(ÍNDICE GENERAL) (ÍNDICE DEL CAPÍTULO)

 

ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE LD 

 IV.5.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

 IV.5.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

METODOLOGÍA

5.Dependiendo de los niveles...intento...que...razonen sobre las ideas preconcebidas...o...de pura lógica o de sentido...común..., que intenten aplicar esa lógica de sentido común sobre todo en casos de matemáticas, entonces lo mismo se utilizará la calculadora,...los algorit-mos determinados..., lo que intento es llevarles a situacio-nes reales donde sea la lógica la que les ayuda a...llevar o trasplantar a lo que estemos trabajando en matemáticas.

1.(Aprendemos matemáticas)a través de situaciones...de entretenimiento...(Así)es como se empieza a sentir una cierta atracción. Una vez que la atracción está ahí..., pues intentar analizar...con las bases que juegas..., para poder seguir trabajando.

10.(A la hora de programar)fundamentalmente me fijo en los diseños que ya están hechos..., monto una serie de actividades...únicamente como guión, después lo mismo salimos..., y con cualquier problema me puedo llevar una clase, o dos o las que hagan falta..., salvo en programa-ciones concretas que son las de COU... En las otras realmente yo tampoco me programo...Veo más o menos lo que está, intento juntar unas actividades...,que tampoco... le doy demasiadas vueltas, es decir, intento crear algún problema de investigación...y los problemas me tienen que dar juego para hacer un recorrido amplio.

11.Yo es que no me propongo...más que los chavales sean capaces de razonar..., no me propongo nada con respecto a casi ningún objetivo específico o con respecto a ningún contenido de la materia en sí salvo mínimos y salvo fijar unas bases imprescindibles que me permitan...poder razonar.

4'.Yo parto de una idea clara y unas actividades prepara-das que hacen de guión, después es la propia clase la que da el giro necesario. Si no se contara con el grupo a la hora de planificar un tema, éste no tendría sentido... Siempre habrá que estar abiertos a la posibilidad de rectificar sobre la marcha.

TE2:Simulación puntual de investigaciones (medios técnicos)

 

 

 

 

 

E2:Descubrimiento aleatorio (manipulación de modelos)

 

 

E3:Objetivos flexibles y orientativos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E3

 

 

 

 

 

E3

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

SENT.ASIGNAT. (I)

4.(Para que mis alumnos aprendan...)depende de los gru-pos fundamentalmente..., la idea es ...que tomen interés a través de alguna vivencia, de alguna experiencia que más o menos puedan asociar y que antes hayan tenido y, a partir de ahí,...ahondar en lo que vamos a trabajar...Soy el primero en crearles interés, motivarlos, que tengan confianza..., que luchen por demostrarme a mí que estoy incluso equivocado o demostrarme que ellos son los que están en posesión de la verdad, y motivar por ese camino a aquellas personas que realmente tienen algo que dar... (me parece que tienen mucho que dar), y a los otros... ayudar-les...a que tengan confianza en sí mismo, y por supuesto a seguir un trabajo...Cada vez soy un poco más defensor del trabajo, quizás porque yo no lo he sido demasiado.

6.Estoy valorando cada vez más el trabajo..., su... respon-sabilidad ante...las tareas que se le planteen y...su creati-vidad...asociada un tanto con el trabajo..., sentirse un tanto seguro en lo que se quiere y lo que se debe hacer.

11.Yo es que no me propongo...más que los chavales sean capaces de razonar..., no me propongo nada con respecto a casi ningún objetivo específico o con respecto a ningún contenido de la materia en sí salvo mínimos y salvo fijar unas bases imprescindibles que me permitan...poder razonar.

20.No me preocupa (que se quede un tema sin dar. Para elegir entre varios temas cuando escasea el tiempo,) dependerá de: el tema anterior que se ha dado, si el segundo es como conclusión para cerrar aquél..., entonces, a lo mejor veo que es fundamental, o bien si considero que, aunque sea como para cerrarlo o para concluirlo, pero puede ser como de ampliación también, entonces, a lo mejor, opto por no darlo y que lo amplíen ellos por su cuenta..., entonces dependerá un poco de los temas en sí... Si son algo nuevo, evidentemente optaría por dar el más básico..., el que me parezca más necesario para ellos... Depende qué es lo que pretenda conseguir, es decir, si hemos dicho antes que lo que pretendemos conseguir, en el fondo, es que sepa razonar y que mantengan una actitud de lógica ante cualquier situación, entonces, en ese sentido.

E5:Énfasis procedimental y actitudinal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E5

 

 

 

E5 (como negación del resto)

 

 

 

 

E5

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

SENT.ASIGNAT.(II)

6'.(Lo más importante que debe aprender un alumno es...) la materia y asimilación de comportamientos y actitudes ante la vida. Lo segundo es sin duda lo más importante..., pero ello no está tan claramente separado...de lo primero, es más, es algo que se apoya y se deduce al tratar aquello, tanto por los conocimientos en sí como por el tratamiento que se les haya dado en su proceso de adquisición. Respecto a lo primero, y en el caso de matemáticas, está claro que nuestro objetivo será conseguir que los alumnos, además de llegar a tener un "poso" de conocimientos básicos, sepan cómo manejar estos conocimientos ajustados a una lógica correcta.

12.(Respecto a la discrepancia entre lo que proponemos y lo que conseguimos...)Los chavales pueden asociar las matemáticas con una determinada problemática...o una abstracción excesiva que les...(hace estar)bloqueados desde el principio...y...no les permite el disfrutar y el desahogar-se y el elucubrar o el buscar las vías distintas... Hay otras razones, por falta de estudio..., de trabajo,... de interés, porque no le atrae en absoluto y le parezca algo que hay que aprobar y algo que hay que pasar como se pueda..., y dar lo mínimo..., lo que me gustaría sería llegar a...que no se planteen la materia como algo que hay que aprobar o algo que hay que pasar..., sino...como un propio reto..., que les permita disfrutar de sus propias consecuciones. Cuando llego a eso, es cuando he conseguido lo bueno, lo que pasa es que no es fácil.

8.Me parece que las matemáticas son quizás para...que sea capaz de razonar, pero además razonar la realidad...y no ante el problema concreto que además siempre está preparado para que tenga una única solución..., entonces esos problemas les sirvan para que adquieran un cierto grado de abstracción, de generalización y de ese sentido común que quiero que pongan en juego y que además le sirva para seguir teniendo más sentido común.

E5:Énfasis procedimental y actitudinal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I6:Matemática escolar como síntesis de la matemática formal y la matemática cotidiana

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E7:Formativa (actitudes y valores racionales)

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

CONC. APRENDIZ.

4.(Para que mis alumnos aprendan...)depende de los gru-pos fundamentalmente..., la idea es ...que tomen interés a través de alguna vivencia, de alguna experiencia que más o menos puedan asociar y que antes hayan tenido y, a partir de ahí,...ahondar en lo que vamos a trabajar...Soy el primero en crearles interés, motivarlos, que tengan confianza..., que luchen por demostrarme a mí que estoy incluso equivocado o demostrarme que ellos son los que están en posesión de la verdad, y motivar por ese camino a aquellas personas que realmente tienen algo que dar... (me parece que tienen mucho que dar), y a los otros... ayudar-les...a que tengan confianza en sí mismo, y por supuesto a seguir un trabajo...Cada vez soy un poco más defensor del trabajo, quizás porque yo no lo he sido demasiado.

18.Intervienen bastante...en grupo, la verdad es que física-mente están trabajando en grupo, pero en la realidad...no funcionan como grupo... Van cada uno un poco a su aire ... No llevan la misma secuenciación, la misma temporali-zación... Trabajan, ya casi, individualmente..., lo que pasa es que yo intento...ser el aglutinador... Cuando alguno me pregunta algo, si el otro compañero está al lado, pues intento que sea él mismo el que se la comente si puede..., es decir,... intento echar mano de ellos para que...sean ca-paces de comentárselo y...,si no,... llego yo a comentarlo.

19.En el diseño no (participan), en absoluto... En la programación sí, puesto que, en el fondo, las actividades son guión, no están cerradas..., la propia actividad se cambia según las necesidades y...la demanda.

5.Dependiendo de los niveles...intento...que...razonen sobre las ideas preconcebidas...o...de pura lógica o de sentido...común..., que intenten aplicar esa lógica de sentido común sobre todo en casos de matemáticas, entonces lo mismo se utilizará la calculadora,...los algorit-mos determinados..., lo que intento es llevarles a situacio-nes reales donde sea la lógica la que les ayuda a...llevar o trasplantar a lo que estemos trabajando en matemáticas.

1.(Aprendemos matemáticas)a través de situaciones...de entretenimiento...(Así)es como se empieza a sentir una cierta atracción. Una vez que la atracción está ahí..., pues intentar analizar...con las bases que juegas..., para poder seguir trabajando. cierta atracción. Una vez que la atracción está ahí..., pues intentar analizar...con las bases que juegas..., para poder seguir trabajando.

E8:Significativo aleatorio

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T11:Trabajo individual

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E12-I12:Dinamizador: intereses del grupo de alumnos.O Dinamizador: intereses de alumnos y disciplina

I12:Dinamizador: intereses de alumnos y disciplina

 

 

 

 

E-I14:Actitud transformable

 

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

PAPEL ALUMNO (I)

19.En el diseño no (participan), en absoluto... En la programación sí, puesto que, en el fondo, las actividades son guión, no están cerradas..., la propia actividad se cambia según las necesidades y...la demanda.

2.Si la enseñanza es buena, se supone que el aprendizaje es bueno... Estoy hablando de que la enseñanza sea buena, no de que la persona que enseña sea muy bueno en mate-máticas... No sólo que se prepare muy bien las clases, sino que la metodología que lleva va acorde con ese grupo...; es capaz de crearles interés, motivación, atrac-ción hacia la materia y la dinámica que se mantiene en la clase o en el aula o el grupo que sea es la idónea para ese grupo... Si es así, el aprendizaje debe ser bueno.

16. Satisfecho no estoy nunca..., lo que pasa es que a mí lo que me satisface es que me encuentro a gusto con lo que se está trabajando... (Con) los resultados..., ni me siento ni me dejo de sentir (a gusto), intento ser...lo más justo posible,... me preocuparía...tener el 80% o 90 de cateados...; si ocurre eso me preocupa...porque pienso que hay...razones...; intento verlas y aclararlas...(y) solucionarlas.

5'.El alumno sólo puede aprender si en él se crea un interés hacia la materia; claro que este interés puede obedecer a muy distintas razones y de todas ellas la más óptima es la que obedece a deseos casi "lúdicos" unidos a unas ciertas ganas de demostrarse a sí mismo y a las personas que le merezcan respeto y confianza (he aquí el papel del profesor) de lo que es capaz.

10.(A la hora de programar)fundamentalmente me fijo en los diseños que ya están hechos..., monto una serie de actividades...únicamente como guión, después lo mismo salimos..., y con cualquier problema me puedo llevar una clase, o dos o las que hagan falta..., salvo en programa-ciones concretas que son las de COU... En las otras realmente yo tampoco me programo...Veo más o menos lo que está, intento juntar unas actividades...,que tampoco... le doy demasiadas vueltas, es decir, intento crear algún problema de investigación...y los problemas me tienen que dar juego para hacer un recorrido amplio.

E15:Participa indirectamente a través de sus reacciones

 

TE16:Responsable principal de la transferencia de enseñanza-aprendizaje (motivación por el contexto)

 

 

 

E16:Clave de la transferencia de enseñanza-aprendizaje: motivación por la acción

 

 

 

 

E16

 

 

 

 

 

 

E16+I17:Clave de la transferencia de enseñanza-aprendizaje: motivación por la acción. Investiga

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

PAPEL ALUMNO (II)

12.(Respecto a la discrepancia entre lo que proponemos y lo que conseguimos...)Los chavales pueden asociar las matemáticas con una determinada problemática...o una abstracción excesiva que les...(hace estar)bloqueados desde el principio...y...no les permite el disfrutar y el desahogar-se y el elucubrar o el buscar las vías distintas... Hay otras razones, por falta de estudio..., de trabajo,... de interés, porque no le atrae en absoluto y le parezca algo que hay que aprobar y algo que hay que pasar como se pueda..., y dar lo mínimo..., lo que me gustaría sería llegar a...que no se planteen la materia como algo que hay que aprobar o algo que hay que pasar..., sino...como un propio reto..., que les permita disfrutar de sus propias consecuciones. Cuando llego a eso, es cuando he conseguido lo bueno, lo que pasa es que no es fácil.

