceso que va continuamente desde el todo a las partes y viceversa); según Heidegger, la interpretación arranca siempre desde una 'pre-comprensión' de la cosa a interpretar, lo que constituye el fundamento mismo de la posibilidad del conocimiento." (AA.VV., 1985, p.493)

(principio del capítulo) (índice general)

[NOTA 1] La toma de conciencia de las concepciones propias (y la de los compañeros de trabajo) puede ser un buen comienzo del viaje que conduce a una mayor cualificación profesional.

Elstgeest, Goffree y Harlen (1993) (p. 37-39) distinguen cinco tipos de conocimiento: conocimiento social (los nombres de las cosas), conocimiento físico (relacionado con la experiencia y permite la predicción), conocimiento lógico (relaciones entre conceptos), conocimiento técnico (impulsor para la adquisición de habilidades) y conocimiento profesional (permite el abordar sin miedos nuevas situaciones y otorga autonomía, siendo el nivel más avanzado).

El profesor, atascado en muchas ocasiones en un conocimiento del primer tipo, debería tender a poseer un conocimiento profesional (al igual que sus alumnos), adquiriendo así un mayor nivel de reflexión y enriqueciendo sus procesos de pensamiento.

Análogamente, Ball (1991) distingue conocimiento de matemáticas de conocimiento sobre matemáticas, definiendo el primero como conocimiento conceptual y procedimental de la materia, y el segundo como comprensión acerca de la naturaleza de la disciplina -de dónde viene, cómo cambia y cómo se establece la verdad, incluyendo lo que significa "conocer" y "hacer" matemáticas, el relativo centralismo de diferentes temas, así como lo que es arbitrario o convencional en contraposición con lo que es necesario o lógico. Se verá más adelante, a la hora de tratar las concepciones sobre la matemática, el solapamiento entre este segundo tipo de conocimiento descrito por Ball y las categorías de concepción de la matemática consideradas.

[ NOTA 2] Puede hablarse de modos o de estilos de resolver problemas. Ahora bien, me he decantado por el término modos siguiendo a Kilpatrick (1967), quien asocia estilo a perdurabilidad:

"Adoptaremos el término "modo", en lugar de "estilo", porque refleja una meta más modesta en cuanto a la identificación de cualidades descriptoras de conductas individuales en resolución de problemas en una situación específica, pero no necesariamente en una clase ilimitada de situaciones." (p. 81).

[NOTA 3] En esta misma línea hemos de referirnos a la noción de pedagogical content knowledge (Shulman, 1986, 87, 93), que puede traducirse como conocimiento de contenido pedagógico (Bolívar, 1993) o como conocimiento didáctico del contenido (Marcelo, 1993), siendo ésta una categoría intermedia entre el conocimiento disciplinar y el conocimiento pedagógico en abstracto, aunque más próxima a aquél. Así, pues, nos encontramos con una categoría en la que la investigación está en constante comunicación con la práctica educativa, categoría, por otra parte, en la que los profesores no han recibido habitualmente formación alguna.

[NOTA 4] Ya Davis (1967) era consciente de que la mayor parte de la práctica docente de cada profesor estaba basada en su sistema de creencias.

[NOTA 5] Una experiencia interesante, aunque relativa a Formación Inicial, es narrada por Raymond y Santos (1995). Éstos analizan las implicaciones positivas que se derivan de una formación en resolución de problemas sobre profesores de Primaria en formación respecto a creencias sobre uno mismo como hacedor de matemáticas y a creencias sobre conocer, aprender y enseñar matemáticas.

[NOTA 6] De hecho, Mayer (1983), desde una perspectiva psicológica, identifica pensamiento, resolución de problemas y cognición en su libro del mismo título.

[NOTA 7] Mi experiencia como participante en tareas de Formación Permanente del Profesorado me dice que la resolución de problemas, enmarcada dentro de una fundamentación y acompañada de intensos debates, puede ser un vehículo excelente para propiciar cambios sustanciales en las concepciones del profesor.

