Capítulo II

CONCEPCIONES SOBRE LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

II.1. OBJETIVOS DEL ESTUDIO DE LAS CONCEPCIONES DENTRO DE ESTE TRABAJO

II.2. TIPO DE CONCEPCIONES

II.3. RELEVANCIA DEL ESTUDIO DE LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR

II.4. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DEL INSTRUMENTO DE SEGUNDO ORDEN PARA EL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA (TENDENCIAS DIDÁCTICAS)

II.5. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DEL INSTRUMENTO DE SEGUNDO ORDEN PARA EL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA

II.6. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DE LOS INSTRUMENTOS DE PRIMER ORDEN PARA LA OBTENCIÓN DE DATOS RELATIVOS A LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

II.7. INSTRUMENTOS DE TERCER Y CUARTO ORDEN (INTERPRETACIÓN DE DATOS RELATIVOS A LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA E INFORMES). PROCESO DE ELABORACIÓN Y REVISIÓN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.1. OBJETIVOS DEL ESTUDIO DE LAS CONCEPCIONES DENTRO DE ESTE TRABAJO

 

Como ya he indicado, la motivación inicial de esta investigación no fue en absoluto la del estudio de las concepciones, aunque estoy convencido de la importancia que tiene su análisis en el marco de las investigaciones relacionadas con la Formación del Profesor. La idea original de indagar sobre posibles estilos de resolución de problemas fue conduciendo a la necesidad (a la vez que el tema resultaba cada vez más atractivo) de estudiar las concepciones. De hecho, tanto la existencia como la eventual inexistencia de estilos o modos de resolver problemas adquiere más significado cuando se refiere a grupos concretos. Así es como surge la conveniencia de analizar las concepciones, para utilizarlas como VARIABLE clasificadora y, por consiguiente, DIFERENCIADORA DENTRO DEL CONJUNTO DE LOS PROFESORES.

Evidentemente, hay otras posibles variables que pueden ser introducidas en un estudio como éste con el mismo fin. Podrían clasificarse los profesores según la edad o la experiencia docente, o según su expediente académico o profesional, o según los cursos o materias que imparten, o teniendo en cuenta su actitud hacia las cuestiones relativas a la organización escolar, o en función del contexto social del centro educativo, o... Sin desdeñar ninguna otra posibilidad, creo que puede afirmarse, sin temor a exagerar, que las concepciones son el gran filtro por el que pasa cualquier información que recibe o proviene del individuo. De hecho, dichas concepciones están compuestas y se ven influenciadas y conformadas por una cantidad ingente de aspectos, entre los que se hallan los anteriormente nombrados; ahora bien, no ha sido, ni creo que pudiera haber sido, propósito de este trabajo abarcar tal número de variables, sino analizar las concepciones en una de sus manifestaciones.

Una vez clara la necesidad de analizar las concepciones, surgió la inquietud por disponer de instrumentos de investigación que permitan un estudio riguroso y objetivable, a la vez que cualitativo. Es bastante fácil encontrar instrumentos de análisis cuantitativo de la información, los cuales son en su mayoría muy objetivos y con parámetros estadísticos de rigor (aunque a este respecto hay que añadir que su aplicación no siempre se corresponde con sus conclusiones). Sin embargo, una buena parte de los estudios cualitativos se apoya en análisis referidos a amplias y ambiguas categorías. No creo que nuestros patrones de calidad y rigor deban ser los clásicos patrones positivistas imperantes entre la mayoría de los matemáticos, pero sí estoy convencido de que no debemos rechazar los valores de calidad y rigor en nuestras investigaciones cualitativas, calidad y rigor basadas en la existencia de elementos que nos faciliten una mayor concreción de nuestras observaciones y conclusiones, a la vez que una mayor y mejor fundamentación de nuestras hipótesis, lo que conduce a que nuestro trabajo (marcado por la inevitable y deseable subjetividad) pueda ser objetivable (es decir, comprensible al detalle tanto por los individuos analizados como por otros investigadores). Esta convicción me ha llevado a intentar DISEÑAR INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DETALLADO DE LAS CONCEPCIONES sobre la matemática y su enseñanza, erigiéndose, de esta guisa, un recurso metodológico de la investigación en uno de los principales objetivos de la misma.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.2. TIPO DE CONCEPCIONES

 

Dar nombre o definir no cumple sólo el objetivo de resumir en pocas y, a ser posible, claras palabras un concepto, proceso, término, etc., sino precisar las fronteras con otros, en particular con los que se hallan cercanos.

De esta forma, las definiciones pueden considerarse (Skemp, 1981) como instrumentos útiles para delimitar las fronteras de un concepto y su relación con otros.

El terreno de las concepciones del profesor, o de los alumnos, es concretamente un campo propicio para la transgresión de dichas fronteras. En tal sentido hay que decir que los términos "creencias" y "concepciones", así como otros ("representación", "imagen mental", "teoría implícita", "constructo", "modelo", "sistema de creencias", "mapas cognitivos", "perspectiva", "ideología", etc.) han sido usados indistintamente en multitud de ocasiones. Al respecto, Bodin (1992), aunque intenta distinguirlos, concluye: "Me he debido rendir a la evidencia: se han desarrollado numerosas formas de hablar de un mismo objeto y por ello los campos semánticos se superponen exactamente" (p.22).

No obstante, cada uno de estos términos tiene un matiz que lo diferencia de los demás. Por ejemplo, el término "representación" está asociado al de "imagen mental", refiriéndose a un conjunto organizado de forma coherente de ideas e imágenes que se corresponde con una estructura mental subyacente. Por su parte, "concepción" o "constructo" enfatiza la idea de ser "elemento motor en la construcción de un saber, permitiendo incluso las transformaciones necesarias" (Giordan y De Vecchi, 1988, p.91)[1] . De otro lado, el término "teoría implícita" pone de relieve la inconsciencia [2] y puede ser identificado con "concepción" (Clark, 1988) [3] .

Para Thompson (1992), las concepciones incluyen creencias, preferencias y gustos, contienen significados, conceptos, proposiciones e imágenes mentales y están sujetas a reglas, lo que tiende a considerar las concepciones en un sentido bastante más amplio, como una disciplina.

Así, las creencias (que expresan el grado de conformidad con algo) [4] , identificadas con las concepciones por algunos investigadores, son consideradas por otros como una de las componentes de éstas, aunque de especial relevancia. Hay otros autores, como Green (1971), que prefieren hablar de "sistema de creencias", marcando de esta forma el carácter organizado y dinámico de las mismas [5] , como expresa claramente Rokeach (1968) al considerar que un sistema de creencias es algo que

"representa dentro de él, en una forma organizada psicológicamente, aunque no necesariamente lógica, todas y cada una de las incontables creencias personales acerca de la realidad física y social" (p. 2).

En sintonía con la acepción "sistema de creencias" de Green, Miles y Huberman (1984), en un intento de representar gráficamente parte del análisis realizado cuando se estudian las creencias, definen las "redes causales", que son esquemas gráficos que ponen de manifiesto las inferencias que el investigador efectúa a partir de la información que proporcionan los individuos. El nombre de red causal ha sido prácticamente absorbido por su sinónimo de "mapa cognitivo" (Jones, 1985).

Por otro lado, el término "modelo" pone de relieve la existencia de un patrón que se procura imitar consciente o inconscientemente, y es identificado por Robert (1982) con representación.

En la misma línea de "sistema de creencias" parece estar la definición que dan Sharp y Green (1975) de "ideología" del profesor:

"conjunto conectado de creencias e ideas sistemáticamente relacionadas sobre lo que deben ser los rasgos esenciales de la enseñanza... una amplia definición de la tarea y un conjunto de prescripciones para ejecutarla, todo concebido en un nivel de abstracción relativamente alto" (pp. 68-69).

Por otra parte, Becker y otros (1961) definen "perspectiva" como "un conjunto coordinado de ideas y acciones que emplea una persona cuando se enfrenta a algunas situaciones problemáticas" (p. 34).

Al respecto, Tabachnick y Zeichner (1984) enfatizan el hecho de que las perspectivas poseen acciones y no sólo predisposiciones, como las actitudes; asimismo, las diferencian de los valores por ser específicas de las situaciones y no representar creencias generalizadas. De esto, pues, se desprende que el análisis de las perspectivas incluye la observación de las acciones, mientras que dicha observación no es obligatoria en el caso de las creencias. La noción de perspectiva es usada también por Llinares (1992), aunque no como específica de una situación concreta, sino de lo que llama "idea núcleo" ("principios, fundamentos, ideas básicas a través de las cuales se apoya y se articula el sistema conceptual del estudiante para profesor en relación a los "objetos" considerados", p. 66).

En lo referente a esta investigación, emplearé la noción de "concepción" como una de las componentes del modelo mental (ya definido en la introducción), aunque podrían usarse indistintamente otros términos.

La hipótesis inicial de posible existencia de relaciones entre estilos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza fue perfilándose progresivamente hasta convertirse en una hipótesis más fundamentada, en base ya al estudio de algunos casos. Esta hipótesis, que podríamos denominar hipótesis directriz de la tesis, debido al hecho de haber servido de base al objetivo impulsor de la misma, enmarca la posible existencia de relaciones, suponiendo que se darán (o es interesante ver si se dan) a un nivel que podríamos llamar mental, o sea, entre las formas personales de resolver problemas y las concepciones "mentales".

Por ello, he estimado necesario definir con claridad el tipo de concepciones que son estudiadas y es aquí donde surge una delimitación propia de este trabajo. Por concepción entiendo el conjunto de creencias y posicionamientos que el investigador interpreta posee el individuo, a partir del análisis de sus opiniones y respuestas a preguntas sobre su práctica.

Así, pues, LA CONCEPCIÓN DE UN PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA (O SU ENSEÑANZA) ES EL CONJUNTO DE CREENCIAS Y POSICIONAMIENTOS SOBRE LA MATEMÁTICA (O SU ENSEÑANZA) QUE SUPONE EL INVESTIGADOR POSEE EL PROFESOR, TRAS EL ANÁLISIS DE SUS OPINIONES Y DE LAS RESPUESTAS A PREGUNTAS SOBRE SU PRÁCTICA RESPECTO A TEMAS RELATIVOS A LA NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA (O DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA).

No pretendo extenderme en el estudio de los diferentes tipos de concepciones existentes en la literatura de investigación [6] , sino tan sólo hacer constar que las concepciones objeto de este trabajo son productos de naturaleza diferente de aquellas concepciones asociadas a conceptos concretos [7] . Tal es el caso de los términos "concept definition" y "concept image", empleados por Tall y Vinner (1981) y aplicados por Tall (1992) para describir la transición al pensamiento matemático avanzado; o de los términos "operational conception" y "structural conception", utilizados por Sfard (1991) para describir la doble naturaleza de los conceptos matemáticos; o bien del término "process conception", empleado por Harel y Dubinski (1991) y posteriormente por Breidenbach y otros (1992) para definir un adecuado nivel de adquisición de la noción de función (en contraposición a la noción de prefunción y de función como acción); o, finalmente, del término "objeto mental", utilizado inicialmente por Freudenthal (1983) para toda noción que no ha alcanzado el grado de formalización de un concepto matemático (incluido en el "concept image"), pero que es capaz de organizar un conjunto de fenómenos, y empleado, entre otros, por Schneider (1992) para analizar las dificultades de aprendizaje del concepto de variación instantánea. Asimismo, los propios términos "modelo" ("concepción" o "representación mental") han sido empleados en estudios análogos a los que acabo de referir [8] .

Por otra parte, en este apartado conviene insistir en que las concepciones, o incluso las propias creencias del individuo, poseen diferentes grados de convicción y no son fruto del consenso, lo que las distingue del conocimiento, que ha de satisfacer condiciones de verdad (Thompson, 1992). En este sentido, hay que decir que, si definimos conocimiento de forma clásica, como creencia verdadera bien razonada, entonces estamos situando todo tipo de conocimiento sobre la base de las creencias; estamos considerando los conocimientos como subconjunto de las creencias. Esta disquisición no es ociosa, ya que el conocimiento es relativo y, por tanto, algo que es asumido como conocimiento en un determinado momento puede posteriormente no ser más que una creencia ya superada. Independientemente de que los conocimientos sean parte de las creencias, o sean éstas conocimientos que pueden estar mal estructurados, A LO LARGO DE ESTE ESTUDIO EL TÉRMINO CONCEPCIÓN O CREENCIA SE REFIERE A LO QUE ABELSON (1979) LLAMA SISTEMA DE CREENCIAS (pero referido exclusivamente a la matemática y su enseñanza), distinguiéndolo claramente de sistema de conocimiento:

"1. Los elementos (conceptos, proposiciones, reglas, etc.) de un sistema de creencias no son fruto del consenso...

...2. Los sistemas de creencias se refieren parcialmente a la existencia o no de ciertas entidades conceptuales...

...3. Los sistemas de creencias incluyen con frecuencia representaciones de "mundos alternativos"...

...4. Los sistemas de creencias dependen en gran medida de componentes evaluadoras y afectivas...

...5. Los sistemas de creencias son proclives a incluir gran cantidad de material episódico...

...6.El conjunto de contenido a incluir en un sistema de creencias suele ser muy "abierto" [difícil establecer fronteras]...

...7. Las creencias pueden poseerse con un grado variable de certeza." (p.356-360) [9]

Aunque los diversos modos de adquirir el conocimiento (sensación, percepción, imaginación, memoria, concepto, juicio, razonamiento), desde la psicología, son compatibles con el proceso de formación de las creencias [10] , y aunque el valor y la posibilidad del conocimiento, dentro de la metafísica, son parangonables con los propios de las creencias, encontramos, en lo que concierne a la lógica, la diferenciación más relevante: los criterios del conocimiento permiten distinguir verdad y error y son dilucidados por aquélla [11] .