24.(Intento que el trabajo con el teorema de Tales)sea significativo y que...(se)vea que eso es verdad, porque decir...que dos líneas secantes se cortan por dos paralelas en...longitudes...; mantienen una proporción..., pues realmente eso no nos dice nada, entonces tienen que verlo mediante algún hecho de la realidad, que podría ser...una fotografía de un templo griego o algún hecho así.

1.(Aprendemos matemáticas)a través de situaciones...de entretenimiento...(Así)es como se empieza a sentir una cierta atracción. Una vez que la atracción está ahí..., pues intentar analizar...con las bases que juegas..., para poder seguir trabajando.

17.(Durante mis clases)se suele trabajar una serie de acti-vidades...(que)dan pie a una serie de preguntas que, unas veces se las contesto individualmente, si me parecen que son preguntas concretas...y, si son...un poco más genéri-cas...o me parece que tienen una dificultad para todos,... intento comentarlas yo en clase, apoyándome en lo que cada uno dice o ayudándole a aquéllos que tienen una idea a que se la expresen a los demás...; pero en los cursos bajos intento que no sea yo el que da las soluciones..., sino plantearles...las posibles vías y que vayan poco a poco llegando... Después aprovecho, cuando alguno llega a la solución más o menos buscada o las ideas buenas, y... las intento clarificar para el resto.

I16:Clave de la transferencia de enseñanza-aprendizaje: el proceso (motivación por los significados)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I16

 

 

 

 

 

 

E18:Juega

 

 

 

 

I18+19:Reflexiona. Cuestiona

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

PAPEL PROFESOR(I)

18.Intervienen bastante...en grupo, la verdad es que física-mente están trabajando en grupo, pero en la realidad...no funcionan como grupo... Van cada uno un poco a su aire ... No llevan la misma secuenciación, la misma temporali-zación... Trabajan, ya casi, individualmente..., lo que pasa es que yo intento...ser el aglutinador... Cuando alguno me pregunta algo, si el otro compañero está al lado, pues intento que sea él mismo el que se la comente si puede..., es decir,... intento echar mano de ellos para que...sean ca-paces de comentárselo y...,si no,... llego yo a comentarlo.

3'.Mi papel dependerá tanto del tema como de la clase. Si parto de la idea de crear una dinámica activa y participati-va, yo debo limitarme a encauzar correctamente sus propias ideas y sugerencias para alcanzar el fin pretendido ... A veces, al principio de distintos temas, hago unas aclaraciones y establezco ciertas relaciones con algo conocido; otras soy yo el que profundiza por falta de tiempo y, en último caso, si el grupo no avanza por sí solo, opto por las clases en plan tradicional, siendo yo el que plantea los problemas y casi sus soluciones... En la mayoría de los casos voy jugando con los dos métodos.

4.(Para que mis alumnos aprendan...)depende de los gru-pos fundamentalmente..., la idea es ...que tomen interés a través de alguna vivencia, de alguna experiencia que más o menos puedan asociar y que antes hayan tenido y, a partir de ahí,...ahondar en lo que vamos a trabajar...Soy el primero en crearles interés, motivarlos, que tengan confianza..., que luchen por demostrarme a mí que estoy incluso equivocado o demostrarme que ellos son los que están en posesión de la verdad, y motivar por ese camino a aquellas personas que realmente tienen algo que dar... (me parece que tienen mucho que dar), y a los otros... ayudar-les...a que tengan confianza en sí mismo, y por supuesto a seguir un trabajo...Cada vez soy un poco más defensor del trabajo, quizás porque yo no lo he sido demasiado.

2'.(Hay que presentar el contenido de la materia)de la forma más simple posible, y recogiendo similitudes y experiencias ya tratadas, para desde ahí ir ahondando e incluso

TE20:Transmite por procesos tecnológicos

 

 

 

 

 

 

 

 

TE20+I21:Transmite por procesos tecnológicos. Conduce

 

 

 

 

 

 

 

 

I20:Provoca

 

 

 

 

 

TE21Ì I21:Expone Ì Conduce

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

PAPEL PROFES. (II)

10.(A la hora de programar)fundamentalmente me fijo en los diseños que ya están hechos..., monto una serie de actividades...únicamente como guión, después lo mismo salimos..., y con cualquier problema me puedo llevar una clase, o dos o las que hagan falta..., salvo en programa-ciones concretas que son las de COU... En las otras realmente yo tampoco me programo...Veo más o menos lo que está, intento juntar unas actividades...,que tampoco... le doy demasiadas vueltas, es decir, intento crear algún problema de investigación...y los problemas me tienen que dar juego para hacer un recorrido amplio.

17.(Durante mis clases)se suele trabajar una serie de acti-vidades...(que)dan pie a una serie de preguntas que, unas veces se las contesto individualmente, si me parecen que son preguntas concretas...y, si son...un poco más genéri-cas...o me parece que tienen una dificultad para todos,... intento comentarlas yo en clase, apoyándome en lo que cada uno dice o ayudándole a aquéllos que tienen una idea a que se la expresen a los demás...; pero en los cursos bajos intento que no sea yo el que da las soluciones..., sino plantearles...las posibles vías y que vayan poco a poco llegando... Después aprovecho, cuando alguno llega a la solución más o menos buscada o las ideas buenas, y... las intento clarificar para el resto.

3'.Mi papel dependerá tanto del tema como de la clase. Si parto de la idea de crear una dinámica activa y participati-va, yo debo limitarme a encauzar correctamente sus propias ideas y sugerencias para alcanzar el fin pretendido ... A veces, al principio de distintos temas, hago unas aclaraciones y establezco ciertas relaciones con algo conocido; otras soy yo el que profundiza por falta de tiempo y, en último caso, si el grupo no avanza por sí solo, opto por las clases en plan tradicional, siendo yo el que plantea los problemas y casi sus soluciones... En la mayoría de los casos voy jugando con los dos métodos.

E21Ì I21:Promueve Ì Conduce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E21Ì I21+I21:Promue-ve. Conduce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I21:Conduce

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

PAPEL PROFES. (III)

3.(Los problemas de aprendizaje son)más culpa del profe-sor..., que no sea capaz de adaptarse a las exigencias de ese grupo o a las individualidades que del grupo esté compuesto, que no sea capaz de...crearles ese interés, de darles esa motivación y de hacerles agradable ese trabajo que están haciendo...y que ellos se sientan disfrutando...de lo que hacen.

1'.Puesto que la clase supone una interrelación profesor-alumno, (el profesor)ha de ser capaz de crear un clima óptimo para que la clase se sienta partícipe y activa. De cualquier forma, este papel...dependerá del clima interno que la propia clase tenga. Si éste es ya positivo, bastará con ser capaz de introducirse en él aportando algún atracti-vo hacia la materia. Si...no es nada favorable habrá que seguir otras estrategias... Cabe la posibilidad que previa-mente haya que romper toda la dinámica interna para después seguir una segunda fase de acercamiento y selección de actitudes.

E23:Humanista, especialista en dinámica de grupo

 

 

 

 

E23

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

EVALUACIÓN (I)

15.Sí, si los resultados yo veo que no son buenos...intento analizar el porqué... A qué es debido y si...pienso o llego a la conclusión de que el nivel...está por encima de lo que yo pensaba que ellos podían dar...intento rebajarlo... En el fondo, la formación es la misma, lo que ocurre es que se puede dar...ahondando de distinta forma.

9.(Sobre el grado de consecución de los objetivos, hago)una indagación bastante anárquica..., un tanto...sobre la marcha de las clases, es decir, no es algo que yo...me plantee de una forma explícita o con unas actividades concretas..., únicamente la percepción que yo obtengo en la clase... Los exámenes...la validez que tienen es (la de)un soporte...para darle otra nota..., pero...el proceso de aprendizaje...se manifiesta mucho más...con el trata-miento diario de clase..., las preguntas que hacen, los comentarios, la forma de explicar a los compañeros las distintas opciones..., ahí es donde más o menos se va viendo...si se va a producir un cierto progreso... Yo creo que los exámenes dicen poco..., porque...están determina-dos para que se domine por lo menos lo básico..., no dan pie...a la investigación, a darles problemas nuevos. Normalmente son casi repetitivos de lo que ya se ha hecho en clase o similar, entonces ahí tanto la creatividad como todo esto tiene muy poco donde ponerse de manifiesto.

7.En los objetivos...quizás no estén (lo que valoro)...en una forma explícita, pero...en la nota...que se les da en la evaluación...va reflejado y además lo comento con ellos... Hay personas que...conoces y no dan más...y por su esfuerzo...y su interés pues... Eso se lo digo así de claro..., no de forma individualizada, sino en la clase.

I25:Formativa-sumativa (proceso y producto)

 

 

 

 

TR27+E27+I35:No explicita criterios. Subjetiva. Criterios variables y consensuados

Indefinida. Calificación por conjunción de varios instrumentos (cuad. alumno, exámenes, observación,T.Grupo,...)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TR27+E28+31:No explicita criterios. Subjetiva. Grado de implicación. Diferenciación individual no organizada

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CEM)

EVALUACIÓN (II)

13.Si la programación está muy fija..., como...podría ser la de COU..., me lo estoy planteando continuamente (la revisión de los planteamientos iniciales)y estoy intentando ajustarme lo más posible, porque tengo un tiempo determi-nado y unos temas determinados que dar. En lo demás, también..., es un planteamiento continuo...,cuando...tengo la sensación de que la clase no me sigue, o no nos encon-tramos a gusto, o yo veo que allí no hay el clima...óptimo ..., me lo planteo e intento introducir variantes... Lo que pasa es que a eso tampoco soy capaz de darle soluciones ...Está un poco asociado con la situación anímica mía...,el momento de la clase..., el agobio de exámenes que tengan; hay momentos en los que no sé por qué una clase funciona bien y otras que no... Es un continuo replanteamiento sin explicitar..., a través de mis propias sensaciones.

14.(Para calificar, además de los exámenes)por término medio, les recojo los cuadernos tres veces al curso a todos ..., las impresiones que saco de clase, en cuanto a manifestar sus ideas, exponerlas y aclararlas, así como razonarlas y expresárselas a sus compañeros y la nota del examen... Por lo general, no tomo notas..., me quedo con la impresión.

16. Satisfecho no estoy nunca..., lo que pasa es que a mí lo que me satisface es que me encuentro a gusto con lo que se está trabajando... (Con) los resultados..., ni me siento ni me dejo de sentir (a gusto), intento ser...lo más justo posible,... me preocuparía...tener el 80% o 90 de cateados...; si ocurre eso me preocupa...porque pienso que hay...razones...; intento verlas y aclararlas...(y) solucionarlas.

4.(Para que mis alumnos aprendan...)depende de los gru-pos fundamentalmente..., la idea es ...que tomen interés a través de alguna vivencia, de alguna experiencia que más o menos puedan asociar y que antes hayan tenido y, a partir de ahí,...ahondar en lo que vamos a trabajar...Soy el primero en crearles interés, motivarlos, que tengan confianza..., que luchen por demostrarme a mí que estoy incluso equivocado o demostrarme que ellos son los que están en posesión de la verdad, y motivar por ese camino a aquellas personas que realmente tienen algo que dar... (me parece que tienen mucho que dar), y a los otros... ayudar-les...a que tengan confianza en sí mismo, y por supuesto a seguir un trabajo...Cada vez soy un poco más defensor del trabajo, quizás porque yo no lo he sido demasiado.

