INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

El Estudio de Casos está organizado en 9 epígrafes, cada uno de los cuales presenta el estudio efectuado sobre uno de los sujetos de la muestra. A su vez, cada epígrafe se halla dividido en 4 partes:

- Tendencia didáctica,

- Modelo de concepción de la matemática asociado a su tendencia didáctica,

- Modo de resolución de problemas y

- Análisis final.

 

Estas partes corresponden al análisis asociado a los instrumentos de orden 3 y 4 definidos en el capítulo I (epígrafe I.4.).

Así, el estudio de la tendencia didáctica/modelo de concepción de la matemática consta de:

- Clasificación de las unidades de información según los indicadores y categorías asociados (son tablas en las que en la columna de la izquierda aparecen las unidades y en la de la derecha los indicadores -epígrafe II.7.). Perfil de la concepción de la enseñanza de la matemática/concepción de la matemática del individuo (es una tabla en la que sólo aparecen los nombres de las/los tendencias/modelos y de las categorías y los números correspondientes a los indicadores, aportando una imagen rápida de la/del tendencia/modelo del individuo -epígrafe II.7.).

 

- Informe por categorías (es un análisis descriptivo a raíz de la clasificación e interpretación de las unidades de información -epígrafe II.7.).

 

Por su parte, el estudio del modo de resolución de problemas consta de :

- Descripción y valoración general del proceso de resolución de cada uno de los 3 problemas (se trata de un primer análisis de cada protocolo tras la división en episodios y la delimitación de las unidades de información de la entrevista correspondiente -epígrafe III.7.).

 

- Justificación de los niveles asociados (secuencia de indicadores con los niveles asociados y justificados a raíz de las valoraciones anteriores, un segundo análisis de protocolos y entrevistas y las unidades de información del cuestionario -epígrafe III.7.; en las justificaciones se aplican diferentes códigos: unos llevan una C seguida de un número, indicando la cuestión -C- determinada a que se refiere; otros constan de un número -1, 2 ó 3- seguido de la letra U y otro número, expresando el primer número el problema o protocolo de los tres planteados, y el resto la unidad de información de la entrevista correspondiente a dicho problema; finalmente, aparecen códigos compuestos por la letra E seguida de un número, código que se refiere al episodio que indica el número citado dentro del protocolo que se haya mencionado en el texto). Perfil como resolutor de problemas (gráfico cartesiano en el que en el eje horizontal se sitúan los números de los indicadores y en el eje vertical los números de los niveles; permite visualizar las características analizadas y asignar una banda y una subbanda a cada sujeto -epígrafe III.7.).

 

- Informe por categorías (es un análisis descriptivo a raíz de los niveles asociados a los indicadores -epígrafe II.7.).

 

Por último, en el Análisis final se presenta alguna relación que se haya estimado relevante entre la concepción de la matemática y su enseñanza y el modo de resolver problemas (epígrafe II.7.). Asimismo, se destacan algunas características significativas del modelo mental a modo de subtítulo.

ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE AP

 IV.1.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

 IV.1.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP(CEM)	METODOLOGÍA
1.(Aprendemos matemáticas)trabajándolas,...,tratando de ...el problema real llevarlo a un lenguaje matemático. 25.En Primaria y Secundaria empieza la base...¿hasta qué punto esa base es cambiable? 18.Sí(influyen los resultados en la programación)en el sentido de que...si esos resultados...son muy malos, me replanteo volver a incidir sobre ellos...(pero)hay una programación que, más o menos, hay que cumplirla... volver a empezar es que no se puede. 3'.(Cambios en la programación)cuando se detecte que no es captado por los alumnos, (pero)hay una programación que cumplir. 2'.(El contenido de la materia debe presentarse) definido y estructurado.	TE1:Ej.reproductiva   TR3+4:Obj.conc.car. terminal. Pr.of.prescr. rígida(unid.aisladas) TR4:Pr. of. prescr. rígida(unid.aisladas)     TR o TE4 :Pr.of. pr. ríg.(u.aisl.) o sec., estruct.y cerrada TE4:Pr.sec.,estr.y cerr.
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP(CEM)	S. ASIGNATURA
7.(Valoro en mis alumnos)que hayan comprendido los conceptos y los sepan interpretar. 5'.(Lo más importante que hay que aprender es)a razonar. 23.(A la hora de tener que decidir entre varios temas) creo que es preferible no andar tanto en una misma rama y ver un poco de todas.	TR5:Énfasis conceptual   TR5 TR7:Finalidad informativa

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP(CEM)

C. APRENDIZAJE

11.(Un objetivo)fundamental es que el alumno aprenda a razonar, a trabajar con su mente, que no venga a adquirir conocimientos...Debe ser capaz...en un ejercicio, ver varias posibilidades de resolverlo. 28.(La irracionalidad de raíz de 2 la demuestro)por reducción al absurdo...Pero...no me he quedado satisfecho. La verdad es que luego no me lo he planteado, me ha pasado al salir de clase, pero al final se me ha olvidado...Tampoco me he detenido a pensar si eso podría dárselo de otra manera. 27.Suelo partir de...de algún problema concreto (con unos datos determinados) y, sobre ese problema verificar que se verifica la propiedad o se verifica ese teorema, poner otro ejemplo y ver que efectivamente se sigue verificando... ¿Será esto verdad siempre?Y justificar un poco que se verifica siempre. 5.(El algoritmo)es útil como herramienta...Para que sea útil tiene que aprenderlo...Por ejemplo, en un 1º tampoco tendría porqué dar cómo se llega...a esa formulita...Me parece formativo, porque siempre siguen una estructura... Se lo digo...esta mecánica hay que aprenderla..., pero lo importante es el significado. 23.(A la hora de tener que decidir entre varios temas) creo que es preferible no andar tanto en una misma rama y ver un poco de todas.

TR9:Procesos deductivos       TR9           TE9:Procesos inductivos simulados y deductivos         TR10:Por apropiación           TE12:Lógica de la disciplina

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP(CEM)

PAPEL ALUMNO

22.Yo pido sugerencias...lo que ocurres es que hasta ahora ninguno me ha dicho nada...No sé si lo aceptaría... En general, los alumnos están contentos conmigo. 18.Sí(influyen los resultados en la programación)en el sentido de que...si esos resultados...son muy malos, me replanteo volver a incidir sobre ellos...(pero)hay una programación que, más o menos, hay que cumplirla... volver a empezar es que no se puede. 2.Un profesor bueno supongo que consigue motivar a la mayoría de los alumnos...Siempre que un profesor explica bien, evidentemente el alumno piensa que al profesor le gusta la asignatura...y eso hace que muchos se motiven... (Cuando no se obtiene un buen aprendizaje)la mayor parte de la culpa la tiene el profesor, le pondría un 80%. 1'.(El papel del profesor en el clima de la clase) Fundamentalmente, haciendo la asignatura lo más atractiva y amena que pueda. 21.(Los alumnos en la clase)Tomar nota de lo que yo digo ...y trabajar en lo que les propongo. 4'.(El alumno)Es el sujeto activo de la enseñanza. (Aprende mejor)verificando la lógica de las ideas y razonamiento que se les imparte. 4.En clase prácticamente participo yo y los alumnos muy poco..., yo sé que, a lo mejor, no es así, el alumno va a aprender más si él participa más en clase. 19.Me di por satisfecho cuando vi en Selectividad que todos mis alumnos sacaron muy buen nota...Yo estoy en clase y veo que el alumno me sigue, y salgo contentísimo ... ; si yo veo que no entienden..., no me gusta.

T15:No participa en el diseño didáctico   TR16:Único resp. transf. E-A       TE16:Resp. prpal. (motivación por el contexto)       TE16     TR17:Escucha y copia   TE17:Reproduce e imita     T18:Atiende     T18

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP(CEM)

PAPEL PROFESOR

3.En cada clase me rompo la garganta y repito una cosa 80 veces...salgo de clase sin que haya hablado mucho o haya explicado muchas cosas y me parece que no he dado la clase bien. 19.Me di por satisfecho cuando vi en Selectividad que todos mis alumnos sacaron muy buen nota...Yo estoy en clase y veo que el alumno me sigue, y salgo contentísimo ... ; si yo veo que no entienden..., no me gusta. 4'.(El alumno)Es el sujeto activo de la enseñanza. (Aprende mejor)verificando la lógica de las ideas y razonamiento que se les imparte. 13.Cualquier tema, prefiero darlo o no darlo...casi siempre me atraso, porque no me gusta...hacer una posibilidad o dos, sino si se pueden ver veinte, mejor... Me gusta ir programándolo sobre la marcha..., no me gusta decir que me voy a tirar dos semanas..., a lo mejor necesito cuatro. 2.Un profesor bueno supongo que consigue motivar a la mayoría de los alumnos...Siempre que un profesor explica bien, evidentemente el alumno piensa que al profesor le gusta la asignatura...y eso hace que muchos se motiven... (Cuando no se obtiene un buen aprendizaje)la mayor parte de la culpa la tiene el profesor, le pondría un 80%. 1'.(El papel del profesor en el clima de la clase) Fundamentalmente, haciendo la asignatura lo más atractiva y amena que pueda.

