ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE JR 

IV.3.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

 IV.3.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

METODOLOGÍA (I)

19.Yo planteo objetivos escalonadamente...Viendo el grado de respuestas de los alumnos, se puede conseguir en uno o se puede conseguir en tres, pero, vamos, cuando al final de la programación del tema ya he acabado, pues entonces se dedica a un repaso global, un día o dos días, y ya queda repasado, aunque hay alumnos, desgraciadamen-te, que no lo consiguen. El resto de los alumnos, que normalmente se procura que sea del 80% en adelante, lo ha conseguido, y tú el machacar un tema aburre a la clase y los desmotiva. 2.(Creo que aprendemos las matemáticas)mal...La forma de enseñar matemáticas...era las matemáticas son esto y esas herramientas son las matemáticas, y para de contar, y después te decían algunos de los problemas que te resolvían las matemáticas. Nosotros estamos intentando de enfocarlo, por lo menos allí, desde otro punto de vista: el problema es éste y qué es lo que nos hace falta, se van a plantear estos problemas en el desarrollo de vuestra carrera. Bueno, les planteamos problemas, y a expresar una teoría matemática, por encima....en el mismo BUP, sabéis que, bueno por lo menos el 90% hasta los últimos años siempre era teoría de funciones y jamás, jamás se le explicaba al niño de dónde salían las funciones. 8.(Respecto a la enseñanza del algoritmo de resolución de la ecuación de segundo grado)Lo hicimos durante un par de años resolviendo las ecuaciones de segundo grado buscando un cuadrado perfecto, sin decirles el algoritmo ni nada...,después deshacíamos los cambios de sustitución que habíamos aplicado. 31.(Respecto al abordaje del teorema de Tales) Intentábamos de ver la necesidad de trasladar sobre una situación real, que era, yo qué sé, el estudio de...calcular las alturas de un punto, eso es, entonces trasladar aquello al papel, vamos, al lápiz y papel; entonces le vimos la necesidad, bueno que tú podías pintar aquella cosa, aquello que estaba fuera, tú lo podías pintar dentro; después, bueno, vimos que realmente a veces te daba igual, bueno, ver la semejanza que había entre un triángulo y otro y después, a partir de ahí, ver las proporciones entre los lados, cosas así. Y todo eso se vio, quiero recordar que era... de figuras que teníamos de la realidad, pasarlas al papel.

TE1+4:Ejercitación reproductiva.Programa- ción secuencial, estructurada y cerrada             TE2:Simulación puntual de investigaciones (medios técnicos)                     TE2           TE2

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

METODOLOGÍA (II)

32.(Para enseñar la irracionalidad de raíz de 2)lo primero que intentamos es que el alumno llegar a intentar buscarle muchísimas cifras decimales, hasta que se aburriese, como aquél que dice. Llegaba un momento en que veía, pues este número es un número raro, este número no tiene período; como no tiene período, vamos a ver qué pasa; entonces, cuando se ve que no tiene período, se intenta de ver que es un número irracional y vamos a ver que no es fracción. Como hasta ese momento sabe que todos los números racionales tienen todos una fracción decimal, una fracción, pues se ve que es imposible. 7.(Respecto al interés del aprendizaje del algoritmo de la ecuación de segundo grado)Pasa como con todos los algoritmos, si tú no lo aplicas bien, si tú no le dices al alumno cuándo se aplica y cómo se aplica, y cuándo hay que aplicarlo bien, pues no es interesante. 12.(Respecto a si los alumnos saben lo que valoro...)Creo que sí...,más que reflejarlo...en la programación que se les da a ellos, se refleja directamente en las clases y en los primeros días de clase, cuando se les orienta que tienen que saber hacer, qué es lo que nos interesa a nosotros que ellos sepan hacer, para qué queremos que sepan eso. Algunos de ellos sí lo entienden y eso es lo que les exijo. 16.(A la hora de programar...)lo primero que buscaba era ver qué objetivos había que tratar de conseguir y después buscaba qué recursos tenía que utilizar para conseguir esos objetivos...Buscando un tema que sea más sencillito, un tema de funciones...primero me planteaba a nivel personal qué objetivos pretendía que ellos intentaran de conseguir...,saber claramente la variable dependiente, independiente...,después me iba a qué recursos me hace falta a mí para utilizar eso; bueno, pues, para utilizar, para saber la variable dependiente, independiente...algunos ejemplos, ecuaciones sencillitas, yo qué sé, un hombre que está enfermo y la relación gráfica temperatura con el número de días y cosas de ésas, ¿no?, para ver perfectamente qué es variable dependiente-independiente... y para gráficas, pues distinguir los distintos tipos de gráfica, incluso la variable discreta de la variable continua, porque, como tú sabes, a los niños tú les das una tabla de valores y lo primero que hacen es pintarlos todos y correrlos; entonces, hace falta también distinguir los tipos de gráficas que hay y después lo normal, llegar a un desarrollo matemático del tema.

TE2:Simulación puntual de investigaciones (medios técnicos)                 TE3:Objetivos terminales operativos       TE3             TE3

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

SENT. ASIGNAT. (I)

5.(Para que ellos aprendan)Antes de nada examinar el tema previamente, que eso ya lo sabemos, y después los temas con desarrollos matemáticos fuertes, los suprimo... yo prefiero que el alumno en la clase nunca se me aburra. El tema de límites, por ejemplo,...con hacerle un par de ejemplos y ver que sirve el límite y que ellos comprendan que las propiedades algebraicas que luego tú les vas a definir se verifican, ya con eso me conformo para después definir las propiedades algebraicas y no tener que demostrar nada...En Medias...Era trabajar con un problema que les planteaba e intentaban resolver. La mitad de ellos se liaba en el cálculo, se perdían haciendo cálculos y después ya, después de que llevábamos dos clases perdidas haciendo cálculos y haciendo operaciones, pues al final, les planteé un camino idóneo para resolver ese prob. 9.(El algoritmo...)es un método que sale al final ...de un problema, que lo resuelve directamente, me da la solución. 20.(Respecto a cómo valora el grado de conocimiento en el caso de la ecuación de segundo grado)A través de un problema, que planteen la ecuación que sale; la solución no sirve para nada; lo importantes es...el desarrollo de cómo se calcula y lo va entendiendo, y eso es mucho más aceptable que ponga -b+ sqr, pero lo más importante de todo es distinguir cuál es la variable, cuál es la incógnita y el plantear el problema. 22.(Respecto de los instrumentos empleados para calificar)Ellos saben cómo valoro el ejercicio...,sobre 10, el planteamiento y discusión del ejercicio, pues eso te vale, pongamos, 5 puntos, después intenta obtener la solución; al obtener la solución, lo que tú tienes que valorar es si esa solución que te ha dado puede corresponder con el ejercicio que te han dado...La primera nota que yo extraigo de un ejercicio es una lectura global del ejercicio, de todos los comentarios que ha hecho, y ya después una cosa particularizada...para saber si ha tenido una pájara. 24.(Respecto a si los resultados influyen en la programación)No es decir un resultado que el niño tenga un...que el niño ha aprobado, sino la consecución de los objetivos...Si el objetivo se va consiguiendo, pues a lo mejor sí, si se puede dar un poco más de objetivos, sí, si no, no. 35.(Respecto al interés de contenidos como el IPC)Sí...en los límites que vamos a tener ahora de Enseñanza...eso no es de una materia en sí.

TE5:Aplicabilidad (proceso-producto)                           TE5   TE5               TE5                   TE5           TE6:Mat. escolar como adaptac.de la mat.formal a la problemática real

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

SENT. ASIGNAT. (II)

2.(Creo que aprendemos las matemáticas)mal...La forma de enseñar matemáticas...era las matemáticas son esto y esas herramientas son las matemáticas, y para de contar, y después te decían algunos de los problemas que te resolvían las matemáticas. Nosotros estamos intentando de enfocarlo, por lo menos allí, desde otro punto de vista: el problema es éste y qué es lo que nos hace falta, se van a plantear estos problemas en el desarrollo de vuestra carrera. Bueno, les planteamos problemas, y a expresar una teoría matemática, por encima....en el mismo BUP, sabéis que, bueno por lo menos el 90% hasta los últimos años siempre era teoría de funciones y jamás, jamás se le explicaba al niño de dónde salían las funciones. 13.(Objetivos en la asignatura)Útil a estos niveles para sus estudios...En Media, el planteamiento era...que los planteamientos de la vida cotidiana que surgen muchas veces por ahí, mismo en tv, lo que sea, gráficos y cosas de ésas, lo sepan entender; con eso yo ... Claro, después, a partir de ahí, habría dos enfoques, para alumnos que van hacia arriba y alumnos que se van a quedar ahí. A unos niveles de 2º o una cosa así, con que sepan entender una serie de gráficas, resolver una serie de problemas sencillos, tampoco muy graves, con eso me daba por satisfecho. A aquéllos que vayan a nota, habría que exigirles un poco más, un poco más en el aspecto de ya unas matemáticas un poco más estructural. 28.Se ha preguntado a compañeros de... a señores que han acabado la carrera y cosas de ésas, y a otros compañeros que están dando clase allí, de ingeniería, de química,..., realmente qué matemáticas les hace falta; entonces ésas se intenta de dar y aparte, después de eso, lo que intentamos es de ver qué es lo que hemos conseguido este año y procurar eliminar los errores que hemos cometido... Quizás la línea que estamos intentando conseguir ahora es simplificar el número de temas que, son herramientas útiles, pero no por ser las herramientas útiles no lleguemos a lo que realmente es interesante para ellos. 34.Información hemos recibido muchísima, más de la que se podía asimilar, pero no te han formado porque realmente pocos, por no decir ninguno, han dicho para qué servía aquello y qué problemas nos ha resuelto...Servir le sirve, lo que pasa es que había que motivar más las clases.

TE7:Informativa utilitaria                     TE7                       TE7                   TE7

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)	SENT.ASIGNAT. (III)
4'.(Respecto a en qué medida pueden darse cambios en la planificación de un tema)La asignatura va encaminada a que el alumno tenga los instrumentos matemáticos necesarios para sus estudios y la vida futura. La planificación de un tema puede ser modificada siempre y cuando, a través de la relación alumno-profesor se vea la necesidad de tratar dicho tema bajo otro punto de vista. Las matemáticas es una ciencia en constante evolución, con lo cual el tratamiento de los temas no se puede quedar en el pasado. 6'.(Lo más importante que debe aprender el alumno es el...)por y para qué de las matemáticas en sus estudios.	TE7:Informativa utilitaria                 TE7
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)	CONC.APREND. (I)
31.(Respecto al abordaje del teorema de Tales) Intentábamos de ver la necesidad de trasladar sobre una situación real, que era, yo qué sé, el estudio de...calcular las alturas de un punto, eso es, entonces trasladar aquello al papel, vamos, al lápiz y papel; entonces le vimos la necesidad, bueno que tú podías pintar aquella cosa, aquello que estaba fuera, tú lo podías pintar dentro; después, bueno, vimos que realmente a veces te daba igual, bueno, ver la semejanza que había entre un triángulo y otro y después, a partir de ahí, ver las proporciones entre los lados, cosas así. Y todo eso se vio, quiero recordar que era... de figuras que teníamos de la realidad, pasarlas al papel. 32.(Para enseñar la irracionalidad de raíz de 2)lo primero que intentamos es que el alumno llegar a intentar buscarle muchísimas cifras decimales, hasta que se aburriese, como aquél que dice. Llegaba un momento en que veía, pues este número es un número raro, este número no tiene período; como no tiene período, vamos a ver qué pasa; entonces, cuando se ve que no tiene período, se intenta de ver que es un número irracional y vamos a ver que no es fracción. Como hasta ese momento sabe que todos los números racionales tienen todos una fracción decimal, una fracción, pues se ve que es imposible.	TE9:Procesos inductivos simulados y deductivos                       TE9

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

CONC.APREND. (II)