TR27+E28+32:No explicita criterios. Subjetiva. Grado de implicación. Cada actividad recupera la motivación

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E27+I35:Criterios variables y consensuados

Indefinida. Calificación por conjunción de varios instrumentos (cuad. alumno, exámenes, observación,T.Grupo,...)

E28:Grado de implicación

 

 

 

 

 

 

E31:Diferenciación individual no organizada

 

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE LD

 CATEG.

IND\TEND

TRADIC.

TECNOL

ESPONT.

INVEST.

METODOLOGÍA

1

 

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2

 

*

 

 

 

3

 

 

*

 

 

4

 

 

*

 

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

5

 

 

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6

 

 

 

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7

 

 

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CONCEPCIÓN

DEL

 

APRENDIZAJE

8

 

 

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9

 

 

 

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10

 

 

 

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11

**

 

 

 

12

 

 

 

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13

 

**

 

14

 

 

**

PAPEL

 

DEL

 

ALUMNO

15

 

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16

 

 

*

 

 

17

 

 

 

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18

 

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19

 

 

 

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PAPEL

 

DEL

 

PROFESOR

20

 

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21

 

 

 

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22

 

 

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23

 

 

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EVALUACIÓN

25

 

 

 

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27

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28

 

 

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29

 

 

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30

 

 

 

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31

 

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33

 

 

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34

 

 

 

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35

 

 

 

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(Cuadro 26)

 

Aunque no existe una preponderancia clara de ninguna tendencia, hay un ligero predominio de unidades de información espontaneístas. Si a esto se añade que la categoría de metodología está entre la tendencia tecnológica y la espontaneísta, el sentido de la asignatura se inclina levemente del lado espontaneísta, la concepción del aprendizaje pertenece a la tendencia investigativa, y el resto de categorías se sitúa entre las tendencias espontaneísta e investigativa con algún que otro indicador tecnológico o tradicional, hay que concluir que su perfil es entre espontaneísta e investigativo con un ligero predominio de lo primero (E'-I).

 

IV.5.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE LD

 

Lo más característico de este individuo es su eclecticismo, poseyendo indicadores del mismo nivel pertenecientes a todas las tendencias. Por otra parte, aunque con rasgos de las cuatro tendencias, está más próximo a la espontaneísta y a la investigativa.

 

METODOLOGÍA

 

La actividad del aula se caracteriza por la repetición de ejercicios, que pretenden reproducir los procesos lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por parte de los alumnos. Esta marcada inclinación tecnológica, manifestada en la fase de consenso (no había proporcionado datos inicialmente), contrasta con su posicionamiento respecto al siguiente indicador. En efecto, de un lado dice usar en determinadas circunstancias (cursos, por ejemplo) la exposición magistral como técnica habitual y el libro de texto como único material curricular; sin embargo, asegura que otras ocasiones tiene organizado el proceso que llevará al alumno a la adquisición de unos conocimientos determinados, a través de su investigación. Asimismo, afirma que, según qué circunstancias, propone actividades de manipulación de modelos, a través de las cuales se producirá, eventualmente, un conocimiento no organizado, algo que ya se había extraído de las unidades de información, al igual que el hecho de que en otras ocasiones no expone los contenidos en su fase final, sino que simula su proceso de construcción, indicador (tecnológico) al que parece conceder más relevancia.

 

Los objetivos sólo definen un marco genérico de actuación (carácter orientativo) y están sujetos a eventuales modificaciones en cuanto al grado de consecución (flexibles), mostrando así el primero de una extensa lista de indicadores correspondientes a la tendencia espontaneísta.

 

Para LD la programación es un documento vivo que, por basarse en los intereses que, en cada momento, manifiestan los alumnos y en la negociación con ellos, no dispone de una organización inicial.

 

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

 

Aunque no había mucha información, el consenso ha confirmado lo inicialmente inferido en cuanto a la orientación de la asignatura. Así, para LD la matemática escolar, de diferente naturaleza que la matemática formal, tiene su punto de partida en la etnomatemática de los alumnos y recoge las necesidades socio-políticas, culturales,..."Hacer matemáticas" con un carácter más formal proviene del análisis de lo concreto. Le interesan tanto la adquisición de conceptos, como el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia y el trabajo escolar en general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los que determinan el peso específico de cada una de las componentes citadas. Sin embargo, a través del consenso y, sobre todo, las unidades de información se hace patente que no le interesan tanto los conceptos como los procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia el trabajo escolar. Por tanto, posee características de la tendencia espontaneísta y de la investigativa, aunque en esta ocasión, se decanta un poco por la primera. Este hecho es consecuente con el hecho de pensar que la asignatura posee un carácter formativo, con objeto de servir de instrumento para un cambio actitudinal del alumno (con respecto al aprendizaje y la vida), así como para la adquisición de valores racionales que le permitan conformar una actitud lógica ante los problemas cotidianos.

 

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

 

Combina rasgos espontaneístas (se aprende cuando el objeto de aprendizaje, que surge aleatoriamente del contexto, posee un significado para el alumno) con investigativos (los objetos de aprendizaje no sólo tienen significado, sino también la capacidad de ser aplicados en contextos diferentes de donde fueron aprendidos, adquiriendo así un carácter móvil a través de una malla conceptual), añadidos estos últimos en la fase de consenso.

 

Siguiendo con el tipo y la forma de aprendizaje, LD piensa que el aprendizaje comienza, normalmente, por la observación de regularidades que permiten aflorar una conjetura; pero a ésta ha de seguir una comprobación razonable y, en la medida de lo posible, una generalización adecuada, y cree que el aprendizaje se produce a través de investigaciones que han sido planificadas por el profesor.

 

Hay que resaltar las aparentes incoherencias que pueden detectarse en los dos párrafos anteriores, por cuanto, de un lado, da cabida a que el objeto de aprendizaje surja aleatoriamente del contexto, mientras que del otro piensa que las investigaciones planificadas son el vehículo del aprendizaje. Ahora bien, esto se debe al eclecticismo reinante en LD, y en esa medida hay que interpretar sus manifestaciones. Así, dichos párrafos dejan de ser incoherentes para, dentro de un marco que idealmente es investigativo, englobar características espontaneístas que se dan con frecuencia en su práctica docente.

 

La única unidad de información relativa al tipo de agrupamiento, así como el consenso, sólo dan pie a descartar el indicador espontaneísta. Deja claro que sus pretensiones corresponden al indicador investigativo (la forma de agrupamiento aconsejable para la producción de aprendizaje depende de la actividad a desarrollar), pero que a veces la falta de preparación de los alumnos en el trabajo de grupos hace que éstos trabajen de forma individual, por lo que se concluye que en la mayoría de las ocasiones para LD la única forma de agrupamiento que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual.

 

Las unidades de información se inclinaban levemente hacia la consideración, como dinamizador ideal del aprendizaje, del equilibrio entre los intereses y estructura mental de los alumnos y los de la matemática, inclinación que la fase de consenso determinó con rotundidad.

 

En cuanto a aptitudes y actitudes de los alumnos, piensa que ambas pueden ser modificadas.

 

PAPEL DEL ALUMNO

 

El alumno participa indirectamente en el diseño didáctico a través de sus reacciones en el quehacer del aula.

 

LD está a caballo entre la opinión de que la motivación proveniente de la propia acción es la clave de los buenos resultados del aprendizaje y la opinión consistente en que, para que se dé aprendizaje, es necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de aprendizaje, aunque concede más peso a la primera.

 

La actividad del alumno está organizada (interna o externamente) hacia la búsqueda de respuestas a determinados interrogantes. No obstante, aunque en ocasiones el alumno toma conciencia de qué hace y para qué lo hace, por lo general, la actividad del alumno no incluye un tiempo para la reflexión sobre su propia acción. También confirma en el consenso lo supuesto, a partir de las unidades de información, respecto a que el alumno mantiene una actitud crítica ante las informaciones que se movilizan en el aula.

 

PAPEL DEL PROFESOR

 

Transmite utilizando estrategias organizativas/expositivas que procuran ser atractivas, indicador tecnológico que contrasta con el carácter espontaneísta-investigativo del resto de los indicadores de la categoría.

 

En efecto, aunque en las unidades de información pueden observarse rasgos tecnológicos o espontaneístas relativos al modo de ejecución de su papel de profesor, éstos deben ser interpretados como inmersos en la más amplia visión investigativa. En concreto, exponer o promover han interpretarse dentro del amplio significado de conducir. Dicha interpretación ha sido confirmada durante el consenso, por lo que, en resumen, hay que decir que LD conduce la investigación hacia la consecución de aprendizajes.

 

Sin embargo, sus dos siguientes características siguientes son espontaneístas, poniendo de relieve una vez más su eclecticismo: posee un marcado carácter humanista y especialista en dinámica de grupos y analiza las reacciones y respuestas de sus alumnos a sus propuestas, sin llegar a ser un experimentador-investigador del contenido y los métodos.

 

Por otra parte, considera necesaria una coordinación sobre todos los aspectos que caracterizan el diseño didáctico.

 

EVALUACIÓN

 

En esta categoría ha sido esencial la fase de consenso, ya que de algunos indicadores no se poseía información o ésta era escasa, si bien es verdad que había la suficiente para determinar su tendencia, que sigue siendo la mostrada en las demás categorías.

 

LD concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, orientando la enseñanza hacia los aprendizajes previstos a través de contextos más apropiados. Ahora bien, reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

 

Respecto a los criterios, combina el que éstos varíen dependiendo del contexto y del consenso alcanzado con los alumnos, quedando la evaluación poco definida, con el hecho de no disponer de criterios explícitos, haciendo que la valoración de los alumnos sea subjetiva, predominando este último caso, según lo expresado en la fase de consenso.

 

Trata de medir el grado de implicación del alumno en el quehacer del aula, así como la aplicación significativa de sus conocimientos.

 

Por otra parte, a lo largo del proceso se van reformulando los contenidos de aprendizaje, teniendo en cuenta los intereses del alumno, la propia asignatura, el contexto educativo y el propio proceso.

 

LD obtiene información personalizada de los alumnos a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora, aunque de forma no organizada. Asimismo, cuando en el desarrollo del proceso el profesor toma conciencia de que los contenidos de aprendizaje o las actividades que se realizan para éste no están en concordancia con el campo de intereses de los alumnos, reconduce la actividad o el proceso.

 

De lo expresado en el consenso (no se obtuvo nada inicialmente), cabe pensar que para él el examen puede ser un instrumento educativo con el que conseguir una doble finalidad; de aprendizaje, en la medida en que es considerado como una actividad individual inserta en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de control de dicho proceso, aunque considera que es difícil de conseguir.

 

Respecto al diagnóstico inicial, debe poner de relieve todos aquellos aspectos del conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas, concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan interferir en el proceso de enseñanza- aprendizaje. El proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su conocimiento ofreciéndole vías para su adecuación y progresión. Ahora bien, todo ello lo lleva a cabo de forma no organizada.

 

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, utiliza la información obtenida en base al análisis del cuaderno de clase, sus observaciones sistemáticas, los datos provenientes de los exámenes y trabajos de grupo,...

IV.5.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

 

IV.5.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CM)

TIPO CTO. (I)

5.Dependiendo de los niveles...intento...que...razonen sobre las ideas preconcebidas...o ...de pura lógica o de sentido... común..., que intenten aplicar esa lógica de sentido común sobre todo en casos de matemáticas, entonces lo mismo se utilizará la calculadora,...los algorit-mos determinados..., lo que intento es llevarles a situacio-nes reales donde sea la lógica la que les ayuda a...llevar o transplantar a lo que estemos trabajando en matemáticas.

22.Las matemáticas, para mí, son un juego donde hay unas bases..., fijadas...(por) las personas que la han hecho progresar..., que...han estado jugando en el sentido de diversión...han ido sobre esas bases montando distintas vías, caminos, jugadas o teorías.