Al respecto, escribe Pehkonen (1994) que, para Green (1971), los sistemas de creencias mantienen una relación cuasi-lógica entre las creencias que los componen, es decir, cada persona posee unas creencias primarias y otras derivadas de ellas, creencias que no han de guardar coherencia entre sí. Hay que insistir en que se trata de creencias personales y que el individuo suele ser consciente de que otros individuos poseen creencias diferentes de las suyas. Por contra, los sistemas de conocimiento no contienen contradicciones. Es precisamente la estructura grupal de las creencias, en la que no tiene por qué haber conexión entre los grupos, una de las razones que pueden justificar la inconsistencia de los sistemas de creencias. Como afirma Schutz (1970), citado en Pajares (1992), un individuo

"puede considerar afirmaciones como igualmente válidas que de hecho son incompatibles entre sí...esta inconsistencia no origina necesariamente una falacia lógica. El pensamiento de los hombres está justamente extendido sobre materias localizadas en diferentes y diferenciadores niveles relevantes, y no son conscientes de las modificaciones que habrían de hacer para pasar de un nivel a otro." (p.76)

Otra de las características que atribuye Green a los sistemas de creencias, en sintonía con Rokeach (1968), es la de la centralidad psicológica, dimensión inexistente en los sistemas de conocimiento. Cuanto más central es una creencia mayor es el grado de convicción y, por consiguiente, más difícil resulta cambiarla.

Es evidente, por otra parte, que cualquier análisis exhaustivo sobre creencias o concepciones individuales respecto algún tema debería tomar en consideración el modo de adquisición de tales concepciones, así como las posibles interrelaciones no sólo entre las concepciones respecto de ese tema, sino también entre éstas y todas las demás concepciones del individuo. Dicho estudio sería, desde luego, completo e interesante, pero, al mismo tiempo, inviable. En este trabajo he pretendido salir de la ambigüedad sin llegar a lo inabordable. Para ello, dentro del grupo de las concepciones sobre la matemática y su enseñanza (que también podrían ser considerados como dos grupos, aunque estimo que, al haber sido estudiada la concepción de la matemática emergente de la concepción de la enseñanza, tiene perfecto sentido enmarcarlas dentro del mismo grupo), he diferenciado categorías con el fin de desentrañar parte de lo que se esconde bajo ese título.

Como ya he comentado, el empleo de la palabra "creencia" y la palabra "concepción" es indistinto en este trabajo, aunque me haya decantado por esta última. De hecho, en concordancia con Saari (1983), citado por Pehkonen (1994), puede reservarse "concepciones" para creencias conscientes (el estudio de Saari es sobre aspectos afectivos), lo que guarda relación con el hecho de haber acabado el análisis de concepciones con una fase de explicitación y consenso, como se describirá posteriormente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.3. RELEVANCIA DEL ESTUDIO DE LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR

 

Una visión cada vez más compleja e integrada del fenómeno educativo ha conducido a la consideración, entre otros, de factores asociables a multitud de disciplinas e imposibles de subordinar a la norma de una sola. Tal es el caso de las concepciones del profesor que, a tenor de la abundancia de recientes publicaciones al respecto, puede asegurarse que es un tema en alza (sirva, como muestra, el hecho de disponer las concepciones de un grupo específico de ponencias habitual en los congresos PME).

Cuando Fennema y Franke (1992) dicen "Ya el conocimiento del profesor no debe ser más visto como un constructo aislado en sus efectos sobre la conducta de los profesores en el aula y el aprendizaje del estudiante" (p.161), proponen a continuación un modelo para la investigación sobre el conocimiento del profesor en el que incluyen las siguientes componentes: conocimiento del contenido matemático, conocimiento de pedagogía, conocimiento de los aspectos cognitivos de los estudiantes y creencias del profesor [12] .

Dichas concepciones (creencias o sistemas de creencias) actúan de filtro y elemento decodificador de las informaciones procedentes de otros ámbitos de investigación (Carrillo y Contreras, 1994). O, como afirman menos contundentemente Lubinski y Vacc (1994), "Lo que un profesor cree sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática y lo que un profesor conoce del contenido, métodos y materiales disponibles para enseñar matemáticas influye en las decisiones del profesor relativas a la instrucción" (p.476). De esta forma, una determinada concepción sobre la Matemática y/o la Educación Matemática condiciona e incluso podría determinar la interpretación y toma de decisiones sobre las concepciones, errores de aprendizaje u obstáculos epistemológicos de los alumnos, orientaría una determinada opción de selección del contenido o búsqueda de situaciones didácticas y permitiría o justificaría el marco de negociación (implícito o explícito) de un determinado contrato didáctico (Brousseau, 1989). Es decir, enmarcándonos por un momento dentro de la teoría de la transposición didáctica (Chevallard, 1988, 91), podemos afirmar que las concepciones del profesor son uno de los operadores que actúan en el proceso de transformación del conocimiento a la situación didáctica [13] y en el propio control de la interacción alumno-situación [14] . Por ello, resulta natural pensar en las concepciones como eje transversal de la evolución profesional del profesor.

Así, pues, el conocimiento profesional del profesor (Carrillo y Contreras, 1993) puede convertirse en el tronco principal e impulsor de su desarrollo, lo que pone de manifiesto la necesidad de investigaciones en este campo, como indican, por ejemplo, Thompson (1992) (desde la Didáctica de la Matemática) y Evans (1991) (desde la Didáctica de las Ciencias Sociales).

Las propias concepciones podrían justificar la escasa eficacia de determinadas estrategias de formación permanente del profesorado y la discrepancia de resultados en el aula en el uso de determinadas estrategias metodológicas (Carpenter, 1989) [15] . En otras palabras, parece que no es efectivo pasar por alto las concepciones de los profesores, suponiendo que un mismo diseño de formación es aplicable a cualquier profesor [16] .

Ahora bien, la magnitud de la importancia de la consideración de las concepciones o las creencias de los profesores, tanto por parte de éstos como por parte de los investigadores en Educación, no se centra sólo en su necesidad, en el hecho de ser "como espejo inconsciente donde el profesor refleja toda información" (Jiménez et al., 1994). La explicitación de las concepciones puede significar el punto de partida para el eventual cambio de las mismas [17] y es aquí donde hemos de cifrar su magnitud, ya que dicho cambio puede propiciar posicionamientos epistemológicos completamente diferentes. Debemos decir que EL OBJETIVO NO ES PONER DE MANIFIESTO DIFERENTES MODELOS DE ENSEÑANZA, SINO DIFERENTES "ENSEÑANZAS", enfatizando, por tanto, que los objetivos perseguidos dependen en gran medida del modelo elegido, lo que guarda paralelismo con la distinción que hace Skemp (1978) entre matemática instrumental y matemática relacional:

"No estamos hablando de una enseñanza mejor o peor del mismo tipo de matemáticas...son enseñadas dos materias diferentes bajo el mismo nombre 'matemáticas'" (p.11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.4. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DEL INSTRUMENTO DE SEGUNDO ORDEN PARA EL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA (TENDENCIAS DIDÁCTICAS)

 

La posesión de un instrumento para analizar los datos obtenidos es fundamental. Para mirar no basta ver [18] , se necesita intención y discernimiento. La intención de mirar puede ser una cuestión actitudinal; ahora bien, para discernir hemos de saber qué estamos buscando. No obstante, esta primera declaración no debe hacer suponer que el instrumento de análisis ha de hallarse perfectamente acabado antes de dar comienzo el estudio de casos. En absoluto, esas gafas (que es el instrumento) deben ir graduándose según las necesidades de la investigación, adaptándose y mejorando (todo ello sin pérdida de rigor, garantizado por un concienzudo proceso de revisión).

Es preciso disponer de un instrumento de segundo orden para elaborar los correspondientes instrumentos de primer orden. Sin embargo, no es extraño que la información extraída de éstos rompa parcialmente los cánones de aquél, viéndose, por tanto, necesitado de una adecuada reparación. En ningún caso debemos falsear o forzar la interpretación de la información; tampoco creo que debamos prescindir de información inesperada, sino adaptar el instrumento de segundo orden, a menos, claro está, que dicha información se salga ostensiblemente del núcleo de la investigación, o que, aun siendo tangencial (y, por tanto, relacionada), su consideración lleve consigo la ampliación o prolongación excesiva del estudio.

Cronológicamente, lo primero fue definir una serie de categorías para diferenciar las respuestas de los cuestionarios. Pretendía una constatación rápida, no más, pues lo importante vendría después, una vez seleccionada la muestra. De dicha categorización surgió una rejilla (cuadro 3) para plasmar la interpretación de los datos.

 

[Cuadro 3]

 

Incluso se incluyó un código (IDID), referente a si el profesor realizaba algún tipo de indagación, innovación o investigación didáctica.

Esta rejilla sirvió para tener una idea de los profesores encuestados y así seleccionar con conocimiento de sus concepciones, aunque bastante elemental y simple.

Como era natural (y exigible), las reflexiones y lecturas posteriores condujeron a mejoras sustanciales.

Una de las primeras fue la de Kuhs y Ball (1986), los cuales identifican 4 modelos de enseñanza de la matemática:

"1. Centrado en el aprendiz: la enseñanza de la matemática se centra en la construcción personal de conocimiento matemático por parte del que aprende; 2. Centrado en el contenido con énfasis en la comprensión conceptual... 3. Centrado en el contenido con énfasis en la acción: la enseñanza de la matemática enfatiza la acción del estudiante y el dominio de reglas y procedimientos matemáticos y 4. Centrado en el aula: la enseñanza de la matemática se basa en el conocimiento sobre aulas eficientes." (p. 2).

Supone la consideración de modelos de profesores de forma general, más que en cada categoría, como reflejaba la rejilla, lo cual me pareció más relevante. Es importante detectar las características de un profesor en cada categoría, pero aún lo es más constatar su inclinación por un modelo. Surge así, al mismo tiempo, la necesidad de dar nombre a la mencionada inclinación, consciente de que es difícil encontrar profesores que se identifiquen con un modelo didáctico concreto, en concordancia con Porlán (1992), de donde tomo el título de tendencia didáctica.

Kuhs y Ball desarrollan los 4 modelos, estableciendo incluso las premisas relativas a la concepción de la matemática inherente a cada uno. Esto, desde mi punto de vista, debe ser entendido en sentido amplio, pues estoy convencido de que no existe un paralelismo entre las concepciones sobre la enseñanza de la matemática y las concepciones sobre la matemática, aunque es natural que no se den asociaciones entre polos.

Por su parte, Voigt (1989) distingue 3 perspectivas de la educación matemática: perspectiva transmisiva (la enseñanza de las matemáticas es la transmisión de los significados de un cuerpo externo de conocimiento por un experto a un novato), perspectiva de desarrollo (enseñar matemáticas es ayudar al desarrollo de las estructuras cognitivas internas) y negociación (la enseñanza es la negociación de los significados a través de la interacción social), focalizando la descripción en el tipo de interacción que se produce en el entorno del aula.

Paralelamente, Underhill (1988) cita a Eisenhart y otros (en prensa) para parafrasear un punto de vista adecuado de la enseñanza de la matemática, enfatizando el papel del profesor y la motivación: los profesores crean un entorno cordial, espontáneo y propicio al trabajo matemático; protegen la inviolabilidad de sus aulas; lo más importante es la visualización del éxito en el aprendizaje; y valoran el entusiasmo y la habilidad de continuar aprendiendo matemáticas por encima de la transmisión de contenidos.

Encontramos ya algunas categorías en Hewson y Hewson (1989), para la concepción de la enseñanza de las ciencias en general: naturaleza de la ciencia, aprendizaje, características del que aprende, explicaciones de la instrucción, técnicas instruccionales y concepción de la enseñanza de las ciencias. No obstante, estas categorías se refieren tanto a la concepción de la ciencia como de su enseñanza y, por otro lado, aunque suponen un nivel de concreción a la hora de diferenciar unas tendencias de otras, son bastante generales.

Asimismo, Jurdak (1991) cita unos

"temas para las concepciones de la educación matemática...: 1) Papel del profesor en la enseñanza de los "significados" de los conceptos matemáticos; 2) relación del profesor con el entorno social y físico en la enseñanza en el aula; 3) dependencia de la evaluación de las respuestas de los alumnos del contexto y el profesor; 4) explicación de la falta de correspondencia entre la enseñanza pretendida y el aprendizaje real; 5) tipo de conducta de enseñanza mientras se enseña resolución de problemas en el aula; 6) naturaleza del esquema conceptual empleado para preparar la enseñanza de la tarea matemática; 7) universalidad de los conceptos matemáticos; 8) descripción metafórica de la relación entre alumno y profesor en la enseñanza en el aula." (p. 224),

ofreciendo pistas para la elaboración de las categorías y de las cuestiones a presentar a los individuos.

Por su parte, Ernest (1989) asocia ciertas concepciones de la matemática (que luego comentaré) a determinadas concepciones de la enseñanza de la matemática (centradas en el papel del profesor), y determinadas concepciones sobre el aprendizaje de las matemáticas, con lo que enfatiza, conjuntamente, el papel del profesor (ya mencionado), la metodología y la concepción del aprendizaje [19] . Asimismo, Ernest (1986) elabora un continuo desde las formas autoritarias hasta las democráticas relativo a varios aspectos de las matemáticas escolares, poniendo de manifiesto algunas categorías (como estilo de enseñanza, organización del aula, tipo de curriculum). A esto hay que añadir su trabajo en Ernest (1991a), donde caracteriza cinco ideologías [20] educativas en función de grupos sociales, señalando las categorías siguientes: punto de vista de la matemática, valores morales, teoría del niño, habilidad, finalidades matemáticas, teoría del aprendizaje, teoría de la enseñanza, teoría de los recursos, teoría de la evaluación, teoría de la diversidad social, teoría de la sociedad e ideología política. Propone además la consideracón de algunos de esos elementos o categorías como primarios y otros como secundarios.