TR20:Transmite verbalmente     TR o TE20:Transmite verbalmente o por procesos tecnológicos   TR o TE20     TR23:Especialista en contenido         TE23:Técnico del contenido y del diseño didáctico     TE23

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP(CEM)

EVALUACIÓN

14.(Reviso los planteamientos iniciales)sobre todo con vistas al próximo curso...Precisamente de lo que estaba, entre comillas, programado y lo que luego ocurrió... esa diferencia es la que trato de corregir para el próximo curso. 19.Me di por satisfecho cuando vi en Selectividad que todos mis alumnos sacaron muy buen nota...Yo estoy en clase y veo que el alumno me sigue, y salgo contentísimo ... ; si yo veo que no entienden..., no me gusta. 20.(En los exámenes me doy por satisfecho con) un 60 ó 70%...¿Este año es un 90%?, pues estupendo, ojalá todos los grupos que tenga sean como éste. 12.(Conozco el grado de consecución de los objetivos)A través de los exámenes...y preguntas en clase...,(pero) no (apunto nada)..., (porque)lo que pasa es que no se me suele olvidar nada. 18.Sí(influyen los resultados en la programación)en el sentido de que...si esos resultados...son muy malos, me replanteo volver a incidir sobre ellos...(pero)hay una programación que, más o menos, hay que cumplirla... volver a empezar es que no se puede. 9.Se lo suelo decir e insisto (lo que valoro en mis alumnos), lo que ocurre es que, quizás..., al final... lo único que pueda conseguir es que lo desarrollen. 16.(Para calificar a mis alumnos utilizo) lo que yo observo en clase y exámenes..., pero...yo no necesitaría hacer ningún examen. 17.Me fijo en la atención,...las preguntas que hacen. 10.Yo no he puesto nunca de manera explícita los objetivos..., por supuesto que los valoro, de hecho, yo en los exámenes hago muchas preguntas, cuestiones en las que se vea si el alumno sabe lo que ha estudiado o no. 15.(Doy por terminado un tema)cuando los alumnos interesados, que yo pienso que son la mayoría,...han conseguido los objetivos mínimos...A no ser que viera que es un tema que no les entra... Trataría de investigar a ver qué pasa con ese tema; no obstante, seguiría un poco más.

TR25:Sumativa (producto final)       TR25       TR25     TR25+27:Sumativa (producto final). No explicita criterios. Subjetiva TR25+32:Sumativa (producto final). Recup. es repet. global, aislada del desarrollo normal   TR27:No explicita criterios. Subjetiva   TR27     TR27 TR27+35:No explicita criterios. Subjetiva. Calificación mediante controles del producto TE30:Mínimos rígidos (tratamiento modificable)

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLO-GÍA	1		*
	2	*
	3	*
	4	*	*
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5	*
	6		*
	7	*
CONCEPCIÓN DEL   APRENDIZAJE	8		*
	9	*
	10	*
	11	**
	12		*
	13			**
	14		*
PAPEL   DEL   ALUMNO	15	**
	16		*
	17	*	*
	18	**
	19	*
PAPEL   DEL   PROFESOR	20	*
	21		*
	22		*
	23		*
	24		*
EVALUACIÓN	25	*
	26	**
	27	*
	28	*
	29	*
	30		*
	31			*
	32	*
	33	**
	34	*
	35	*

El perfil anterior indica claramente lo que simbolizaré por TR*-TE, es decir, un individuo con evidente inclinación por las tendencias tradicional y tecnológica, con predominio de la primera, debido tanto a la mayor cantidad de indicadores pertenecientes a la tendencia tradicional como a la mayor incidencia de unidades de información tradicionales, como ha podido observarse en las tablas anteriores. Asimismo, el predominio de la tendencia tradicional se hace patente en cuatro de las seis categorías.

IV.1.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE AP

METODOLOGÍA

Las actividades de aula se caracterizan por la resolución de ejercicios que pretenden reproducir los procesos lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por parte de los alumnos.

Emplea la exposición magistral como técnica habitual y hace uso del libro de texto como único material curricular.

Identifica los contenidos con los conceptos, enunciados como objetivos de carácter terminal.

En cuanto a la programación, se sitúa a caballo entre las tendencias tradicional y tecnológica, pues toma de la primera el carácter de oficial, prescrita de antemano y externa a él, y de la segunda el hecho de estar estructurada en función de la disciplina. En este indicador ha resultado esencial la fase de consenso, pues las unidades de información, aunque daban cuenta de ambos aspectos, hacían pensar más en la tendencia tradicional que en la tecnológica. En esta indicador, inicialmente AP se inclinó por las características de la tendencia tecnológica, pero el diálogo le llevó a reconocer las características antes mencionadas de la tendencia tradicional.

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

La asignatura está orientada, exclusivamente, hacia la adquisición de conceptos y reglas. Considera que la matemática escolar trata de dar una explicación, con los cánones de la matemática formal, a las situaciones provenientes de la problemática real, aunque piensa que la asignatura tiene una finalidad meramente informativa, es decir, poner en conocimiento de los alumnos un cierto "panorama matemático" que se espera que aprendan.

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

Al no haberse obtenido información sobre uno de los aspectos del modelo de aprendizaje, el consenso ha determinado la posición de AP, quien concibe el aprendizaje como memorístico, organizándose internamente según la lógica estructural de la disciplina.

Por otra parte, en lo referente a los procesos, para AP el único aprendizaje efectivo y correcto es el que proviene de un proceso deductivo.

Asimismo, piensa que el alumno se hace con los conocimientos por el simple hecho de que el profesor se los presente, que la única forma de agrupamiento que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual, y que el dinamizador ideal del aprendizaje es la lógica de construcción de la propia matemática.

En cuanto a aptitudes y actitudes de los alumnos, piensa que la capacitación puede ser modificada y que en la actitud del alumno hacia el aprendizaje hay aspectos que pueden sufrir cambios, lo que pone de manifiesto una incoherencia (habitual por otra parte), no sólo con los demás rasgos de su concepción del aprendizaje, sino con el resto de su modelo.

PAPEL DEL ALUMNO

El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc. y opina que, cuando los procesos de enseñanza se realizan en un contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje recae en el alumno.

Respecto a lo que hace el alumno en el aula, se alternan las ocasiones en las que hay una sobrevaloración implícita de los apuntes (el alumno se esfuerza, por ello, en recoger en sus papeles todo aquello que proviene del profesor) con otras en las que el alumno, al enfrentarse a cada una de sus tareas educativas, reproduce el proceso lógico mostrado por el profesor, imitando así su estilo cognitivo.

Como entre la toma de apuntes y la preparación para la valoración de los conocimientos del alumno no media apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una excesiva relevancia. Además, el alumno no se plantea procesar la información que recibe del profesor, ni en forma ni en fondo.

PAPEL DEL PROFESOR

El hecho de ser un técnico del contenido y del diseño didáctico, le permite organizar los contenidos de aprendizaje, los cuales transmite verbalmente mediante exposición.

En relación a la coordinación con otros profesores, cifra su conveniencia en la selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o en su organización.

EVALUACIÓN

En la determinación de esta categoría ha sido importante la fase de consenso, debido a que se carecía de información respecto a algunos de sus indicadores. No obstante, hay que decir que no ha resultado determinante en cuanto a la tendencia.

AP concibe la evaluación como una actividad que se debe realizar al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, con el único fin de medirlo. Reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto y trata de medir la capacidad del alumno de retener información a corto plazo, valorando la aplicación mecánica de la misma. Por otra parte, el hecho de no disponer de criterios explícitos hace que la valoración de los alumnos sea subjetiva.

Para AP es claro que, sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, los contenidos de aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos inicialmente, aunque se introducen eventualmente cambios en su tratamiento.

Afirma obtener, de forma no organizada, información personalizada de los alumnos a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora; sin embargo, cuando al final de un período del proceso toma conciencia de que no se han producido los aprendizajes deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se plantea la consecución de los mismos, procede a repetir dicho proceso de manera global, sin prestar atención relevante a los aspectos estructurales o a las individualidades anteriormente referidas.

AP asegura taxativamente que no sería necesario hacer exámenes, pues la nota se sabe de antemano. Ahora bien, dada la necesidad de calificaciones objetivas, el examen es el instrumento ideal para medir el aprendizaje de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase.