6'.(Lo más importante que debe aprender un alumno es ...)la materia y asimilación de comportamientos y actitudes ante la vida. Lo segundo es sin duda lo más importante..., pero ello no está tan claramente separado...de lo primero, es más, es algo que se apoya y se deduce al tratar aquello, tanto por los conocimientos en sí como por el tratamiento que se les haya dado en su proceso de adquisición. Respec-to a lo primero, y en el caso de matemáticas,está claro que nuestro objetivo será conseguir que los alumnos, además de llegar a tener un "poso" de conocimientos básicos, sepan cómo manejar estos conocimientos ajustados a una lógica correcta.

2".Pienso que la matemática comenzó como ciencia que trataba de las cantidades,a partir de ahí se ha convertido en un conjunto de ideas y procesos mentales sometidos a muy pocas reglas(axiomas)que hacen de cimientos y sustentan o permiten una amplísima variedad de caminos y teorías.

1".Además de proporcionar un lenguaje, o un medio de comunicación, sin ambigüedades y con un alto grado de abstracción, su objetivo radica en el enriquecimiento de las estructurales intelectuales, potenciando para ello la obser-vación, análisis, síntesis y sentido común; sin olvidarnos de las "herramientas" necesarias para ello, cuya necesidad para movernos en la vida cotidiana es fundamental.

P2:Estructurado lógicamente

 

 

 

 

 

 

P2

 

 

 

 

P2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2

P3:Objetivo, absoluto, universal, libre de valores y abstracto

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CM)

TIPO CTO. (II)

3".(El primer fin de la matemática como ciencia)debería ser fijar de forma clara, objetiva y exacta las bases del lenguaje e interpretación cuantitativa, como soporte de todas las ciencias relacionadas con la naturaleza. Para que, apoyándose en este lenguaje y en estos conceptos, puedan dar unas explicaciones de todo lo que nos rodea. Así como interpretar los fenómenos que acontecen e indagar en las leyes generales que siguen.

P3:Objetivo, absoluto, universal, libre de valores y abstracto

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CM)

FIN (I)

8.Me parece que las matemáticas son quizás para...que sea capaz de razonar, pero además razonar la realidad...y no ante el problema concreto que además siempre está preparado para que tenga una única solución..., entonces esos problemas les sirvan para que adquieran un cierto grado de abstracción, de generalización y de ese sentido común que quiero que pongan en juego y que además le sirva para seguir teniendo más sentido común.

20.No me preocupa (que se quede un tema sin dar. Para elegir entre varios temas cuando escasea el tiempo,) dependerá de: el tema anterior que se ha dado, si el segundo es como conclusión para cerrar aquél .., entonces, a lo mejor veo que es fundamental, o bien si considero que, aunque sea como para cerrarlo o para concluirlo, pero puede ser como de ampliación también, entonces, a lo mejor, opto por no darlo y que lo amplíen ellos por su cuenta..., entonces dependería un poco de los temas en sí...Si son algo nuevo, evidentemente optaría por dar el más básico..., el que me parezca que sea más necesario para ellos...Depende qué es lo que pretenda conseguir, es decir, si hemos dicho antes que lo que pretendemos conseguir, en el fondo, es que sepa razonar y que mantengan una actitud de lógica ante cualquier situación, entonces, en ese sentido.

RP4:Desarrollo intelectual

 

 

 

 

 

 

RP4

 

 

 

 

 

 

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CM)

FIN (II)

21.Realmente nada (aporta la matemática al mundo profe-sional)...o...muy poco..., qué menos que tener unos conocimientos básicos, pero realmente necesarias no son..., porque hoy día toda la tecnología...utilizan las matemáticas, entonces, para ser un buen profesional de cualquier rama...no es necesario profundizar en matemá-ticas, únicamente manejar correctamente lo que tengas que manejar...Tiene que haber grandes matemáticos, y tiene que haber personas que sean capaces de desarrollar esa teoría..., para poder después aplicar y llevarla a una tecnología...Los conocimientos matemáticos, realmente, para mí son bastante innecesarios, en términos generales ..., no los procedimientos y no todo lo que te permite el razonar entre los problemas matemáticos... En cuanto a conocimientos en si, no creo que tengan mucha necesi-dad..., ahora bien, en cuanto a que te permite una abstrac-ción, una interpretación, una comprensión, una síntesis y un análisis..., está clarísimo.

7'.La realidad es que normalmente cada profesor trabaja su materia casi sin tener en cuenta qué se está haciendo en el resto y, por supuesto, sin tratar de utilizar lo que se realiza en las otras...Las matemáticas, como el resto de materias, no caminan ni pueden caminar por sí solas.

1".Además de proporcionar un lenguaje, o un medio de comunicación, sin ambigüedades y con un alto grado de abstracción, su objetivo radica en el enriquecimiento de las estructurales intelectuales, potenciando para ello la obser-vación, análisis, síntesis y sentido común; sin olvidarnos de las "herramientas" necesarias para ello, cuya necesidad para movernos en la vida cotidiana es fundamental.

RP4:Desarrollo intelectual

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RP4

RP4

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE LD (CM)

MODO EVOLUCIÓN

23.(Respecto a lo que ha hecho y hace progresar a la matemática,)yo creo que en un principio, quizás, sus movimientos fueron un tanto más de carácter lúdico, o... de distracción intelectual..., y ahora... ya estamos motivados también... para que sirvan como esqueleto a todo lo que después se sirve de ello.

26.No, en absoluto...La formación de la carrera...da única-mente...unos cimientos o una base para moverte con cierta precisión y con cierta consistencia, pero ni la creatividad ...ni la imaginación...ni nada de esto lo va a dar ni lo da... No sólo no lo fomenta, sino que yo creo que casi que lo corta...La licenciatura...está montada de tal manera que tú lo que necesitas es aprobar..., ¿y cómo apruebas?, pues estudiándote la teoría, que evidentemente tienes que estudiarla, tienes que dominarla, pero, realmen-te... donde se pone en juego la creatividad y el desarrollo y la intuición y la imaginación y la abstracción es en la resolución de problemas..., y eso no se fomenta...,está totalmente menospreciado en la licenciatura de matemáti-cas la resolución de problemas...La teoría hay que dominarla...en cuanto ...valga para resolver problemas.

4".Salvo en el curso primero (de la carrera), en los restantes creo que no me puse a resolver casi ningún problema, por falta de tiempo y porque la teoría era fundamental para aprobar. Ni que decir tiene que en la resolución de los problemas es donde podía haber radicado mi propia investigación, aunque pequeña.

24.(Intento que el trabajo con el teorema de Tales)sea significativo y que...(se)vea que eso es verdad, porque decir...que dos líneas secantes se cortan por dos paralelas en...longitudes...; mantienen una proporción..., pues realmente eso no nos dice nada, entonces tienen que verlo mediante algún hecho de la realidad, que podría ser...una fotografía de un templo griego o algún hecho así.

25.Sí,...acepto (los resultados no apoyados en procesos deductivos),... porque puede obedecer a ideas intuitivas brillantes... Además, a veces me interesan bastante..., lo que pasa es que después yo intento...ayudar a que...lo deduzcan...Las intuiciones para mí son validísimas..., y lo bueno es tener...una intuición, y, después...intentar demostrar que estás en lo cierto o que estás equivocado.

RP5:Conocimiento dirigido por la resolución de problemas; campo de creación. Punto de vista dinámico

 

RP5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RP5

 

 

 

 

 

RP7:Razonamiento inductivo-deductivo (conjeturas, pruebas y refutaciones)

RP7

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE LD

 CATEGORÍAS

IND\MODELO

INSTRUMENT.

PLATÓNICO

RES.PROBLEM.

TIPO DE

CONOCIMIENTO

1

 

 

*

 

2

 

*

 

 

3

 

*

 

FIN

4

 

*

*

MODO

DE

EVOLUCIÓN

5

 

 

*

 

6

 

 

*

 

7

 

 

*

(Cuadro 27)

 

El perfil de LD sobre la concepción de la matemática queda simbolizado por P-RP*, pues posee un peso relevante de indicadores platónicos, al mismo tiempo que un predominio del modelo de resolución de problemas en lo que a unidades de información se refiere. Asimismo, la primera categoría se inclina por el modelo platónico, mientras que la segunda se halla entre los dos modelos mencionados y la tercera es claramente de resolución de problemas.

 

IV.5.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE LD

 

TIPO DE CONOCIMIENTO

 

En la fase de consenso, LD ha puesto de manifiesto que para él los elementos que conforman el núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

 

Concibe la matemática como un cuerpo de conocimiento preexistente dotado de una estructura lógica, lo que le otorga un carácter objetivo, absoluto, universal, libre de valores y abstracto.

 

FIN

 

Toda la información inicial sobre esta categoría apuntaba a considerar que el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de las capacidades intelectuales del ser humano, quedando la evolución de la matemática, por tanto, subyugada al progreso humano. Sin embargo, en la fase de consenso surgió también considerar que el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas. De esta forma, LD piensa que ambos finos son compatibles y pueden coexistir.

 

MODO DE EVOLUCIÓN

 

En esta categoría la fase de consenso ha vuelto a confirmar las conclusiones extraídas a partir de las unidades de información y también ha servido para dar luz sobre uno de los indicadores relativos al proceso de construcción del conocimiento matemático, del cual no se tenía información.

 

Es precisamente en ese indicador en el que se sitúa en los tres modelos. Piensa que el conocimiento matemático se construye para dar explicación, bajo un punto de vista determinista, a las relaciones causa-efecto existentes (modelo instrumentalista). Pero también cree que el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos (modelo platónico). Y asimismo opina que el conocimiento matemático se construye, desde una perspectiva antropológica, por interacción social, para dar respuesta a los problemas sociales, culturales, económicos,... (modelo de resolución de problemas). Así, en realidad los rasgos instrumentalistas y platónicos deberían ser considerados como casos particulares del modelo de resolución de problemas.

 

Por otra parte, desde una perspectiva dinámica, concibe la matemática como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas.

 

Finalmente, cree que en el razonamiento matemático hay una combinación de procesos inductivos y deductivos siguiendo el esquema de Lakatos (conjeturas, pruebas y refutaciones).

 

IV.5.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

IV.5.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

 

DESCRIPCIÓN

 

Inicialmente intenta comprender qué significa la fórmula. Luego medita algo sobre el rombo, afirmando que la fórmula en este caso es válida. A continuación dibuja un trapezoide y seguidamente establece la conjetura de que sólo es válida cuando las diagonales son perpendiculares, conjetura que luego demuestra aplicando relaciones trigonométricas.

 

Tras repasar lo obtenido, concluye la primera parte intentando, aunque sin éxito, llegar al resultado por otra vía.

 

En la segunda parte, considera primero el cuadrado, luego el pentágono, que enseguida abandona para hacerse una idea de lo que ocurre en el exágono, pasando inmediatamente a estudiar el pentágono, como primer tanteo en búsqueda de regularidades. Una vez obtiene una fórmula para el área del pentágono en función de la diagonal, el lado y el ángulo central, busca mejorar la expresión (comete el error de no extraer la raíz a (-cos 2A+1)/2 como expresión del sen A), aunque de momento no lo consigue.

 

Posteriormente, tras dibujar el exágono con sus diferentes diagonales, reduce la expresión del pentágono, dependiendo ya sólo de la diagonal y el número de lados (o ángulo). Finaliza haciendo lo propio con el exágono y aventurando la generalización.

 

VALORACIÓN

 

Es muy positivo el comienzo del problema, profundizando en la comprensión del enunciado, viendo el significado de lo que se pide. El hecho de investigar sobre el rombo ("Puesto que es la del rombo, investigaremos algo sobre él") muestra una importante decisión de control, basándose en detalles relevantes para la configuración de un plan de solución o acercamiento a ella.

 

Es precisamente esta buena representación del problema lo que le conduce a poder formular una conjetura. Desarrolla a continuación una ordenada ejecución encaminada a demostrarla. Una vez demostrada, no se conforma con haber llegado al resultado, sino que analiza la consistencia del proceso seguido y de la propia solución.