En concreto, durante el curso 1992-93 impartí un actividad de formación organizada por el CEP de Sevilla (modalidad curso), dirigida a profesores de Secundaria, bajo el título Resolución de Problemas en Matemáticas, en la que se incluía la puesta en práctica de parte de un tema bajo la óptica de la resolución de problemas, además de la iniciación en la formación de los propios profesores como resolutores de problemas. Análogamente, en el mismo período, impartí la misma actividad, pero sin puesta en práctica (aplazada para el curso siguiente por problemas de calendario), en el ámbito del CEP "Cornisa del Aljarafe" de Castilleja de la Cuesta (Sevilla).

Pues bien, en ambos cursos, tanto los asistentes como yo pudimos constatar un cambio positivo en sus concepciones sobre la enseñanza de la matemática. Dicho cambio, además de ser ostensible, se hizo objetivable en función de los resultados de la valoración por parte de los asistentes de una encuesta que les entregué al principio y al final del curso (la misma en los dos momentos). Tal encuesta, con el encabezamiento de Afirmaciones para la encuesta inicial/final, solicitaba exclusivamente la valoración de 0 a 10 de cada una de sus afirmaciones.

Dicha encuesta, así como un análisis de los resultados y de sus limitaciones puede consultarse en Carrillo (1994).

[NOTA 8] Hay algunos trabajos, como el de Yackel (1989), que ponen de manifiesto el cambio que se produce en las concepciones de los alumnos sobre el papel del profesor, su visión de qué es la matemática y su aceptación de problemas con más de una solución y de dedicar más tiempo a su resolución, cuando se involucran en tareas de resolución de problemas.

Este tipo de trabajos constituye un buen punto de partida para el planteamiento de investigaciones análogas con profesores. Una de tales investigaciones es la presentada en Schultz (1991). Se trata de un Proyecto de Resolución de Problemas, dentro una investigación constructivista, en la que Schultz concluye:

"un logro del estudio fue un modelo para la formación del profesor de matemáticas..." (p.251),

"...el número de sujetos [profesores] que expresaron creencias productivas aumentó después del curso, con un alto grado de correlación con habilidad exitosa de resolución de problemas" (p. 252).

Por supuesto, trabajar la resolución de problemas directamente con profesores no es la única forma de incidir en su desarrollo profesional y eventual cambio de concepciones. En este sentido, Ben-Peretz (1988) piensa que el terreno ideal para involucrar al profesor en su formación es el del curriculum, pues corresponde a sus problemas prácticos.

[NOTA 9] Por otra parte, si añadimos la aplicación a la enseñanza de los resultados de la investigación, y tenemos en cuenta que Pestel (1993) cifra en la falta de instrumentos de evaluación de resolución de problemas una de las posibles causas del fracaso de la enseñanza a través de la modelización, vemos de forma palpable la necesidad de desarrollar investigaciones metodológicas en esta línea.

[NOTA 10] No obstante, los estudios sobre relaciones en los seres humanos respecto a variables que dependen de su actitud y su pensamiento ofrecen frecuentes lagunas de inconsistencia. El terreno de las concepciones no se escapa de esto. Aunque Thompson (1984) constata una sutil consistencia entre las creencias profesadas sobre la matemática y la práctica, Cooney (1983, 1985) y Jones et al. (1986) muestran inconsistencia entre lo que los profesores creen acerca de la matemática, su enseñanza y aprendizaje y cómo se comportan en las aulas (citados en Underhill (1988)).

[NOTA 11] Dando por hecho que en ocasiones existe una fuerte relación entre la concepción profesada de la matemática y la práctica docente, es posible que investigaciones en el atractivo campo mencionado puedan proporcionar en el futuro algunas de las deseadas claves del desarrollo profesional.

[NOTA 12] En II.2. se hace mención a la aplicación del término modelo por Robert (1982).