10.(Sobre el peso de los algoritmos en la clase)Muy poco, porque no los utilizo casi nunca, salvo los que ya vienen los niños...y lo tienen que utilizar siempre, a veces te cuesta prácticamente la propia vida romperle la historia de que eso es así, entonces, al final tú caes en la misma inercia de, como ya lo hacen, tú lo tienes que hacer...yo siempre se lo digo a ellos cuando me preguntan por una fórmula, yo no me la sé, así que desarrollarlo y se acabó; realmente, casi nunca lo utilizo...El razonamiento... Los algoritmos y todas las películas esas, las intento de perder. 11.(Valoro en mis alumnos)El grado de comprensión de lo que yo he intentado de explicar. 5.(Para que ellos aprendan)Antes de nada examinar el tema previamente, que eso ya lo sabemos, y después los temas con desarrollos matemáticos fuertes, los suprimo...yo prefiero que el alumno en la clase nunca se me aburra. El tema de límites, por ejemplo,...con hacerle un par de ejemplos y ver que sirve el límite y que ellos comprendan que las propiedades algebraicas que luego tú les vas a definir se verifican, ya con eso me conformo para después definir las propiedades algebraicas y no tener que demostrar nada...En Medias...Era trabajar con un problema que les planteaba e intentaban resolver. La mitad de ellos se liaba en el cálculo, se perdían haciendo cálculos y después ya, después de que llevábamos dos clases perdidas haciendo cálculos y haciendo operaciones, pues al final, les planteé un camino idóneo para resolver ese prob. 17.(El fracaso en la consecución de los objetivos es debido a)La falta de motivación en parte, en parte una mala comunicación, también es verdad, porque creo que nos va costando trabajo ya comunicarnos...con lo que ellos... necesitan o quieren...y lo que... la sociedad consumista está bombardeando...Es muy difícil hoy en día ponerte al día en todo, ponerte al día nivel didáctico..., porque...nunca vamos a saber cuándo está bien o está mal, porque lo mismo que un desarrollo te da este año unos resultados estupendos, otro año, con otra problemática, no te da nada de resultado, porque el grupo se ha comunicado de forma distinta o tú no te has comunicado con el grupo o los alumnos son más clasistas, yo qué sé. ¿Cómo lo valoro...? 1'.El papel del profesor es fundamental a la hora de lograr un clima relajado y amigable ante la asignatura. Cuenta con muchas posibilidades de modificar la actitud de los al.

TE10:Por asimilación                   TE10   TE12:Dinamizador: lógica de la disciplina                           TE12                           E-I14:Actitud transformable

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

PAPEL ALUMNO

3.La buena enseñanza te va a influir en un 80 o un 90% el buen aprendizaje, pero hay factores externos que tú no los puedes controlar...grado de motivación del alumno o de la persona a la que se refiere la enseñanza en su casa. 17.(El fracaso en la consecución de los objetivos es debido a)La falta de motivación en parte, en parte una mala comunicación, también es verdad, porque creo que nos va costando trabajo ya comunicarnos...con lo que ellos... necesitan o quieren...y lo que... la sociedad consumista está bombardeando...Es muy difícil hoy en día ponerte al día en todo, ponerte al día a nivel didáctico..., porque... nunca vamos a saber cuándo está bien o está mal, porque lo mismo que un desarrollo te da este año unos resultados estupendos, otro año, con otra problemática, no te da nada de resultado, porque el grupo se ha comunicado de forma distinta o tú no te has comunicado con el grupo o los alumnos son más clasistas, yo qué sé. ¿Cómo lo valoro...? 25.(En mis clases)Lo que yo procuro es que (mis alumnos) estén relajados y que no vean con horror la clase de matemáticas, y claramente plantear algo polémico que intenten resolver; puede ser, de la manera más relajada posible, como cada uno quiera, individualmente, en grupos de 2 o de 3... 27.No, los aspectos comunes eran ver el problema que...el grado de motivación que tenía ese alumno en clase y por qué pensábamos que no rendía o que rendía y... si el grupo era malo el año anterior y no había habido solución, pues entonces te motivaba a quitarte más responsabilidades de que ese grupo era malo. 4.En la enseñanza son tres...núcleos muy diferenciados: padres, alumno y profesor. Una mala enseñanza, o para un mal aprendizaje los padres juegan un 30 o un 40 % y después la otra puede repartirse a partes iguales. Una buena concentración del chaval implica una buena enseñanza, seguro; eso es fundamental, para mí. 5'.(El alumno ha de ser)receptor de conocimientos, participativo en el aula y en la comunidad escolar. 11.(Valoro en mis alumnos)El grado de comprensión de lo que yo he intentado de explicar.

TE16:Responsable principal (motivación por el contexto)   TE16                         TE16           TE16           TE16+T18:Responsable principal (motivación por el contexto). Atiende       T18:Atiende   TE19:Cree

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

PAPEL PROF. (I)

5.(Para que ellos aprendan)Antes de nada examinar el tema previamente, que eso ya lo sabemos, y después los temas con desarrollos matemáticos fuertes, los suprimo..., yo prefiero que el alumno en la clase nunca se me aburra. El tema de límites, por ejemplo,...con hacerle un par de ejemplos y ver que sirve el límite y que ellos comprendan que las propiedades algebraicas que luego tú les vas a definir se verifican, ya con eso me conformo para después definir las propiedades algebraicas y no tener que demostrar nada...En Medias...Era trabajar con un problema que les planteaba e intentaban resolver. La mitad de ellos se liaba en el cálculo, se perdían haciendo cálculos y después ya, después de que llevábamos dos clases perdidas haciendo cálculos y haciendo operaciones, pues al final, les planteé un camino idóneo para resolver ese problema. 7.(Respecto al interés del aprendizaje del algoritmo de la ecuación de segundo grado)Pasa como con todos los algoritmos, si tú no lo aplicas bien, si tú no le dices al alumno cuándo se aplica y cómo se aplica, y cuándo hay que aplicarlo bien, pues no es interesante. 11.(Valoro en mis alumnos)El grado de comprensión de lo que yo he intentado de explicar. 3'.(Mi papel en el discurrir de las actividades de la clase ha de ser)indicarles (a los alumnos) cuáles son las posibles dificultades que se pueden encontrar y motivarles a que me indiquen métodos para solucionarlos. 2'.El contenido de la materia debe ser planteado desde un punto de vista práctico, indicándose un problema a resolver, para luego desarrollar la teoría que debe solucionar dicho problema. 2.(Creo que aprendemos las matemáticas)mal...La forma de enseñar matemáticas...era las matemáticas son esto y esas herramientas son las matemáticas, y para de contar, y después te decían algunos de los problemas que te resolvían las matemáticas. Nosotros estamos intentando de enfocarlo, por lo menos allí, desde otro punto de vista: el problema es éste y qué es lo que nos hace falta, se van a plantear estos problemas en el desarrollo de vuestra carrera. Bueno, les planteamos problemas, y a expresar una teoría matemática, por encima....en el mismo BUP, sabéis que, bueno por lo menos el 90% hasta los últimos años siempre era teoría de funciones y jamás, jamás se le explicaba al niño de dónde salían las funciones.

TE20:Transmite por procesos tecnológicos                             TE20         TE20   TE20+TE21:Transmite por procesos tecnológicos. Expone   TE20+23:Transmite por procesos tecnológicos. Técnico del contenido y del diseño didáctico TE21:Expone

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)	PAPEL PROF. (II)
28.Se ha preguntado a compañeros de... a señores que han acabado la carrera y cosas de ésas, y a otros compañeros que están dando clase allí, de ingeniería, de química,..., realmente qué matemáticas les hace falta; entonces ésas se intenta de dar y aparte, después de eso, lo que intentamos es de ver qué es lo que hemos conseguido este año y procurar eliminar los errores que hemos cometido... Quizás la línea que estamos intentando conseguir ahora es simplificar el número de temas que, son herramientas útiles, pero no por ser las herramientas útiles no lleguemos a lo que realmente es interesante para ellos. 5.(Para que ellos aprendan)Antes de nada examinar el tema previamente, que eso ya lo sabemos, y después los temas con desarrollos matemáticos fuertes, los suprimo...yo prefiero que el alumno en la clase nunca se me aburra. El tema de límites, por ejemplo,...con hacerle un par de ejemplos y ver que sirve el límite y que ellos comprendan que las propiedades algebraicas que luego tú les vas a definir se verifican, ya con eso me conformo para después definir las propiedades algebraicas y no tener que demostrar nada...En Medias...Era trabajar con un problema que les planteaba e intentaban resolver. La mitad de ellos se liaba en el cálculo, se perdían haciendo cálculos y después ya, después de que llevábamos dos clases perdidas haciendo cálculos y haciendo operaciones, pues al final, les planteé un camino idóneo para resolver ese problema.	TE22+23:Organiza. Técnico del contenido y del diseño didáctico                 TE23:Técnico del contenido y del diseño didáctico
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)	EVALUACIÓN (I)
15.(Respecto a la repercusión de los pequeños deslices en la calificación)En Media eran, las pájaras, vamos, me las saltaba olímpicamente. Yo he llevado un control diario, de preguntar en clase. 1.No me importa el número de aprobados y eso, sino que veo, intento de ver el grado de comprensión; si lo comprenden, es que el objetivo que yo he llegado,que yo pretendía, lo he más o menos medio alcanzado, y si veo que está a años luz de lo que yo pretendía, es que no he alcanzado nada. A veces le hecho la culpa, para salvar mi ego, a que vienen de ... ¡bah!	TE25+T26+TE35:Sumat. Cuantitativa. Calificación mediante controles de los objetivos TE27:Criterios explícitos. Taxonómica (conductas observables)

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

EVALUACIÓN (II)

12.(Respecto a si los alumnos saben lo que valoro...)Creo que sí...,más que reflejarlo...en la programación que se les da a ellos, se refleja directamente en las clases y en los primeros días de clase, cuando se les orienta que tienen que saber hacer, qué es lo que nos interesa a nosotros que ellos sepan hacer, para qué queremos que sepan eso. Algunos de ellos sí lo entienden y eso es lo que les exijo. 21.Yo creo que se le explica al alumno bastante claro que lo que yo pretendo que ellos me hagan en un ejercicio, o a la hora de ..., en un ejercicio, ya sea escrito u oral. 22.(Respecto de los instrumentos empleados para calificar)Ellos saben cómo valoro el ejercicio...,sobre 10, el planteamiento y discusión del ejercicio, pues eso te vale, pongamos, 5 puntos, después intenta obtener la solución; al obtener la solución, lo que tú tienes que valorar es si esa solución que te ha dado puede corresponder con el ejercicio que te han dado...La primera nota que yo extraigo de un ejercicio es una lectura global del ejercicio, de todos los comentarios que ha hecho, y ya después una cosa particularizada...para saber si ha tenido una pájara. 14.(Respecto a cómo valora la consecución de los objetivos)Procuro que la enseñanza no sea...el día del examen...,como intento de llevar una enseñanza no maestro-alumno o profesor-alumno, sino una enseñanza más cordial, pues voy valorando día a día la consecución de los objetivos, aunque a veces me pueda confundir... aunque no sepa resolverlo, ya para mí es una cosa importante: sabe cuándo hay que utilizar lo que ha estudiado, aunque no sepa cómo, que sería otro segundo objetivo, que eso lo intentaría conseguir planteándole más problemas de ese tipo y, a veces, la premura del tiempo o la necesidad de que el alumno consiga más... más en la vida para utilizarla, hace que se queden algunas cosas en el aire; también depende del grupo, porque eso es fundamental, a veces tengo grupos que sí, que la valoración de los objetivos la consigo más fácilmente y otros que no; puede ser porque el grupo sea más apático o el grupo se despiste y entonces, bueno, si yo le intento de plantear un problema y veo que el grupo no me responde, bueno pues lo que hago es ..., cuando yo crea que he dado el material suficiente para, si ellos no me responden en clase, intentar en casa responder, paso al siguiente tema... Eso no sé cómo valorarlo.