 

Además, no considera el problema cerrado, le gustaría indagar otros abordajes del mismo, uno de los cuales inicia, pero, con buen criterio por cuestión de tiempo, lo abandona por no tenerlo claro en ese momento. Esta decisión indica que tiene en su poder las riendas del problema y que posee o, al menos, se plantea una organización temporal dirigida a dar respuesta a todas las cuestiones formuladas.

 

También es valorable positivamente el comienzo de la segunda parte, haciéndose una idea de lo que se puede encontrar cuando trate el pentágono y el exágono, pues tiene claro que debe buscar regularidades a partir del estudio de algunos casos. Asimismo, constata una dificultad mayor de la esperada y decide tranquilizarse.

 

El comienzo de esta segunda parte muestra una vez más que se trata de un resolutor que no acostumbra a introducirse en ejecuciones infructuosas, ya que dedica considerable esfuerzo a hacerse una idea manejable de la situación.

 

Aunque en ningún momento utiliza la expresión del sen A en función del cos 2A (parece que la desarrolla para posteriormente tener la posibilidad de simplificar los resultados intermedios), es muy útil la señalización de las variables que intervienen en la fórmula del área del pentágono, lo que después le permite analizar si la solución es razonable dentro del contexto del problema.

 

A pesar de no concluir el problema, su comentario final deja palpable cómo continuaría su intento de generalización.

 

En suma, parece que, por una parte, considera importante lograr unas representaciones significativas de los problemas, y, por otra, tiene el control del mismo, revisando lo ejecutado, buscando otras vías de solución y decidiendo cuándo ha de tranquilizarse para poder afrontar en mejores condiciones el problema. Se organiza su tiempo y procura abordar el problema de varias formas. Asimismo, desde el comienzo muestra confianza en sí mismo, captura la estructura del problema, tiene flexibilidad en sus procesos mentales, retiene información matemática y procura la claridad, simplicidad, economía y racionalidad de las soluciones, características todas propias de un buen resolutor de problemas.

 

IV.5.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

 

DESCRIPCIÓN

 

Lee dos veces el enunciado y, de momento, no se le ocurre cómo abordarlo, resultándole extraño que no se puedan elegir esos once números con las condiciones dadas.

 

Se sitúa en el lugar del entrenador y empieza a elegir números al azar, pasando a continuación a enunciar el problema de forma más matemática.

 

Decide abordar el problema suponiendo que posee los 11 números y viendo qué puede implicar esto.

 

Empieza calculando las posibles sumas de dos de los once números y luego las de tres (momento en el que comete un pequeño error de cálculo al igualar 11x10x9 a 999), pero no sigue por ahí, pues piensa que el camino no es apropiado. Esto le lleva a establecer la condición de que los once números estén elegidos en orden creciente, y vuelve a calcular todas las sumas posibles, ayudándose de la combinatoria. Como final de la ejecución, obtiene que hay más de 1000 sumas distintas y que, por tanto (tras repasar los cálculos efectuados), es imposible elegir el décimo primer número con las condiciones deseadas por el entrenador.

 

En este momento le asalta la duda de si los grupos debían de ser de dos elementos, duda que se desvanece tras leer de nuevo el enunciado.

 

Seguidamente le surge otra duda: ¿habrá sumas del n11 con algún otro de forma que coincidan con otra suma donde no intervenga? Decide tomárselo con calma y repasar el proceso, sobre todo la exigencia del orden creciente. Se interroga qué pasaría si pudiera elegir los números hasta el 1050 y expresa su impresión de que tampoco sería posible.

 

Es entonces cuando pone claramente de manifiesto la constatación del error en el proceso, "porque habrá sumas iguales que yo las contabilizo como distintas". Pasa a trabajar con n4 y con n5, señalando las sumas que pueden ser iguales, lo que concluye el protocolo.

 

VALORACIÓN

 

El comienzo de la resolución pone de manifiesto su interés por hacerse con una adecuada representación del problema. Invierte el tiempo necesario para expresar el problema de una forma más manejable. Hay, pues, dos aspectos destacables: intento exitoso de comprender la situación y consecución de una formulación útil.

 

La ejecución posterior, al igual que las restantes, dejan ver claro su capacidad organizativa, no introduciéndose en cálculos que pueden obtenerse de una forma más elegante y rápida. Por ello, efectúa continuas revisiones y decisiones de control, ya que en todo momento controla el proceso.

 

Es apreciable que no se conforme con una solución que podía resultar bonita y quiera consolidar el proceso.

Es obvio que no le asusta introducirse en casos generales. Precisamente, si algo se puede achacar a la resolución, es no haber hecho uso de algún ejemplo seleccionado de forma sistemática, una vez que surgieron las dudas sobre el planteamiento, pero su falta se ve atenuada por el intento de encontrar, aunque no tuvo tiempo, alguna pista para saber cuántas sumas iguales podía haber.

 

El enfoque estratégico recurrente, y el protocolo en general, expresan el hecho de haber captado perfectamente la estructura del problema.

 

Manifiesta aptitud para razonar con símbolos matemáticos y para establecer generalizaciones. Asimismo, procura claridad, simplicidad, economía y racionalidad de las soluciones. Le preocupa la corrección del proceso y de los cálculos. Tiene una organización temporal adecuada y confianza en sus posibilidades.

 

No obstante, quizás, la característica más destacada de la resolución, dentro de un protocolo bastante positivo, sea el empleo continuo de estrategias de control del proceso, viendo si va progresando o no hacia la solución. Este control le permite, además, mantener en retaguardia planteamientos que pueden ser útiles más adelante.

 

En suma, a pesar de no haber resuelto el problema, es de gran valor poner en tela de juicio la propia solución y detectar dónde están los errores, aunque no aporte el remedio.

 

 

IV.5.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

 

DESCRIPCIÓN

 

Comienza el protocolo mencionando la posibilidad de que el enuncIado dé cabida a números no enteros. En principio, por ser el problema de divisibilidad, le parece que sólo se refiere a los enteros, pero, pasados 5 minutos, reconsidera su decisión y abre el problema a los números decimales.

 

Retomando el comienzo del protocolo, tras decidir inicialmente trabajar con los números naturales, ejemplifica con el 0, el 1, hasta el 9, tras lo cual cae en la cuenta de que va demasiado de prisa.

 

Relee el enunciado y entonces es cuando toma la decisión de incluir en su consideración los números decimales. De hecho, se pone algún ejemplo y obtiene resultados parciales. No obstante, sólo se trata de un paréntesis del abordaje con números naturales, el cual prosigue enseguida con los números 10, 11 y 12.

 

A continuación, resalta lo obtenido hasta el momento (soluciones: 2, 5 y 10), lo que le conduce a conjeturar que las soluciones son los múltiplos comunes de 2 y 5. Pasa luego a comprobarla y se percata de que no es cierta, lo que le lleva a una nueva conjetura (n=2k5h), conjetura que pasa a comprobar, dándose cuenta de que es falsa, lo que le produce un parón, tras el que revisa el 20.

 

A partir de ese momento, estudia los casos por cifras, descomponiendo el problema en casos. Va con seguridad obteniendo la condición para que los números sean solución (casos de 2 y 3 cifras). En ese momento, se para a escribir lo que tiene y sigue con números de más cifras. Hace un pequeño paréntesis para ver si no hay más soluciones que las que cumplen la condición conjeturada. Después esquematiza las soluciones con idea de vislumbrar alguna regularidad.

 

Dada la primera parte por resuelta, aunque desearía formalizarla, dedica los últimos 5 minutos a los números decimales, cometiendo un error al dividir por 0'2 y 0'5, lo que le hace no dar con esas soluciones, concluyendo el protocolo pensando que debe haber relación entre las soluciones enteras y las decimales.

 

VALORACIÓN

 

Asimismo, es consciente de que debe llevar las riendas del proceso, por lo que hace constar que va con prisas.

 

Es adecuada la ejemplificación que hace con decimales, destinada exclusivamente a ver si tenía sentido considerar estos números como posibles soluciones del problema.

 

Es curioso y positivo el proceso de conjeturación, cerrando cada vez más las condiciones.

 

Además, cuando llega a la conclusión de que una de sus conjeturas es falsa, aunque contrariado, lejos de desanimarse, sabe sacar el partido positivo del parón, lo que pone de manifiesto un uso adecuado del control de la acción.

 

Algo que le da cierto rigor a la resolución es la comprobación con números que no cumplen las condiciones, lo que le va confirmando sus hipótesis. Asimismo, es positiva la seguridad mostrada (entrevista) en el razonamiento matemático que garantiza que los divisores de potencias de 10, con unas condiciones, son solución del problema. No obstante, se echa en falta un estudio más en profundidad que demuestre la suficiencia de esas soluciones.

 

Muestra en todo momento su buen control del proceso.

 

Tiene confianza en sus posibilidades.

 

Positivo es asimismo su comentario sobre la posible relación entre las soluciones decimales y las enteras, más aún si no le iba saliendo lo esperado, por culpa de tontos errores de cálculo.

 

En todo momento ha buscado regularidades aplicables a números de cualquier cantidad de cifras, explotando suficientemente los recursos a su alcance.

 

Consciente de la importancia de obtener una representación significativa, no tiene reparos en leer el enunciado tantas veces como sea preciso.

 

IV.5.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

 

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

 

 1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

 

La cuestión 1 aporta una información que bien podría conducir a pensar en un bloqueo casi insalvable,

"...[Cuando estoy siendo observado, me siento] Muy mal, de hecho se produce un cierto bloqueo mental que no supero fácilmente, al menos hasta que me introduzco plenamente en el problema o la dinámica de la clase...",

pero su comportamiento a la hora de enfrentarse a los problemas propuestos, sin descartar el efecto de distorsión inicial, pone de manifiesto que tal bloqueo es superado a lo largo de la primera fase de resolución. Por ejemplo, el protocolo del segundo problema comienza con la frase

"...Lo leo dos veces y no tengo ni idea de por donde cogerlo..." (E1),

pero a renglón seguido se introduce en un abordaje coherente y sin bloqueo alguno. Además, en los otros dos protocolos no se percibe ningún bloqueo.

 

Sin embargo, debido a que este indicador no se ciñe exclusivamente a la resolución de problemas, sería precipitado pensar en suavizar aún más el efecto de ser observado.

 

 1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

3) Los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

 

"...[Ante los problemas que surgen en la vida cotidiana] Pienso que actúo bastante en solitario, si acaso una vez resueltos puedo comentarlos..." (C3)

Tal manifestación da cabida a la posibilidad de solicitar ayuda si es imprescindible. No obstante, hay poca información al respecto. En cualquier caso, por lo observado en los protocolos (en relación, naturalmente, a problemas matemáticos) y porque sólo se plantea dejarlos para otro momento cuando no son urgentes (como expresa al final de la respuesta dada a C3), hay que pensar que no tiende a olvidarlos en absoluto.

 

 1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

3) El abordaje de problemas es esporádico y está motivado por la necesidad docente y/o investigadora y, en su caso, el divertimiento, normalmente en solitario. Alterna el enfrentamiento a problemas con ejercicios, atrayéndole más aquéllos.

 

No aborda problemas con frecuencia y tiene rechazo a las fórmulas. Además prefiere trabajar en solitario por el reto personal que le supone la resolución de problemas:

"...En algunas ocasiones [resuelvo problemas], pero no de forma sistemática ni frecuente. Las fórmulas, salvo las elementales, me producen rechazo..." (C4),

 

"...En solitario [prefiero abordar los problemas]. Porque para mí supone más un reto personal y consiguientemente una diversión o disfrute..." (C5).

 

Añade en esta última frase el aspecto de la diversión, lo que confirma luego en C11:

"...[Me dedico a resolver problemas] si me suponen un disfrute, y sin ningún ánimo de exposición o aprovechamiento...".

 

Por otra parte, la necesidad docente también le impulsa a abordar problemas:

"...Fundamentalmente los de los libros de texto de 3ºBUP y COU..." (C21).