Otra importante fuente en la búsqueda de la caracterización de tendencias didácticas y la consiguiente determinación de categorías e indicadores fue Thompson (1991). Ella propone tres niveles de desarrollo para el cambio profesional, cada uno de los cuales se caracteriza por las concepciones de la matemática, el aprendizaje de la matemática, la enseñanza de la matemática, el papel del profesor y de los alumnos y los criterios para evaluar la corrección de los resultados matemáticos [21] . De nuevo, la asociación de concepciones de la matemática a concepciones sobre la enseñanza de la matemática no me parece conveniente para la presente investigación, aunque esto no le resta potencia al esquema de Thompson. En concreto, también la concepción de la matemática necesita ser dividida en categorías. Este desmenuzamiento hace que la asociación anteriormente citada sea más inviable. No obstante, el esquema de Thompson supuso la caracterización de tres tendencias en base a unas categorías, aunque todavía quedaba mucho por detallar.

Surgió entonces un documento interno del Programa de Doctorado del Departamento de Didáctica de las Ciencias de la Universidad de Sevilla, titulado "Algunos modelos didácticos", en el que se etiquetaban tres tendencias (transmisiva, activa y alternativa) en función de objetivos, contenidos, papel del alumno, papel del profesor, proceso de enseñanza-aprendizaje, recursos didácticos, organización de la clase y evaluación. El terreno estaba ya abonado para la lectura comprensiva de Porlán (1989, 1992), a la postre lo que ejerció mayor influencia en esta parte del trabajo. Adopté los nombres de las tendencias (tradicional, tecnológica, espontaneísta e investigativa), así como algunas categorías e indicadores. El resto, categorías, gran parte de los indicadores y la descripción de las tendencias y los indicadores, es fruto propio, aunque, por supuesto, como dijo Newton, caminando sobre hombros de gigantes.

En la configuración del instrumento, así como en las sucesivas adaptaciones y mejoras, hay otras cuantas investigaciones que desempeñaron también un papel destacado. Una de ellas fue la de Tabachnik y Zeichner (1984), donde se divide a los estudiantes para profesor en tres grupos respecto a sus perspectivas hacia la enseñanza: tradicional conservador, progresista y mixto. Ellos mismos reconocen que se trata de una clasificación bastante ruda y que hay muchas diferencias dentro de cada grupo, diferencias que organizan en torno a dilemas de enseñanza. Estos dilemas los presentan organizados en las siguientes categorías: conocimiento y curriculum (uno de cuyos dilemas es: el aprendizaje no es relacionado-el aprendizaje es integrado), relación profesor-alumno (con el dilema, entre otros: distante-personal), papel del profesor (que cuenta con el dilema: respecto a cómo enseñar, burocrático-funcional-independiente) y diversidad del estudiante (donde encontramos el dilema: curriculum escolar universalizado-particularizado). La consideración de estos dilemas provoca una explosión de la primera clasificación en múltiples perspectivas.

Por su parte, Marrero (1993) distingue

"cinco grandes corrientes pedagógicas: tradicional, activa, crítica, técnica y constructiva" (p. 246),

efectuando un estudio cuantitativo en base a unos indicadores de cada corriente, indicadores que plasma en Marrero (1988) (según citan Correa y Camacho (1993)) organizados en las siguientes categorías (que él llama subdominios): conocimiento, aprendizaje, gestión, programación, interacción profesor-alumnos y agrupamientos, medios, evaluación, enseñanza en general, profesor y medio social. Estos indicadores reafirmaron los elaborados en el presente estudio, existiendo además gran paralelismo entre las corrientes pedagógicas y las tendencias didácticas [22] .

Asimismo, Masjuan (1995) distingue cuatro tipos de profesores de Enseñanza Secundaria: tradicionales, didactistas, reformistas pedagógicos y reformistas pedagógicos y organizativos, añadiendo frases con las que cada tipo está de acuerdo o en desacuerdo, a modo de indicadores.

De nuevo hay una confirmación del instrumento ya elaborado, aunque no hay total coincidencia, pues cada instrumento o clasificación tiene sus propios objetivos y se diseña para grupos diferentes [23] .

El instrumento empleado en este estudio se plasma resumido en tablas, las cuales serán explicadas seguidamente. Se trata de tablas que ofrecen descriptores de tendencias didácticas agrupados por subcategorías y categorías.

La lectura horizontal de las tablas permite establecer diferencias entre las diversas tendencias, teniendo, en algunos casos, un sentido acumulativo; esto quiere decir que en algunas líneas horizontales han de verse incluidos en el lugar del indicador de cada tendencia, además del escrito, los indicadores de las tendencias que están situadas a su izquierda (o sea, de izquierda a derecha, en estos casos, los indicadores van estableciendo 'techos'). Por otra parte, la lectura horizontal da asimismo "una idea de la posible evolución seguida por un profesor desde la tendencia tradicional hacia la investigativa" (Carrillo y Contreras, 1993, p. 354) [24] .

De otro lado, la lectura vertical de las tablas otorga pleno significado a algunos indicadores (al verse contextualizados con el resto de los indicadores de una determinada tendencia), los cuales, en algunos casos, poseen un carácter complementario. Además, la pertenencia de un indicador a dos tendencias queda matizada por esta lectura vertical. La mencionada idea de complementariedad adquiere especial relevancia en la categoría Papel del profesor, en la que el primer y tercer indicadores responden a la pregunta ¿Qué hace?, el segundo a ¿Cómo hace lo expresado en el primer indicador?, y el cuarto justifica la acción expresada en el tercer indicador.

En cuanto a las categorías empleadas, a continuación se hace una relación de las categorías, con sus respectivas subcategorías, relativas a las tendencias didácticas, señalando entre paréntesis la cantidad de indicadores de cada subcategoría por tendencia.

 

* METODOLOGÍA

PRAXIS (2)

OBJETIVOS (1)

PROGRAMACIÓN (1)

  * SENTIDO DE LA ASIGNATURA

ORIENTACIÓN (2)

FINALIDAD (1)

* CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

TIPO Y FORMA DE APRENDIZAJE (3)

TIPO DE AGRUPAMIENTO (1)

DINAMIZADOR (1)

APTITUD (1)

ACTITUD (1)

* PAPEL DEL ALUMNO

PARTICIPACIÓN EN EL DISEÑO DIDACTICO (1)

CLAVE DE LA TRANSFERENCIA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE (1)

¿QUÉ HACE?(3)

* PAPEL DEL PROFESOR

¿QUÉ HACE? (2)

¿CÓMO HACE "20"? (1)

JUSTIFICACIÓN DE "22" (1)

COORDINACIÓN (1)

* EVALUACIÓN

CARÁCTER (2)

CRITERIOS (5)

INSTRUMENTOS (4)

CONCEPCIÓN DE LA RECUPERACIÓN

PAPEL DEL EXAMEN

TIPO DE DIAGNÓSTICO INICIAL

TIPO DE CALIFICACIÓN

Estas categorías y subcategorías, con sus correspondientes indicadores por tendencia (cuadros 4 y 5), constituyen el Instrumento de segundo orden para el análisis de las tendencias didácticas

 

[Cuadro 4]

 

[Cuadro 5]

 

Tras presentar los cuadros, sigue la descripción de todos los indicadores utilizados [25] , y a continuación, con la intención de disponer de una noción manejable de cada tendencia, que no suponga la yuxtaposición ni de los indicadores ni de su descripción, expondré una breve caracterización desarrollada de cada tendencia didáctica.

DESCRIPCIÓN DE LOS INDICADORES DE LAS TENDENCIAS DIDÁCTICAS [26]

METODOLOGÍA

TR1

La actividad del aula se caracteriza por la repetición iterada de ejercicios tipo.

TE1

Aquí los ejercicios pretenden reproducir los procesos lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por parte de los alumnos.

E1

Los ejercicios son sustituidos por una actividad experimental no reflexiva. Hay cierta tendencia a poner en práctica métodos, recursos, etc. que parecen funcionar en otras aulas.

I1

Los alumnos se enfrentan habitualmente a situaciones para las que no poseen soluciones hechas.

 

TR2

Exposición magistral como técnica habitual y uso del libro de texto como único material curricular.

TE2

El profesor no expone los contenidos en su fase final, simula su proceso de construcción, apoyado en estrategias expositivas.

E2

El profesor propone actividades de manipulación de modelos, a través de las cuales se producirá, eventualmente, un conocimiento no organizado.

I2

El profesor tiene organizado el proceso que llevará al alumno a la adquisición de unos conocimientos determinados, a través de su investigación.

 

TR3

Los contenidos se identifican con los conceptos, enunciados como objetivos de carácter terminal.

TE3

Al carácter terminal de los objetivos se añade su funcionalidad.

E3

Los objetivos sólo definen un marco genérico de actuación (carácter orientativo) y están sujetos a eventuales modificaciones en cuanto al grado de consecución (flexibles).

I3

Los objetivos marcan claramente las intenciones educativas, pero están sujetos a reformulaciones debidamente fundamentadas.

 

TR4

El profesor sigue una programación prescrita de antemano, externa a él y rígida, sin plantearse relaciones entre las unidades.

TE4

Para el profesor la programación es un documento cerrado, con una secuencia que emana de los aspectos estructurales de la disciplina.

E4

La programación es un documento vivo que, por basarse en los intereses que, en cada momento, manifiestan los alumnos y en la negociación con ellos, no dispone de una organización inicial.

I4

El profesor dispone de una propuesta organizativa de los elementos del programa, pero no está vinculado a un recorrido concreto. Existe una trama que vincula y organiza el conocimiento por la que el profesor se mueve dependiendo de los intereses, nivel,..., de los alumnos.

 

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

TR5

La asignatura está orientada, exclusivamente, hacia la adquisición de conceptos y reglas.

TE5

Interesan tanto los conceptos y reglas como los procesos lógicos que los sustentan por su eventual reproductibilidad.

E5

No interesan tanto los conceptos como los procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia el trabajo escolar.

I5

Interesan tanto la adquisición de conceptos, como el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia y el trabajo escolar en general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los que determinan el peso específico de cada una de las componentes citadas.

 

TR6

El contenido matemático a movilizar en el aula no se diferencia en estructura, aunque sí en nivel de abstracción, del conocimiento matemático formal.

TE6

La matemática escolar trata de dar una explicación, con los cánones de la matemática formal, a las situaciones provenientes de la problemática real.

E6

La matemática inmersa en la problemática real es el único referente de los conocimientos a movilizar en el aula.

I6

La matemática escolar, de diferente naturaleza que la matemática formal, tiene su punto de partida en la etnomatemática de los alumnos y recoge las necesidades socio-políticas, culturales,..."Hacer matemáticas" con un carácter más formal proviene del análisis de lo concreto.

 

TR7

La asignatura tiene una finalidad exclusivamente informativa, es decir, poner en conocimiento de los alumnos un cierto "panorama matemático" que se espera que aprendan.

TE7

La asignatura no sólo ha de tener una finalidad informativa, sino también un carácter práctico que permita su aplicación en otros ámbitos de la matemática, otras disciplinas o en la técnica.

E7

La asignatura posee un carácter formativo, con objeto de servir de instrumento para un cambio actitudinal del alumno (con respecto al aprendizaje y la vida), así como para la adquisición de valores racionales que le permitan conformar una actitud lógica ante los problemas cotidianos.

I7

La finalidad última de la asignatura es dotar al alumno de unos instrumentos que le posibiliten el aprendizaje autónomo.

 

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

 TR8

Se presupone que el aprendizaje se realiza, utilizando la memoria como único recurso, por superposición de unidades de información.

TE8

El aprendizaje se sigue concibiendo como memorístico, organizándose internamente según la lógica estructural de la disciplina.

E8

Se aprende cuando el objeto de aprendizaje, que surge aleatoriamente del contexto, posee un significado para el alumno.

I8

Los objetos de aprendizaje no sólo tienen significado, sino también la capacidad de ser aplicados en contextos diferentes de donde fueron aprendidos, adquiriendo así un carácter móvil a través de una malla conceptual.

 

TR9

El único aprendizaje efectivo y correcto es el que proviene de un proceso deductivo.

TE9

Aunque el aprendizaje pueda comenzar por la observación de un proceso inductivo, el verdadero aprendizaje ha de apoyarse en un proceso deductivo.

E9

El aprendizaje se produce a través de la participación activa del alumno en procesos inductivos.

I9

El aprendizaje comienza, normalmente, por la observación de regularidades que permiten aflorar una conjetura; pero a ésta ha de seguir una comprobación razonable y, en la medida de lo posible, una generalización adecuada.

 

TR10

El alumno se hace con los conocimientos por el simple hecho de que el profesor se los presente.

TE10

Para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior.

E10

El aprendizaje se produce, de manera espontánea, cuando el alumno está inmerso en situaciones que propician el descubrimiento.

I10

El aprendizaje se produce a través de investigaciones que han sido planificadas por el profesor.

 

TR11

TE11

La única forma de agrupamiento que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual.

E11

La forma ideal de agrupamiento que propicia el aprendizaje es el trabajo en grupo, con sus correspondientes debates.

I11

La forma de agrupamiento aconsejable para la producción de aprendizaje depende de la actividad a desarrollar.

 

TR12

La estructura de la propia asignatura, plasmada en la programación, es el dinamizador ideal del aprendizaje.

TE12

El dinamizador ideal del aprendizaje es la lógica de construcción de la propia matemática.

E12

El motor del aprendizaje son los intereses de los alumnos.

I12

El dinamizador ideal del aprendizaje es el equilibrio entre los intereses y estructura mental de los alumnos y los de la matemática.

 

TR13

TE13

La capacitación del alumno es inalterable y justifica en gran medida los resultados del aprendizaje.