TE27:Criterios explícitos. Taxonómica (conductas observables)         TE27     TE27                   TE27+28:Criterios explícitos. Taxonómica (conductas observables). Operatividad de los objetivos

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CEM)

EVALUACIÓN (III)

18.(Durante el curso reviso mis planteamientos iniciales)a nivel del grado de respuestas a los objetivos planteados desde el principio, grado de respuestas que vas obteniendo; si el grado... si yo pienso que los objetivos, con un grupo normal y corriente, los puedo conseguir en 10 días, por ejemplo, y yo veo que con un grupo desde el primer objetivo no lo consigo meter, sigo adelante, y si en el segundo objetivo vuelve a pasar lo mismo, hay que replantear la cosa, porque lo que está clarísimo es que no sirve para nada el hacer mucha información que se quede en folios estropeados. 19.Yo planteo objetivos escalonadamente...Viendo el grado de respuestas de los alumnos, se puede conseguir en uno o se puede conseguir en tres, pero, vamos, cuando al final de la programación del tema ya he acabado, pues entonces se dedica a un repaso global, un día o dos días, y ya queda repasado, aunque hay alumnos, desgraciadamen-te, que no lo consiguen. El resto de los alumnos, que normalmente se procura que sea del 80% en adelante, lo ha conseguido, y tú el machacar un tema aburre a la clase y los desmotiva. 24.(Respecto a si los resultados influyen en la programa-ción)No es decir un resultado que el niño tenga un...que el niño ha aprobado, sino la consecución de los objetivos...Si el objetivo se va consiguiendo, pues a lo mejor sí, si se puede dar un poco más de objetivos, sí, si no, no. 27.No, los aspectos comunes eran ver el problema que...el grado de motivación que tenía ese alumno en clase y por qué pensábamos que no rendía o que rendía y... si el grupo era malo el año anterior y no había habido solución, pues entonces te motivaba a quitarte más responsabilidades de que ese grupo era malo. 23.Las notas de clase eran un porcentaje, después cada...después además había una prueba escrita del tema y después había una prueba global de toda la evaluación. Cada evaluación tenía dos o tres temas y el examen de evaluación suponía un 20%.

TE27+28:Criterios explícitos. Taxonómica (conductas observables). Operatividad de los objetivos             TE27+28                   TE28:Operatividad de los objetivos       T31 o E31:No diferenciación individual o Diferenciación individual no organizada     TE35:Calificación mediante controles de los objetivos

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE JR

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLO- GÍA	1		*
	2		*
	3		*
	4		*
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5		*
	6		*
	7		*
CONCEPCIÓN DEL   APRENDIZAJE	8		*
	9		*
	10		*
	11	**
	12		*
	13			**
	14			**
PAPEL   DEL   ALUMNO	15	**
	16		*
	17		*
	18	**
	19		*
PAPEL   DEL   PROFESOR	20		*
	21		*
	22		*
	23		*
	24		*
EVALUACIÓN	25		*
	26	**
	27		*
	28		*
	29		*
	30		*
	31	**
	32		*
	33	**
	34		*
	35		*

Obviamente, JR es un caso casi puro de tendencia tecnológica, TE, pues tanto en sus unidades de información, como en la proporción de indicadores, como respecto a cada una de las categorías, hay un claro predominio de esta tendencia.

IV.3.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE JR

METODOLOGÍA

Las actividades de aula se caracterizan por la repetición de ejercicios, que pretenden reproducir los procesos lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por parte de los alumnos. Aunque la información inicial era escasa respecto a este indicador, al igual que sobre la programación, la fase de consenso ha confirmado los indicadores asignados. En efecto, la programación es un documento cerrado, con una secuencia que emana de los aspectos estructurales de la disciplina.

En cuanto al otro indicador de la praxis, no expone los contenidos en su fase final, sino que simula su proceso de construcción.

Finalmente, los contenidos se identifican con los conceptos, enunciados como objetivos de carácter terminal, a lo que se añade su funcionalidad.

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

La asignatura está orientada tanto a la adquisición de conceptos y reglas como a la adquisición de los procesos lógicos que los sustentan por su eventual reproductibilidad.

Para JR, la matemática escolar trata de dar una explicación, con los cánones de la matemática formal, a las situaciones provenientes de la problemática real, lo que se ha podido extraer, no sólo de las unidades de información, sino sobre todo del consenso.

La asignatura no sólo ha de tener una finalidad informativa, sino también un carácter práctico que permita su aplicación en otros ámbitos de la matemática, otras disciplinas o en la técnica.

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

La fase de consenso ha sido vital para la configuración plena de esta categoría, ya que no se había obtenido información sobre 3 de los 7 indicadores; no obstante, ello no supuso alteración en la tendencia.

Se inclina por una concepción del aprendizaje como memorístico, organizándose internamente según la lógica estructural de la disciplina, aunque él mismo no parece tenerlo demasiado claro.

Aunque el aprendizaje pueda comenzar por la observación de un proceso inductivo, opina que el verdadero aprendizaje ha de apoyarse en un proceso deductivo. Asimismo, piensa que, para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior.

En cuanto a la forma de agrupamiento, cree que lo único que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual, teniendo como dinamizador ideal del aprendizaje la lógica de construcción de la propia matemática.

Respecto a aptitudes y actitudes de los alumnos, la información, después corroborada, da a entender que piensa que la actitud del alumno puede ser modificada. Por otra parte, en la fase de consenso ha puesto de manifiesto que también cree que la capacitación del alumno puede ser modificada, lo que evidencia una incoherencia (habitual por cierto), no sólo con los demás rasgos de su concepción del aprendizaje, sino con el resto de su modelo.

PAPEL DEL ALUMNO

De nuevo la fase de consenso ha confirmado la tendencia y aportado información suplementaria. No obstante, en dicha fase ha dicho que la motivación proveniente de la propia acción es la clave de los buenos resultados del aprendizaje, mientras que las unidades de información hacen pensar que para JR, cuando los procesos de enseñanza se realizan en un contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje recae en el alumno, indicador tecnológico acorde con su tendencia general. Tal indicador se confirma tras la relectura de las unidades, después de la fase de consenso, pues parece entender la acción como la resolución de ejercicios.

También durante el consenso dice que el alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc. y que, al enfrentarse a cada una de sus tareas educativas, reproduce el proceso lógico mostrado por el profesor, imitando así su estilo cognitivo.

Como entre la toma de apuntes y la preparación para la valoración de los conocimientos del alumno no media apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una excesiva relevancia. Además, la confianza del alumno en lo expuesto por el profesor, inducida por la técnica empleada, le impide cuestionarse sobre el fondo del contenido.

PAPEL DEL PROFESOR

En esta categoría sólo faltaba información relativa a la coordinación, respecto de la cual se situó dentro de la tendencia tecnológica, confirmando también en los demás indicadores el marcado carácter tecnológico de la categoría.

El hecho de ser un técnico del contenido y del diseño didáctico, permite al profesor organizar los contenidos de aprendizaje, los cuales transmite mediante exposición, utilizando estrategias organizativas/expositivas que procuran ser atractivas.

En cuanto a la coordinación con otros profesores, la ciñe a la selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o a su organización.

EVALUACIÓN

La fase de consenso también ha tenido su peso en esta categoría, aunque quedaban pocos indicadores por determinar. En cualquier caso, confirmó la tendencia global.

JR cuestiona (para su eventual modificación futura) el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados obtenidos al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno. Dichos resultados dan asimismo una medida del aprendizaje individual. Por otra parte, reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

El grado de aprendizaje del alumno es catalogado en base a una taxonomía previa que se ha hecho explícita y trata de medir el grado de operatividad de los objetivos, valorando los aspectos mecánicos de la interpretación (procesos de traducción matemática).

En cuanto a los contenidos mínimos, la información proviene del consenso, en el que se situó en la tendencia investigativa, manifestando que a lo largo del proceso se van reformulando los contenidos de aprendizaje, teniendo en cuenta los intereses del alumno, la propia asignatura, el contexto educativo y el propio proceso, aunque al mismo tiempo expuso sus dudas sobre la consecución, ya que se trataba de muchos y descriptores y muy deseables. Por mi parte, pienso que le correspondería un indicador más tecnológica, así que creo que JR mantiene los contenidos de aprendizaje idénticos a los establecidos inicialmente, sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, aunque introduzca eventualmente cambios en su tratamiento, ya que es lo que más concuerda con su posición respecto a la diferenciación individual y, sobre todo, a la concepción de la recuperación.

Respecto a la diferenciación individual, no hay información en las unidades ni en el consenso para distinguir si o bien no obtiene información personalizada de los alumnos a lo largo del proceso, o bien la obtiene de forma no organizada, a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora, aunque, por la mencionada posición respecto a la recuperación, de existir, esos mecanismos individuales de mejora dejarían mucho que desear, por lo que parece más adecuado pensar que no obtiene información personalizada.

En relación a la recuperación, cuando al final de un período del proceso el profesor toma conciencia de que no se han producido los aprendizajes deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se plantea la consecución de los mismos, procede a repetir aquellos aspectos que considera estructuralmente más relevantes.

Para JR el examen es el instrumento ideal para medir el aprendizaje de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase.

En cuanto al diagnóstico inicial de los alumnos, está basado en la detección de errores conceptuales o procedimentales que deberían ser corregidos antes de comenzar la ejecución del proceso.

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir el grado de consecución de los objetivos inicialmente fijados.

IV.3.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

IV.3.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)

TIPO CTO.(I)

2".(Respecto de los procesos esenciales en matemáticas) Obtención de fórmulas de fenómenos físicos que me obligan a desarrollar la teoría de la integración. 10.(Respecto al papel de los algoritmos en la asignatura) Muy poco, porque no los utilizo casi nunca, salvo los que ya vienen los niños..., y lo tienen que utilizar siempre, a veces te cuesta prácticamente la propia vida romperle la historia de que eso es así, entonces, al final tú caes en la misma inercia de, como ya lo hacen, tú lo tienes que hacer, pero, vamos, que normalmente, además yo siempre se lo digo a ellos cuando me preguntan por una fórmula, yo no me la sé, así que desarrollarlo y se acabó; realmente, casi nunca lo utilizo..., el razonamiento..., los algoritmos y todas las películas esas, las intento de perder. 6.(Para que ellos aprendan)Eso (trabajar con un problema e intentar resolverlo)fue ya en los últimos años, en los primeros años no, en los primeros años fue más matemática teórica, en plan de éste es el problema y hay que hacerlo así. 2.(Creo que aprendemos las matemáticas)mal...La forma de enseñar matemáticas...era las matemáticas son esto y esas herramientas son las matemáticas, y para de contar, y después te decían algunos de los problemas que te resolvían las matemáticas. Nosotros estamos intentando de enfocarlo, por lo menos allí, desde otro punto de vista: el problema es éste y qué es lo que nos hace falta, se van a plantear estos problemas en el desarrollo de vuestra carrera. Bueno, les planteamos problemas, y a expresar una teoría matemática, por encima....en el mismo BUP, sabéis que, bueno por lo menos el 90% hasta los últimos años siempre era teoría de funciones y jamás, jamás se le explicaba al niño de dónde salían las funciones.

IN1:Conjunto de reglas y herramientas de uso compartimentado P1:Estructurado significativamente. Núcleo: conceptos y valores racionales               IN2:Cuerpo de verdades incuestionables       IN3:Cuerpo de conocimiento útil

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)

TIPO CTO.(II)

5.(Para que ellos aprendan)Antes de nada examinar el tema previamente, que eso ya lo sabemos, y después los temas con desarrollos matemáticos fuertes, los suprimo..., yo prefiero que el alumno en la clase nunca se me aburra. El tema de límites, por ejemplo,...con hacerle un par de ejemplos y ver que sirve el límite y que ellos comprendan que las propiedades algebraicas que luego tú les vas a definir se verifican, ya con eso me conformo para después definir las propiedades algebraicas y no tener que demostrar nada...En Medias...Era trabajar con un problema que les planteaba e intentaban resolver. La mitad de ellos se liaba en el cálculo, se perdían haciendo cálculos y después ya, después de que llevábamos dos clases perdidas haciendo cálculos y haciendo operaciones, pues al final, les planteé un camino idóneo para resolver ese problema. 13.(Objetivos en la asignatura)Útil a estos niveles para sus estudios...En Media, el planteamiento era...que los planteamientos de la vida cotidiana que surgen muchas veces por ahí, mismo en tv, lo que sea, gráficos y cosas de ésas, lo sepan entender; con eso yo ... Claro, después, a partir de ahí, habría dos enfoques, para alumnos que van hacia arriba y alumnos que se van a quedar ahí. A unos niveles de 2º o una cosa así, con que sepan entender una serie de gráficas, resolver una serie de problemas sencillos, tampoco muy graves, con eso me daba por satisfecho. A aquéllos que vayan a nota, habría que exigirles un poco más, un poco más en el aspecto de ya unas matemáticas un poco más estructural.