 

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

 

 1.4.1. Predisposición.

5) La predisposición habitual ante un problema es de entusiasmo, produciéndole satisfacción el simple hecho de enfrentarse a él, incluso aunque no logre una solución.

 

El interés y el entusiasmo están presentes en las tareas de resolución de problemas para LD:

"...Antes de la primera lectura de interés y entusiasmo..." (C6),

aunque con la siguiente precisión:

"...sobre todo si el uso de fórmulas y algoritmos no es del todo necesario..." (C6).

 

Cuando deja un problema, suele ser con idea de que se le abra la mente en busca de mejores caminos:

"...En alguna ocasión me apetece dejarlo... Unas veces porque sé que necesito salirme del camino elegido para ver otros posibles y otras porque no encuentro caminos válidos..." (C8).

 

Descarta la posibilidad de que aparezcan miedos o trabas mientras resuelve un problema (C9) y, respecto del hecho de abordar un problema tras no poderlo resolver en un momento determinado, o bien olvidarlo, afirma:

"...Hay problemas que me tienen cautivado durante días y otros que los olvido acto seguido...depende de la atracción que el problema ejerza sobre mí..." (C16),

lo que pone de manifiesto su excelente predisposición ante la resolución de problemas, aunque de forma selectiva.

 

Asimismo dice interesarse más por el proceso que por los cálculos, dejando entrever de nuevo un gusto por la resolución de problemas:

"...mi reto está en el proceso de resolución,... los cálculos podría hacerlos cualquiera, es pura mecánica..." (C17).

 

 

 1.4.2. Confianza en sí mismo.

4) Confía bastante en sus posibilidades y en que el problema no se le resista. La inseguridad que a veces muestra cuando se enfrenta a problemas que caen en áreas que no domina le lleva a intentar abordarlos usando otros procedimientos.

 

Ante un problema, sólo da cabida al rechazo en el caso de que

"...el nivel fuera elevado y exigiera conocimientos que no tengo..." (C24),

lo que no quita que intente abordarlo si no tiene más remedio:

"...cuando no queda más remedio intento extraer la información de donde la tenga recogida,... o bien pregunto o si es posible lo abandono..." (C22).

 

Por contra, ante problemas que pertenecen a áreas de confianza

"...siento cierta confianza en que puedo meterme con él y trabajarlo..." (C23).

 

Pone así de relieve la confianza en sus posibilidades y, al mismo tiempo, su deseo de no profundizar en conocimientos elevados.

 

Dicha confianza es ratificada en su respuesta a C7 (sobre si posee suficiente formación matemática para enfrentarse a problemas):

"...los procesos de resolución suelen estar bien arraigados en mi mente..." .

 

Asimismo, muestra confianza a lo largo del primer protocolo, permitiéndose abundar en diferentes formas de resolver la primera parte (E4) y entrando sin complejos en la ejecución de la segunda parte. En la entrevista deja claro que concede más importancia al proceso que al propio resultado:

"...en cuanto que me surge la idea esa, me pongo a desarrollarla, tengo la sensación de que voy por el camino correcto..., cuando lo confirmo, es cuando estoy más o menos seguro. De todas formas, incluso, incluso en estos momentos puedo tener cierta inseguridad... Tendría que volverlo a revisar nuevamente... No estoy plenamente convencido de que esté bien, en absoluto..." (1U4).

 

También podemos extraer algo del tercer protocolo y, nuevamente, se trata de algo positivo. Cuando comprueba que su conjetura es falsa (E4), lejos de desanimarse, lleva a cabo una revisión que le permite progresar en la resolución. Tal confianza en sus posibilidades es corroborada categóricamente en la entrevista:

"...Sí [he considerado asequible el problema]. Vamos, sin duda..." (3U3)

 

 1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

4) Suele mostrar un conocimiento organizado y accesible, capaz de relacionar diferentes aspectos. Dispone de una considerable retención de información matemática relativa a generalizaciones, estructuras formalizadas y esquemas lógicos.

 A lo largo de los tres protocolos se constata lo que LD afirma en C7 (referida en 1.4.2.), que le son familiares los procesos de resolución de problemas. Pero, además de lo anterior, su conocimiento relativo a conceptos matemáticos es claro, organizado y accesible, reteniendo la información matemática necesaria para el abordaje de estos problemas.

 

En el primer protocolo elabora un abordaje directo y meridianamente claro de la primera parte (E2, E3), planteando incluso un cambio de enfoque (E4). En la segunda parte pone en juego conocimientos relativos a relaciones entre ángulos (E5) y relaciones trigonométricas (E7, E8), apropiados para una correcta resolución del problema.

 

En el segundo problema hace gala, aunque sin éxito, de un planteamiento crítico sobre su propia resolución, buscando pistas para saber cuántas sumas podía haber iguales (E6), consciente de las ventajas de haber elegido los números en orden creciente (E3), así como de las posibles lagunas de tal elección (E5).

 

Finalmente, en el tercer protocolo se observa mucha soltura en el manejo de la divisibilidad asociada a algunos números, como confirma en la entrevista:

"...exijo que sean divisores de la potencia de 10, pero que a su vez sean mayores que la potencia anterior de 10. El porqué. Bueno, porque pienso que si a un número, por ejemplo, quizás (aunque un ejemplo no es válido para demostrar nada, pero sí para aclararlo, ¿no?), un número de 3 cifras, para que al añadirle algo, sea divisible por sí mismo, entonces, si le añado un 1,...estoy sumándole 1000, entonces, si 1000 más él ha de ser divisible por él, evidentemente obligo a que él...divida a 1000..." (3U6),

pero se halla ausente el uso de expresiones de tipo general (E6), hecho que también se echa en falta en la segunda parte del primer problema (aunque probablemente por escasez de tiempo).

 

 1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

4) La memoria es útil; su falta se tratará de solventar con procedimientos alternativos.

 

En C19 expresa su rechazo al uso mecánico de la memoria y hace de nuevo alusión a que tiene asimilados los procesos de resolución de problemas (C7). Asimismo, da cabida a intentar obtener la información oportuna para resolver un problema cuando éste sea atractivo, a pesar de que le requiera unos conocimientos de los que no disponga inmediatamente:

"...todo lo que necesita del conocimiento de...cuestiones...que he estudiado, suelo rechazarlo, y si no puedo, entonces ir a los...libros... Sin embargo, ...determinadas estrategias...están registradas en mi mente... Si pienso que no poseo conocimientos suficientes,...suele producirse...rechazo... No obstante, si el problema...sigue siendo atractivo, intento solventar la falta de conocimientos recurriendo a los medios oportunos...".

 

Por otra parte, en la entrevista posterior al primer problema dice:

"...no intento recordar un problema anterior, que me permita resolver éstos, simplemente las ideas que en estos momentos se me ocurren, las intento llevar a cabo y desarrollar..." (1U7),

lo que pone de relieve el énfasis en el proceso, su disfrute en la resolución de problemas, despreciando posibles conexiones.

 

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

 

 2.1. Obtención de una representación significativa.

5) Obtiene una representación altamente significativa de la situación, permitiéndole entrar con esperanza de éxito en la planificación, tras formular el problema en sus propios términos. Por consiguiente, suele capturar perfectamente la estructura del problema, obteniendo normalmente la información matemática subyacente en el enunciado. Abstrae, pues, a partir de las relaciones concretas, hacia estructuras formales.

 

Los episodios E1, E5 y E8 del primer protocolo evidencian una comprensión profunda de la situación. La comprensión de la primera parte (E1), en la que fija su atención en el rombo

("...Puesto que es la [fórmula del área] del rombo, investiguemos algo sobre él..."),

le permite entrar con esperanza de éxito en la planificación, posibilitándole la formulación de su conjetura (E2). En cuanto a la segunda parte, en E5 se nota que ha comprendido el enunciado, lo que le capacita para entrar en una planificación plausible en E7. Confirmación, asimismo, de esa buena comprensión es el hecho de no quedarse satisfecho hasta haber obtenido una fórmula del área del pentágono en función exclusivamente de la diagonal y el número de lados (E8).

 

Aunque al comienzo del segundo protocolo diga

"...no tengo ni idea de por donde cogerlo...",

no quiere indicar que no lo comprende, sino que de momento no se le ocurre ninguna estrategia de abordaje. Tal estrategia queda elaborada tras expresar el enunciado más formalmente, lo que consigue hacer antes de los 5 minutos primeros:

"...a los cinco minutos,...cambié el problema a otra expresión más matemática, por llamarla así, que me dio pie a meterle mano..." (2U2).

Incluso el enfoque estratégico recurrente posterior da idea de haber captado perfectamente la estructura del problema.

 

En cuanto al tercer problema, desde el principio comprende que puede incluso referirse a números decimales (E1, E2) y que el problema no se ciñe a un número determinado de cifras. El simbolismo empleado (E1, E2, E3) para el número que se antepone, una línea a modo de elipse, da idea también de una clara comprensión, planteando los ejemplos de forma general, aunque sin formalismos.

 

 2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.4) La planificación está bien estructurada, teniendo sólo alguna falta de relevancia o pertinencia para la situación sin demasiada importancia para la resolución.

 

El primer protocolo exhibe una planificación bien estructurada y pertinente para la situación, sobre todo en lo que afecta a la primera parte. En efecto, es adecuado conjeturar y demostrar la doble implicación subyacente a esa conjetura, en lo que se refiere a la primera parte (E2, E3). Respecto a la segunda, el tanteo efectuado es adecuado (E5, E6, E7), más aún cuando parece, por lo expuesto en E8 y por lo que afirma en la entrevista

("...[busco regularidades a ver] si la fórmula es válida independientemente del número de lados...") (1U5),

que trata de generalizar lo obtenido con pentágono y exágono; no obstante, podría haber generalizado desde el comienzo, en lugar de invertir 15 minutos en los casos particulares.

 

La planificación del segundo protocolo es adecuada, viendo la conveniencia de calcular la cantidad de números que se van descartando, partiendo de la existencia de esos 11 números (E3), aunque la elección del orden creciente (bastante natural, por cierto) no es la más oportuna, al menos por sí sola.

 

En el tercer protocolo es curioso y positivo el proceso de conjeturación (E3, E4, E5), cerrando cada vez más las condiciones. La planificación es adecuada, tiene una estructura coherente y sólo le falta el carácter general.

 

 2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

5) La ejecución es consecuente con la planificación, mostrando su eficacia en la aportación de resultados de importancia y trascendencia para la resolución de la situación planteada, pudiendo tener sólo algún pequeño fallo de cálculo que apenas le resta eficacia.

 El primer protocolo sigue una ejecución guiada completamente por su planificación (E1, E2), confirmando en la primera parte la conjetura formulada (E2), y aportando resultados significativos en los tanteos de la segunda parte. El error cometido en E7, donde expresa el sen A como (1-cos 2A)/2, en lugar de extraer la raíz cuadrada, no es en absoluto relevante para la solución. Sin embargo, en la entrevista muestra su rechazo a la estructuración (parece tabú para él, pues da la impresión de que asocia estructuración o planificación a encasillamiento o cerrazón):

"...ni lo he pensado [si la ejecución sigue el plan de forma estructurada], ni me preocupa,... es decir, la estructuración, ante la resolución de problemas, es algo...que me trae sin cuidado..." (1U9).

 

En el segundo protocolo también comete un error sin importancia para el proceso. En concreto, al final de E2 calcula 111x9, en lugar de 110x9, ya que 110 proviene de 11x10. Por otra parte, la ejecución anterior (E2), coherente con su primera planificación (obtención de la cantidad de sumas posibles), es organizada y le aporta los resultados suficientes para percatarse de que el camino no es apropiado. E3, tras el cambio de planificación (cálculo de la cantidad de números descartados), está plagado de una ejecución ordenada que posibilita el resultado pretendido. Finalmente, en E6, que es el episodio crítico con la resolución anterior, se observa orden en el planteamiento de interrogantes encaminados a perfilar los resultados obtenidos. Un detalle que confirma su control de la ejecución es lo que afirma en la entrevista:

"...los cálculos hechos anteriormente [E3] tenían que tener una secuenciación similar, entonces, lo que ocurría con n6 tenía que ser similar a lo que ocurría con n5, a lo que ocurría con n4, a lo que ocurría con n3..." (2U5).