E13

I13

La capacitación del alumno puede ser modificada.

 

TR14

La actitud del alumno hacia el aprendizaje es raramente transformable.

TE14

En la actitud del alumno hacia el aprendizaje hay aspectos que pueden sufrir cambios.

E14

I14

La actitud del alumno puede ser modificada.

 

PAPEL DEL ALUMNO

TR15

TE15

El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc.

E15

El alumno participa indirectamente en el diseño didáctico a través de sus reacciones en el quehacer del aula.

I15

El alumno participa directa o indirectamente en el diseño didáctico.

 

TR16

En los casos en que exista una "buena enseñanza", la responsabilidad de los resultados del aprendizaje (que dependen del grado de sumisión) es exclusiva del alumno.

TE16

Cuando los procesos de enseñanza se realizan en un contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje recae en el alumno.

E16

La motivación proveniente de la propia acción es la clave de los buenos resultados del aprendizaje.

I16

Para que se dé aprendizaje es necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de aprendizaje.

 

TR17

Hay una sobrevaloración implícita de los apuntes. El alumno se esfuerza, por ello, en recoger en sus papeles todo aquello que proviene del profesor.

TE17

El alumno, al enfrentarse a cada una de sus tareas educativas, reproduce el proceso lógico mostrado por el profesor, imitando así su estilo cognitivo.

E17

El alumno pasa de actividad en actividad, participando intensamente en cada una de ellas.

 I17

La actividad del alumno está organizada (interna o externamente) hacia la búsqueda de respuestas a determinados interrogantes.

 

TR18

TE18

Como entre la toma de apuntes y la preparación para la valoración de los conocimientos del alumno no media apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una excesiva relevancia.

E18

La actividad del alumno no incluye un tiempo para la reflexión sobre su propia acción.

I18

El alumno toma conciencia de qué hace y para qué lo hace.

 

TR19

El alumno no se plantea procesar la información que recibe del profesor, ni en forma ni en fondo.

TE19

La confianza del alumno en lo expuesto por el profesor, inducida por la técnica empleada, le impide cuestionarse sobre el fondo del contenido.

E19

El ambiente dinámico que se propicia en la clase, permite que el alumno comunique sus experiencias y sentimientos con el profesor y los demás compañeros.

I19

El alumno mantiene una actitud crítica ante las informaciones que se movilizan en el aula.

 

PAPEL DEL PROFESOR

 TR20-23

El profesor transmite verbalmente los contenidos de aprendizaje, mediante dictado de sus apuntes o alusión a un libro de texto, realizando, por su caracterización como especialista en contenidos, una reproducción literal de los citados documentos.

TE20-23

El hecho de ser un técnico del contenido y del diseño didáctico, permite al profesor organizar los contenidos de aprendizaje, los cuales transmite mediante exposición, utilizando estrategias organizativas/expositivas que procuran ser atractivas.

E20-23

Por su marcado carácter humanista y especialista en dinámica de grupos, induce al alumno a participar en las actividades que promueve, analizando las reacciones y respuestas a sus propuestas.

I20-23

El profesor provoca la curiosidad del alumno conduciendo su investigación hacia la consecución de aprendizajes. Su carácter de experimentador interactivo del contenido y de los métodos, le obliga a analizar los procesos en el contexto del aula (investigación-acción).

 

TR24

El profesor cifra la utilidad de coordinación con otros profesores, a lo sumo, a nivel de negociación sobre los contenidos mínimos de su área.

TE24

La coordinación con otros profesores se refiere a la selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o a su organización.

E24

El foco de la coordinación es la metodología, buscando uniformidad en la caracterización de las actividades.

I24

El profesor considera necesaria una coordinación sobre todos los aspectos que caracterizan el diseño didáctico.

 

EVALUACIÓN

TR25

El profesor concibe la evaluación como una actividad que se debe realizar al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, con el único fin de medirlo.

TE25

El profesor cuestiona (para su eventual modificación futura) el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados obtenidos al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno. Dichos resultados dan asimismo una medida del aprendizaje individual.

E25

El profesor concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, enfatizando la importancia del contexto dentro del proceso de aprendizaje.

I25

El profesor concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, orientando la enseñanza hacia los aprendizajes previstos a través de contextos más apropiados.

 

TR26

TE26

El profesor reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

E26

El profesor dispone de un informe de tipo cualitativo, tanto del proceso como de los resultados de aprendizaje del alumno.

I26

El profesor dispone de un informe de tipo cualitativo, tanto del proceso como de los resultados de aprendizaje del alumno, así como de criterios para la cuantificación de dicho informe.

 

TR27

El hecho de no disponer de criterios explícitos hace que la valoración de los alumnos sea subjetiva.

TE27

El grado de aprendizaje del alumno se cataloga en base a una taxonomía previa que se ha hecho explícita.

E27

Dado que los criterios varían dependiendo del contexto y del consenso alcanzado con los alumnos, la evaluación queda poco definida.

I27

El profesor da a conocer a los alumnos su propuesta holística (compleja, completa y global) de criterios de evaluación, así como el marco de negociación de los mismos.

 

TR28-29

El profesor trata de medir la capacidad del alumno de retener información a corto plazo, valorando la aplicación mecánica de la misma.

TE28-29

El profesor trata de medir el grado de operatividad de los objetivos, valorando los aspectos mecánicos de la interpretación (procesos de traducción matemática).

E28-29

El profesor trata de medir el grado de implicación del alumno en el quehacer del aula, así como la aplicación significativa de sus conocimientos.

I28-29

El profesor trata de medir el grado de implicación del alumno y la significatividad y relevancia de sus aprendizajes.

 

TR30

Sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, los contenidos de aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos inicialmente.

TE30

Sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, los contenidos de aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos inicialmente, aunque se introducen eventualmente cambios en su tratamiento.

E30

El desarrollo de la programación permite negociar los contenidos de aprendizaje en función de las demandas contextuales.

I30

A lo largo del proceso se van reformulando los contenidos de aprendizaje, teniendo en cuenta los intereses del alumno, la propia asignatura, el contexto educativo y el propio proceso.

 

TR31

TE31

No se obtiene información personalizada de los alumnos a lo largo del proceso.

E31

De forma no organizada, se obtiene información personalizada de los alumnos a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora.

I31

Se obtiene información personalizada de los alumnos, de manera organizada, a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora.

 

TR32

Cuando al final de un período del proceso el profesor toma conciencia de que no se han producido los aprendizajes deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se plantea la consecución de los mismos, procede a repetir dicho proceso de manera global.

TE32

Cuando al final de un período del proceso el profesor toma conciencia de que no se han producido los aprendizajes deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se plantea la consecución de los mismos, procede a repetir aquellos aspectos que considera estructuralmente más relevantes.

E32

Cuando en el desarrollo del proceso el profesor toma conciencia de que los contenidos de aprendizaje o las actividades que se realizan para éste no están en concordancia con el campo de intereses de los alumnos, reconduce la actividad o el proceso.

I32

Cuando en el desarrollo del proceso el profesor toma conciencia de que los contenidos de aprendizaje no están en concordancia con el campo de intereses de los alumnos o el grado de significado que éstos deberían otorgar a los contenidos de la disciplina, cualifica su apreciación e introduce variantes de tipo metodológico, disciplinar o contextual, de forma individualizada.

 

TR33

TE33

El examen es el instrumento ideal para medir el aprendizaje de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase.

E33

El examen tiene connotaciones de índole psicológica que influyen desfavorablemente en la actividad del alumno y en las relaciones personales dentro del aula. No es, por tanto, un buen instrumento para medir la evolución de los alumnos.

I33

El examen puede ser un instrumento educativo con el que conseguir una doble finalidad; de aprendizaje, en la medida en que es considerado como una actividad individual inserta en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de control de dicho proceso.

 

TR34

El diagnóstico inicial de los alumnos está basado exclusivamente en los contenidos que, supuestamente, han sido impartidos con anterioridad.

TE34

El diagnóstico inicial de los alumnos está basado en la detección de errores conceptuales o procedimentales que deberían ser corregidos antes de comenzar la ejecución del proceso.

E34

El diagnóstico inicial de los alumnos se cifra sobre el campo de intereses de éstos.

I34

El diagnóstico inicial debe poner de relieve todos aquellos aspectos del conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas, concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan interferir en el proceso de enseñanza- aprendizaje. El proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su conocimiento ofreciéndole vías para su adecuación y progresión.

 

TR35

Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

TE35

Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir el grado de consecución de los objetivos inicialmente fijados.

E35

Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza el informe realizado en base a la revisión de las tareas de éstos y su participación en las mismas.

I35

Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza la información obtenida en base al análisis del cuaderno de clase, sus observaciones sistemáticas, los datos provenientes de los exámenes y trabajos de grupo, así como de los informes de investigación,...

DESCRIPCIÓN DE LAS TENDENCIAS DIDÁCTICAS

La descripción narrativa de las tendencias ha estado precedida de la determinación de algunos indicadores característicos. Por tales entiendo aquéllos que, o bien teóricamente se supone son más relevantes en la determinación de una categoría, o bien en la práctica han sido obtenidos con mayor frecuencia.

TRADICIONAL

La tendencia tradicional se caracteriza por el uso de la exposición magistral como técnica habitual y uso del libro de texto como único material curricular. El profesor sigue una programación prescrita de antemano, externa a él y rígida, sin plantearse relaciones entre las unidades. La asignatura está orientada básicamente a la adquisición de conceptos, otorgándole una finalidad exclusivamente informativa, es decir, se pone en conocimiento de los alumnos un cierto "panorama matemático" que se espera que aprendan; presupone que dicho aprendizaje se realiza, utilizando la memoria como único recurso, por superposición de unidades de información. El alumno se hace con los conocimientos por el simple hecho de que el profesor se los presente, manteniendo éste como dinamizador ideal del aprendizaje la estructura de la propia asignatura, plasmada en la programación.

Se considera al alumno como el único responsable de los resultados del aprendizaje, en función del grado de sumisión. Hay una sobrevaloración implícita de los apuntes. El alumno se esfuerza, por ello, en recoger en sus papeles todo aquello que el profesor le transmite verbalmente mediante dictado, por su caracterización como especialista en contenidos.

El profesor concibe la evaluación como una actividad que se debe realizar al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, con el único fin de medir su capacidad de retener información a corto plazo. El examen es el instrumento ideal para medir dicho aprendizaje; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase. En cuanto al diagnóstico inicial de los alumnos, suele estar basado exclusivamente en los contenidos que, supuestamente, han sido impartidos con anterioridad.

TECNOLÓGICA

En esta tendencia, el profesor no expone los contenidos en su fase final, sino que simula su proceso de construcción, apoyado habitualmente en medios técnicos, y sigue una programación cerrada, con una secuencia que emana de los aspectos estructurales de la disciplina. Interesan tanto los conceptos como los procesos lógicos que los sustentan, por su eventual reproductibilidad y se otorga a la asignatura, además de una finalidad informativa, un carácter práctico que permita su aplicación en otros ámbitos de la matemática, otras disciplinas o en la técnica. Presupone que el aprendizaje se realiza utilizando la memoria, organizándose internamente según la lógica estructural de la disciplina, por lo que, para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior, siendo el dinamizador ideal del aprendizaje la lógica de construcción de la propia matemática.

Se considera al alumno como el principal responsable de los resultados del aprendizaje, siempre que el contexto elegido por el profesor sea adecuado. Al enfrentarse a cada una de sus tareas educativas, el alumno imita el estilo cognitivo del profesor, pues reproduce el proceso lógico mostrado por éste cuando transmite los contenidos de aprendizaje, por procesos tecnológicos mediante exposición, debido a su caracterización como técnico del contenido y del diseño didáctico.

El profesor cuestiona (para su eventual modificación futura) el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados obtenidos al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, dando dichos resultados asimismo una medida del aprendizaje individual, en función del grado de operatividad de los objetivos. El examen es el instrumento ideal para medir dicho aprendizaje; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase. En cuanto al diagnóstico inicial de los alumnos, suele estar basado en la detección de errores conceptuales o procedimentales que deberían ser corregidos antes de comenzar la ejecución del proceso.

ESPONTANEÍSTA

La tendencia espontaneísta se caracteriza por una propuesta por parte del profesor de actividades de manipulación de modelos, a través de las cuales se espera que se produzca, eventualmente, un conocimiento no organizado. La programación es un documento vivo que, por basarse en los intereses que, en cada momento, manifiestan los alumnos y en la negociación con ellos, no dispone de una organización inicial. No interesan tanto los conceptos como los procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia el trabajo escolar. La asignatura posee un carácter formativo, con objeto de servir de instrumento para un cambio actitudinal del alumno (con respecto al aprendizaje y la vida), así como para la adquisición de valores racionales que le permitan conformar una actitud lógica ante los problemas cotidianos. El profesor piensa que se aprende cuando el objeto de aprendizaje, que surge aleatoriamente del contexto, posee un significado para el alumno, produciéndose dicho aprendizaje (cuyo dinamizador ideal son los intereses de los alumnos), de manera espontánea, cuando el alumno está inmerso en situaciones que propician el descubrimiento.

Por su marcado carácter humanista y especialista en dinámica de grupos, el profesor induce al alumno a participar en las actividades que promueve, que constituyen la clave de la motivación de éste, y éste pasa de una a otra, participando intensamente en cada una de ellas.

El profesor concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, enfatizando la importancia del contexto dentro del proceso de aprendizaje, con el único fin de medir el grado de implicación del alumno en el quehacer del aula. El examen tiene connotaciones de índole psicológica que influyen desfavorablemente en la actividad del alumno y en las relaciones personales dentro del aula. No es, por tanto, un buen instrumento para medir la evolución de los alumnos. En cuanto al diagnóstico inicial de los alumnos, éste se cifra sobre el campo de intereses de aquéllos.