IN3:Cuerpo de conocimiento útil                             IN3

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)

TIPO CTO.(III)

14.(Respecto a cómo valora la consecución de los objetivos)Procuro que la enseñanza no sea...el día del examen...,como intento de llevar una enseñanza no maestro-alumno o profesor-alumno, sino una enseñanza más cordial, pues voy valorando día a día la consecución de los objetivos, aunque a veces me pueda confundir... aunque no sepa resolverlo, ya para mí es una cosa importante: sabe cuándo hay que utilizar lo que ha estudiado, aunque no sepa cómo, que sería otro segundo objetivo, que eso lo intentaría conseguir planteándole más problemas de ese tipo y, a veces, la premura del tiempo o la necesidad de que el alumno consiga más... más en la vida para utilizarla, hace que se queden algunas cosas en el aire; también depende del grupo, porque eso es fundamen-tal, a veces tengo grupos que sí, que la valoración de los objetivos la consigo más fácilmente y otros que no; puede ser porque el grupo sea más apático o el grupo se despiste y entonces, bueno, si yo le intento de plantear un problema y veo que el grupo no me responde, bueno pues lo que hago es ..., cuando yo crea que he dado el material suficiente para, si ellos no me responden en clase, intentar en casa responder, paso al siguiente tema... Eso no sé cómo valorarlo. 26.(Respecto a tener en cuenta lo que hacen los compañeros de otras asignaturas)Yo veo bien que sí... Geografía e Historia...Yo veo muy interesante que los niños sepan lo que es la gráfica de población y eso... Ciencias Naturales también, tenemos un contacto directo. Después Física, pero el problema de Física ya sabemos cuál es; ellos siempre te piden que sepan más matemáticas de las que saben y eso no tiene solución, porque para explicar la derivada, también lo pueden hacer ellos. 28.Se ha preguntado a compañeros de... a señores que han acabado la carrera y cosas de ésas, y a otros compañeros que están dando clase allí, de ingeniería, de química,..., realmente qué matemáticas les hace falta; entonces ésas se intenta de dar y aparte, después de eso, lo que intentamos es de ver qué es lo que hemos conseguido este año y procurar eliminar los errores que hemos cometido... Quizás la línea que estamos intentando conseguir ahora es simplificar el número de temas que, son herramientas útiles, pero no por ser las herramientas útiles no lleguemos a lo que realmente es interesante para ellos.

IN3:Cuerpo de conocimiento útil                                           IN3                 IN3

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)	TIPO CTO.(IV)
34.Información hemos recibido muchísima, más de la que se podía asimilar, pero no te han formado porque realmente pocos, por no decir ninguno, han dicho para qué servía aquello y qué problemas nos ha resuelto...Servir le sirve, lo que pasa es que había que motivar más las clases.	IN3:Cuerpo de conocimiento útil
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)	FIN
28.Se ha preguntado a compañeros de... a señores que han acabado la carrera y cosas de ésas, y a otros compañeros que están dando clase allí, de ingeniería, de química,..., realmente qué matemáticas les hace falta; entonces ésas se intenta de dar y aparte, después de eso, lo que intentamos es de ver qué es lo que hemos conseguido este año y procurar eliminar los errores que hemos cometido... Quizás la línea que estamos intentando conseguir ahora es simplificar el número de temas que, son herramientas útiles, pero no por ser las herramientas útiles no lleguemos a lo que realmente es interesante para ellos. 4".El resto de las ciencias produce una serie de hechos para que la matemática los intente teorizar para su resolución. La matemática es un instrumento para las otras ciencias. 6".(El primer fin de la matemática como ciencia es la)abstracción de unos problemas reales, para la elaboración de unas teorías generales que permitan su aplicación al campo donde ha surgido el problema y a otros campos con algunas variantes donde pueda surgir.	IN4:Externo                     IN4       IN4
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)	MODO EVOLUC.(I)
29.El matemático es el médico del técnico que tiene un problema e intenta que te lo resuelva el médico; a veces, la medicina no te resuelve el problema, pero lo intenta. 30.(La matemática avanza)intentando resolver nuevos problemas; en un campo cualquiera, tú intentas, en principio, poner un peldaño, lo intentas resolver, y, al final, tú ya ves que tú ya tienes necesidad de crearte tu propia teoría. 1".(El objetivo principal del estudio de la matemática es)desarrollar una serie de teorías para la solución de problemas reales, llevados a la abstracción. 3".(Las matemáticas se entienden mejor)atacando el problema del cual surge la necesidad de desarrollar la teoría Matemática para resolverla.	IN6:Cto.construido en base a búsqueda de relaciones causa -efecto. P.de vista determinista IN6       IN6     IN6

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE JR (CM)

MODO EVOLUC.(II)

5.(Para que ellos aprendan)Antes de nada examinar el tema previamente, que eso ya lo sabemos, y después los temas con desarrollos matemáticos fuertes, los suprimo...yo prefiero que el alumno en la clase nunca se me aburra. El tema de límites, por ejemplo,...con hacerle un par de ejemplos y ver que sirve el límite y que ellos comprendan que las propiedades algebraicas que luego tú les vas a definir se verifican, ya con eso me conformo para después definir las propiedades algebraicas y no tener que demostrar nada...En Medias...Era trabajar con un problema que les planteaba e intentaban resolver. La mitad de ellos se liaba en el cálculo, se perdían haciendo cálculos y después ya, después de que llevábamos dos clases perdidas haciendo cálculos y haciendo operaciones, pues al final, les planteé un camino idóneo para resolver ese problema. 31.(Respecto al abordaje del teorema de Tales) Intentábamos de ver la necesidad de trasladar sobre una situación real, que era, yo qué sé, el estudio de...calcular las alturas de un punto, eso es, entonces trasladar aquello al papel, vamos, al lápiz y papel; entonces le vimos la necesidad, bueno que tú podías pintar aquella cosa, aquello que estaba fuera, tú lo podías pintar dentro; después, bueno, vimos que realmente a veces te daba igual, bueno, ver la semejanza que había entre un triángulo y otro y después, a partir de ahí, ver las proporciones entre los lados, cosas así. Y todo eso se vio, quiero recordar que era... de figuras que teníamos de la realidad, pasarlas al papel. 33.Sí (puedo aceptar un resultado que no esté apoyado en un proceso deductivo), incluso tuve un problema en Selectividad, con el problema de, maldito problema del autobús, que no hacía falta nada..., porque hay grupos a los que tú no les demuestras nunca que raíz de 2 no es p/q... Hay un momento en que tú dices, si esto tiene 15 cifras, es una estupidez seguir, porque está demostrado, hay libros donde podéis mirarlo, si no, le dais a la calculadora y que lo haga... 5".Puede hablarse de prueba matemática, pero debe hablarse de aplicación de la matemática a unos hechos concretos.

IN7:Énfasis en la argumentación empírica                             IN7                         IN7                 IN7

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE JR

CATEGORÍAS	IND\MODELO	INSTRUMENT.	PLATÓNICO	RES.PROBLEM.
TIPO DE CONOCIMIENTO	1	*
	2	*
	3	*
FIN	4	*
MODO DE EVOLUCIÓN	5	*		*
	6	*
	7	*

El perfil de JR respecto a la concepción de la matemática es también asociable directamente a un modelo, en concreto el instrumentalista, por su predominio total en cuanto a indicadores, unidades de información y categorías. Quedará simbolizado por IN.

IV.3.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE JR

TIPO DE CONOCIMIENTO

La información sobre esta categoría es abundante, aunque fundamentalmente del último indicador, marcando con claridad su tendencia instrumentalista.

Aporta datos en las unidades de información que hacen imposible distinguir si para JR los elementos que conforman el núcleo son los resultados, entendidos como un conjunto de reglas y herramientas, sin una vinculación teórica (conceptual) ni práctica determinada (modelo instrumentalista), o bien lo son los conceptos y los valores racionales, derivados éstos del grado de significatividad de su estructura (modelo platónico). Asimismo, él mismo admitió las dos posibilidades durante el consenso. Sin embargo, la unidad correspondiente al indicador del modelo platónico hace referencia a la "inercia", por lo que parece indicar que en la práctica, lo que de verdad deja traslucir a sus alumnos es su corte instrumentalista, consecuentemente con su concepción de la matemática como un conjunto de resultados, de marcado carácter utilitario, cuyas veracidad y existencia no están sujetas a discusión o revisión.

FIN

En esta categoría se ha dado una discrepancia entre lo extraído a partir de las unidades de información y lo expresado por JR en la fase de consenso, según lo cual el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas (modelo platónico). Sin embargo, tras revisar las unidades de información, confirmo su carácter instrumentalista, según el cual el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de otras ciencias y técnicas, quedando, por tanto, fuera de la matemática.

MODO DE EVOLUCIÓN

En esta ocasión también confirmó JR su tendencia instrumentalista. Además, aportó información sobre el proceso de construcción del conocimiento matemático, pues se carecía de datos relativos a uno de sus indicadores. Precisamente a tal respecto se situó tanto en el modelo instrumentalista como en el de resolución de problemas, descartando tan sólo la visión platónica. Así, pues, JR, desde una perspectiva pragmática, ve en la creación y uso de algoritmos el principal impulsor de la construcción del conocimiento matemático, y, asimismo, desde una perspectiva dinámica, concibe la matemática como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas. Esta aparente contradicción puede deberse a la consideración de la resolución de problemas como la resolución de ejercicios; de todas formas, la posesión de algún matiz del modelo de resolución de problemas no afecta a penas su modelo claramente instrumentalista, lo que se ve confirmado por los siguientes indicadores.

Efectivamente, piensa que el conocimiento matemático se construye para dar explicación, bajo un punto de vista determinista, a las relaciones causa-efecto existentes y, por otra parte, cree que el instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es la argumentación empírica.

IV.3.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

IV.3.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

DESCRIPCIÓN

Comienza el protocolo de resolución intentando comprobar la validez de la fórmula para el rombo (que lo recordaba), pero comete el error de no dividir por 2 en la fórmula del área de cada triángulo, error que subsana pasados 20'. Lo mismo le ocurre con el cuadrado.

Después pasa al romboide (primero) y al rectángulo, desarrollando unos cálculos que no le conducen a nada. De hecho, asustado por la expresión de D²+d² y tras escribir la expresión del área obtenida para el rombo (Dxd, erróneamente) y el romboide (bh, nada nuevo), introduce un cambio de estrategia con el cuadrado, expresando el lado en función de la diagonal, lo que le permite llegar a la conclusión de que se verifica la fórmula en el cuadrado. Sigue con el rectángulo, plantea un sistema de ecuaciones que resuelve de cabeza y deduce que debe tener los lados iguales. Conjetura que la única posibilidad es el cuadrado, sin percatarse aún de que la ejecución efectuada inicialmente para el rombo es la misma que para el cuadrado.

Es en este momento cuando cae en la cuenta del error inicial con el rombo, y comprueba la validez de la fórmula en éste. Este resultado le hace afirmar que el cuadrilátero ha de tener los lados iguales (rombo y cuadrado).

La segunda parte, la empieza con el exágono. Expresa su área como 6 veces la de uno de los triángulos centrales. Impone que la altura de tal triángulo, apotema, sea la mitad de la base, lado del exágono, lo cual, aunque le simplifica los cálculos posteriores, nunca es cierto.