 

La ejecución del tercer protocolo va confirmando o refutando, según el caso, con ejemplos y contraejemplos, las conjeturas formuladas, aportando resultados que van conformando la solución aportada (E4, E5). Tan sólo comete unos errores al abordar en E7 los números decimales (dice que al dividir por 0'2 -análogamente 0'5- los números terminados en 0'2 -análogamente 0'5-, sale un número acabado en 0'1, en lugar de 01) , aunque dichos errores no ocultan la intención del proceso. Por otra parte, se percata de dicho error en la entrevista:

"...E: ¿Por qué rechazas 0'2 y 0'5 como solución? LD: Bien, pues porque comento que, al dividir por 0'2, que es lo mismo que dividir por 2/10, que es lo mismo que multiplicar por 10 y dividir por 2; entonces, si multiplicamos por 10, ¡ah!, si multiplicamos por 10,...se quitaría la coma; sin embargo, pues yo no lo he visto. No sé porqué me parece que aquí he cometido un error, que al multiplicar por 10, bueno, pues realmente...la coma yo la llevaba desde el círculo grande que pongo y la dejaba donde está; entonces, ése es un error..." (3U7).

 

 2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

4) Revisa cálculos y proceso de forma adecuada, teniendo presente la coherencia de la ejecución con la planificación. No obstante, pueden existir lagunas en la revisión de los cálculos, pues no les otorga demasiada importancia.

 

La respuesta dada a C14 es un auténtico reflejo de lo mostrado en los tres protocolos, por lo que se transcribe íntegra:

"...Creo que ya antes de obtener una solución voy haciendo de forma simultánea, y casi sin darme cuenta, comprobaciones, incluso veo los posibles caminos que abandono o soluciones que dejo de obtener para después volver sobre ellos. De cualquier forma siempre trato de comprobar lo lógico de la solución. Normalmente a mí no me preocupan los cálculos, salvo que el problema o la situación lo requieran, sólo si es así volvería a revisar los cálculos...".

 

La primera muestra de revisión se puede observar al final del E3 del primer protocolo, repasando todo lo anterior antes de intentar llegar al resultado por otra vía, a pesar del buen aspecto de la solución obtenida. En el resto del protocolo la revisión se traduce en un continuo planteamiento sobre la razonabilidad del camino (E4) o la simplificación de la solución (E8), no habiendo necesidad de otro tipo de revisión, como afirma en la entrevista:

"...[He revisado la ejecución] de la primera parte,... de la segunda no..." (1U10).

 

En el segundo protocolo podemos constatar una revisión de la ejecución al final del E3, a pesar de nuevo de lo aparente del resultado. No obstante, es E4 el episodio más lleno de revisión en cuanto a contraste entre lo exigido en la situación problemática y lo planteado en el proceso, revisión que, aunque no conduzca a una solución positiva, es profunda y sin temor a que se desvanezca la solución anteriormente obtenida:

"...en los últimos 15 minutos, cuando me di cuenta de que había un error..." (2U2).

Asimismo, en la entrevista, tras hablar de que entre los minutos 20 y 25 era consciente de la secuenciación (citado en Eficacia y adecuación de la ejecución), dice:

"...lo que hice después fue poner de dónde salían esos 3, 2 y 1..., para ver que... los cálculos eran correctos..., repasarlos. Creo que puse [E3] 2 y 1 en lugar de poner el 3..." (2U6),

lo que pone de relieve, como afirma en C14, su atención a los cálculos cuando éstos ejercen gran influencia en el proceso de resolución.

 

En el tercer protocolo la revisión consiste, además del repaso del caso del 20 (final E4), en un continuo planteamiento de la plausibilidad de las soluciones intermedias, lo que asimismo confirma el proceso (finales de E5 y E6). El mismo LD no tiene sensación de haber revisado:

"...No [he revisado la ejecución ni la corrección de cada paso]..." (3U4).

 

 2.5. Nivel de acabado de la solución.4) Tras obtener una solución, trata de llegar al resultado de otra manera y se plantea si la solución es razonable. En gran parte de las ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

 

Como ya se ha comentado, le van surgiendo caminos a la vez que va abordando la resolución del problema, por lo que buscar otras formas de resolverlo es algo bastante natural, aunque no siempre se dedique a ello con posterioridad a haber obtenido una solución:

"...tengo en la mente otros caminos a seguir..., trabajarlos o no dependerá más que nada de la confianza que me ofrezca la solución obtenida... De plantearme alguna variante...debe ser inmediatamente..." (C15)

 

En el primer protocolo se preocupa por la obtención de una solución en las condiciones que le exige el enunciado, por lo que no se contenta con una fórmula del área en función (segunda parte) de la longitud de una diagonal, la longitud del lado y el número de lados (E7), sino que intenta obtener, y lo consigue (parcialmente, en los casos estudiados), una fórmula que sólo depende de la longitud de una diagonal y del número de lados (o ángulo central) (E8). Aventura la generalización en esta segunda parte (final de E8) y, respecto a la primera, tras haber llegado a demostrar lo pretendido (E3), se plantea llegar al resultado de otra manera (E4). En fin, el proceso está perfectamente fundamentado en la primera parte, así como en la segunda, ya que hay un trasfondo de generalidad en el estudio del pentágono y el exágono, aunque no haya tenido tiempo suficiente de abordar el caso general. Se plantea con éxito la razonabilidad de la solución:

"...me he planteado si la solución es razonable,... es un sí con seguridad y rotundidad..." (1U11).

 

La primera solución obtenida en el segundo protocolo está fundamentada en un proceso claro; sin embargo, no se conforma con una solución que podía resultar bonita (E3)

("...Como me pareció todo tan simple, algo tenía que...fallar... Aunque tenía un convencimiento de que estaba bien,...me puse a...revisar un poco lo que había hecho y si había algún pequeño paso donde dejara algo sin analizar suficientemente,... y entonces...caí...en darme cuenta del error...[E4]") (2U4)

y quiere consolidar el proceso, aunque no concluya en una solución (E6).

 

El proceso base del tercer protocolo es inductivo, centrado en una búsqueda de regularidades que culmina, de un lado en E6, y de otro al final de E7, afirmando que

"...debe haber una relación entre los números obtenidos antes [enteros] y los decimales..." .

Aunque tal proceso es correcto, se echa en falta una formalización conducente a fundamentar la solución conjeturada. En concreto, falta una prueba justificante de la frase:

"...Parece que en cada tramo surge uno más..." (E6).

 

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

 

 3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

5) Es consciente de que la inversión en la obtención de una representación significativa es rentable y no pasa a otra fase hasta que la haya conseguido. Hay un contraste pormenorizado, entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento, y búsqueda de información pertinente.

 

En la primera parte de la respuesta a C13 dice:

"...En comprender el enunciado sí invierto tiempo, bastante...",

expresando de esta rotunda forma lo que se pone de manifiesto luego en los protocolos.

 

Nada más empezar el primer protocolo (E1), LD evidencia la importancia que concede al hecho de obtener una buena comprensión:

"...Primero intento comprender qué significa la fórmula A=(Dxd)/2. Puesto que es la del rombo, investiguemos algo sobre él...".

Análogamente, el comienzo de la segunda parte (E5, E6) clarifica su intención de no introducirse en ejecuciones infructuosas, pues dedica considerable esfuerzo a hacerse una idea manejable de la situación:

"...para la segunda por lo menos lo he tenido que leer tres veces..., a ver qué...pedía exactamente... La primera, quizás dos..." (1U1).

Incluso termina E5 haciendo un comentario alusivo a la necesidad de entender bien la situación propuesta:

"...Me doy cuenta de que me resulta más difícil de lo que suponía, me fumo un cigarro para tranquilizarme y enfrentarme mejor al problema...".

 

El comienzo de la resolución del segundo problema pone de manifiesto su interés por hacerse con una adecuada representación del problema. Dice haberlo leído dos veces y acaba E1 expresándolo con sus propias palabras. Incluso ya en E4 vuelve a leer el enunciado por si hubiera errado en su interpretación. Además, en la entrevista afirma:

"...me quedé...satisfecho en cuanto había comprendido perfectamente el enunciado..." (2U3).

 

También en el tercer protocolo deja claro que tiene bastante interés en conseguir comprender la situación en toda su extensión:

"...lo leí creo que dos veces..., tuve que volver a releerlo y creo que otras dos al menos, para cerciorarme de que tenían cabida los números decimales..." (3U2).

 

 3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

5) El resolutor piensa que la resolución de un problema puede depender en gran medida de una buena planificación, por lo que le otorga gran importancia y piensa que debe volverse a ella siempre que lo requiera el proceso, siendo, por tanto, consciente de que los posibles errores en el proceso, además de hallarse en la ejecución, pueden estar también en el plan diseñado.

 

La segunda parte de la respuesta a C13 dice:

"...no suelo planificar ninguna estrategia de resolución,... sigo el [camino] que me parece mejor, dejando los otros para volver si es necesario porque el primero no funcione...",

lo que, a mi entender y según lo confirmado en los protocolos (como ya se ha comentado), pone de manifiesto dos cosas. Una es su atracción por la resolución de problemas y el gusto por el proceso en sí mismo; y otra es que, de hecho, no se introduce en la ejecución sin tener un plan, aunque éste no consista en un detalle pormenorizado de los posibles pasos a dar hasta llegar a la solución, sino en un esbozo o atisbo de camino que pueda ofrecer algún resultado (dice no planificar; sin embargo, alude a las diferentes estrategias entre las que elige una). Lo dicho en la entrevista posterior al primer problema confirma su respuesta:

"...Normalmente, busco otros puntos alternativos cuando choco con alguna dificultad, entonces, mientras no choque, sigo..." (1U3).

 

En el primer protocolo, los episodios E5 y E6, donde se hace una idea de la situación en el pentágono y el exágono, son los momentos más evidentes de la importancia otorgada a una buena planificación, ya que, pudiendo haberse introducido en unos cálculos desde el comienzo de la segunda parte, no lo hace:

"...En lugar de enfrentarme directamente con lo general, primero intento ver, unos cuantos de casos más fáciles de manipular y, a partir de ahí,... normalmente es un proceso que sigo habitualmente, ¿no?, el que a partir de esos casos particulares, me surja la idea de generalización..." (1U2).

También en la entrevista deja claro su interés por una buena planificación en lo referente a la ampliación de la primera parte:

"...Intenté buscar otro camino, pero me surgieron una serie de dudas que no tenían una...respuesta rápida y...opté por abandonarlas..." (1U6).

 

LD destaca en la entrevista correspondiente al segundo protocolo el momento en que formula la situación de forma manejable (E1):

"...ha habido dos momentos claves,... el primero fue...a los cinco minutos, cuando de forma espontánea...cambié el problema a otra expresión más matemática, por llamarla así, que me dio pie a meterle mano..." (2U2).

Reflejo también de la importancia de poseer un buen plan es la inversión de tiempo y esfuerzo (E4, E5) en ver una forma de fundamentar o rechazar la solución aportada (E3), antes de introducirse en el propio cálculo (E6).

 

Por su parte, el tercer protocolo es un continuo ir y venir de ejemplos, conjeturas y comprobaciones, evidenciando su rechazo a ejecuciones prolongadas sin búsqueda de regularidades o sin ser guiadas por conjeturas.

 

 3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.5) La explicitación del estado de la ejecución es muy frecuente y natural dentro de la propia ejecución, aclarando las razones por las que está llevando algo determinado a cabo, qué hará con ese resultado en ciernes y qué está haciendo exactamente.