En cuanto al diagnóstico inicial de los alumnos, está basado exclusivamente en los contenidos que, supuestamente, han sido impartidos con anterioridad.

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto, valorando, por tanto, la corrección y, asimismo, el grado de participación.

IV.1.2 MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

IV.1.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP (CM)	TIPO DE CTO.
5.(El algoritmo)es útil como herramienta...Para que sea útil tiene que aprenderlo...Por ejemplo, en un 1º tampoco tendría porqué dar cómo se llega...a esa formulita...Me parece formativo, porque siempre siguen una estructura... Se lo digo...esta mecánica hay que aprenderla..., pero lo importante es el significado. 8.Ése es el problema, eso es lo que trato de conseguir (que comprendan los conceptos y los sepan interpretar), que la mayoría...no me resuelva una ecuación, sino que me digan "esto que ha salido significa..." 24.Veo un poco de dependencia entre lo que es la matemática y (las necesidades sociopolíticas, económicas, etc.)...No es que vea, no establezco ninguna relación, otra cosa es lo que se estudia en matemáticas y las cosas que se propongan como modelo de la vida real, pero la matemática en sí es una herramienta muy útil para cualquier persona.	<P1:Estructurado significativamente. Núcleo: conceptos y valores racionales     <P1       IN3:Útil
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP (CM)	FIN
3".(El primer fin de la matemática como ciencia)Abrir las puertas para dar explicación a fenómenos que no la tienen.	IN4:Externo

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE AP (CM)

MODO EVOLUCIÓN

26.(Lo que hace evolucionar hoy día el conocimiento matemático)La misma sociedad, los problemas económicos, los problemas científicos, eso es lo que hace que sea necesario...nuevos conceptos y nuevas teorías matemáticas, modelos que te puedan resolver un problema que ha surgido. 1.(Aprendemos matemáticas)trabajándolas,...,tratando de ...el problema real llevarlo a un lenguaje matemático. 6.Hay que relacionarlo un poco con la vida real, la matemática no es una ciencia aislada que el que estudia matemáticas lo ve y el que no estudia matemáticas no lo ve, continuamente tú puedes, cualquier problema, trasladarlo a un lenguaje matemático. 25.Creo que el matemático siempre se ha planteado cómo trasladar la realidad a un lenguaje así...y siempre el desarrollo ha sido así. 11.(Un objetivo)fundamental es que el alumno aprenda a razonar, a trabajar con su mente, que no venga a adquirir conocimientos...Debe ser capaz...en un ejercicio, ver varias posibilidades de resolverlo. 29.Creo que no. No llego a creerme algo si no lo veo razonado. 5'.(Lo más importante que debe aprender un alumno) A razonar. 1".(El principal objetivo del estudio de la matemática) Adquirir un razonamiento lógico que permita saber cuándo y cómo utilizarla. 2".(Procesos esenciales en matemáticas)Definiciones y axiomas; razonamientos directos; razonamientos al absurdo; algoritmos.

IN6:En base a búsqueda de relaciones causa-efecto. Punto de vista determinista     P6:En base a resultados anteriores y problemas provenientes de otras ciencias P6     P6     P7:Razonamiento lógico       P7   P7   P7     P7

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE AP

CATEGORÍAS	IND\MODELO	INSTRUMENT.	PLATÓNICO	RES.PROBLEM.
TIPO DE CONOCIMIENTO	1		*
	2		*
	3	*
FIN	4	*
MODO DE EVOLUCIÓN	5		*
	6		*
	7		*

Simbolizaré el perfil de AP respecto a su concepción de la matemática por P, indicando una mayor proporción tanto de indicadores como de unidades asociables al modelo platónico. Es apreciable asimismo el predominio del mencionado modelo en dos de las tres categorías.

IV.1.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE AP

TIPO DE CONOCIMIENTO

En la fase de consenso AP se ha inclinado, respecto al primer indicador, por el modelo de Resolución de Problemas (Los elementos que conforman el núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales). Sin embargo, pienso que lo extraído de cuestionarios y entrevista nos conduce a asociarle las características del modelo Platónico (Los elementos que conforman el núcleo son los conceptos y los valores racionales, derivados del grado de significatividad de su estructura), quizás incluso con dudas sobre posible inclinación al Instrumentalista (Núcleo como conjunto de herramientas sin vinculación). Así, pues, diré que para AP los elementos que conforman el núcleo del conocimiento matemático son los conceptos y los valores racionales, derivados éstos del grado de significatividad de su estructura. Esta discrepancia se debe a la necesaria diferenciación entre concepción de la matemática del individuo y concepción de la matemática que transmite en su actuación como docente, o a partir de cuestiones sobre su modelo de enseñanza.

Concibe la matemática como un cuerpo de conocimiento preexistente dotado de una estructura lógica, con un marcado carácter utilitario.

FIN

La escasa información sobre esta categoría imponía forzosamente dudas. En concreto, la duda consistía en asociar a la unidad 3" ([El primer fin de la matemática como ciencia] Abrir las puertas para dar explicación a fenómenos que no la tienen) el indicador IN4 (Externo) o el RP4 (De desarrollo intelectual), por la ambivalencia de la expresión "Abrir las puertas". En la fase de consenso, AP puso de manifiesto su inclinación por el indicador instrumentalista, por lo que para él el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de otras ciencias y técnicas, quedando, por tanto, fuera de la matemática.

MODO DE EVOLUCIÓN

Durante el consenso, AP explicitó la convicción de ser la resolución de problemas el principal impulsor del conocimiento matemático. Sin embargo, esto no lleva a pensar en una perspectiva dinámica, en un campo de creación continua, pues para él, como en la primera categoría se ha expuesto, el conocimiento es preexistente (platónico). Resumiendo, desde una perspectiva dogmática, el conocimiento matemático es concebido por AP como preexistente al individuo, estando, por tanto, tan sólo sujeto a su posible descubrimiento, pero no a creación.

En concordancia con lo anterior, sus otros dos indicadores (avalados por bastantes unidades de información y, por supuesto, por la fase de consenso) están incluidos en el modelo platónico. En esta línea, piensa que el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos, y considera que el instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es el razonamiento lógico (basado en una teoría axiomática).

IV.1.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

IV.1.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

DESCRIPCIÓN

Comienza la resolución manifestando su falta de conocimiento en Geometría, por lo que no le gusta el problema. Luego lo relee dos o tres veces, debido a su inseguridad.

A continuación, llega a la conclusión de que la fórmula no es válida en el caso del rectángulo, mientras que se verifica en el rombo y en el cuadrado.

Esto le sirve para conjeturar que la fórmula será válida si los 4 lados son iguales, aunque no sabe cómo razonarlo. Seguidamente, pasa a la segunda parte, suponiendo que ésta le ayudará a resolver la primera.

No se le ocurre nada al principio, por lo que se dedica a observar los ejemplos del cuadrado y el rombo. Después considera el exágono, obteniendo el área en función de una de las diagonales que pasan por el centro, el perímetro y la apotema.

Descarta los polígonos con un número impar de lados, pensando que en esos casos no podría sacar ninguna relación entre las diagonales y el área, porque "al trazar las diagonales...en un polígono regular que tenga un número par de lados, van a quedar trozos regulares, en uno impar no".

Por otra parte, no se percata de la existencia de diagonales que no pasan por el centro.

Termina la resolución diciendo que no se le ocurre nada y que, si en el caso de número par de lados las diagonales dividen el polígono en triángulos equiláteros, el problema estaría resuelto.

Es consciente de que el problema no está resuelto ni en el caso del exágono, al no depender el área exclusivamente de la diagonal.

VALORACIÓN

Tiene una actitud negativa ante el problema, debido a que se siente "bastante flojo en Geometría", lo que denota falta de confianza en sus posibilidades. No obstante, su declaración en la que dice que, cuando un problema le da la lata, lo abandona, unida a la ausencia de ideas claras, demuestran que no es precisamente su falta de conocimiento en Geometría (lo que le puede hacer falta lo imparte él mismo a sus alumnos) lo que le impide enfrentarse con éxito al problema, sino la falta de hábito de resolver problemas, lo que hace que no disponga de las estrategias heurísticas apropiadas ni sea capaz de efectuar buenas decisiones de control.

Es pobre el estudio efectuado para el rectángulo, pues no indaga cuándo puede valer la fórmula, aunque no tiene repercusiones en la resolución.

Ya con el rombo, establece la diferencia con el rectángulo en la igualdad de los lados, a pesar de obtener la fórmula del área del rombo a partir de la descomposición en 4 triángulos rectángulos. Falta, pues, una profundización en las condiciones que motivan la validez de la fórmula en el rombo, y sobra precipitación en focalizar la condición para que esto ocurra.