Aventura una fórmula en función de una diagonal y el número de lados, fórmula que comprueba en el cuadrado (se verifica por casualidad) y en el octógono (pues le vuelve a imponer que la altura sea la mitad de la base). Como dicha fórmula posee un factor n (nºlados)/2, dice creer que sólo puede obtenerse para polígonos de nº par de lados, con lo que concluye el problema.

VALORACIÓN

Independientemente del error cometido inicialmente, al no dividir por 2 el área del triángulo, se observa una vehemente ejecución algebraica al abordar los casos del rectángulo y el romboide. Hubiera sido más adecuado manipular un poco con las diagonales, ver cuál es su papel en el problema, antes de introducirse en un planteamiento algebraico. Dicha manipulación le podría haber llevado asimismo a no olvidar cuadriláteros ("la primera idea es...es intentar ver los cuatro que hay, los cuatro cuadriláteros", restringiendo los cuadriláteros a los paralelogramos).

De todas formas, de haber desarrollado en profundidad las relaciones algebraicas, también podría haber llegado a resultados importantes. Lo que ocurre es que parece que se introduce en la ejecución sin saber muy bien cuál es el objetivo del problema, ya que en ningún momento plantea el interrogante: con esas D y d obtenidas en función de b, h y x (la x sólo en el caso del romboide), ¿cuándo Dd/2=bh?. La ausencia de este cuestionamiento, proveniente con toda probabilidad de una falta de profundización en los objetivos del problema y de la inexistencia de una manipulación inicial, hace que se encuentre con unas expresiones finales inútiles ("D²+d²=...", en lugar de Dxd ó Dxd/2=...).

De haber desarrollado las citadas relaciones, como antes hemos mencionado, habría concluido, para el rectángulo, que Dd/2=bh Û b=h, o sea, tan sólo en el cuadrado, y, para el romboide, que Dd/2=bh Û o bien x=0 y b=h (cuadrado), o bien x_0 y b=a, siendo a el otro lado(rombo), lo que, supuestamente, le hubiera llevado a revisar lo efectuado anteriormente con el rombo y el cuadrado, a la vez que hubiera resuelto de un golpe el problema para todos los paralelogramos.

Otro aspecto influyente en esta desorientación inicial es la falta de contraste de la tarea del problema con el estado de su conocimiento. Si la Geometría es algo no trabajado últimamente por el resolutor, razón de sobra para intentar rebuscar en sus conocimientos. Esto provoca la consideración de sólo cuatro cuadriláteros y, más adelante, la definición de diagonal como "longitud entre dos vértices opuestos" (en la entrevista habla de que podría cambiarse esta definición por la de "longitud entre dos vértices no consecutivos", pero esto es debido a la revisión conjunta que hicimos del protocolo previa a la entrevista).

Asimismo, sorprende que, tras obtener un resultado inesperado para el área del rombo, inmediatamente aborde el caso del rectángulo, postergando la revisión de la ejecución inicial con el rombo y el cuadrado.

Cuando revisa el comienzo del protocolo (grabación), conecta indebidamente la situación de la segunda parte con la primera, afirmando que, como han de ser regulares, deben tener los lados iguales, por lo que la solución es rombo y cuadrado. Aquí observamos de nuevo una falta de conocimiento, pues el rombo no es regular.

En toda la primera parte se echa en falta una comparación entre el valor del área de un cuadrilátero y el valor de Dxd/2, lo que le hubiera dado pistas para obtener la solución.

Ya dentro de la segunda parte, su definición de diagonal le hace desestimar los polígonos con número impar de lados. Probablemente, si se hubiera parado a reflexionar, habría llegado a la conclusión de que, como todos los polígonos con más de 3 lados poseen diagonales, su definición no podía ser la correcta, bien porque dejaba a los de número impar de lados sin diagonales o bien por la dificultad de definir en éstos lo que es un vértice opuesto.

Hay, además, una imposición, apotema igual a la mitad del lado, lo cual sólo se da en el cuadrado. De este error no se da cuenta, porque en ningún momento profundiza en las condiciones del problema, en el hecho de trabajar con polígonos regulares (en concreto, en el exágono, el triángulo central es equilátero, por lo que la altura es la longitud del lado multiplicada por Ö 3/2).

Por otra parte, la obtención de una fórmula general es bastante precipitada, basada exclusivamente en la del exágono, y su comprobación en el octógono se apoya en la misma imposición, por lo que le resulta satisfactoria.

A pesar de disponer de tiempo, no efectúa la inducción ("por la vía cómoda...yo he supuesto que si se verifica para cuatro, seis u ocho, se va a verificar para todo. Número par").

Finalmente, cuando dibuja diagonales en un pentágono y un heptágono, parece que no se atreve a profundizar en esos casos y dice que cree "que sólo se puede obtener la fórmula para polígonos de un nº par de lados".

En fin, un protocolo que denota falta de frescura de los conocimientos, ansias de ejecución y relegación de los momentos de reflexión o revisión. No llega a hacerse del todo con el problema, debido a su desconocimiento de lo que es un polígono regular. Asimismo, se observa una gran precipitación en todas las conclusiones, temeroso de abordar casos generales.

A esto hay que añadir, como antes hemos comentado, que la ejecución en la primera parte, que se lleva casi todo el tiempo, está desorientada, que la planificación de la segunda parte (90'47% del tiempo total, con una ejecución asociada al PE3) se fundamenta en dos errores de consideración, y que la verificación de la segunda parte está vacía de contenido; de ahí y de la nula dedicación a hacerse con el problema (comprensión) el escaso éxito de la resolución.

IV.3.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

DESCRIPCIÓN

Inicialmente lee tres veces el enunciado. Confiesa que no fue hasta la segunda lectura cuando se enteró de lo que le pedía el enunciado.

Invierte bastante tiempo (más de 10 minutos) en ponerse ejemplos de grupos de 1 o 2 dorsales que den la misma suma con los números del 1 al 11.

En medio de ello se pregunta si sería posible lo ejemplificado el enunciado con 3 dorsales, pregunta a la que no responde por escrito, ya que piensa que "si lo puedo hacer con dos números y dos y cuatro números, pues es posible con tres y con seis, da igual".

De la misma forma, al finalizar la ejemplificación referida anteriormente, escribe "Creo que" y corta, interrogándose después si en los grupos tienen que entrar todos los dorsales. Asegura que cortó, porque "estaba buscando una estrategia para ver la posibilidad de ir siempre recorriendo todos los números".

Seguidamente, como fórmula para calcular "el número de números que puedo recorrer", escribe la suma de combinaciones de 11 elementos tomados de 1 en 1 hasta de 6 en 6, pues las demás van coincidiendo con éstas (pone el ejemplo de C_11,7=C_11,4).

Abandona para plantear un estudio probabilístico. Pretende ver si la suma de ciertas probabilidades es uno. Con esa intención calcula P(x+y=z), P(x+y+z=t) y P(x+y+z+t=u), siendo x,y,z,t números naturales comprendidos entre 1 y 11, pero lo deja porque "era un trabajo de chinos".

En el cálculo de las probabilidades mencionadas comete errores. Por ejemplo, P(x+y=z)=25/C_11,2, no 19/C_11,2.

A continuación, se plantea recorrer los 11 números con dos números cualesquiera, pensando en seguida que "es una estupidez".

Acaba el problema diciendo que, agrandando el 11 al 1000, se aumentan las posibilidades, escribiendo un ejemplo de 11 números (1,10,100,...) que no posee sumas iguales de subconjuntos y afirmando que no sabe cuál es el número menor, refiriéndose al número a partir del cual existan conjuntos de 11 elementos de manera que no posean grupos de números distintos con la misma suma.

Aunque no la haya explicitado en el protocolo, en la entrevista ha dejado claro que tenía una conjetura: del 1 al 100 siempre iba a haber subconjuntos dentro de los 11 números que dieran la misma suma.

VALORACIÓN

La triple lectura del enunciado no ha sido útil en absoluto, ya que le ha conducido a una ejemplificación absurda con los números del 1 al 11. Con que tengamos dos subconjuntos disjuntos que sumen lo mismo es suficiente, ya no nos valdría ese ejemplo si lo que buscamos es un conjunto de 11 elementos que no posea subconjuntos disjuntos con idéntica suma. Este hecho, consistente con su conjetura, no lo tiene en cuenta en ningún momento.

Asimismo, la afirmación de que, si tiene ejemplos con uno y con dos y con dos y cuatro, los tiene con tres y seis, es errónea, pues al unir los conjuntos puede haber elementos comunes. Es una muestra de la falta de exigencia de rigor con sus deducciones o suposiciones parciales a lo largo del protocolo.

La pregunta "¿En los grupos tienen que entrar todos los dorsales?", poco antes de los 15 minutos, deja en evidencia que, a pesar del tiempo invertido en intentar hacerse con el problema, no está muy seguro de las condiciones del mismo.

El planteamiento de la suma de las combinaciones carece de significado, no sabe de qué manera le puede servir conocer la cantidad de sumas posibles, pues sigue inmerso en el ejemplo del enunciado, los números del 1 al 11. No se ha percatado a estas alturas de que en ese caso ya está todo demostrado.

En esta parte también se ponen de manifiesto algunas constantes de todo el protocolo, la gran desorganización existente, la falta de aclaración de sus razonamientos y los cambios bruscos de estrategia (da la impresión de que su mente, mientras resuelve el problema, está también desorganizada). Estos cambios bruscos son, en parte, debidos a que no se pregunta en profundidad a dónde le puede llevar la estrategia elegida.

Una muestra más de la falta de exigencia de rigor se encuentra en el abordaje a través del cálculo de probabilidades. No le hace falta que el suceso sea seguro, tan sólo que la probabilidad no sea nula, pues le basta, como hemos dicho antes, con un caso de igualdad de sumas de subconjuntos.

A pesar del paréntesis del estudio probabilístico, tras él vuelve a la carga con "recorrer los 11 números", lo que vuelve a dejar de manifiesto que sigue buscando más casos para los 11 primeros números.

Por fin, a partir del minuto 35 piensa en el 1000, pero tan sólo formula comentarios evidentes, que no sirven para nada en la resolución.

Su conjetura, por otra parte, no tiene más base que el propio enunciado, sin haber procurado confirmarla antes de intentar demostrarla.

En suma, un protocolo caracterizado por la falta de explicitación de las decisiones, el hecho de no haber captado la estructura del problema, una total desorganización, una falta de reflexión sobre las posibilidades de cada estrategia, la ausencia de rigor y el haberse centrado en datos inútiles.

IV.3.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

DESCRIPCIÓN

Comienza el abordaje del problema leyendo dos veces el enunciado para asegurarse de lo que le pedía ("voy a asegurarme si realmente eso es lo que me pide o no").

A continuación, da por sentado que el 2 y el 5 son solución y tantea con el resto de los dígitos, llegando a la conclusión de que ninguno más satisface las condiciones del enunciado, salvo el 1 (trivialmente).

En ese momento es cuando desvía su atención, en primer lugar, a los acabados en 0, de los que sólo dice que serán divisibles por 2 y 5, y en segundo lugar a los pares, tras lo que concluye que la solución estará integrada por el 5 y los pares.

Seguidamente se da cuenta del error de interpretación del enunciado, tomando como únicas soluciones, entre los números de una cifra, el 2 y el 5.

Su siguiente propósito es "generalizar para los múltiplos de ellos", para lo que inicialmente estudia el caso del 10, el del 20, el del 40 y el del 50. Cuando aborda el caso del 40, comete un error que le hace suponer que el 40 es una solución del problema, error que consiste en igualar 10xw4 a 2²10w. Esto le lleva a suponer que los números buscados son "2, 5 y múltiplos de la forma 2^k5ⁿ k,n distintos de 0 y naturales", lo que pasa a demostrar, añadiendo como hipótesis que n>k.

A continuación, se enfrenta al caso en que el número sea potencia de 5, da una pequeña justificación de que es solución y lo comprueba con 125.

Cuando está escribiendo las soluciones, se percata de que el 40 no es solución.