INVESTIGATIVA

La tendencia investigativa se caracteriza por la organización, por el profesor, del proceso que llevará al alumno a la adquisición de unos conocimientos determinados, a través de su investigación. El profesor dispone de una propuesta organizativa de los elementos del programa, pero no está vinculado a un recorrido concreto. Interesan tanto la adquisición de conceptos, como el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia y el trabajo escolar en general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los que determinan el peso específico de cada una de las componentes citadas. Existe una trama que vincula y organiza el conocimiento por la que el profesor se mueve dependiendo de los intereses, nivel,..., de los alumnos, siendo la finalidad última de la asignatura dotar al alumno de unos instrumentos que le posibiliten el aprendizaje autónomo. Los objetos de aprendizaje, además de poseer significado, tienen también la capacidad de ser aplicados en contextos diferentes de donde fueron aprendidos, adquiriendo así un carácter móvil a través de una malla conceptual. El profesor piensa que el aprendizaje se produce a través de investigaciones que han sido planificadas por él, manteniendo como dinamizador ideal del aprendizaje el equilibrio entre los intereses y estructura mental de los alumnos y los de la matemática.

Para que se dé aprendizaje es necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de aprendizaje, para lo cual su actividad está organizada (interna o externamente) hacia la búsqueda de respuestas a determinados interrogantes. El profesor, experimentador interactivo del contenido y de los métodos, provoca la curiosidad de aquél conduciendo la investigación hacia la consecución de aprendizajes.

El profesor concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, orientando la enseñanza hacia los aprendizajes previstos a través de contextos más apropiados, con la intención de medir el grado de implicación del alumno y la significatividad de sus aprendizajes. El examen puede ser un instrumento educativo con el que conseguir una doble finalidad: de aprendizaje, en la medida en que es considerado como una actividad individual inserta en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de control de dicho proceso. En cuanto al diagnóstico inicial, debe poner de relieve todos aquellos aspectos del conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas, concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan interferir en el proceso de enseñanza-aprendizaje. El proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su conocimiento ofreciéndole vías para su adecuación y progresión.

En definitiva, la tendencia investigativa tiene como principio didáctico caracterizador la investigación, integrando las aportaciones de la psicología constructivista y una concepción compleja de la realidad educativa (Grupo Investigación en la Escuela, 1991).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.5. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DEL INSTRUMENTO DE SEGUNDO ORDEN PARA EL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA

 

Al igual que para el análisis de las concepciones sobre la enseñanza de la matemática, cronológicamente, lo primero fue definir una serie de categorías para diferenciar las respuestas de los cuestionarios. De dicha categorización surgió una rejilla para plasmar la interpretación de los datos (cuadros 6 y 7).

 

[Cuadro 6]

 

[Cuadro 7]

 

Como podrá observarse, hay muchos aspectos de la rejilla que no estarán incluidos en el instrumento final, algunos porque se sumergen en unos nuevos y otros porque han sido relegados a aportar información adicional, información de contexto para la interpretación de las unidades de información. Motivo de la inclusión inicial de estos indicadores (y sus consiguientes cuestiones) fue dejar vía libre a un posible estudio de comparación entre las respuestas actuales y las presentadas por L'Enseignement Mathématique a principios de siglo (AA.VV., 1902 y siguientes); no obstante, tal comparación ha sido descartada, debido al afloramiento a lo largo del trabajo de objetivos de mayor interés (por el momento) para mí.

De forma similar a lo reseñado en el apartado anterior, múltiples lecturas y reflexiones propiciaron la necesaria mejora del instrumento. En esta ocasión, la lectura más determinante fue Ernest (1989, 1991a), de donde tomé los nombres de los modelos de concepción de la matemática y algunos indicadores.

 La diferenciación de Ernest (1989) es la que subyace tras la pregunta ¿Qué es la matemática? en Thompson (1991):

  

[cuadro 8]

  

(En Pehkonen (1994) pueden verse los niveles de Thompson en una tabla en la que se sitúan horizontalmente los descriptores sobre qué es la matemática, qué es la enseñanza-aprendizaje de la matemática, el papel del profesor y los alumnos, los criterios para evaluar el grado de corrección y qué es la resolución de problemas como estrategia metodológica, aspectos que aborda Thompson (1991), pero narrados en forma de texto, sin resaltar los indicadores destacados por Pehkonen).

 Underhill (1988) también hace referencia a tres tipos de creencias sobre la matemática: tradicional (matemática como conjunto de destrezas), formalista (matemática como lógica y rigor) y constructivista (matemática como proceso). Esta tipificación guarda paralelismo con la anteriormente expuesta, aunque el apelativo tradicional nos trae a la imaginación un tipo de profesores que no siempre coincide con el grupo instrumentalista. Sin embargo, hay que tener en cuenta que Underhill cita, a tal respecto, a Dionne (1984), el cual analizó a profesores de Enseñanza Primaria, entre los que sí es tradicional la concepción de la matemática como conjunto de destrezas carente de rigor. En cualquier caso, sirvió para mis propósitos: la distinción en tres grupos parecía clara.

 También Jurdak (1991) clasifica las concepciones de los profesores en relación a la matemática en tres modelos (logicismo, intuicionismo y formalismo), en evidente parangón con escuelas filosóficas de la matemática. A tal respecto, dice:

 "Se ha hipotetizado que las concepciones de los profesores sobre los fundamentos de la matemática forman "perspectivas" coherentes que pueden ser descritas en términos de aspectos de los fundamentos de la matemática como los derivados de las grandes escuelas conocidas de filosofía de la matemática (logicismo, intuicionismo y formalismo). Lo que soporta esta hipótesis es, en primer lugar, que las tres escuelas han existido históricamente como teorías avanzadas por prominentes matemáticas de su siglo; segundo, estas filosofías presentan perspectivas altamente contrastadas desde un punto de vista matemático y diferentes programas de la propia matemática; y tercero, las contrastadas perspectivas de estas tres escuelas descansan sobre unas pocas ideas elementales y simples." (p. 221),

 y, al igual que para la concepción de la enseñanza de la matemática, añade unos temas que sugieren categorías y cuestiones para plantear a los individuos:

 "1) Relación de la lógica con la matemática; 2) base de selección de axiomas en matemática; 3) naturaleza de los conceptos matemáticos; 4) establecer la existencia de los objetos matemáticos; 5) objeto de estudio de la matemática; 6) infinitud; 7) naturaleza de los métodos matemáticos; 8) descripción metafórica de la matemática." (p. 224).

 Dichas perspectivas filosóficas se disfrazan al transformarse en concepciones de los profesores sobre la matemática, no pudiéndose hablar de grandes semejanzas entre ellas y los modelos de Ernest (1989), los cuales me parecieron más apropiados para estudiar las mencionadas concepciones, debido a su claridad y sus marcadas diferencias.

 Por su parte, Otte (1989) aboga por la visión antropológica en relación al desarrollo de la matemática a lo largo de la historia, sustentada en una ideología marxista, pero expresa su desacuerdo con la escasa relevancia que otorga el marxismo al individuo concreto que culmina un descubrimiento, y dice:

 "La importancia del sujeto individual es lo que hace impredecible la historia. La idea de que no hay un real camino para el conocimiento tiene que ver con la impredecibilidad de la historia" (p. 55).

 Este tipo de reflexiones ayudó a conformar el modelo ideal de concepción de la matemática.

 Asimismo, la lectura de Dossey (1992) ayudó a perfilar el instrumento. Dossey contrapone la concepción de la matemática como un campo creciente de estudio con la concepción estática (conjunto conocido de conceptos, principios y destrezas). A continuación distingue las históricas concepciones racionalista (Platón) y empirista (Aristóteles), y las modernas logicista (Frege, Whitehead, Russell), intuicionista (Brouwer), formalista (Hilbert, Gödel) y una que podríamos llamar holística, según la cual

 "La matemática trata de ideas. No trazos de lápiz o tiza, no triángulos o conjuntos físicos, sino ideas (que pueden ser representadas o sugeridas por objetos físicos). ¿Cuáles son las principales propiedades de la actividad o el conocimiento matemático, cuando es dado a conocer a todos nosotros a partir de la experiencia cotidiana?

1. Los objetos matemáticos son inventados o creados por los seres humanos.

2. Son creados, no arbitrariamente, sino que surgen de la actividad con objetos matemáticos ya existentes, y de las necesidades de la ciencia y de la vida diaria.

3. Una vez creados, los objetos matemáticos poseen propiedades bien determinadas, que podemos tener gran dificultad en descubrir, pero que poseen independientemente de nuestro conocimiento de ellas." (Hersh, 1986, p. 22).

 Dossey distingue las concepciones filosóficas de las concepciones de los profesores, respaldando, por tanto, mi hipótesis. Para ello cita a Goffree (1985), quien clasifica los libros de texto según modelos que ponen de manifiesto la naturaleza de la matemática (mecanicista, estructuralista, empirista y realista o aplicada).

 Ahora bien, al lado de Ernest (1989), en cuanto a influencia y relevancia en el diseño del instrumento, he de citar a Skemp (1978) y, sobre todo, a Lerman (1983). El primero distingue dos formas de conocimiento matemático: el instrumental (se conocen reglas mecánicamente para ser aplicadas) y el relacional (se conocen estructuras conceptuales que posibilitan diferentes acciones para ejecutar las tareas), asociable el primero a la concepción instrumentalista de Ernest, y el segundo a la platónica y a algunos rasgos de la de resolución de problemas. Por su parte, Lerman distingue las concepciones absolutista y falibilista (o cuasi-empírica (Lakatos, 1978)), la primera similar a la platónica y la segunda a la de resolución de problemas de Ernest. Las concepciones absolutista y falibilista no son más que polos de un continuo, como considera Lerman (1990), donde asocia ésta a un estilo de enseñanza no directivo y abierto, mientras que asocia lo contrario a la primera. Pues bien, uno de mis propósitos ha sido entrar en ese continuo, por lo que me pareció más conveniente una división más fina, pero sin llegar a clasificaciones de tantos tipos que dificulten la asignación de unidades a indicadores por falta de margen.

 El primer paso fue diseñar un instrumento (que se muestra en el cuadro 9) para el análisis de las concepciones sobre la matemática basado en las aportaciones de Ernest, Lerman y Skemp.

 No hay que olvidar el papel que a estas alturas desempeñaron las lecturas relativas al esquema de Perry. Sobre Perry (1970) hacen referencia Copes (1982, p. 38), Thompson (1992, p. 133) y el propio Ernest (1991a, p. 111). El esquema de Perry es un esquema de desarrollo progresivo, fundamentalmente en lo que concierne al desarrollo intelectual. Según Thompson (1992), Copes (1979) adapta el esquema de Perry para analizar las concepciones sobre el conocimiento matemático, definiendo cuatro tipos de concepciones, cada una de las cuales se corresponde con la concepción dominante en un período histórico: absolutista, múltiple, relativista y dinámica. Posteriormente, Copes (1982) lo utiliza como metáfora para el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, asociando dualismo a absolutismo. Era, pues, evidente que tal esquema (cuadro 10) podría ofrecer indicadores para el análisis de las concepciones sobre la matemática y su enseñanza, por lo que conjugué su uso con el del cuadro 9.

 

[Cuadro 9]

 

Posteriormente, a la hora de aplicar este instrumento, se vio que sus indicadores podían ser incluidos unos en el instrumento para el análisis de las tendencias didácticas y otros en el de análisis de concepciones sobre la matemática. Para ello ayudó la diferenciación de los indicadores por categorías: multiplicidad de perspectivas (1, 2, 3), desarrollo del conocimiento (4) y evaluación y adquisición del conocimiento (5, 6). De esta forma, el esquema adaptado de Perry-Copes fue abandonado, no sin antes enriquecer los otros instrumentos de análisis [27] .

  

[Cuadro 10]

 

Tras esto, pasé a establecer categorías en un esquema adaptado de Ernest-Lerman-Skemp ya mejorado, en el que, sugerido también por el propio análisis de las unidades de información, la mayor parte de los indicadores se vieron alterados, se planteó la conveniencia de fusionar en uno solo el 5º y el 6º y se añadió uno nuevo. A continuación se hace una relación de las categorías, con sus respectivas subcategorías, relativas a los modelos de concepción de la matemática, señalando entre paréntesis la cantidad de indicadores de cada subcategoría por modelo.

 * TIPO DE CONOCIMIENTO

¿QUÉ LO COMPONE? (1)

¿CÓMO ES? (2)

* FIN (1)

* MODO DE EVOLUCIÓN

PROCESO DE CONSTRUCCIÓN (2)

TIPO DE RAZONAMIENTO (1)

En este caso, hay que decir que, a diferencia con el caso de las tendencias didácticas, la evolución del modelo personal de concepción de la matemática no ha de conllevar un recorrido desde el instrumentalismo a la resolución de problemas con paso obligado por el platonismo, como suele ocurrir desde la tendencia tradicional a la investigativa (aunque esto no sea ninguna regla de oro) [28] .

Así, el instrumento definitivo quedó como se expone en el cuadro 11.

 

[Cuadro 11]

 

Como es natural, la simplificación de los indicadores hace ganar en operatividad lo que pierde en riqueza descriptiva, por lo que se hace necesario expresar lo que cada uno de ellos conlleva, así como cada modelo.

DESCRIPCIÓN DE LOS INDICADORES DE LOS MODELOS DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA [29]

TIPO DE CONOCIMIENTO

IN1

Los elementos que conforman su núcleo son los resultados, entendidos como un conjunto de reglas y herramientas, sin una vinculación teórica (conceptual) ni práctica determinada.

P1

Los elementos que conforman su núcleo son los conceptos y los valores racionales, derivados éstos del grado de significatividad de su estructura.