[NOTA 13] Simon (1991), convencido de la escasa fiabilidad de las respuestas dadas a preguntas directas sobre el aprendizaje de la matemática, emplea tareas pedagógicas simuladas para inferir las creencias de los profesores:

"La tarea pedagógica empleada en este estudio representa la convicción del investigador de que inferir creencias acerca del aprendizaje de la participación de los profesores en tareas pedagógicas es más fiable que preguntarles qué creen acerca del aprendizaje de la matemática. En el último caso se corre un alto riesgo de que los profesores pongan en juego el lenguaje adquirido en sus cursos más que los esquemas que dirigen directamente sus decisiones pedagógicos" (p. 271)

Por su parte, Bandura (1986), desconfiando de los resultados procedentes de la observación, afirma que la gente se comporta según lo que se espera de sus acciones, por lo que su conducta se infiere mejor a partir de sus creencias que a partir de los efectos de sus acciones.

[NOTA 14] Esta línea se ve reforzada por otro comentario de Thompson (1992):

"en un estudio de las creencias matemáticas de tres profesores de bachillerato, Stonewater y Oprea (1988) informaron de una destacada consistencia interna en las creencias profesadas por cada profesor sobre la naturaleza de la verdad y el papel de la autoridad en matemáticas -dos temas centrales de la teoría de Perry (1970, 1981). Ninguna de las creencias de los profesores fue contradictoria con la estructura de pensamiento predicha por la teoría de Perry sobre la base de posición evaluada a lo largo del esquema. Esta observación nos trae la cuestión de si las creencias matemáticas de los profesores pueden predecirse a partir de su nivel de desarrollo intelectual" (p. 133).

En el próximo capítulo se hablará con más profundidad del esquema de Perry. No obstante, este trabajo se decantó por el estudio de una faceta concreta del desarrollo intelectual (el modo de resolver problemas), no por el estudio abstracto general que propicia el esquema de Perry.

[NOTA 15] Al respecto, dice Munby (1982) que, cuando hay discrepancia entre las creencias expresadas y la conducta, es porque el instrumento o el modelo fueron erróneamente elegidos.

[NOTA 16] Hay asimismo estudios que pretenden cuantificar las valoraciones cualitativas. No se trata de análisis como los de Likert (1932), en los que cada respuesta lleva asociado un número, sino de una medición de distancias en función de la preferencia entre varios enunciados (Michell, 1994).

[NOTA 17] Traslado al ámbito de la formación del profesor lo que Von Glasersfeld (1991) afirma respecto al constructivismo radical:

"el conocimiento sirve para organizar la experiencia, no para mostrar o representar una realidad independiente del que la experimenta" (p. xix)

[NOTA 18] En su libro, para Goetz y LeCompte (1988), investigación etnográfica "denota las investigaciones conocidas como etnografía, investigación cualitativa, estudio de casos, investigación de campo o investigación antropológica" (p. 29).

[NOTA 19] El propósito no es corroborar una teoría a partir de la obtención de unos datos, sino el descubrimiento de una teoría que permita dar una explicación plausible de los datos.

[NOTA 20] Las categorías se reconstruyen en función de los sujetos investigados; no se trata de la aplicación de categorías completamente externas a los sujetos.

[NOTA 21] Trata de descubrir constructos a partir de la evidencia, no de verificar proposiciones formuladas con anterioridad.

[NOTA 22] Encaminada al descubrimiento de constructos analíticos o categorías, más que a la enumeración de unidades de análisis definidas previamente.

[NOTA 23] Y me veo animado y respaldado por sugerencias como la que cita Pajares (1992): "Munby (1982, 1984) sugirió que la metodología cualitativa de investigación es especialmente apropiada para el estudio de las creencias" (p. 327), a lo que añade que algunos investigadores afirman que la metodología cualitativa es "relevante, apropiada y prometedora" (p. 327).

[NOTA 24] Llevada a una dimensión emancipadora por Carr y Kemmis (1986) y Grundy (1982, 1991).

[NOTA 25] No empleo el término muestra desde una óptica cuantitativa estadística, es decir, en ningún momento debe suponerse la pretensión de que los sujetos analizados sean representativos de la población total de profesores. En este trabajo muestra no significa más que conjunto de individuos estudiados.

[NOTA 26] Ver epígrafe II.4.

[NOTA 27] Ver epígrafe II.5.