Cuando organiza el resto de la resolución, donde deja abierta la posibilidad de volver a la primera parte (pues supone que la segunda puede ayudar a resolverla), no profundiza en las condiciones del problema. Si lo hubiera hecho, se habría percatado de que la fórmula que se obtuviera en la segunda parte sólo podría ser una generalización del caso del cuadrado, pero en ningún momento podría confirmar que la igualdad de lados es una condición necesaria, ya que esta condición la cumplen todos los elementos considerados en ella.

Las razones que da para descartar los polígonos con número impar de lados se pueden resumir diciendo que le resultan asimétricos y, por tanto, no sujetos a la estrategia que tenía en mente, lo que muestra una falta de flexibilidad para modificar sus procesos mentales, siendo incapaz de adaptarlos según las circunstancias.

Hay también otro error al final, consistente en interrogarse si las diagonales de los polígonos regulares con número par de lados dividen dichos polígonos en triángulos equiláteros, lo cual sólo ocurre, como debería saber y saber emplear, en el exágono.

Se hace patente, por tanto, la ausencia del trabajo con los ángulos, lo que le podría haber conducido a la perpendicularidad de las diagonales (primera parte) y a expresiones de los lados y apotemas en función de las diagonales (segunda parte).

Con el exágono se deja ver asimismo una pesadez de cálculo, así como temor a aplicar hechos conocidos (T. de Pitágoras) que podrían haber supuesto la resolución particular del problema. Además, no cae en la cuenta de la existencia de otras diagonales.

En resumen, aunque sabe a dónde tiene que llegar, sufre un bloqueo cuando tiene que invertir esfuerzo y tiempo. En realidad, no está dispuesto a enfrentarse a problemas. Realiza conjeturas insuficientemente fundamentadas, centrándose en aspectos irrelevantes o basando sus respuestas en un hecho concreto, y no dispone de un conocimiento bien organizado como para que sea útil.

IV.1.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

DESCRIPCIÓN

Lee el problema dos veces y no se le ocurre nada, por lo que decide ponerse algunos ejemplos con el objetivo de descubrir alguna regla.

Se halla perplejo y supone que saldrá que es imposible elegir 11 números de forma que dos subconjuntos disjuntos no sumen lo mismo.

Empieza a elegir números a partir del 1, descartando los que, si se incluyeran, harían que hubiera subconjuntos disjuntos con la misma suma. Ahí comete un error, considerando válido el 6 (1,2,4,6). Continúa eligiendo números, percatado ya de que, obtenido un número, en orden creciente el primero válido es el doble.

En medio de todo el proceso de selección de números dice que, en lugar de pensar en una regla, prefiere continuar con la selección, lo que le conduce a la obtención de 11 números, siendo el último el 995. Es en este momento cuando repasa lo anterior, ya que piensa estar equivocado. Subsanado el error (en lugar del 6, el correcto es el 8), obtiene la sucesión de las potencias positivas de 2, lo que le imposibilita la elección del 11º número, pues éste habría de ser 2¹⁰, que es mayor que 1000.

Da por evidente que el caso general lleve a la misma conclusión y, a falta de 9 min., repasa por encima y concluye la resolución.

VALORACIÓN

El inicio del problema es adecuado, pues establece una conjetura (ya sabe qué quiere) y tantea con la intención de buscar una regla.

Sin embargo, el hecho de aceptar inicialmente el 6 como válido, después de que se descartaran el 3, el 5 y el 7 y fueran válidos además 1, 2 y 4, muestra falta de intuición, confirmada por el hecho de no replantearse la validez del 6 una vez que tras él se descarten todos sin dejar "huecos", lo que muestra también el carácter mecánico del proceso.

De todas formas, es apropiada la decisión de repasar cuando obtiene una solución que no coincide con lo que esperaba. Esto le hace concluir lo deseado (su conjetura), expresando los números como potencias de 2.

He aquí donde se encuentra la parte más negativa del protocolo. Selecciona los primeros números que no se deben descartar (obligatoriedad que no especifica) y concluye que, empezando por el 1, no se puede seleccionar 11 números con las condiciones dadas, lo cual es correcto, pero que a esto se llegue en cualquier caso no es evidente, ni mucho menos. En este momento se echa en falta una contrastación del resultado con su sensación inicial ("pensé que era raro que eso no ocurriera"), dando prioridad a lo que podía inducir el enunciado, lo que vuelve a indicar falta de hábito en el uso de la intuición, así como una falta de confianza en sí mismo.

Además, no existe ninguna justificación de que lo que ocurre en el ejemplo vaya a ocurrir siempre, sean cuales sean los números o se empiece por el número que sea; y no hay justificación, porque no ha analizado las causas que motivan la viabilidad del ejemplo. En ningún momento se ha preguntado qué números se van descartando cada vez que se selecciona uno nuevo y por qué. Ello le habría llevado, por ejemplo, a que, mientras que, si los números son pequeños, se descarta su suma (<1000), esto no ocurre cuando los números son muy grandes (suma >1000), lo que provoca que la cantidad de números a descartar disminuya y, por consiguiente, sea posible encontrar 11 números con las condiciones requeridas.

En suma, el protocolo de resolución muestra una ausencia de control efectivo, ya que la revisión que realiza sólo se encamina a la satisfacción propia, a la obtención de un ejemplo para extrapolar indebidamente. No hay un análisis de las características de la solución, a pesar, incluso, de sobrarle 9 min., hecho que indica su temor a introducirse en casos generales no triviales (en contra de lo manifestado en la entrevista: "E: ¿Te asusta de alguna manera entrar a estudiar los casos generales?. AP: No, al revés. Me gusta, vamos").

IV.1.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

DESCRIPCIÓN

Comienza la resolución releyendo el enunciado, deteniéndose en el ejemplo para "enterarme bien de lo que se pregunta". Inmediatamente cae en la cuenta de que, además del 5, son solución el 1 y el 2.

A continuación, tantea con las demás cifras, concluyendo que ninguna más cumple los requisitos del enunciado. Se interroga entonces si "esto es lo que se pide exclusivamente, o hay algo más", lo que da paso al estudio con números mayores que 9. Inicialmente considera las potencias de 10, llegando a que son solución todos los números de la forma 10ⁿ, con n natural (en realidad escribe n entero, aunque posteriormente se percatará de que n ha de ser natural). Esta conclusión le da pie a formular la conjetura de que esos números son los únicos que verifican el enunciado.

Seguidamente, estudia los números según el número de cifras, analizando si 1x es divisible por x, lo que estima ser condición necesaria, pero no suficiente. Sólo analiza los casos de 1, 2 y 3 cifras, generalizando a continuación. En el caso de dos cifras, pasa por alto los números 4, 20, 25 y 50, también divisores de 100, lo que se debe, según afirma en la entrevista, al hecho de ir rápido y de confundirse con el 4 ("14 por 4 no, y, entonces, lo descarté").

VALORACIÓN

El protocolo destila dos características que pueden resultar antagónicas, pero que se justifican, no sólo en este caso, por la complejidad inherente a un proceso de resolución de problemas. De un lado, es sencillo y claro, para el propio resolutor y para el investigador: el resolutor tiene la idea global del proceso, ya que éste es bastante simple; el investigador percibe con claridad las intenciones del resolutor a lo largo del protocolo. De otro lado, podemos achacarle una gran dosis de superficialidad o conformismo con los aparentes resultados, no profundizando lo suficiente en las condiciones del problema. Ahora bien, estas dos características son perfectamente compatibles, ya que la claridad del proceso para el resolutor no proviene de haberse hecho con la situación, sino de haber simplificado ésta, no sólo por no haberse planteado la generalización a otros conjuntos numéricos, lo cual es bastante inusual, sino por haber reducido drásticamente el campo de las soluciones.

Secuencialmente, lo primero a observar es un intento plausible de hacerse con la comprensión del problema, a lo que sigue un tanteo adecuado con las cifras significativas. Sin embargo, una vez acabado el estudio de las cifras, llega a formular su conjetura con excesiva precipitación, pues, al ver unas soluciones, ya supone que no hay más, cuando no ha completado un tanteo sistemático. Esta precipitación a la hora de formular la conjetura puede ser causa de no haber visto más divisores de 100 con dos cifras que el 10, pues era el que le corroboraba su suposición.

Por otra parte, es positiva la simplificación consistente en considerar 1x en lugar de wx, aunque no se da cuenta de que, además de necesaria, la condición de divisibilidad de 1x por x es suficiente. Esto es una muestra más de la superficialidad de la resolución, aunque no le haya influido en sus resultados, ya que los casos menos claros de divisibilidad no han sido considerados.

Abundando en su actitud respecto a la resolución, hay que decir que manifiesta en la entrevista haberse sentido cómodo "porque no he tenido que pensar mucho" y porque la situación permitía de entrada el tanteo.