RP1

Los elementos que conforman su núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

IN2-3

La matemática se concibe como un conjunto de resultados, de marcado carácter utilitario, cuyas veracidad y existencia no están sujetas a discusión o revisión.

P2-3

La matemática se concibe como un cuerpo de conocimiento preexistente dotado de una estructura lógica, lo que le otorga un carácter objetivo, absoluto, universal, libre de valores y abstracto.

RP2-3

La matemática se concibe como un conocimiento sometido a una revisión constante que depende del contexto social, cultural y científico, lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos sea relativa. Esa relación con el contexto impregna a la matemática de una serie de valores.

FIN

IN4

El fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de otras ciencias y técnicas, quedando, por tanto, fuera de la matemática.

P4

El fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas.

RP4

El fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de las capacidades intelectuales del ser humano, quedando la evolución de la matemática, por tanto, subyugada al progreso humano.

MODO DE EVOLUCIÓN

IN5

Desde una perspectiva pragmática, se ve en la creación y uso de algoritmos el principal impulsor de la construcción del conocimiento matemático.

P5

Desde una perspectiva dogmática, el conocimiento matemático se concibe como preexistente al individuo, estando, por tanto, tan sólo sujeto a su posible descubrimiento, pero no a creación.

RP5

Desde una perspectiva dinámica, la matemática se concibe como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas.

IN6

El conocimiento matemático se construye para dar explicación, bajo un punto de vista determinista, a las relaciones causa-efecto existentes.

P6

El conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos.

RP6

El conocimiento matemático se construye, desde una perspectiva antropológica, por interacción social, para dar respuesta a los problemas sociales, culturales, económicos,...

IN7

El instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es la argumentación empírica.

P7

El instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es el razonamiento lógico (basado en una teoría axiomática).

RP7

En el razonamiento matemático hay una combinación de procesos inductivos y deductivos siguiendo el esquema de Lakatos (1963) (conjeturas, pruebas y refutaciones).

DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

A diferencia con las tendencias didácticas, aquí carece de sentido considerar algunos indicadores como característicos, ya que se dispone de una cantidad reducida de ellos.

INSTRUMENTALISTA

La matemática se concibe como un conjunto de resultados, de marcado carácter utilitario, cuyas veracidad y existencia no están sujetas a discusión o revisión. Los elementos que conforman su núcleo son los resultados, entendidos como un conjunto de reglas y herramientas, sin una vinculación teórica (conceptual) ni práctica determinada.

El fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de otras ciencias y técnicas, quedando, por tanto, fuera de la matemática.

Desde una perspectiva pragmática, se ve en la creación y uso de algoritmos el principal impulsor de la construcción del conocimiento matemático, cuyo objetivo es dar explicación, bajo un punto de vista determinista, a las relaciones causa-efecto existentes, utilizando como instrumento que otorga validez a los resultados la argumentación empírica.

PLATÓNICA

La matemática se concibe como un cuerpo de conocimiento preexistente dotado de una estructura lógica, lo que le otorga un carácter objetivo, absoluto, universal, libre de valores y abstracto. Los elementos que conforman su núcleo son los conceptos y los valores racionales, derivados éstos del grado de significatividad de su estructura.

El fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas.

Desde una perspectiva dogmática, el conocimiento matemático se concibe como preexistente al individuo, estando, por tanto, tan sólo sujeto a su posible descubrimiento, pero no a creación, siendo el objetivo de su construcción dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias, con el apoyo de resultados ya obtenidos. El instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es el razonamiento lógico (basado en una teoría axiomática).

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La matemática se concibe como un conocimiento sometido a una revisión constante que depende del contexto social, cultural y científico, lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos sea relativa. Esa relación con el contexto impregna a la matemática de una serie de valores. Los elementos que conforman su núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

El fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de las capacidades intelectuales del ser humano, quedando la evolución de la matemática, por tanto, subyugada al progreso humano.

Desde una perspectiva dinámica, la matemática se concibe como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas. El conocimiento matemático se construye, bajo un punto de vista antropológico, por interacción social, para dar respuesta a los problemas sociales, culturales, económicos,..., empleando para su validación una combinación de procesos inductivos y deductivos siguiendo el esquema de Lakatos (conjeturas, pruebas y refutaciones).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.6. ELABORACIÓN Y DESARROLLO DE LOS INSTRUMENTOS DE PRIMER ORDEN PARA LA OBTENCIÓN DE DATOS RELATIVOS A LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

 

Obviamente, este apartado se produce cronológicamente de forma simultánea a los dos anteriores. La decisión de separarlos se debe a la necesidad de hacer comprensible su lectura.

El primer instrumento de relevancia fue un cuestionario abierto sobre la concepción de la matemática y otro sobre su enseñanza, elaborados a partir de la "Enquête sur la méthode de travail des mathématiciens" (Enseignement Mathématique (AA.VV., 1902 y sigs.)), "Teacher's Conceptions of Mathematics and the Teaching of Problem Solving" (Thompson, 1985), la criba correspondiente y la reflexión sobre los objetivos pretendidos con tal instrumento.

ENCUESTA SOBRE LA CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

1.- a) ¿Qué papel debe jugar el profesor en la formación del "clima" de la clase?

b) ¿Qué relación debe darse entre el profesor y el/los alumno/s?

2.- ¿Cómo ha de presentar el contenido de la materia?

3.- ¿Cuál debe ser su papel en el discurrir de las actividades de la clase dentro del tema que se esté tratando?

4.- a) ¿En qué medida y bajo qué condiciones pueden darse cambios en la planificación de un tema?

b) ¿Debe el profesor contar con el grupo de alumnos a la hora de planificar un tema?

5.- a) ¿Cuál es el papel del alumno?

b) ¿Cómo aprende mejor el alumno?

6.- ¿Qué es lo más importante que debe aprender el alumno?

7.- ¿De qué manera ha de contar el profesor de matemáticas con los demás profesores del mismo grupo de alumnos?

8.- ¿Qué importancia atribuyes a las lecturas en materia de investiga-ción didáctica?

9.- Cuando preparas materiales de trabajo para los alumnos, si es tu caso, ¿procuras conocer lo que ha sido producido sobre el mismo asunto? ¿Prefieres, por el contrario, hacerlo libremente /y comparar a continuación?

ENCUESTA SOBRE LA CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

1.- ¿Cuál es el objetivo principal del estudio de las matemáticas?

2.- Escribe algunos procesos esenciales en matemáticas?

3.- ¿Definirías la Matemática como ... ...

... un conjunto de hechos,

... un conjunto de ideas y procesos mentales,

... ... ...?

4.- ¿Cómo pueden entenderse mejor las matemáticas?

5.- a) ¿Qué relación existe entre la Matemática y el resto de las Ciencias?

b) ¿Te atrae más bien el interés por la Matemática en sí misma o por sus aplicaciones a los fenómenos de la Naturaleza?

6.- ¿Qué papel juegan las matemáticas en el mundo profesional?

7.- a) ¿Puede hablarse de "prueba matemática"?

b) Explica su naturaleza, diferenciándola/s de otros tipos de pruebas.

8.- ¿Cuál es el primer fin de la Matemática como ciencia?

9.- ¿Conservas un recuerdo preciso de tu manera de trabajar cuando estabas estudiando, época en la que el fin era asimilar los descubrimientos de otros más que dedicarse a las investigaciones personales? ¿Puedes dar algunas referencias interesantes?

 10.- ¿Cuál crees que es la influencia del azar o la inspiración en los descubrimientos matemáticos? ¿Es tan grande como parece?

 11.- De forma general, ¿qué importancia atribuyes a las lecturas en materia de investigaciones matemáticas? ¿Qué consejos darías sobre este asunto a un joven matemático provisto de la instrucción clásica habitual?

 12.- Antes de sondear o comenzar un trabajo, si es tu caso, ¿procuras asimilar lo que ha sido producido sobre el mismo asunto? ¿Prefier-es, por el contrario, dejar a tu espíritu entera libertad, verificando a continuación tu contribución personal en los resultados obtenidos por medio de lecturas sobre el tema?

 13.- a) ¿Cuáles son tus distracciones u ocupaciones favoritas, o tus gustos preferentes, fuera del dominio de las matemáticas, o en tus ratos de asueto?

 b) ¿Crees que las ocupaciones o distracciones artísticas, litera-rias, la música y la poesía en particular apartan de la invención matemática, o bien la favorecen, debido al reposo que procuran momentáneamente al espíritu?

 c) ¿Te sientes atraído por las cuestiones de orden metafísico, ético o religioso, o, por el contrario, te repugnan?

 Como se ha explicado en la introducción, estos cuestionarios fueron contestados por bastantes profesores, incluidos los seleccionados definitivamente. A continuación, como documento interno, se hizo explícito lo que implícitamente estaba claro respecto al fin de cada cuestión. Asimismo, se produjo una cierta criba y mejora de cuestiones, todo ello, no con el objetivo de obtener un nuevo cuestionario, sino con el propósito de que sirviera de documento base para la elaboración del instrumento principal, la entrevista semiestructurada. Éste es el mencionado documento interno:

 ENCUESTA SOBRE LA CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

 1.- a) ¿Qué papel debe jugar el profesor en la formación del "clima" de la clase?

 Se pretende ver si el profesor concede importancia a aspectos externos al contenido, vinculados a la convivencia.

 b) Para ello, ¿qué tipo de relaciones de trabajo deben darse entre los integrantes del aula?

 Se pretende ver si el profesor considera que el alumno puede/debe asumir responsabilidades y de qué tipo son éstas.

2.- ¿Cómo se debería presentar el contenido de una unidad concreta?

 La intención es obtener una primera información, a nivel global, sobre su opción metodológica.

 3.- ¿Cuál debería ser el papel del profesor en el discurrir de las actividades de la clase en el desarrollo del tema que se esté tratando?

 El objetivo es matizar la opinión del encuestado sobre las funciones que debe asumir un profesor en lo referente a la aportación de información y la organización espacio-temporal.

 4.- a) ¿En qué medida y bajo qué condiciones podrían darse cambios en la planificación inicial de un tema?

 b) ¿Cómo podría obtenerse la información que sugiriera esos cambios?

 Se pretende ver si concibe el proceso de enseñanza-aprendizaje como hipótesis de trabajo (sentido dinámico, evaluación formativa) o como un proceso tecnológico-productivo (sentido estático, valoración final).

 c) ¿Qué tipo de participación puede tener el alumno a la hora de planificar un tema?

 Este ítem matiza el grado de responsabilidad otorgada por el profesor al alumno en el ámbito de la planificación.

 5.- a) Cita algunas funciones que debería asumir el alumno en el proceso de aprendizaje.

 Se trata de obtener matices respecto de la opinión del profesor sobre las funciones que debe asumir el alumno.

 b) ¿Cómo aprende mejor el alumno?

 Se pretende que el profesor exprese su opción ante el aprendizaje.

 6.- ¿Qué es lo más importante que debería aprender el alumno?

 La idea es extraer información sobre la escala de valores del profesor en el proceso de aprendizaje (hechos, destrezas, conceptos, estrategias, actitudes y valores).

 7.- ¿Debería contar el profesor de matemáticas con los demás profesores del mismo grupo de alumnos? ¿En qué medida?

 El objetivo es detectar si el profesor concede importancia al trabajo cooperativo, o lo considera necesario, bien a nivel general (nivel de asistencia, grado de motivación, malas calificaciones, etc.), bien a nivel interdisciplinar (metodología, evaluación, organización, conceptos, ...).

 8.- ¿Sería útil presentar la materia en su conjunto? ¿Cómo debería hacerse?

 Se pretende ver en qué medida el profesor considera importante que el programa (conocimientos, objetivos, evaluación y metodología) disponga de una estructura coherente, y si estima relevante el someterlo al conocimiento/juicio crítico de los alumnos.

9.- Cuando preparas materiales de trabajo para los alumnos, si es tu caso, ¿qué proceso sigues habitualmente?

 Esta cuestión está encaminada a obtener información sobre la creatividad del profesor en la preparación de materiales, junto a su capacidad crítica ante lo ya producido.

 10.- Procura describir, de la manera más detallada posible, la dinámica habitual de la clase en el desarrollo de una actividad.

 Se pretende que el profesor explicite su concepción sobre los repartos de tarea en el aula.

 11.- ¿Qué importancia atribuyes a las lecturas en materia de investigación didáctica?

 Con esta cuestión se desea conocer la implicación del profesor en tareas de autoformación e investigación.

 ENCUESTA SOBRE LA CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

 1.- ¿Cuáles son, bajo tu punto de vista, los principales objetivos del estudio de las matemáticas?

 a) a nivel escolar

 b) a otros niveles

 Se pretende obtener información sobre la opinión acerca del papel de la matemática en la sociedad, tanto a nivel personal como colectivo.

 2.- Escribe algunos procesos esenciales en el razonamiento matemático.

 El objetivo es detectar el grado de conocimiento sobre los procesos básicos del razonamiento matemático.

 3.- A partir de los siguientes conceptos, eligiendo uno o varios de ellos, formula tu propia definición de la Matemática:

 ideas, fórmulas, reglas, axiomas, hechos, algoritmos, procesos mentales, destrezas, estrategias generales, ...

 Se pretende ponderar el grado de relevancia que el entrevistado otorga a conceptos y procesos dentro de la Matemática.

4.- ¿Cómo crees que pueden aprenderse mejor las matemáticas, es decir, cuál estimas que es la mejor vía para aproximarse al conocimiento matemático?

Con esta cuestión intentamos extraer información sobre la concepción del entrevistado sobre el aprendizaje de la matemática.

5.- a) ¿Qué relación existe entre la Matemática y el resto de las Ciencias?

b) ¿Te atrae más bien el interés por la Matemática en sí misma o por sus aplicaciones a los fenómenos de la Naturaleza?