Finalmente añade, sin justificar, la solución 2ⁿ⁺¹5ⁿ, probablemente en base a la comprobación de que 20 es solución (20 = 2^2× 5).

VALORACIÓN

El comienzo muestra la pesadez de comprobar con todos los números de una cifra.

A pesar de decir que entendió el enunciado desde el principio, siendo el único objetivo de la segunda lectura la confirmación de su primera interpretación, pierde el norte muy pronto, enfocando momentáneamente la resolución hacia la búsqueda de números divisibles por 2 o por 5. No obstante, es positiva la revisión que efectúa, pues le reconduce al camino correcto.

También es positivo el intento de generalización con los múltiplos de 2 y 5. Ahora bien, la imposición de que n>k para la demostración del caso general no tiene la contrapartida del caso n<k y n=k, por lo que el estudio queda un poco en el aire. Es una muestra de su falta de interés por obtener un proceso de resolución completo y riguroso. Esto se pone de manifiesto asimismo cuando, al final de la página 3, se da cuenta de que el 40 no es solución. Tal constatación le debería haber hecho volver a revisar el razonamiento que le había llevado a dar el 40 como solución, ya que incluso podría haber ocurrido que el error hubiera afectado al 10, 20 y 50, o al caso general 2^k5ⁿ.

El final del protocolo corresponde más a una situación de prisas que al hecho de haber terminado 10 minutos antes del límite preestablecido. Escribe 1200 y después afirma que valdría el número 2ⁿ⁺¹5ⁿ=2x10ⁿ, sin más justificación, basado en un solo caso.

Así pues, de la organización temporal poco puede hablarse, salvo que ha tenido tiempo de sobra para intentar (cosa que no ha hecho) aclarar y racionalizar las soluciones.

Se echa en falta la búsqueda de un elemento integrador que pueda dar explicación a la procedencia de todas las soluciones, lo que también puede ser síntoma de falta de confianza en sus posibilidades.

Asimismo no se vislumbra uso de intuición, sino apego a un razonamiento analítico, aunque falto de rigor e incompleto.

Se detecta precipitación a la hora de iniciar la resolución, donde está ausente la obtención de una representación significativa que conduzca a una planificación eficaz del proceso de resolución. Esta precipitación le impide asimismo pensar en números no enteros, lo que es una muestra de la falta de profundización en las condiciones del problema.

Aunque hay revisión, ésta es somera y no consigue un verdadero control del proceso.

Todo lo más, podemos decir que no ha explotado suficientemente sus recursos y que su respuesta se ha basado en unos cuantos detalles aislados, no habiendo captado completamente la estructura del problema.

IV.3.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

En C1 dice:

"...En los primeros compases intranquilo, hasta llegar a dominar la situación. Mi comportamiento es tenso hasta llegar a la normalidad...",

lo que hace pensar que el hecho de ser observado supone un elemento de distorsión que supera paulatinamente.

Esa intranquilidad parece reflejarse al comienzo del primer protocolo:

"...Me confundí... Lo volví a repasar..., digo: "O éste se está quedando conmigo o me estoy confundiendo yo". Y me confundí..." (1U2).

 

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

2) (poca información) Los afronta en solitario. Si necesita ayuda, puede incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución).

Las respuestas al cuestionario son muy escuetas y, en algún caso, evasivas. Claro ejemplo es la respuesta dada a C3:

"...[Los problemas que se me presentan en la vida real] Depende el problema, en general suelo intentar resolverlo por mí mismo...",

lo que induce a pensar en que no está habituado a solicitar ayuda. No obstante, la información es escasa.

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

4) El abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso.

En C5 afirma enfrentarse a problemas periódicamente, al parecer dentro de su labor investigadora, y añade:

"...Me gusta más trabajar en grupo, pues de las estrategias de los demás, aunque sean erróneas, también se aprende...";

aunque, de otro lado, la respuesta dada a C4 da a entender que el abordaje de problemas no llega a convertirse en una tarea habitual (es imprescindible tomarse la licencia de efectuar alguna inferencia a partir de sus afirmaciones, ya que la parquedad de sus respuestas es extrema):

"...Normalmente resuelvo o intento resolver algún que otro problema...",

a lo que añade que no le atraen los ejercicios de aplicación de fórmula.

Preguntado por el uso de la resolución de problemas en sus investigaciones, dice:

"...En general de la resolución de problemas se obtienen buenos caminos para aplicar a otras facetas matemáticas..." (C11),

contestación de tipo general que confirma la suposición anterior en el sentido de que no parece dedicarse habitualmente a resolver problemas.

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

1.4.1. Predisposición.

4) La predisposición usual ante un problema es de curiosidad, mostrando interés tanto en el resultado como en su posible abordaje, abandonando en contados casos.

En C6 manifiesta tener expectativa ante un problema, dependiendo

"...del tipo de problema y de la motivación ante ese tipo de problema...".

 

Por otra parte, en C8 dice que en general

"...no tengo ganas de abandonar un problema...",

y en C9 sólo menciona las trabas (probablemente las lógicas por falta de conocimiento, como cualquiera), en ningún caso miedos o complejos.

Además, en C12 asegura tener

"...que buscar el apoyo en libro o compañeros..."

cuando se percata de no disponer de conocimiento suficiente para abordar un problema, lo que muestra su interés por resolverlo, aunque sea

"...en otro momento..." (C16),

si no logra resolverlo de la primera vez.

1.4.2. Confianza en sí mismo.

2) Posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver el problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera. Si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo .

Una muestra de la falta de confianza en sí mismo es parte de su respuesta a C24:

"...[Cuando un problema cae en un área de poca confianza] Me cuesta bastante trabajo el intentar de resolverlo...",

donde hay que subrayar la palabra intentar, pues pone de manifiesto esa falta de confianza antes mencionada.

En el primer protocolo se vuelve a poner de relieve, pues lo finaliza dando la impresión de no atreverse a profundizar en los casos del pentágono y el heptágono, y dice:

"...Creo que sólo se puede obtener la fórmula para polígonos de un número par de lados..." (E8).

Además, a lo largo de todo el protocolo se percibe un temor por abordar casos generales.

En la entrevista posterior al segundo problema llega a decir:

"...hubo un momento en que era prácticamente para dejarlo en blanco y era planteándome si era capaz de resolverlo..." (2U5),

mostrando claramente una falta de confianza en sus posibilidades.

En el tercer protocolo podría decirse que la falta de búsqueda de un elemento integrador de las soluciones puede ser síntoma de falta de confianza en sus posibilidades, pero sería algo aventurado. Al respecto no se halla más información.

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

2) Muestra un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

Es significativo que en C2 afirme que en el primer problema

"...estuve más relajado y llegué a conclusiones más fundadas..."

y que el tercer problema

"...puede corresponder a mis conocimientos...",

ya que en el primero comete errores (E6) y denota un conocimiento inaccesible, y en el tercero no llega a los resultados con rigor.

En el primer protocolo no muestra frescura en sus conocimientos geométricos, definiendo diagonal como

"...longitud entre dos vértices opuestos..." (1U4),

lo que supone falta de precisión en el lenguaje (no es lo mismo longitud que segmento), implica la necesidad de definir vértice opuesto de uno dado o descartar muchos polígonos (cosa que hace; descarta los de número impar de lados) y deja fuera de juego el resto de diagonales. Además, restringe los cuadriláteros a los paralelogramos

"...la primera idea es...es intentar ver los cuatro que hay, los cuatro cuadriláteros..." (1U1).

Por otra parte, hay, además, una imposición, apotema igual a la mitad del lado (E6), lo cual sólo se da en el cuadrado. No desarrolla en profundidad las relaciones algebraicas (E2). Finalmente, en la grabación incluida en E5 habla de polígonos regulares como los que tienen los lados iguales, por lo que considera regulares el cuadrado y el rombo y los da como solución, mostrando su falta de conocimiento.

En el segundo protocolo muestra falta de conocimiento organizado (sabe cosas, pero no conoce los límites de su aplicación), que se hace palpable en la búsqueda de que el suceso sea seguro, cuando tan sólo necesita que la probabilidad no sea nula (E5).

Del tercer protocolo, tan sólo volver a incidir en la falta de rigor de sus conclusiones y su carácter incompleto.

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

3) La memoria es necesaria, efectuándose en su ausencia la búsqueda de un procedimiento alternativo de forma insegura.

En C19 dice que los hechos le

"...dan caminos para apoyarme en la resolución..." y

que su carencia en un problema

"...crearía la curiosidad de intentar salvar el obstáculo o que alguien me dijese si [son necesarios] demasiados conocimientos más...".

Las frases anteriores, por sí solas, podrían justificar un buen uso de la memoria, sin demasiadas ataduras, pero lo observado en los protocolos hace pensar que los intentos por salvar los obstáculos son bastante inseguros (en el primer problema el hecho de no recordar propiedades de los cuadriláteros distorsiona en exceso la resolución; en el segundo da tumbos y, cuando efectúa el enfoque probabilístico, E5, no muestra seguridad ni en el procedimiento ni en los cálculos; y en el tercer problema no llega a obtener un procedimiento general ni una justificación de todos sus resultados).

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa.

2) La estructura del problema es captada ocasionalmente, normalmente de forma parcial, es decir, es capaz de formular algo de la situación planteada con sus propias palabras, pero carece de comprensión de la mayor parte, y su razonamiento no es, ni mucho menos, abstracto.

Desde el principio considera clara la situación del primer problema, aunque su definición de diagonal hace que restrinja en exceso el campo de aplicación de la segunda parte:

"...inmediatamente pensé que tenía que ser para un polígono...de un número par de lados..." (1U3).

Se introduce en la ejecución sin saber muy bien cuál es el objetivo del problema, ya que en ningún momento plantea el interrogante: con esas D y d obtenidas en función de b, h y x (la x sólo en el caso del romboide), ¿cuándo Dd/2=bh?. La ausencia de este cuestionamiento, proveniente con toda probabilidad de una falta de profundización en los objetivos del problema y de la inexistencia de una manipulación o tanteo inicial, hace que se encuentre con unas expresiones finales inútiles ("D²+d²=...", en lugar de Dxd ó Dxd/2=... -E2-). En definitiva habría que decir que no llega a hacerse del todo con el problema, debido a su desconocimiento de lo que es un polígono regular, entre otras razones. La grabación (E5) da cuenta también de no haber captado la estructura del problema en su totalidad, pues ciñe el abordaje de la primera parte a los polígonos regulares, en función de la segunda parte del problema.

Aunque, tras la primera lectura del enunciado del segundo problema, no sabía lo que se pedía en el enunciado, afirma que la segunda lectura le conduce a la comprensión de la situación. Sin embargo, la triple lectura del enunciado no ha sido útil en absoluto, ya que le ha conducido a una ejemplificación absurda con los números del 1 al 11. Con que tengamos dos subconjuntos disjuntos que sumen lo misma, es suficiente, ya no nos valdría ese ejemplo si lo que buscamos es un conjunto de 11 elementos que no posea subconjuntos disjuntos con idéntica suma. Este hecho, consistente con su conjetura, no lo tiene en cuenta en ningún momento. La pregunta "¿En los grupos tienen que entrar todos los dorsales?" (E3), poco antes de los 15 minutos, deja en evidencia que, a pesar del tiempo invertido en intentar hacerse con el problema, no está muy seguro de las condiciones del mismo. No se hace, pues, con una buena comprensión antes de introducirse en otras fases.

En el tercer problema tampoco obtiene inicialmente una representación muy significativa, a pesar de que entiende la situación, pero, al no profundizar suficientemente en las condiciones, pierde pronto el norte (E3), aunque después lo recupera (E4).

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

2) Existe un atisbo de planificación, aunque irrelevante para la resolución.

En el primer protocolo, el hecho de utilizar los casos particulares como casos aislados resta eficacia a su planificación. Hay que añadir lo comentado sobre obtención de una representación significativa, en concreto lo concerniente a introducirse en la ejecución sin una planificación adecuada y una manipulación o tanteo inicial con vistas a esbozar una estrategia conveniente. Por otro lado, la planificación de la segunda parte se fundamenta en errores de consideración (apotema igual a mitad del lado en exágono y octógono).