A pesar de disponer aún de 19 minutos, no revisa ni el proceso ni los cálculos, aunque en la entrevista indica que suele revisar, sobre todo, el proceso, menos los cálculos.

Preguntado sobre si se ha planteado generalizar el resultado, afirma haberlo hecho, lo que da una idea del escaso rigor que le concede al proceso de generalización, exento de toda formalización, basado exclusivamente en los casos de 1, 2 y 3 cifras, sin ni siquiera formular la condición para el caso general.

El párrafo de la entrevista "en el minuto 10, 'Tomando cualquier otro número...', estaba un poco inseguro, sin confianza, iba a poner 1x=nx y no sabía muy claro si iba a llegar a algo. Sin embargo, los cálculos me llevaron a verlo con claridad, o sea, que en este punto los cálculos han sido fundamentales" pone de manifiesto el poco dominio de la planificación del proceso, no sabiendo de su utilidad o adecuación hasta la obtención de resultados, así como la ausencia de empleo de la intuición, lo que es extraño en este caso por la sencillez de lo que se plantea.

IV.1.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

Frases como

"...No me siento relajado, sinceramente bastante incómodo... Me resulta difícil concentrarme, como consecuencia hasta puedo cometer alguna "burrada" matemática...",

las alterna con

"...no así mi comportamiento en las clases, en las que, por el contrario, me siento muy bien..., me entusiasmo...",

todas extraídas de C1, lo que induce a pensar en una repercusión negativa cuando la situación no es dominada, aunque, por otra parte, según va dominando la situación, se va normalizando su comportamiento (como en el caso de las clases, donde llega a estar a gusto).

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

3) Los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

Da muy poca información en C3:

"...Suelo afrontarlos en solitario, cuando tengo una buena respuesta la comento con los demás...".

No obstante, esta frase (que parece referirse exclusivamente a los problemas matemáticos) inclina a pensar en que comparte en ocasiones sus logros y permite dar cabida a la solicitud de ayuda cuando el ambiente se presta a ello y lo estima indispensable .

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

2) El abordaje de problemas, casi siempre en solitario, suele estar motivado por causas ajenas a la docencia o la investigación. Aunque, de hecho, no suele enfrentarse a problemas, le atraen más que los ejercicios.

En C4, C5, C11 y C20 deja bastante claro que no tiene hábito de enfrentarse a problemas, aunque

"...la verdad es que me atraen, sin embargo, sólo me siento a intentar resolverlos cuando en clase me surge alguna curiosidad o casualmente, consultando libros, los veo..." (C4),

lo que muestra su leve atracción hacia ellos. Por otra parte, cuando lo hace, es en solitario:

"...En solitario. Me resulta difícil concentrarme. También por miedo al ridículo..." (C5).

 

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

1.4.1. Predisposición.

2) Cuando se enfrenta a problemas, suelen aparecer miedos, complejos, desánimo y ganas de abandonarlos, lo que en ocasiones provoca grandes lagunas de concentración y de efectividad en el abordaje de los mismos.

La respuesta a C6 es algo contradictoria y exenta de detalles:

"...Me entusiasma [el enfrentamiento inicial a un problema], aunque si no me surgen ideas lo abandono demasiado pronto...",

mostrando que el hecho de hablar de entusiasmo no es más que un tópico, ya que el abandono se produce en breve, lo que se confirma en C8, donde dice que tiene a veces ganas de abandonarlo y que luego lo olvida. Precisamente, como los olvida, no surgen complejos:

"...obtengo un resultado que me entusiasma, o bien no obtengo nada y me olvido..." (C9).

 

La entrevista posterior al primer problema nos conduce indefectiblemente a pensar que suele sentir ganas de abandonarlos, ya que pone de manifiesto que no está dispuesto a enfrentarse a verdaderos problemas:

"...La verdad es que, si un problema me da mucho la lata, lo suelo dejar..." (1U10).

 

Asimismo, en la entrevista correspondiente al tercer problema afirma:

"...[Me he sentido cómodo con el problema] porque no he tenido que pensar mucho..." (3U4).

 

1.4.2. Confianza en sí mismo.

2) Posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver el problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera. Si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo .

Entre las cuestiones C22 y C23 pone en evidencia que no confía en sus posibilidades cuando un problema cae en un área que domina menos, mientras que en caso contrario

"...no lo abandono con facilidad, quizás por no defraudarme a mí mismo..." (C23)

En C24 añade que, cuando un problema cae en un área de poca confianza,

"...[Siente] desánimo y pocas ganas de intentarlo. Puede ser porque de antemano pienso que no voy a saber resolverlo, con lo que considero absurdo perder ese tiempo y es difícil que ni siquiera lo intente...",

explicitando de esta forma un bajo nivel de confianza en sus posibilidades.

El propio protocolo del primer problema lo confirma (E1):

"...Es un problema que de entrada no me gusta, quizás porque me siento bastante flojo en Geometría...".

Más aún, preguntado sobre la causa o razón de las tres o cuatro lecturas iniciales del enunciado, dice que

"...quizás sea debido a la inseguridad inicial..., está claro leyéndolo una sola vez..." (1U2).

 

En el segundo problema tampoco muestra confianza en sus posibilidades, aunque el problema no es de Geometría. Prueba de ello es el hecho de dejar la resolución a falta todavía de 9 minutos, a pesar de pensar en una posible solución:

"...Parece evidente que, comenzando por cualquier otro número, se llegaría a una conclusión parecida..." (E5),

"...[No seguí] Porque pensé que en 9 minutos no me iba a dar tiempo de sacar esas reglas..." (2U4).

 

En el tercer problema se siente algo más cómodo porque

"...cabe de entrada ya tantear..." (3U4),

agarrándose aparentemente al tanteo como tabla de salvación.

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

2) Muestra un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

En el primer protocolo evidencia fallos en el conocimiento a nivel elemental. En particular, el párrafo final es un poco catastrófico:

"...Estoy pensando si, en este caso [número par de lados], las diagonales dividen el polígono en triángulos equiláteros, en cuyo caso el problema estaría resuelto..." (E8).

Aparte de lo anterior, no aplica ningún conocimiento relevante a lo largo de la resolución (por ejemplo, razones trigonométricas, o bien un estudio más fundamentado).

A pesar de lo manifestado en la entrevista posterior al segundo problema,

"...No, al revés. Me gusta [estudiar caso generales]..." (2U5),

el protocolo pone de relieve el temor a abordar casos generales no triviales (final E2 y final resolución).

Lo anterior es confirmado en el tercer problema, donde el tanteo no le lleva a una generalización bien formalizada:

"...Esto se generaliza fácilmente, obteniéndose, en definitiva, que dichos números son 1, 2, 5, 19, 100, 1000, ..." (E4).

Se trata de un caso claro de falta de aplicación de un conocimiento que tiene adquirido.

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

1) La memoria desempeña un papel imprescindible, produciéndose un bloqueo total si falta.

La información proviene de la cuestión C19:

"...Me desanima y lo abandono [cuando pienso que no poseo suficiente conocimiento para resolverlo]. No voy a dedicarle el tiempo que necesitaría...",

lo que deja claro el importantísimo papel que concede a la memoria, tal que, si falta, abandona.

Tal actitud se confirma en el primer protocolo, donde rehuye aplicar el teorema de Pitágoras en E7 para encaminar el proceso de resolución (aunque fuera en un caso particular), dando la impresión de necesitar alguna fórmula o regla que le convierta el problema en un ejercicio de aplicación.

En el segundo protocolo se contenta con la estética de la solución aportada en base al conocimiento de las potencias de 2, lo que no proporciona información directa respecto al papel que concede a la memoria, aunque permite sospechar que el apoyo acrítico en ese conocimiento está cimentado en un apego a la memoria.

El tercer protocolo se da por acabado a falta de 19 minutos, sin haber justificado la generalización que supone (E4), lo que puede deberse a una mezcla de falta de interés por resolver problemas, la necesidad de disponer de algo que aplicar mecánicamente y la falta de confianza, consiguientemente, en diseñar un procedimiento alternativo.

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa.

4) Obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

Independientemente de la superficialidad de la resolución, se ha hecho con la estructura del primer problema, obteniendo una representación significativa tanto de la primera parte como de la segunda. Precisamente, la cita de E8 referida en 1.5., aunque errónea, pone de manifiesto su interés por expresar todas las variables intervinientes en la fórmula del área de un polígono regular en función de las diagonales.

En el segundo problema también capta su estructura, entendiendo las condiciones. Esto es puesto en evidencia por el comentario final de E3 y de E4.