Se pretende averiguar la concepción del papel que desempeña la Matemática dentro de las Ciencias. Asimismo, las respuestas al apartado b nos permitirán detectar el posicionamiento epistemológico del entrevistado, o sea, su propia concepción filosófica de la evolución de la Matemática.

6.- ¿Qué papel desempeñan las matemáticas en el mundo profesional?

El propósito es indagar sobre el grado de conciencia del uso social de la Matemática.

7.- a) ¿Puede hablarse de prueba o demostración matemática?

b) Explica su naturaleza, en su caso, diferenciándola de otros tipos de prueba.

Se pretende obtener información sobre la concepción filosófica de la Matemática, en cuanto a sus métodos.

8.- ¿Cuáles son para ti los principales fines de la Matemática como ciencia?

El objetivo es indagar sobre la escala de valores de los posibles fines de la Matemática como ciencia y, en la medida de lo posible, establecer diferencias con los de las demás Ciencias.

9.- ¿Conservas un recuerdo preciso de tu manera de trabajar cuando estabas estudiando en la Facultad? ¿Puedes dar algunas referencias interesantes?

La idea es obtener información sobre el tipo de enseñanza recibida en la Facultad, y extraer de sus críticas la repercusión en su concepción personal de la Matemática.

10.- ¿Cuál crees que es la influencia del azar o la inspiración en los descubrimientos matemáticos?

Esta cuestión nos permite aportar información de la concepción del entrevistado sobre cómo se produce una conjetura, lo cual supone nuevos datos sobre su posicionamiento epistemológico.

11.- De forma general, ¿qué tiempo dedicas a las lecturas en materia de investigaciones matemáticas?

Se pretende indagar si el entrevistado concede importancia a la actualización en el contenido específico.

12.- Cuando vas a iniciar una investigación en matemáticas, si es tu caso, ¿procuras asimilar lo que ha sido producido sobre el mismo asunto, o prefieres, por el contrario, dejar a tu espíritu entera libertad, verificando a continuación, o no, tu contribución personal en los resultados obtenidos por medio de lecturas sobre el tema?

El objetivo es obtener información sobre el modo de trabajar del entrevistado en el terreno puramente matemático, así como su concepción de la evolución del conocimiento matemático.

Para el diseño de la entrevista, la consideración de categorías, subcategorías e indicadores, en su estado de acabado correspondiente, fue vital, así como, consiguientemente, las lecturas que sustentaron los instrumentos de segundo orden. A estas lecturas hay que añadir la de Mura (1993), donde se analizan las concepciones sobre la matemática que poseen profesores universitarios a través de un cuestionario con preguntas abiertas y cerradas. Todo ello, junto con el deseo de no volver a incidir en los aspectos de los cuestionarios que quedaron bien resueltos, condujo al siguiente guión de la entrevista:

GUIÓN DE LA ENTREVISTA SOBRE LA CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Y LA CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

Fase previa: Relajación a través de preguntas intrascendentes, para pasar a las dos cuestiones siguientes:

a) ¿Crees que te queda algo por aprender de Matemáticas? ¿Qué te gustaría?

b) ¿Y en Didáctica de las Matemáticas?

1.- ¿Cómo crees que aprendemos matemáticas?

Explica de qué manera se pueden producir situaciones de aprendizaje.

¿De una buena enseñanza se obtiene necesariamente un buen aprendizaje?

Si no es así, ¿qué puede explicar que no ocurra?

¿En qué medida puede ser culpa del profesor y en qué medida del alumno?

¿De qué manera procuras que aprendan tus alumnos? ¿Qué haces para ello?

Pasemos a un caso concreto:

Independientemente del nivel, ¿te parece interesante el aprendizaje del algoritmo de resolución de la ecuación de segundo grado?

¿Cómo lo enseñarías/enseñas?

2.- ¿Qué papel desempeñan para ti los algoritmos dentro de la enseñanza de la matemática?

¿Qué otros componentes utilizas en la enseñanza de la matemática?

Ejemplifícalo en el ejemplo anterior, o en otro.

3.- ¿Qué valoras en tus alumnos?

¿Lo saben ellos?

¿Está reflejado en los objetivos de la asignatura?

4.- ¿Qué objetivos te planteas en tus asignaturas?

¿Cómo indagas sobre su grado de consecución?

5.- ¿Cómo programas? ¿Qué factores o variables tienes en cuenta en tu programación?

Es habitual que no consigamos lo que nos proponemos. ¿A qué crees que se debe?

¿Revisas tus planteamientos iniciales durante el curso?

¿Cómo obtienes la información para ello?

¿Cuándo consideras que debe abandonarse un núcleo o tema?

¿Cómo valorarías el grado de conocimiento en el ejemplo anterior?

6.- ¿Qué criterios e instrumentos utilizas para calificar a tus alumnos?

¿Influyen los resultados en tu programación?

¿Cuándo te das por satisfecho?

7.- ¿Qué suelen hacer tus alumnos durante tus clases?

¿Participan, de alguna forma, en el diseño de las actividades, o en la programación?

8.- Cuando preparas tu programación o tus temas, ¿tienes en cuenta lo que hacen tus compañeros en otras asignaturas? ¿En cuáles?

Si no es así, ¿crees que se debería hacer?

¿Qué aspectos comunes tratas con los profesores del mismo grupo de alumnos?

9.- ¿En función de qué criterios estableces el temario de tus asignaturas?

¿Qué aporta la matemática al mundo profesional?

¿Crees que la matemática en Primaria y Secundaria debería recoger las necesidades sociopolíticas, económicas, culturales, profesionales, etc.? Especifica cuáles y cómo.

10.- ¿Cómo crees que ha ido evolucionando la matemática a lo largo de la historia?

¿Qué hace hoy en día evolucionar el conocimiento matemático?

En el trabajo de un matemático actual, ¿cuál es el punto de partida, sus fuentes, su método y cuál es el fin o el objetivo que persigue con los resultados obtenidos?

11.- Supón que quieres que tus alumnos conozcan el teorema de Thales. ¿Cómo lo abordarías?

¿Y en el caso de la irracionalidad de raíz de 2?

¿Puedes aceptar un resultado que no esté apoyado en un proceso deductivo?

En caso negativo, ¿por qué aceptas, entonces, la irracionalidad de pi?, ¿y el modelo atómico?

12.- Para su desarrollo profesional, el matemático, como cualquier otro, necesita ser formado en determinados valores y actitudes. Desde tu punto de vista, ¿cuáles podrían ser estos valores y actitudes?

¿Crees que la formación recibida durante la carrera los ha fomentado?

¿Qué cambiarías, si pudieras?

13.- Una de las posibles salidas profesionales es la docente. Para la dedicación a la docencia, ¿podrías dar también una lista de valores y actitudes deseables? ¿Ha contemplado tu formación inicial esos valores y actitudes?

 Supón que la Junta de Facultad pide tu opinión al respecto; ¿qué sugerencias harías?

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 II.7. INSTRUMENTOS DE TERCER Y CUARTO ORDEN (INTERPRETACIÓN DE DATOS RELATIVOS A LAS CONCEPCIONES DEL PROFESOR SOBRE LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA E INFORMES). PROCESO DE ELABORACIÓN Y REVISIÓN

 

Llegados a este punto, lo primero es delimitar las unidades de información, tras lo cual se procede a su interpretación, o sea, a la asignación de indicadores, previo acuerdo entre investigador y co-investigador. Una vez efectuada dicha asignación a lo largo de los cuestionarios y la transcripción de la entrevista, se procede a la constatación escrita de las unidades de información clasificadas por categorías, colocando al comienzo su número de orden (2 es la segunda unidad de la entrevista; 2' es la segunda unidad del cuestionario sobre la concepción de la enseñanza de la matemática y 2" es la segunda unidad del cuestionario sobre la concepción de la matemática) y al margen derecho el indicador asignado con su descripción [30] (empleando abreviaturas por cuestiones de formato), como se ejemplifica en el cuadro 12.

 

[Cuadro 12]

 

A continuación, se colorea y puntea cada uno de los indicadores afectados en las tablas (instrumentos de segundo orden). Esto da una idea del perfil de cada individuo, el cual se presenta, simplificado, en un cuadro en el que están ausentes los nombres de los indicadores (ver cuadros 13 y 14).

 

[Cuadro 13]

 

 [Cuadro 14]

 

Pero el camino para llegar hasta aquí no es tan lineal como lo he descrito, sino recursivo y sinuoso, con el firme propósito de dar rigor al proceso.

LA SELECCIÓN DE LAS UNIDADES DE INFORMACIÓN es uno de los aspectos más delicados de este proceso de análisis cualitativo. SI LA HACE UN ÚNICO INVESTIGADOR ESTÁ AMENAZADA POR LA SUBJETIVIDAD [32] ; si la hacen varios es imprescindible una fuerte compenetración y coherencia que es difícil conseguir fuera de un grupo de trabajo suficientemente consolidado. En nuestro caso, el análisis y la interpretación de la información ha sido llevado a cabo por dos investigadores. Así, la selección era hecha individualmente y discutida después.

La compenetración antes aludida fue haciéndose más patente a medida que avanzaba el estudio. De hecho fuimos pasando de una coincidencia en cuanto a las ideas seleccionadas a una identidad casi total en cuanto a los textos seleccionados.

Una vez decididas las unidades del texto que aportan información, hay que proceder a su catalogación. En este proceso también resulta procedente que varios investigadores elaboren su propuesta personal para un determinado individuo con el objetivo de contrastarla después.

Este proceso ha de sufrir varias revisiones y, a su vez, supone una revisión del sistema de categorías e indicadores (modelo teórico). Una de estas revisiones -que llamaré revisión vertical- consiste en comparar, en un mismo individuo, todas las unidades catalogadas bajo un mismo indicador, así como todos los indicadores obtenidos, no con el propósito de eliminar incoherencias, sino con el de evitar aquéllas que hayan sido motivadas por errores de apreciación de los investigadores; en la otra -que llamaré revisión horizontal-, la comparación es en el mismo sentido pero entre todos los individuos, indicador por indicador. Con ambas se pretende reducir el margen de posibles respuestas caracterizadas bajo un mismo indicador, así como minimizar las diferencias interpretativas debidas a las alteraciones que supone la no simultaneidad de todos los análisis. Finalmente se ha puesto en conocimiento de los individuos estudiados su modelo mental (en lo que a concepciones se refiere). Ello ha supuesto, de un lado, una revisión originada por la negociación y, de otro, un último ajuste (aunque mínimo) del modelo teórico (sistema de categorías e indicadores). He de resaltar, en este punto, el alto grado de coincidencia y, en su caso, consenso alcanzado en los nueve casos (la coincidencia en las valoraciones ha sido superior al 90%).

El proceso de elaboración y revisión descrito se visualiza en el gráfico 2.

 

[Gráfico 2]

 

Finalmente, como en todo estudio, mucho más si es cualitativo, he elaborado un informe descriptivo de la concepción de la enseñanza de la matemática y de la concepción de la matemática de cada individuo. A su vez, estos informes han intervenido como variables a la hora de realizar el informe final (apartado Análisis final de cada epígrafe de El estudio de casos -capítulo IV), en el que se trata de encontrar relaciones y propiedades entre la concepción de la matemática y su enseñanza y el modo de resolver problemas de cada uno de los sujetos analizados.

(principio del capítulo) (índice general)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Nota 1] Además añaden que las concepciones se caracterizan por el hecho de:

a) poner de manifiesto la estructura mental del que aprende,

b) ser un modelo explicativo, y

c) poseer una génesis a la vez individual y colectiva. (ibd)

 

[Nota 2] Afirma Vázquez (1993), refiriéndose a las teorías implícitas del profesor sobre la enseñanza, que "El adjetivo implícitas indica que en muchos casos estas creencias no son explícitas, o conscientemente asumidas por el profesor, pero funcionan en la práctica como verdaderas teorías en acción" (p.447).

 El término "teoría implícita" es de especial relevancia dentro de la terminología relativa a las concepciones, pues enfatiza la necesidad de conocer a través de la construcción de una teoría personal (Claxton, 1984) y concede a las concepciones una categoría análoga a las teorías científicas, coincidiendo con la metáfora de Kelly (1955) de "el hombre científico", en la que, como afirma Pope (1985), viene a decir que cualquier persona efectúa un proceso de teorización parecido al efectuado por un científico, aunque con las obvias diferencias en cuanto al rigor y la exhaustividad del control de las situaciones (es la Teoría de los Constructos Personales de Kelly, en la que la palabra constructos, como afirma Marrero (1993), se entiende como

"modelos personales para predecir y controlar acontecimientos" (p. 244)).

 Es claro que el proceso de teorización cotidiano no siempre posee las características que estimo deseables en toda teoría: coherencia (es decir, lógica interna que clarifique unos resultados en función de otros), consistencia (o sea, fundamentación sólida sobre teorías ya contrastadas y aceptadas o sobre principios plausibles; en otras palabras: lógica externa) y consecuencia (con una serie de principios y creencias y con los datos obtenidos experimentalmente).

 

[Nota 3] Tal identificación es una muestra más de la tendencia generalizada del uso del término "concepción".

 

[Nota 4] Underhill (1988), sin embargo, citando un artículo en prensa de Eisenhart, Shrum, Harding y Cuthbert, define creencia como

"actitud consistentemente aplicada en las actividades en las que la persona que posee esa creencia se involucra" (p. 43),

aclarando que eso no quiere decir que se dé siempre consistencia entre las acciones y las creencias, sino que

"los profesores asocian regularmente las mismas actitudes con el mismo campo de actividades" (Eisenhart, 1987).

Tal caracterización pone de manifiesto la exclusiva consideración de creencias obtenidas a partir de acciones, descartando las obtenidas a través de otro tipo de manifestaciones.