La frase

"...Es que no he llegado a ninguna cosa que me parecía efectivo ni bueno..." (2U10)

resume claramente la escasa eficacia de la planificación de la resolución del segundo problema, ya que no encuentra ninguna estrategia con visos de solución. El planteamiento de la suma de las combinaciones (E4) carece de significado, no sabe de qué manera le puede servir conocer la cantidad de sumas posibles, pues sigue inmerso en el ejemplo del enunciado, los números del 1 al 11:

"...a lo mejor me daría una pista [la suma de las combinaciones], pero después vi que no..." (2U2).

No se ha percatado a estas alturas de que en ese caso ya está todo demostrado (a pesar del paréntesis del estudio probabilístico -E5-, tras él vuelve a la carga con "recorrer los 11 números" -E6-, lo que vuelve a dejar de manifiesto que sigue buscando más casos para los 11 primeros números). En realidad parece un protocolo exento de planificación. Por ejemplo, el hecho de buscar un conjunto de 11 números que no posean subconjuntos disjuntos con idéntica suma, consistente con su conjetura, no lo tiene en cuenta en ningún momento. En cualquier caso, lo poco que hay planificado (las estrategias que inicia) es inadecuado, no sirve en absoluto para progresar en la resolución.

En el tercer protocolo no se vislumbra uso de intuición, sino apego a un razonamiento analítico, aunque falto de rigor e incompleto. El hecho de perder el norte en el episodio E3 es síntoma, no sólo de fallo en la obtención de una representación significativa, sino también de fallo en la explicitación del plan. No obstante, en E4 se da cuenta del error y vuelve al problema, pero su planificación sigue siendo ineficaz. Por ejemplo, es positivo el intento de generalización con los múltiplos de 2 y 5, pero no se plantea si es sólo este tipo de números el que contiene las soluciones.

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

2) La ejecución es ineficaz, porque, aunque es coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

En el primer protocolo, de haber desarrollado las relaciones (D²+d² = ...), habría concluido, para el rectángulo, que Dd/2=bh Û b=h, o sea, tan sólo en el cuadrado, y, para el romboide, que Dd/2=bh Û o bien x=0 y b=h (cuadrado), o bien x_0 y b=a, siendo a el otro lado (rombo) (E2), lo que, supuestamente, le hubiera llevado a revisar lo efectuado anteriormente con el rombo y el cuadrado, a la vez que hubiera resuelto de un golpe el problema para todos los paralelogramos. Parece, por contra, que se introduce en la ejecución sin saber muy bien cuál es el objetivo del problema. En toda la primera parte se echa en falta una comparación entre el valor del área de un cuadrilátero y el valor de Dxd/2, lo que le hubiera dado pistas para obtener la solución. Independientemente del error cometido inicialmente, al no dividir por 2 el área del triángulo (E1) (del que se percata pasados 20 minutos), se observa una vehemente ejecución algebraica al abordar los casos del rectángulo y el romboide (E2), antes mencionados. Hubiera sido más adecuado manipular un poco con las diagonales, ver cuál es su papel en el problema, antes de introducirse en un planteamiento algebraico. Hay además otro error de la ejecución, ya citado, referente a considerar la apotema del exágono y del octógono igual a la mitad del lado.

En el segundo protocolo, comete un error en cada una de las tres probabilidades que calcula. Por ejemplo, P(x+y=z)=25/C_11,2, en lugar de 19/C_11,2. Poca ejecución más hay en el protocolo, por lo que no puede inferirse más información.

El tercer protocolo muestra la pesadez de ir comprobando con todas las cifras (E2). De otro lado, la imposición de que n>k para la demostración del caso general (E6) no tiene la contrapartida del caso n<k y n=k, por lo que el estudio queda un poco en el aire. Dicha demostración general proviene de E5. Siendo su propósito "generalizar para los múltiplos de ellos [2 y 5]", aborda los casos del 10, 20, 40 y 50. Es precisamente al abordar el 40 cuando comete un error que le hace suponer que el 40 es solución (hasta el final del protocolo -E8- no se percata de dicho error). En suma, la ejecución, escasa, es coherente con la planificación (también escasa), pero no aporta resultados importantes para la resolución.

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

2) El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

En C14 afirma interrogarse por la coherencia de la solución,

"...con lo cual muchas veces debo revisar el planteamiento. Los cálculos en general no los reviso...".

 

En la entrevista correspondiente al primer problema dice:

"...no te la he corregido [la ejecución], sino la he revisado mentalmente...No [he analizado la corrección de cada paso], estaba convencido de que estaba bien..." (1U6),

lo que supone un ejemplo excepcional a tenor de su respuesta a C14. Su manifestación es constatada en el protocolo, efectuando revisión de ejecución fundamentalmente en E5, aunque también se atisba otra en E3. Sorprende que, tras obtener un resultado inesperado para el área del rombo (E1), inmediatamente aborde el caso del rectángulo (E2), postergando la revisión de la ejecución inicial con el rombo y el cuadrado. Cuando revisa el comienzo del protocolo (grabación) (E5), conecta indebidamente la situación de la segunda parte con la primera, afirmando que, como han de ser regulares, deben tener los lados iguales, por lo que la solución es rombo y cuadrado. En fin, un protocolo que destila ansias de ejecución, relegando los momentos de reflexión.

En el segundo protocolo no puede hablarse de revisión de la solución, ya que no existe ni un acercamiento plausible a ésta.

En cuanto al tercer problema, no revisa la ejecución a fondo:

"...someramente..." (3U2).

Por ejemplo, el darse cuenta de que 40 no era solución (E8) le debería haber hecho volver a revisar el razonamiento que le había llevado a dar el 40 como solución (E5), ya que incluso podría haber ocurrido que el error hubiera afectado al 10, 20 y 50 (E5), o al caso general 2^k5ⁿ (E6). Por contra, es positiva la revisión que efectúa (E4) tras perder el norte de la resolución (E3), pues le reconduce al camino correcto.

2.5. Nivel de acabado de la solución.

1) Se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

Afirma en C15 que, obtenida una solución,

"...cuando el camino elegido resulta demasiado laborioso, procuro simplificarlo...".

 

Ve razonable la solución obtenida en la segunda parte del primer problema, a pesar de que la obtención de una fórmula general es bastante precipitada, basada exclusivamente en la del exágono (E6), y su comprobación en el octógono (E7) se apoya en la misma imposición, por lo que le resulta satisfactoria:

"...he intentado de sacar una fórmula...para el exágono..., lo mismo que estaba ya...para el polígono de cuatro lados lo he intentado para el exágono. Y después...he intentado, más o menos,...aplicar una fórmula de recurrencia, aunque no... totalmente, solamente para el octógono, es decir, por la vía cómoda, a caso, yo he supuesto que si se verifica para cuatro, seis u ocho, se va a verificar para todo. Número par..." (1U5).

Por otra parte, el estudio de casos particulares tiene el único objetivo de resolver dichos casos y, sin intentar obtener una ley de recurrencia, generalizar:

"...yo he supuesto que si se verifica para cuatro, seis u ocho, se va a verificar para todo. Número par..." (final 1U5),

no efectuando la inducción a pesar de disponer de tiempo (E6). Además, finalmente, cuando dibuja diagonales en un pentágono y un heptágono, parece que no se atreve a profundizar en esos casos y dice que cree

"...que sólo se puede obtener la fórmula para polígonos de un nº par de lados..." (E8),

basándose en el factor nºlados/2 de dicha fórmula (sin interrogarse si ese factor permanecería siendo impar el número de lados).

Es difícil extraer algo sobre la solución de un protocolo como el segundo. No obstante, puede decirse que la afirmación de que,

"...si lo puedo hacer [tiene ejemplos con uno y] con dos y dos y cuatro números,...es posible [los tiene] con tres y con seis [E2]..." (2U1),

es errónea, pues al unir los conjuntos puede haber elementos comunes. Es una muestra de la falta de exigencia de rigor con sus deducciones o suposiciones parciales a lo largo del protocolo. Como ya se ha comentado, el protocolo muestra una falta de rigor en general. Por otra parte, a partir del minuto 35 es cuando piensa en el 1000, pero tan sólo formula comentarios evidentes, que no sirven para nada en la resolución.

En el tercer protocolo, el hecho de no haber estudiado los casos n<k y n=k (E6) da muestra de su falta de interés por obtener un proceso de resolución completo y riguroso. Da soluciones sin justificar debidamente (E8), basadas en la forma de unos pocos casos (E5). Es también demasiado escueta la explicación que da como argumento de que las potencias de 5 son solución (E7) y, desde luego, no se trata de un razonamiento abstracto; a no ser por el ejemplo, parecería que de nuevo ha perdido el rumbo y pretende justificar que, siendo las potencias de 5 divisibles por 5, son solución.

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

2) Escasa, le cuesta trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

A la pregunta ¿Sueles invertir bastante tiempo en comprender el enunciado...?" (C13) responde que suele invertir

"...un poco de tiempo...",

lo que induce a pensar que la inversión de esfuerzos en la fase de comprensión es relativa.

Ha visto asequible el primer problema, no necesitando releer el enunciado, aunque no ha reflexionado concienzudamente sobre ello. Precisamente, un aspecto influyente en la desorientación inicial es la falta de contraste de la tarea del problema con el estado de su conocimiento. Si la Geometría es algo no trabajado últimamente por el resolutor (como se pone de relieve en la primera parte de la entrevista), razón de sobra para intentar rebuscar en sus conocimientos. Esto provoca la consideración de sólo cuatro cuadriláteros y, más adelante, la ya mencionada definición de diagonal como "longitud entre dos vértices opuestos" (en la entrevista habla de que podría cambiarse esta definición por la de "longitud entre dos vértices no consecutivos", pero esto es debido a la revisión conjunta que hicimos del protocolo previa a la entrevista). El no profundizar en las condiciones del problema (por ejemplo, en el hecho de trabajar con polígonos regulares) le puede llevar a errores como la igualdad de la apotema con la mitad del lado. Finalmente, las ansias de ejecución mostradas dan fe de la escasa importancia otorgada a la obtención de una buena comprensión.

La triple lectura del enunciado del segundo problema (E1) es reflejo de que pretende comprender la situación. Ahora bien, el resto del protocolo da la impresión de que su interés estriba en saber de qué va el problema para pasar cuanto antes a la ejecución, más que hacerse con una comprensión que le permita esbozar una estrategia con posibilidades de éxito. De hecho, hay un momento en que se plantea si dispone de suficiente conocimiento para abordar el problema,

"...sí me lo planteé, porque hubo un momento...que no escribí nada [E3]..." (2U5),

aunque más que a tal planteamiento, dicha reflexión parece deberse al hecho de hallarse en un atolladero, sin ideas, sin estrategias de solución.

En lo que se refiere al tercer protocolo, se observa nuevamente precipitación inicial (va muy rápido y comete el error de dar los pares como solución -E3-, aunque en E4 se percata de dicho error). Además, la respuesta

"...Creo que sí, por lo menos medianamente suficiente..." (3U1)

a la pregunta sobre si ha profundizado lo suficiente en las condiciones del problema da una idea de que no otorga mucha importancia a la obtención de una representación significativa. Parece que también en este problema su idea es saber, más o menos, de qué va el enunciado para introducirse enseguida en fases ejecutivas, como lo demuestra la facilidad con que pierde el rumbo en E3.

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación

2) La importancia otorgada a la planificación es escasa, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

En C13 también se le pregunta sobre la inversión en la planificación, siendo su respuesta la citada anteriormente al hablar de la importancia otorgada a la obtención de una representación significativa, por lo que debe concluirse que le concede relativa importancia a la consecución de una buena planificación.