En su primera respuesta de la entrevista correspondiente al tercer problema dice

"...Primero, al leer el enunciado, el ejemplo que hay, del 5, eso me llevó rápidamente a pensar que el 2 también lo era y... rápidamente también el 1. Luego me di cuenta que los demás números, si ponías...simplemente poner un 1 delante, ya no salía...Esto es clave..." (3U1),

lo que pone de relieve haber captado adecuadamente la estructura del problema

Sin embargo, una constante en los tres protocolos es la dificultad a la hora de formalizar (E4 y E8 del primer protocolo, E2 y E5 del segundo y E4 del tercero).

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

3) Existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

La planificación inicial del primer problema, basada en el tanteo, es oportuna

"...voy a probar con ejemplos. Esos ejemplos me van a ir dando ideas..." (1U5),

aunque no profundice en los resultados de cara a saltar del tanteo a la búsqueda de regularidades. Cuando organiza el resto de la resolución, donde deja abierta la posibilidad de volver a la primera parte (pues supone que la segunda puede ayudar a resolverla), no profundiza en las condiciones del problema. Si lo hubiera hecho, se habría percatado de que la fórmula que se obtuviera en la segunda parte sólo podría ser una generalización del caso del cuadrado, pero en ningún momento podría confirmar que la igualdad de lados es una condición necesaria, ya que esta condición la cumplen todos los elementos considerados en ella.

Las razones que da para descartar los polígonos con número impar de lados se pueden resumir diciendo que le resultan asimétricos y, por tanto, no sujetos a la estrategia que tenía en mente, lo que muestra una falta de flexibilidad para modificar sus procesos mentales, siendo incapaz de adaptarlos según las circunstancias.

El inicio del segundo problema es adecuado, pues establece una conjetura (ya sabe qué quiere) y tantea con la intención de buscar una regla. Sin embargo, el hecho de aceptar inicialmente el 6 como válido, después de que se descartaran el 3, el 5 y el 7 y fueran válidos además 1,2 y 4, muestra falta de intuición, confirmada por el hecho de no replantearse la validez del 6 una vez que tras él se descarten todos sin dejar "huecos", lo que muestra también el carácter mecánico del proceso, restando eficacia a la planificación.

En el tercer problema efectúa un tanteo adecuado con las cifras significativas y, una vez acabado el estudio de éstas, llega a formular su conjetura con excesiva precipitación, pues, al ver unas soluciones, ya supone que no hay más, cuando no ha completado un tanteo sistemático. Esta precipitación a la hora de formular la conjetura puede ser causa de no haber visto más divisores de 100 con dos cifras que el 10, pues era el que le corroboraba su suposición.

Continuando con el análisis secuencial, tras formular su conjetura, estudia los números según el número de cifras, analizando si 1x es divisible por x, lo que estima ser condición necesaria, pero no suficiente, aspecto relativo a la eficacia de su planificación:

"...Si 1x no lo verifica, ya el número está descartado. Si lo verifica, habría que seguir probando, habría que seguir viendo si lo verifica en general, con otro número..." (3U7).

El párrafo de la entrevista

"en el minuto 10, 'Tomando cualquier otro número...', estaba un poco inseguro, sin confianza, iba a poner 1x=nx y no sabía muy claro si iba a llegar a algo. Sin embargo, los cálculos me llevaron a verlo con claridad, o sea, que en este punto los cálculos han sido fundamentales" (3U8)

pone de manifiesto el poco dominio de la planificación del proceso, no sabiendo de su utilidad o adecuación hasta la obtención de resultados, así como la ausencia de empleo de la intuición, lo que es extraño en este caso por la sencillez de lo que se plantea.

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

3) La ejecución es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

En el primer problema descarta los polígonos con un número impar de lados, pensando que en esos casos no podría sacar ninguna relación entre las diagonales y el área, porque

"...al trazar las diagonales...en un polígono regular que tenga un número par de lados, van a quedar trozos regulares, en uno impar no..." (1U4),

mostrando una ejecución ineficaz, que podía haber solventado con un simple dibujo.

Es pobre el estudio efectuado para el rectángulo (E2), pues no indaga cuándo puede valer la fórmula, aunque no tiene repercusiones en la resolución. Ya con el rombo (E2), establece la diferencia con el rectángulo en la igualdad de los lados, a pesar de obtener la fórmula del área del rombo a partir de la descomposición en 4 triángulos rectángulos. Falta, pues, una profundización en las condiciones que motivan la validez de la fórmula en el rombo, y sobra precipitación en focalizar la condición para que esto ocurra. Hay también un error al final (ya comentado), consistente en interrogarse si las diagonales de los polígonos regulares con número par de lados dividen dichos polígonos en triángulos equiláteros, lo cual sólo ocurre, como debería saber y saber emplear, en el exágono.

Se hace patente la ausencia del trabajo con los ángulos, lo que le podría haber conducido a la perpendicularidad de las diagonales (primera parte) y a expresiones de los lados y apotemas en función de las diagonales (segunda parte).

Con el exágono se deja ver asimismo una pesadez de cálculo, así como temor a aplicar hechos conocidos (T. de Pitágoras) que podrían haber supuesto la resolución particular del problema. Además, no cae en la cuenta de la existencia de otras diagonales.

En el segundo protocolo se percata del error cometido en E2, dando 6 como solución, en lugar de 8. Por lo demás, la ejecución es adecuada al plan, aunque se echa en falta el abordaje de casos generales.

Cuando, en el tercer problema, estudia el caso de dos cifras (E4), pasa por alto los números 4, 20, 25 y 50, también divisores de 100, lo que se debe, según afirma en la entrevista, al hecho de ir rápido y de confundirse con el 4, restando eficacia a la ejecución:

"...Estuve pensando en el, concretamente en el 4, 25, sin embargo, me vine aquí y me confundió el 1x, porque puse: 14 por 4 no, y, entonces, lo descarté. La verdad es que fue muy rápido..." (3U9).

No haber completado un tanteo sistemático puede haberle conducido también a formular precipitadamente su conjetura (final E3). Preguntado sobre si se ha planteado generalizar el resultado, afirma haberlo hecho, lo que da una idea del escaso rigor que le concede al proceso de generalización, exento de toda formalización, basado exclusivamente en los casos de 1, 2 y 3 cifras, sin ni siquiera formular la condición para el caso general.

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

2) El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

En el primer protocolo la revisión, de proceso o cálculos, brilla por su ausencia, como confirma en la entrevista:

"...No me he detenido mucho [en analizar la corrección de cada paso]..., lo mismo podía haber metido...una gamba, como dicen los alumnos..." (1U11).

 

En el segundo problema es apropiada la decisión de repasar cuando obtiene una solución que no coincide con lo que esperaba (E3). Esto le hace concluir lo deseado (su conjetura), expresando los números como potencias de 2:

"...Una vez que fui dando dorsales y descartando números que ya daban sumas, que existían, pensé que así seguiría y...que me iba a pasar de 1000. Ese fue mi primer descubrimiento. Además, concretamente, cuando llegué al último [996], pensé que, o, o no era cierto el enunciado o yo me había equivocado... Ya lo revisé y vi que me había equivocado en el 6..." (2U2)

No obstante, una muestra de que gran parte de la revisión es encaminada a la satisfacción propia, a obtener un ejemplo para extrapolar indebidamente, es lo expresado casi al final de la entrevista:

"...Muy por encima [he analizado la corrección de cada paso]. La verdad es que me ha, me ha dado una impresión de seguridad cuando he llegado a la conclusión que ahí escribo..." (2U6),

lo que coincide con el escaso tiempo invertido en repasar

"...lo que he hecho...",

frase con la que finaliza el protocolo.

En la entrevista posterior al tercer problema confiesa no haber revisado la ejecución ni el proceso, aunque dice que suele hacerlo:

"...sobre todo el proceso, menos...los cálculos..." (3U6).

Esta falta de revisión es asimismo constatable a lo largo del protocolo.

En suma, por lo general sólo revisa cuando algo no le encaja en su hipótesis; en caso contrario, se conforma con un proceso en base a la apariencia de los resultados que va obteniendo, aunque disponga de tiempo para efectuar una revisión (por ejemplo, 19 minutos en el tercer protocolo).

2.5. Nivel de acabado de la solución.

1) Se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

En la respuesta a C15 deja claro que no se dedica a buscar otras formas de solución de un problema, aunque pueda ocurrírsele algo de forma involuntaria:

"...No lo hago a propósito, sino que pensando después en el problema se me ocurre otra idea...".

 

En el primer problema, realiza conjeturas insuficientemente fundamentadas y basa sus respuestas en un hecho concreto. En efecto, la solución dada para la primera parte (E3) es la que primero se encuentra, sin preocuparse de fundamentarla o cuestionarla.