[Nota 5] En contraste con el uso inicial que parece darle Davis (1967), que considera las creencias del profesor como una caja desordenada de reglas, principios, etc.

 

[Nota 6] Se puede encontrar información sobre el tema en el capítulo 1 de la tesis de L. Ruiz (1993).

 

[Nota 7] Ponte (1994), siguiendo a Pajares (1992), distingue entre creencias y concepciones, situando a aquellas en un dominio metacognitivo y a éstas en uno cognitivo:

"Utilizo conocimiento para referirme a la amplia red de conceptos, imágenes, y habilidades inteligentes que poseen los seres humanos. Las creencias son las 'verdades' personales incontrovertibles que tiene cada uno, derivadas de la experiencia o de la fantasía, que tienen una fuerte componente afectiva y evaluativa (Pajares, 1992). Las concepciones son los esquemas subyacentes de organización de conceptos, que tienen esencialmente naturaleza cognitiva. Creencias y concepciones son parte del conocimiento" (p. 199)

 No obstante, el mismo Ponte admite la frecuente yuxtaposición de los dominios (cognitivo y metacognitivo), resultando no vacía la intersección entre creencias y concepciones.

 

[Nota 8] Por ejemplo, Douady (1980) utiliza el término "modelo" en un estudio relativo a las dificultades de aprendizaje del número real, análogamente a lo que hacen Romero y Azcárate (1994) con el término "representación mental". En la misma línea, lo hace Robert (1982) con el tema de la convergencia de las series numéricas en su tesis doctoral. Por su parte, Ruiz (1993), emplea el término "concepción" referido, en su tesis, a las dificultades de aprendizaje de la noción de función en alumnos de secundaria. Finalmente, aún más específico es el uso que del término "creencia" hace Lee (1994), indagando sobre las creencias de los estudiantes para profesores de Secundaria respecto de la igualdad 0'999...=1.

 

[Nota 9] Esto no quiere decir que haya que descartar la componente afectiva del conocimiento. A tal respecto, es interesante la discusión conducida por Pehkonen (1996) en el Second MAVI-Workshop. Allí se puso de manifiesto la ausencia de univocidad del término creencia y se propusieron las siguientes caracterizaciones o clasificaciones:

 * Las creencias poseen diferentes grados de consciencia; hay creencias inconscientes, preconscientes y conscientes, desde un 0 a un 100%.

 * Las creencias están ligadas a situaciones.

 * Algo es tanto más conocimiento y menos creencia cuanto menor papel desempeñan en él los afectos. No obstante, aquí habría que distinguir entre el conocimiento personal y el que se estima ya como objetivo.

 * Hay que dirigirse hacia concepciones más dinámicas de las creencias, no tan estáticas.

 * Más que de creencias básicas, debería hablarse de creencias primitivas.

 * Afectos, creencias y conocimiento son tres conjuntos de los que no se sabe cómo son sus inclusiones o intersecciones. Un modelo que se planteó fue el de las creencias como conjunto con parte común en los otros dos, siendo éstos disjuntos.

 

[Nota 10] En mayor o menor grado, pues de ellos el razonamiento ocupa un papel más relevante en la adquisición de conocimiento que en la configuración de las creencias.

 

[Nota 11] Que la línea divisoria entre conocimiento y creencia no es clara es algo obvio a estas alturas; sobre todo si se adopta una definición de conocimiento como la que aportan Elstgeest, Goffree y Harlen (1993):

 "El conocimiento es una relación intelectual de una persona con el mundo del pensamiento y la verdad, y está en esta persona uno e individido." (p. 39).

 Desde mi punto de vista, esta definición no deja claro el papel de los afectos, y, lo que es más importante para el propósito diferenciador, tal definición podría asociarse igualmente al término creencia, en cuyo caso éstas serían parte del conocimiento. Pero el conocimiento tampoco es uniforme. Elstgeest, Goffree y Harlen (1993) hacen 5 distinciones relativas al conocimiento, enfatizando que no se trata ni de diferentes tipos de conocimiento ni de diferentes niveles:

"1) 'Conocimiento-de-cómo-se-llama' que se relaciona fundamentalmente con la formulación de información factual, el nombre correcto, la palabra apropiada. Ayuda a mostrar que conoces de lo que estás hablando, pero no lo garantiza...

2) 'Conocimiento-de-cómo-parece-ser' que se refiere a la experiencia directa. Emerge de la interacción entre el observador y el objeto observado...

3) 'Conocimiento-de-cómo-se-relaciona'. Esta concepción significa un mayor grado de abstracción en el que las relaciones entre conceptos se hacen evidentes.

4) 'Conocimiento-de-cómo-debería-hacerse' que se aproxima a una habilidad para hacer cosas. Sin embargo, va más allá de la habilidad o destreza física en tanto que incorpora no sólo el recuerdo de la secuencia de operaciones, sino también la visión de crear, inventar,...

5) 'Conocimiento-de-cómo-encontrar-tu-camino-hacia' que hace que una persona posea recursos suficientes para enfrentarse a un problema de la forma más efectiva posible." (p. 37-39)

Tales distinciones son muy útiles, por ejemplo, a la hora de confrontar nuestros objetivos como docentes con los resultados de aprendizaje, pero al mismo tiempo dejan lugar para una intersección con las creencias.

 

[Nota 12] De nuevo, la noción de conocimiento de contenido pedagógico (Shulman, 1987) proporciona un marco donde situar las creencias del profesor.

 

[Nota 13] El concepto de conocimiento de contenido pedagógico nos puede servir para enmarcar la acción de las creencias en el paso del conocimiento disciplinar a la situación didáctica (Gudmundsdottir, 1990).

 La acción de las creencias, bajo la noción más amplia de conocimiento de contenido pedagógico y dentro de una perspectiva constructivista social del aprendizaje (Von Glasersfeld, 1984, 87; Ernest, 1991, a, b; Cobb, 1989), puede verse asimismo plasmada dentro del esquema de Ciclos de Aprendizaje (Karplus et al., 1977) propuesto por Simon (1994), en el que relaciona seis ciclos de aprendizaje de forma entrelazada.

"El esquema no sólo ofrece una estructura para pensar acerca del proceso de formación del profesor de matemáticas, también describe relaciones entre el aprendizaje de matemáticas de los profesores, su aprendizaje sobre el aprendizaje de las matemáticas y su aprendizaje acerca de la enseñanza de las matemáticas. Un aspecto único e importante del esquema es la relación recursiva entre aprender contenido matemático y aprender a enseñar matemáticas" (Simon, 1994, p. 90)

 

[Nota 14] A tal respecto, estableciendo diferencias entre saber y conocimiento y proponiendo que la interacción mencionada se encuentre en manos del alumno, Conne (1992) dice lo siguiente: "Si los procesos cognitivos se refieren a la adaptación del sujeto a la situación y a la reequilibración de las estructuras cognitivas, el saber se refiere a la utilidad de los conocimientos para la transformación de las situaciones" (p. 222).

 

[Nota 15] Coincidiendo con Schubring (1989) en la opinión de que la historia de la educación matemática puede contribuir a desvelar las estructuras que impiden una puesta en práctica efectiva de buenos curricula, estoy también de acuerdo con él cuando concede especial importancia a las concepciones de los profesores dentro de la mencionada investigación histórica:

"Investigar los modos de formación de los profesores, sus exámenes, sus publicaciones y sus convicciones epistemológicas vivificará la visión histórica" (p. 7).

Análogamente, Rogers (1976) relaciona el conocimiento de la historia de la matemática con las concepciones del profesor, considerando aquél un posible instrumento para el cambio crítico de éstas.

[Nota 16] Esto no quiere decir que el diseño lineal de un programa de formación a partir de las creencias de los profesores conduzca necesariamente al éxito. A tal respecto, Tillema (1994) llega a la conclusión, en la experiencia llevada a cabo, que hay que considerar otras técnicas de intervención si se pretende integrar las creencias con el conocimiento profesional, objetivo que estima importante para cubrir el vacío entre la información nueva que se proporciona a los profesores y las creencias que éstos poseen.

 

[Nota 17] Deberían formularse y tratar de responder preguntas sobre el cambio de concepciones, preguntas que podrían recogerse bajo la gran cuestión ¿Bajo qué condiciones se produce o se provoca el cambio en las concepciones de un profesor?, es decir, deberíamos ir obteniendo información sobre cómo debe ser el conocimiento que se pretende que los profesores adquieran y cómo debe ser la relación entre dicho conocimiento y las creencias del profesor. En este sentido, Posner y otros (1982) dicen que la información presentada debe ser plausible, inteligible y fructífera, a lo que Tillema (1994) añade que

 "las creencias y orientaciones de meta son en realidad parte de la deliberación profesional" (p. 602).

 

[Nota 18] Me refiero a la primera acepción de ver, asociada sin más al sentido de la vista, a la formación de la imagen visual. Por su parte, entiendo también mirar en su primera acepción, en la que se fija el sentido de la vista con una intención.

 

[Nota 19] Cabe pensar si estas categorías pueden ser, en términos de Rokeach (1968) y Green (1971), centrales en cuanto a su relevancia dentro del sistema de creencias respecto a la enseñanza de la matemática.

 

[Nota 20] En la página 111 define ideología como lo que compete a sistemas de creencias, combinando posicionamiento epistemológico y valores morales.

 

[Nota 21] Establece los niveles 0, 1 y 2. Por situar su modelo, ejemplificaré estos niveles respecto a la enseñanza y aprendizaje de la matemática:

"Nivel 0... desarrollo de destrezas aritméticas por parte de los estudiantes a través de la memorización de colecciones de hechos, reglas, fórmulas y procedimientos... La instrucción matemática se concibe progresando a partir de secuencias de tópicos y destrezas especificadas en un libro de texto... Nivel 1... emergente consciencia del uso de representaciones instructivas -física o pictórica- de los conceptos y procedimientos matemáticos para ayudar a los estudiantes a desarrollar significado y comprensión... El uso de materiales manipulativos está altamente valorado, pero más por su potencial a la hora de obtener fines actitudinales que objetivos cognitivos de la instrucción... Nivel 2... Continúa el punto de vista de la enseñanza para la comprensión... que proviene de la participación en los procesos de hacer matemáticas." (Thompson, 1991, pp. 9, 12)

 

[Nota 22] La equivalencia es simple: tradicional = tradicional, tecnológica = tecnológica, activa = espontaneísta, constructivista + crítica = investigativa.

 La similitud entre la constructivista y la crítica es tal que no estimé necesario diferenciarlas.

 

[Nota 23] En particular, la clasificación de Masjuan (1995), referida a profesores de E. Secundaria, posee el objetivo de tipificar sus actitudes respecto a la Reforma educativa, por lo que, evidentemente, muchas de las preguntas y los indicadores difieren de los de este trabajo, a pesar de que existe cierto paralelismo entre los tipos (tradicional = tradicional, didactista = tecnológico, reformista pedagógico = espontaneísta, reformista pedagógico y organizativo = investigativo).

 

[Nota 24] Evolución que, por otra parte, tildo de positiva, pues la tendencia investigativa es la que considero deseable en el contexto escolar. No obstante, hemos de evitar dogmatismos a la hora de diseñar estrategias de formación de profesores, en el sentido de que, aunque estimemos deseable la adquisición de determinada concepción, lo importante es propiciar ocasiones para que se produzca un conflicto cognitivo, como punto de partida para el posible desarrollo profesional.

 

[Nota 25] Esta descripción se hace a todas luces necesaria por el efecto de compresión que ha debido realizarse para pasar de la versión desarrollada de los indicadores a su versión en los cuadross. Una versión gana en operatividad, mientras que la otra lo hace en riqueza, por lo que ambas son necesarias.

 

[Nota 26] TR: tradicional; TE: tecnológica; E: espontaneísta; I: investigativa

 En algunos casos, se describe en el mismo texto un grupo de indicadores, resaltándose cada uno de ellos.

 

[Nota 27] Desde un punto de vista más general, las concepciones de la ciencia han sido clasificadas por Glasson y Lalik (1993) en positivistas y postpositivistas:

 "Para los positivistas, el fin de la ciencia es alcanzar una relación isomórfica entre el conocimiento humano y el mundo natural. Sin embargo, la llegada de la física moderna socavó tales afirmaciones absolutistas metafísicas y epistemológicas. Los escolares postpositivistas (Garrison, 1986; Kuhn, 1970; Latour, 1987; Woolgar, 1988) argumentan que el conocimiento es una construcción humana creativa y que cualquier medida u observación está cargada de teoría. De acuerdo con Von Glasersfeld (1989), el conocimiento es una colección de estructuras conceptuales que son viables con el rango de experiencia del aprendiz. De esta forma, el conocimiento es considerado como una función adaptativa de los seres humanos más que como una correspondencia con la realidad." (p. 187)

 Pero esta clasificación se me antojaba demasiado vasta para mis propósitos.

 

[Nota 28] También ahora considero positiva la evolución mencionada, pues participo de la visión dinámica, cultural e integrada socialmente de la matemática que emana del modelo de resolución de problemas.

 

[Nota 29] IN: instrumentalista; P: platónico; RP: resolución de problemas

En algunos casos, se describe en el mismo texto un grupo de indicadores, resaltándose cada uno de ellos.

[Nota 30] De hecho, la descripción del indicador puede interpretarse como el constructo hipotético (supone el investigador que posee el individuo) (Porlán, 1989).

 

[Nota 31] CEM es concepción de la enseñanza de la matemática. Análogamente, CM es concepción de la matemática.

 

[Nota 32] Esta frase no debe aludir a contradicción con el carácter de "deseable" que concedo a la subjetividad en II.1. La subjetividad es deseable pues los agentes intervinientes en la Formación del Profesor no actúan de forma neutra, pero debe ser una subjetividad limada de la amenaza del subjetivismo, de la visión monoforme.