El hecho de introducirse en la ejecución del primer problema, como se ha mencionado con anterioridad, sin saber muy bien cuál es el objetivo (en ningún momento plantea el interrogante: con esas D y d obtenidas en función de b, h y x (la x sólo en el caso del romboide) (E2), ¿cuándo Dd/2=bh?), es una muestra de la poca importancia que da a obtener un buen plan. Tampoco se le ocurre explorar problemas similares ni posee en ningún momento una conjetura fundada. La suposición de la paridad del número de lados nada más leer la segunda pregunta pone de relieve asimismo su constatada precipitación:

"...en el momento que leí la segunda pregunta,... inmediatamente pensé que tenía que ser para un polígono...de un número par de lados..." (1U3).

 

En el segundo protocolo se le ocurre un problema relacionado:

"...pensé en...un problema parecido al dado..., [pero] no lo sé [por qué no profundicé]..." (2U7),

pero no lo explora (sin dar razones) y posee una conjetura:

"...siempre era posible encontrar encontrar [subconjuntos dentro de los once números que dieran la misma suma]..." (2U8),

aunque no reflexionada (conjetura que no tiene más base que el propio enunciado, sin haber intentado confirmarla antes de intentar demostrarla), lo que viene a poner de relieve la escasa inversión de energías en obtener un buen plan y, por contra, sus deseos de pasar rápidamente a la fase de ejecución. Inicialmente, cuando busca estrategias, lo hace mentalmente, sin una constancia clara de lo que sabe, lo que quiere y lo que puede usar. No llega a diseñar un plan coherente, sino que se introduce en el desarrollo de una estrategia sin constancia de su utilidad.

Respecto al tercer protocolo, la comentada ansia por ejecutar le impide obtener una planificación que permita abordar el problema en toda su extensión. Su propósito es tener un plan, aunque no esté suficientemente elaborado, para pasar a la ejecución.

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

2) La explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

En el primer protocolo es escasa la explicitación del estado de la ejecución (hasta E4 no hay una pequeña aclaración, a pesar de ser meramente ejecutivos los episodios anteriores) y, en todo caso, se limita a expresar con palabras los resultados obtenidos (E4, E5), pero no aclara qué pretende con cada ejecución.

En el segundo protocolo también es pobre la explicitación del estado de la ejecución, formulando preguntas que no desarrolla más que, si acaso, mentalmente (E2, E3, E6). Da señal de precipitación a lo largo de todo el protocolo e indica claramente la falta de importancia otorgada a tal explicitación para el buen desarrollo de la resolución. El enfoque probabilístico, central de la resolución, es desarrollado sin poner en claro su propósito, cual es probar que el suceso es seguro, como expresa en la entrevista.

En E3 (tercer protocolo) hay una descripción narrativa de la ejecución que conlleva el heurístico de tanteo. En E5, al comienzo, explica escuetamente el propósito de la posterior ejecución; el resto de la explicitación de este episodio no es más que escribir en texto lo que no acaba de simbolizar. Ya en E7 olvida la explicitación y se limita a escribir los cálculos.

3.4. Coherencia y control del proceso.

2) La coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo control efectivo.

El control del proceso de resolución del primer problema es escaso. Relega bastante cuestionarse en qué medida la exclusión del rombo como solución (E1) lo puede alejar de una correcta resolución (E5). Es más, sabiendo que el cuadrado es solución (E3), excluido inicialmente (E1), vuelve al caso del rectángulo (E3) antes de revisar lo efectuado en E1. Da, por consiguiente, muestras de no poseer el mando de la resolución, sino de actuar impulsivamente (desde el final de E1 hasta el comienzo de E5 transcurren aproximadamente nada menos que 15 minutos). A la hora de dar la solución de la primera parte, se centra en un detalle irrelevante (igualdad de lados), pues no analiza en qué medida los lados son los que influyen directamente en la solución o no (E5). La segunda parte es coherente con la restricción efectuada (número par de lados), pero se echa en falta alguna decisión de control encaminada a ver si las hipótesis acercan a la solución.

No tiene control sobre el proceso de resolución del segundo problema, saltando de estrategia en estrategia, rechazando una cuando se topa con la necesidad de demasiadas ejecuciones o con resultados obvios, pero sin hacer un estudio previo de la adecuación de la estrategia a la resolución del problema (sin preguntarse en profundidad a dónde le puede llevar la estrategia elegida), a pesar de expresar que

"...si no lo hubiese evaluado, no me hubiese cambiado de estrategia (sonrisas)..." (2U9).

Muestra gran ingenuidad cuando dice

"...lo que he intentado buscar, como no llegaba a ninguna solución factible, es ver que, así mentalmente, en esos números, del uno al mil, no se verificaba la solución, pero encontrar unos números en el que yo creo que sí se verifican..." (2U4),

lo que indica además que no dispone de una estrategia eficaz y que no sabe controlar el proceso. En la parte de las combinaciones (E4) se pone especialmente de manifiesto la gran desorganización existente y los cambios bruscos de estrategia (da la impresión de que su mente, mientras resuelve el problema, está también desorganizada).

En el tercer problema no ha explotado suficientemente los recursos, basando su respuesta en unos cuantos detalles aislados. Se echa en falta la búsqueda de un elemento integrador que pueda dar explicación a la procedencia de todas las soluciones (E8). Vuelve a dar la sensación de ir haciendo cosas por impulso, sin tener en sus manos el control del proceso (como se pone de relieve en E3 cuando da respuesta en realidad a otro problema).

3.5. Organización temporal.

2) Tener un plazo definido de tiempo para la resolución le condiciona bastante, suponiendo inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, provoca la falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

Le han sobrado 7 minutos en la resolución del primer problema, a pesar de lo cual no ha hecho una inversión temporal adecuada en las fases del proceso y se ha contentado con la obtención de una fórmula para número par de lados, diciendo "Creo que sólo se puede obtener la fórmula para polígonos de un número par de lados" (E8), en lo que concierne a la segunda parte, y con la conjetura de que la condición de aplicación de la fórmula del semiproducto de las diagonales es la igualdad de lados en lo que se refiere a la primera parte. Da, pues, la impresión de que teme aventurarse en una resolución a fondo.

En el segundo protocolo le sobreviene el final sin dar explicaciones coherentes. Es significativo que no sea hasta el minuto 35 (E7) cuando piensa en el 1000. Invierte mucho tiempo (más de 10 minutos) en ponerse ejemplos (E2), sin llegar a conseguir una buena comprensión de la situación, y más adelante desarrolla un abordaje probabilístico (19 minutos) (E5) sin evaluar la conveniencia de esa estrategia. Éstas pueden ser dos claves de haberle sobrevenido el final sin atisbar nada plausible, de lo cual es consciente:

"...Digo: "Bueno, voy a ver su hay alguna posibilidad" [cuando ya vi que el tiempo se me echaba encima]..., parece lógico que tú puedas formar grupos en sí, pero no encuentro el porqué [E7]..." (2U3).

 

El final del tercer protocolo (E8) corresponde más a una situación de prisas que al hecho de haber terminado 10 minutos antes del límite preestablecido. Ha tenido, por tanto, tiempo de sobra para fundamentar su resolución, pero no lo ha efectuado.

En general, pues, parece que el tiempo le impide aventurarse en planes que no sean superficiales.

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

2) Conoce algunas estrategias de RP. La constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

En C10 nombra 4 estrategias, sin dar más explicaciones y siendo más cercanas a métodos generales que a heurísticos (por ejemplo, inducción).

Cita como características de un experto las siguientes:

"...Agilidad y destreza en los métodos para resolución de problemas. Capacidad para imaginar cuáles van a ser los escollos a salvar..." (C18),

donde se echa en falta una mayor precisión y una referencia a algún aspecto metacognitivo.

En el primer protocolo hay una ausencia de exploración de problemas similares y de formulación de una conjetura fundamentada, hecho este último que pone de manifiesto no dominar la utilidad de dicha estrategia, cuando el problema se prestaba a ello.

En el segundo protocolo posee una conjetura, como ya se ha citado, aunque no reflexionada. En la entrevista expresa teóricamente qué puede obtenerse del tanteo:

"...Una pista para tratar el problema..." (2U6).

 

Globalmente pone en juego los siguientes heurísticos:

- Primer problema: buscar regularidades, considerar problemas equivalentes, descomponer el problema (planificación), analizar la consistencia de la solución (verificación).

- Segundo problema: organizar la información (comprensión), considerar problemas equivalentes, partir de lo que se sabe (planificación).

- Tercer problema: organizar la información (comprensión), buscar regularidades, tantear (planificación), analizar la consistencia de la solución (verificación).

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

 

El perfil, en lo que atañe a las categorías 2 y 3, es bastante plano, siendo todos los niveles iguales a 2, salvo un 1 en la categoría 2. Por ello, puede simbolizarse por B1-3, S1-2 (con un 1 exclusivamente).

IV.3.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

La información aportada por JR deja traslucir el hecho de que estar siendo observado supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

En lo referente a su actitud ante los problemas cotidianos, parece que los afronta en solitario, pudiendo incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución) si necesita ayuda para resolverlos.

Metidos ya en el campo matemático, el abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso. En este tono positivo, hay que añadir que la predisposición usual ante un problema es de curiosidad, mostrando interés tanto en el resultado como en su posible abordaje, abandonando en contados casos. Por el contrario, posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver un problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera. Además, si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo .

Ha mostrado un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

En lo que respecta al papel de la memoria, considera que ésta es necesaria, efectuándose en su ausencia la búsqueda de un procedimiento alternativo de forma insegura.

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

Capta la estructura del problema ocasionalmente, normalmente de forma parcial, es decir, es capaz de formular algo de la situación planteada con sus propias palabras, pero carece de comprensión de la mayor parte, y su razonamiento no es, ni mucho menos, abstracto.

En los protocolos se observa que existe un atisbo de planificación, aunque irrelevante para la resolución.

En relación a la ejecución, ésta es ineficaz, porque, aunque es coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

En la misma línea sigue el empleo de la revisión, que es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

Todavía se agudiza más el deficiente tono de la acción en lo que atañe al nivel de acabado de la solución, pues se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

Los datos que se poseen sobre esta categoría conducen a pensar que otorga poca importancia al control de la acción, con un perfil plano en un nivel deficiente.

Más concretamente, concede escasa importancia a la obtención de una representación significativa de la situación, costándole trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

Asimismo, es escasa la importancia otorgada a la planificación, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

En la misma línea, la explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

Por su parte, en general, la coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo control efectivo.

Respecto a la organización temporal, da la impresión de que tener un plazo definido de tiempo para la resolución le condiciona bastante, suponiendo inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, provoca la falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

Finalmente, conoce algunas estrategias de RP, pero la constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

IV.3.4. ANÁLISIS FINAL

Tecnológico-instrumentalista puro con bajo nivel en el control de la acción

El abordaje frecuente de problemas matemáticos (1.3.-4) y la buena predisposición ante los mismos (1.4.1.-4) muestran datos de su quehacer como investigador, que contrastan con la escasa confianza evidenciada en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-2). Los dos primeros no concuerdan con la práctica de una metodología basada en la ejercitación reproductiva (TE1) (hecho bastante frecuente), mientras que el último es asociable al apego a una programación cerrada (TE4) y a la consideración de mínimos rígidos a la hora de evaluar (TE30), todo ello, por tanto, teniendo como trasfondo una compaginación del hecho de enfrentarse a problemas con el hecho de poseer miedo a lo que no controla desde el comienzo (problemas o clases). Esta suposición se confirma viendo el papel que concede a la memoria, en cuya ausencia no se queda bloqueado, pero actúa de forma insegura (1.6.-3), en concordancia con el papel del alumno, el cual debe reproducir (TE17) y atender (T18).

El ya mencionado papel acrítico del alumno se ve reflejado en su escaso empleo de la revisión (2.4.-2) (concordancia que no tiene por qué darse necesariamente), coincidiendo con su bajo nivel de acabado de la solución (2.5.-1), consistentemente con el marcado carácter utilitarista que concede a la matemática (IN3) y su enseñanza (TE7).

Su bajo nivel en el control de la acción (2 en todos los indicadores) viene preludiado por su modelo de concepción de la matemática claramente instrumentalista, ponderando, por ejemplo, la argumentación empírica (IN7) por encima de formas más reflexivas o introspectivas de razonamiento.

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