En el segundo problema da por evidente que el caso general lleve a la misma conclusión (E5) y, a falta de 9 min., repasa por encima y concluye la resolución. En ese momento se echa en falta una contrastación del resultado con su sensación inicial

("...pensé que era raro que eso no ocurriera...") (2U1),

dando prioridad a lo que podía inducir el enunciado, por delante de un propósito de racionalidad o fundamentación del proceso. En efecto, no existe ninguna justificación de que lo que ocurre en el ejemplo vaya a ocurrir siempre, sean cuales sean los números o se empiece por el número que sea; y no hay justificación, porque no ha analizado las causas que motivan la viabilidad del ejemplo. En ningún momento se ha preguntado qué números se van descartando cada vez que se selecciona uno nuevo y por qué. Ello le habría llevado, por ejemplo, a que, mientras que, si los números son pequeños, se descarta su suma (<1000), esto no ocurre cuando los números son muy grandes (suma >1000), lo que provoca que la cantidad de números a descartar disminuya y, por consiguiente, sea posible encontrar 11 números con las condiciones requeridas.

En el tercer protocolo es achacable una gran dosis de superficialidad o conformismo con los aparentes resultados, sin preocuparse de en qué medida encajan en las condiciones del problema. De nuevo hay que aludir al hecho de no haber completado un tanteo sistemático (E3) como justificante de, una vez obtenidas unas soluciones, suponer que ya no hay más. Por otra parte, es positiva la simplificación consistente en considerar 1x en lugar de wx (E4), aunque no se da cuenta de que, además de necesaria, la condición de divisibilidad de 1x por x es suficiente. Esto es una muestra más de la superficialidad de la resolución, aunque no le haya influido en sus resultados, ya que los casos menos claros de divisibilidad no han sido considerados. Responde afirmativamente a si se ha planteado si la solución es razonable, no dando más detalles, lo que hace suponer que no ha existido un planteamiento en profundidad, tan sólo una conveniencia de los resultados.

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

2) Escasa, le cuesta trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

"...Suelo introducirme rápidamente en la ejecución. Nunca he dedicado mucho tiempo a un problema..." (C13).

Esta respuesta hace pensar inicialmente en la poca importancia concedida a la fase de comprensión.

En el primer problema, debido a su inseguridad, lee unas cuantas veces el enunciado,

"...lo he leído tres o cuatro veces..." (1U1),

aunque, al parecer, con impaciencia (enseguida pasa al tanteo), ya que se bloquea cuando ha de invertir esfuerzo y tiempo, pues, en realidad, no está dispuesto a enfrentarse a problemas. Independientemente de lo anterior, parece haber obtenido una buena comprensión de la situación, lo que le puede haber impulsado a pasar rápidamente a la planificación.

En el segundo problema no hay mucha información, salvo las dos lecturas iniciales, por otra parte algo bastante común. Tras las mismas se hace con la comprensión. No obstante podría achacársele no haber profundizado en las condiciones con vistas a obtener una formalización de la situación.

Comienza la resolución del tercer problema releyendo el enunciado, deteniéndose en el ejemplo,

"...lo he hecho [leído] tres veces. Sobre todo, he machacado en el ejemplo..." (3U2),

para

"...enterarme bien de lo que se pregunta..." (E1),

lo que muestra un intento plausible de hacerse con la comprensión de la situación.

Así, pues, se aprecia una aparente contradicción entre lo que afirma en C13 y lo que puede observarse fundamentalmente en el tercer protocolo. Sin embargo, ambas cosas son compaginables si se enfocan desde la perspectiva del poco hábito y deseo de resolver situaciones que realmente sean problemas para él. De hecho, ha comprendido bien las situaciones, pero en los tres protocolos se constata la superficialidad con la que aborda la resolución. Si esto lo unimos a lo que expresa al final de su respuesta a C12,

"...si llego a la conclusión [al enfrentarme inicialmente a un problema] de que no lo tengo [suficiente conocimiento], lo abandono...",

nos hace pensar que no acostumbra a invertir mucho tiempo y energía para hacerse con la comprensión de la situación.

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

2) La importancia otorgada a la planificación es escasa, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

De nuevo C13, referida en 3.1., aporta información. En concreto, informa de la escasa importancia concedida a la planificación.

Esto se ve confirmado en el primer problema, en el que no se preocupa de detallar su planificación, debiendo haber esbozado un plan pormenorizado en el que encajar las condiciones del problema y los posibles resultados parciales.

En los otros dos problemas también emplea esencialmente el tanteo, lo que le lleva a formular una conjetura que no fundamenta. No obstante, el tercer protocolo aporta más información:

"...estaba un poco inseguro, sin confianza, iba a poner 1x=nx y no sabía muy claro si iba a llegar a algo. Sin embargo, los cálculos me llevaron a verlo con claridad, o sea, que en este punto los cálculos han sido fundamentales..." (3U8).

La frase anterior pone de manifiesto la poca importancia dada a la planificación del proceso, no sabiendo de su utilidad o adecuación hasta la obtención de resultados (E4). Además,cuando ve algo claro, no se plantea nada más, lo que evidencia falta de interés por conseguir la mejor planificación posible:

"...lo vi claro... Ya no he tenido la necesidad de pensar en otra forma..." (3U3).

 

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

2) La explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

En el primer protocolo la ejecución es escasa, por lo que hay poca información concerniente a la importancia que da a la explicitación del estado de la misma. No obstante, puede decirse que alterna una explicitación aceptable en la primera parte (final E2 y E3), donde resalta un logro intermedio y aclara su propósito, con lo acontecido entre los minutos 25 y 35. En este período, en el que escribe poquísimo, no hay ninguna explicitación y apenas ejecución. Lo aclara en la entrevista:

"...Me parece que estaba haciendo el caso del exágono, pero, en realidad, estaba pensando en el caso general..." (1U6).

Sin embargo, nada explicita al respecto en el protocolo (E7), a pesar del tiempo invertido pensando.

En el segundo protocolo no especifica la obligatoriedad de seleccionar los primeros números que no se deben descartar, empezando por el 1, aunque selecciona con ese criterio. Este hecho concuerda con la supeficialidad generalizada que impera en los protocolos (una explicitación adecuada del estado de la ejecución impulsa un proceso más coherente). Hay que destacar que al final del protocolo escribe

"...Hay que pensar que al añadir un término, por ejemplo el 64, se obtienen todas las sumas anteriores, pues siempre podemos ir sumando 1, 2, 3,...",

pero esto no es más que la justificación, pobre por otra parte y bastante poco detallada, de su solución; no se trata de una explicitación encaminada a dejar claro qué se está haciendo, o por qué, o qué se hará con lo que se obtenga.

En el tercer protocolo, hay una explicitación narrativa en los episodios E3 y E4, pero no pasa de la narración de lo que ha hecho o va a hacer, sin dar explicaciones de cómo encaja en la resolución del problema.

3.4. Coherencia y control del proceso.

2) La coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo control efectivo.

En C14 afirma:

"...Reviso el planteamiento. Me gusta asegurarme de que todo lo que he hecho es correcto...",

pero se trata de una búsqueda de corrección dentro de la supeficialidad con que aborda los problemas y de su ya referida poca predisposición a enfrentarse a situaciones que son problemas para él.

En el primer problema no efectúa una buena decisión de control cuando se dedica a la segunda parte, pensando que

"...incluso la segunda cuestión podría resolver la primera..." (1U3).

No es una buena decisión, ya que, como debería haberse percatado, la fórmula que se obtuviera en la segunda parte sólo podría ser una generalización del caso del cuadrado, pero en ningún momento podría confirmar que la igualdad de lados es una condición necesaria, ya que esta condición la cumplen todos los elementos considerados en ella.

En el segundo problema la coherencia es sólo buscada para satisfacer una hipotética solución, no para garantizar la progresión hacia una solución adecuada (algo que se repite en los otros dos protocolos). Puede, por tanto, afirmarse que no hay una elección cuidadosa de los recursos a explotar.

En el tercer problema hay que aludir de nuevo a que da la impresión de que no existe un planteamiento en profundidad de la razonabilidad de la solución, tan sólo una reflexión en base a la estética de los resultados (final E3 y final E4).

En definitiva, se repite en los protocolos la falta de planteamiento de progreso hacia soluciones adecuadas. Por otra parte, los protocolos son coherentes, pero enmarcados en superficialidad y en el hecho de no explotar suficientemente los recursos a su alcance.

3.5. Organización temporal.

2) Tener un plazo definido de tiempo para la resolución le condiciona bastante, suponiendo inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, provoca la falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

El tiempo lo tiene en consideración, como afirma en la entrevista posterior al primer problema:

"...vi que quedaba poco tiempo y traté de expresar...las ideas que tenía o las ideas que me había dado este ejemplo [E7]..." (1U7).

Incluso da una excusa por no haber terminado la resolución:

"...con tiempo de sobra, hubiera terminado el exágono..., luego, me parece que es fácilmente deducible, ya para los siguientes polígonos,...número de lados par..." (1U9);

no obstante, como ya se ha comentado, está más de 10 minutos sin escribir prácticamente nada (entre el 25 y el 35 fundamentalmente), y se debe a que está tratando el caso del exágono como exponente del caso general, lo que hace que no obtenga la solución para el propio exágono. Por tanto, la limitación temporal no es la culpable de no haber avanzado en la resolución para el exágono, sino su comportamiento ante tal condicionante.

El tiempo tampoco supone agobios en el segundo problema, pues acaba 9 minutos antes del límite. De nuevo es contradictorio en su manifestación:

"...Pensé en el tiempo que tenía para resolver el problema. Posiblemente, si hubiera sido un problema que yo me hubiera planteado, no hubiera seguido así [final E2], hubiera cogido ya un a y un a+1, pero...no estaba seguro de la resolución del problema...[silencio de 4"] Es posible que si hubiera estado ya seguro, hubiera dejado de tantear con los números y lo hubiera hecho con n y n+1..." (2U3),

evidenciando que el problema no fue el tiempo, sino el estado de su resolución.

En el tercer problema todavía es más claro el papel del tiempo, pues no revisa ni proceso ni cálculos, dando por acabada la resolución a falta de 19 minutos. Aparece, de nuevo, la constante reacción ante la limitación temporal: temor a adentrarse en procesos no mecánicos.

En definitiva, el tiempo no ha sido agobiante para AP, todo lo contrario: disponiendo de tiempo, no lo ha empleado en mejorar la resolución. Sin embargo, se constata que, en realidad, la limitación temporal le lleva a no aventurarse desarrollando o planificando una estrategia a fondo.

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

2) Conoce algunas estrategias de RP. La constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

Al dar las características de un experto en resolución de problemas (C18), muestra desconocimiento de las componentes principales, centrando su atención en los conocimientos específicos (enfatizando el razonamiento lógico) y la actitud y la experiencia:

"...Conocimientos. Interés y ganas. Capacidad de razonamiento. Experiencia. Concentración. Visión y abstracción...",

sin dar más detalle de manejo de estrategias o de aspectos metacognitivos.

En C20 insiste en la experiencia:

"...Para ser experto hay que resolver bastante...".

 

Por otra parte, sólo nombra cinco estrategias de resolución en C10, entre las que no aparece ninguna de verificación.

Respecto al tanteo, sabe qué se puede obtener de él:

"...lo considero básico para obtener ideas que te lleven a resolver el caso general..." (1U8),

y, de hecho, es ampliamente utilizado en los tres protocolos, aunque, como se ha dicho anteriormente, el tratamiento de la generalización es muy superficial, poco fundamentado. En la entrevista correspondiente al tercer problema añade:

"...si en un problema...no tienes la alternativa de poder tantear, pienso que la dificultad es muchísimo mayor..." (3U5),

cosa que es cierta, pero, al mismo tiempo, confirma el haberse agarrado al tanteo en los tres protocolos.

Globalmente pone en juego los siguientes heurísticos:

- Primer problema: organizar la información (comprensión), tantear, conjeturar (planificación).

- Segundo problema: organizar la información (comprensión), tantear, conjeturar (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Tercer problema: organizar la información (comprensión), tantear, considerar problemas equivalentes, descomponer el problema, conjeturar (planificación).

En definitiva, una pequeña muestra de sus recursos, lo que se pone aún más de relieve cuando, en el primer protocolo, a partir del minuto 20 no llega a ningún planteamiento claro, a pesar de llevarse tanto tiempo sin escribir.

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

 

El gráfico induce a situar a AP en la banda 1-3, subbanda 2-3, en lo que a las categorías 2 y 2 se refiere. De forma más específica, la categoría 2 es asociable a la subbanda 2-3 fundamentalmente (con un nivel 1 y otro 4), y la categoría 3 es constantemente 2. Globalmente, pues, podemos simbolizar las categorías 2 y 3 por B1-3 (con un 4), S2-3 (con un 1).

IV.1.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

Todo parece indicar que, para AP, el hecho de estar siendo observado supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, aunque lo supera paulatinamente.

En cuanto a su actitud hacia los problemas cotidianos, los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

Entrando ya en el terreno de la matemática, el abordaje de problemas continúa ocurriendo casi siempre en solitario. Suele estar motivado por causas ajenas a la docencia o la investigación y, aunque, de hecho, no suele enfrentarse a problemas, le atraen más que los ejercicios. Puede inferirse además que, cuando se enfrenta a problemas, suelen aparecer miedos, complejos, desánimo y ganas de abandonarlos, lo que en ocasiones provoca grandes lagunas de concentración y de efectividad en el abordaje de los mismos. A esto hay que añadir que posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver un problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera. Si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo .

El conocimiento mostrado ha resultado inoperante, siendo incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto pueda no ser mucho.

Respecto al papel de la memoria, ésta desempeña un papel imprescindible, produciéndose un bloqueo total si falta.

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

En general, obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

En los protocolos se observa que existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

En cuanto a la ejecución, es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

Esta disminución en la efectividad se agudiza en el empleo de la revisión, que es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

De la misma forma, deja mucho que desear el nivel de acabado de la solución, pues se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

De los datos que muestra se extrae la idea de que le cuesta trabajo invertir el tiempo de resolución en intentar comprender la situación, concediendo escasa importancia a esta fase. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

Análogamente, la importancia otorgada a la planificación es escasa, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

También es escasa la explicitación del estado de la ejecución y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

Por su parte, en general, la coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo control efectivo.

Respecto a la organización temporal, le condiciona bastante tener un plazo definido de tiempo para la resolución, provocándole inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, conduce a una falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

Finalmente, parece que conoce algunas estrategias de RP, aunque la constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

IV.1.4. ANÁLISIS FINAL

Superficialidad de planteamientos

Concuerda la escasa frecuencia de enfrentamiento a problemas matemáticos (aunque le atraen más que los ejercicios) (1.3.-2) con la puesta en práctica, como profesor, de una metodología en la que la ejercitación reproductiva (TE1) predomina. Asimismo, el poseer muy poca confianza en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-2) puede apuntar una correspondencia con el hecho de ajustarse, como profesor, a una programación más o menos rígida, pero, en cualquier caso, secuenciada, estructurada y cerrada (TR o TE4) y a la consideración de mínimos rígidos a la hora de evaluar (TE30), ya que en ambos casos se vislumbra en el fondo un miedo a lo desconocido (muestra también ganas de abandonar la resolución de los problemas (1.4.1.-2)) o a lo aparentemente desorganizado. Esta suposición se ve respaldada por el aferramiento a la memoria (1.6.-1), en perfecta concordancia con la concepción del aprendizaje por apropiación (TR10), el papel otorgado al alumno, el cual debe escuchar, reproducir y atender (TR o TE17, T18) y la valoración de la memoria en la evaluación (TR28). Por otra parte, lo anterior aporta un matiz a su posicionamiento en relación al tipo de conocimiento y al modo de evolución. En efecto, las unidades de información asociadas a la concepción del conocimiento matemático como estructurado significativamente, siendo el núcleo los conceptos y valores racionales (P1), indican poco peso de este indicador (pero fue corroborado en el consenso), por lo que parece que, según lo expuesto, dentro de P1 concede más importancia a los conceptos que a los valores racionales. Esto no es en absoluto contradictorio con su asignación del razonamiento lógico (P7) al modo de evolución, sino que lo especifica: se trata de un razonamiento lógico encorsetado, en base a leyes establecidas y reglas de juego prefijadas que deben ser memorizadas.

El ya mencionado papel acrítico del alumno se ve reflejado en su escaso empleo de la revisión (2.4.-2), entrando todo a formar parte de una misma idea: superficialidad de los cuestionamientos (aunque pienso que esta concordancia no ha de darse en todos los casos), lo que coincide asimismo con su bajo nivel de acabado de la solución (2.5.-1) y está en concordancia con el carácter útil que otorga al conocimiento matemático (IN3).

Su bajo nivel en el control de la acción (2 en todos los indicadores) encuentra también su mejor aliado en IN3, aunque no pueda hablarse de una consecuencia inmediata; no obstante, ese rasgo instrumentalista, unido al fin externo (IN4), pueden ayudar a respaldar la idea de la inutilidad de los aspectos organizativos de la resolución de problemas. De todas formas, lo más evidente es, como se ha dicho, la superficialidad de sus planteamientos, hecho que se desprende tanto de su tendencia didáctica como de su modelo de concepción de la matemática, como de su perfil como resolutor.

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