 

A lo largo del primer protocolo va explicando continuamente qué está haciendo y cuál es el propósito de tales acciones, ya sea cuando la intención es profundizar en la comprensión

("...Primero intento comprender qué significa la fórmula..." -E1),

ya sea destacando algún resultado intermedio

("...A=Dxd sen α /2, fórmula genérica para cuadriláteros..." -E3),

ya sea exponiendo el objetivo de unos cálculos

("...Estoy buscando poner esa expresión de una forma mejor..." -E7),

ya sea resaltando las variables de las que depende una fórmula

("...Esta fórmula depende del lado y de las diagonales, además del número de lados..." -E7).

 

El segundo protocolo es también muestra de una correcta explicitación del estado de la ejecución, destacando resultados intermedios (E2), aclarando la utilidad de lo obtenido hasta ese momento (final E2) y proponiéndose cuestiones dinamizadoras de la solución (E6). Asimismo, explica lo suficiente en E3 y aclara la idea subyacente a la verificación de E5:

"...El problema que me estoy planteando es...".

 

En cuanto al tercer protocolo, en todo momento queda clara la intencionalidad de las acciones

("...Intento relacionar..." -E6),

y las conclusiones extraídas de los cálculos

("...Reviso que hasta ahora obtengo además del 1 el 2, 5, 10. Parece indicar que sólo ocurre con ellos y múltiplos comunes... Luego parece que pueden ser el 2 y el 5 y todo los múltiplos de ellos que..." -E3).

Por otra parte, en E5 la explicitación del estado de la ejecución es muy natural, así como explicativa del proceso.

 

 3.4. Coherencia y control del proceso.

5) El proceso es totalmente coherente y está completamente organizado, manteniéndose una misma guía a lo largo de todo él. Hay un planteamiento adecuado de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. Las decisiones de control son una fuerza positiva en la resolución. Los recursos son cuidadosamente elegidos y explotados o abandonados apropiadamente como resultado de un control cuidadoso. Le concede una importancia vital al control del proceso, pensando que puede ser determinante de una correcta resolución del problema.

 

La respuesta dada a C14, que se transcribió íntegramente en Eficacia en el empleo de la revisión, pone de relieve una alta consciencia del control a lo largo del proceso de resolución de un problema, lo que se confirma en los protocolos.

 

En la entrevista posterior al primer problema se vuelve a confirmar su rechazo a todo lo que le pueda sonar a encasillamiento o rigidez en la acción, pues, efectuando control, lo niega, dándole otro matiz:

"...control no. Simplemente una sensación,... cuando terminé el primero [primera parte],...sentí... un cierto relax; se me fueron cinco minutos ahí casi confirmándolo..., pero no como control..." (1U8).

Nada más empezar la resolución, efectúa una buena elección sobre los aspectos que deben ser explotados para aproximarse a una solución (comienzo de E2). A continuación, el proceso es totalmente coherente, analizando su consistencia y la de la propia solución (E3). Incluso esboza otro posible abordaje de la primera parte que, con buen criterio, abandona por problemas de tiempo, lo que pone de manifiesto tener las riendas del proceso. No acaban aquí las correctas decisiones de control, pues el abordaje de la segunda parte también se halla guiado por el planteamiento de progreso hacia soluciones plausibles, teniendo siempre presente la coherencia del proceso con los objetivos de la resolución (E7, E8).

 

De nuevo, en la entrevista correspondiente al segundo problema evidencia poseer un buen monitor del proceso, poniendo de relieve el hecho de haber abandonado caminos infructuosos, así como la disponibilidad de estrategias alternativas:

"...algo no estaba muy claro, pero...son 66 números y ya después tendría que repasarlo... me di cuenta que... me va a desbordar el análisis de los subcasos...("...me parece que este camino quizás no sea demasiado bueno"). En principio, estoy pensando en hacer el proceso de forma...recurrente... De todas formas ese camino está ahí por si acaso este nuevo no me funciona..." (2U1).

Efectivamente, tiene un control sobre todo el proceso de resolución: al comienzo de E3 cambia de estrategia de forma adecuada; en E4 se cuestiona lo anteriormente efectuado, a pesar de la solución obtenida y su aparente plausibilidad; en E5 focaliza sus dudas en el orden creciente y las eliminaciones que conlleva. Muestra, por tanto, una consciencia significativa de los aspectos más influyentes en la resolución. En resumen, podríamos decir que emplea continuamente estrategias de control del proceso, viendo si va progresando o no hacia la solución, control que le permite. además, mantener en retaguardia planteamientos que pueden ser útiles más adelante.

 

En la entrevista posterior al tercer protocolo deja otra vez clara su forma de proceder:

"...no es que me lo haya planteado de una forma explícita [si la solución es razonable], pero quizás de forma implícita voy siempre sobre ello..." (3U5).

En dos ocasiones hace constar que va con prisas (final de E1 y E4), dejando patente en la entrevista sus deseos de tranquilizarse

("...al echarme abajo esa conjetura [E4], me siento por un lado un poco mal, pero por otro lado me tranquiliza...; hasta ahora había ido demasiado acelerado...") (3U1),

lo que da a entender que es consciente de que debe llevar las riendas del proceso. Abundando en el rechazo de dicha conjetura, lejos de desanimarse, sabe sacar el partido positivo del parón (tranquilidad y búsqueda de otras regularidades: a partir de revisar el 20 y una nueva suposición que desarrolla en E5), poniendo de manifiesto un adecuado uso del control de la acción. Finalmente, E7, por su parte, es pura evidencia de haber elegido correctamente los aspectos a estudiar, pues, aunque comete errores en la ejecución y no sale lo que esperaba, conjetura por encima de dichos errores de cálculo.

 

 3.5. Organización temporal.

5) La existencia de un plazo determinado de tiempo no le produce agobios, pues es consciente de que cada fase de la resolución precisa de cierta inversión de tiempo. Por otra parte, procura obtener resultados importantes dentro de dicho plazo, aunque esto suponga dejar alguna justificación sin importancia para el final. En fin, se planifica la resolución para lograr conclusiones relevantes dentro del tiempo dado.

 

En la cuestión 2, sobre el rendimiento en estos problemas, dice que suele tranquilizarse, pasados los primeros minutos,

"...aunque el hecho de tener un tiempo limitado hace que actúe con ciertas prisas...".

Esta doble vertiente, tranquilidad y ciertas prisas, es muestra de su sosiego dentro de su intención de obtener resultados consistentes en los límites temporales dados, como ha puesto de manifiesto a lo largo de los protocolos.

 

En el primer protocolo dice:

"...Estoy bastante acelerado, como si no tuviera tiempo suficiente... " (E2),

ya antes de haber transcurrido los primeros cinco minutos, dejando patente su deseo de controlar el tiempo. De hecho, como se ha comentado, no considera el problema cerrado, le gustaría indagar otros abordajes del mismo, uno de los cuales inicia (E4), pero, con buen criterio por cuestión de tiempo, lo abandona por no tenerlo claro en ese momento. Esta decisión indica que tiene en su poder las riendas del problema (referida anteriormente al respecto de Coherencia y control del proceso) y que posee o, al menos, se plantea una organización temporal dirigida a dar respuesta a todas las cuestiones formuladas. En definitiva, maneja el tiempo concedido y obtiene unas conclusiones bastante razonables.

 

En la entrevista posterior al segundo protocolo dice que hubo un momento clave

"...en los últimos quince minutos, cuando me di cuenta de que había un error, que el tiempo estaba corriendo y que me veía ya en la imposibilidad...de remediarlo..." (2U2),

ahora bien, estas dudas sobre el planteamiento (E4, E5) no le llevan a desesperarse, sino a controlar aún mejor el tiempo disponible, para lo que sirve de ejemplo la primera frase de E5:

"...Me voy a fumar un cigarro para pensar más reposadamente...".

 

En el tercer protocolo también hace constar que va con prisas (final de E1, E4). No obstante, se trata de una constatación inmersa en un proceso controlado y en el que LD se preocupa de obtener resultados importantes dentro de los plazos fijados, planteándose incluso posibles extensiones aparte ya de los 40 minutos (por ejemplo los irracionales como raíz de 3, según afirma en la entrevista).

 

 3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.4) Conoce bastantes estrategias de RP, siendo consciente de su utilidad, así como del papel que pueden desempeñar las estrategias de control. Es asimismo consciente de la existencia de otras variables.

 

El desglose que hace de estrategias en C10 es indicativo de las características mostradas en los protocolos:

"...Lectura y comprensión detenida del problema. Seguir la pista que surja. Ir comprobando mentalmente, si puedo, el camino y la solución hacia la que camino; dejando incluso puertas abiertas para tratamientos o ampliaciones posteriores. Comprobar dicha solución, al menos de forma lógica, no de cálculo...",

dejando patente su conocimiento de lo que significa cada fase del proceso de resolución de problemas, al mismo tiempo que su desconocimiento teórico de estrategias útiles en cada fase, desconocimiento que se ve atenuado por el conocimiento práctico mostrado. La cita anterior resalta la coherencia y control del proceso.

 

Asimismo, la importancia de los procesos de resolución de problemas es descrita cuando, preguntado en C7 sobre sus conocimientos para resolver problemas, afirma que

"...los procesos de resolución suelen estar bien arraigados en mi mente...".

 

En C18, sobre las características de un experto resolutor, insiste:

"...debe ser un poco "jugador", gustarle los retos,... dominio de las herramientas... capacidad de razonamiento y análisis... necesidad de...demostrar que se es capaz...",

destacando, por tanto, el carácter de desafío que representa un problema, la conveniencia de disponer de conocimiento matemático y capacidad de razonamiento y un aspecto motivacional.

 

Finalmente, el uso de estrategias se ve plasmado en el siguiente esquema:

- Primer problema: organizar la información (comprensión), tantear, conjeturar (planificación), analizar la consistencia de la solución, expresar de otra forma la solución, analizar la consistencia del proceso, analizar si se puede llegar al resultado de otra manera (verificación).

- Segundo problema: organizar la información, expresar en otros términos (comprensión), asumir la solución (planificación), analizar la consistencia de la solución, analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Tercer problema: organizar la información, ejemplificar (comprensión), tantear, buscar regularidades, conjeturar (planificación), analizar la consistencia de la solución, analizar la consistencia del proceso (verificación).

 

Este amplio uso de estrategias (repitiendo el empleo, fundamentalmente de las de verificación, dentro de cada problema) pone en evidencia su adecuado conocimiento estratégico, aunque le falte una mayor consciencia teórica de su utilidad.

 

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

(Gráfico 10)

 El perfil de LD no deja lugar a dudas, perteneciendo ambas categorías (2 y 3) a la subbanda 4-5 de la banda 3-5, destacando la última categoría, en la que todos los indicadores poseen un nivel 5, salvo uno que tiene un nivel 4.

 

IV.5.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

 

La información extraída nos hace pensar que el hecho de estar siendo observado supone para LD un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

 

En cuanto a su actitud hacia los problemas cotidianos, los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

 

Inmersos ya en el terreno matemático, hay que decir que el abordaje de problemas es esporádico y está motivado por la necesidad docente y/o investigadora y, en su caso, el divertimiento, normalmente en solitario, alternando el enfrentamiento a problemas con ejercicios, atrayéndole más aquéllos. Ahora bien, su predisposición habitual ante un problema es de entusiasmo, produciéndole satisfacción el simple hecho de enfrentarse a él, incluso aunque no logre una solución. Además, confía bastante en sus posibilidades y en que el problema no se le resista. La inseguridad que a veces muestra cuando se enfrenta a problemas que caen en áreas que no domina le lleva a intentar abordarlos usando otros procedimientos.

 

Ha mostrado un conocimiento organizado y accesible, capaz de relacionar diferentes aspectos, dando la impresión de disponer de una considerable retención de información matemática relativa a generalizaciones, estructuras formalizadas y esquemas lógicos.

 

Respecto al papel de la memoria, ésta es considerada útil, tratándose de solventar su falta con procedimientos alternativos.

 

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

 

Ha obtenido una representación altamente significativa de la situación, permitiéndole entrar con esperanza de éxito en la planificación, tras formular el problema en sus propios términos. Por consiguiente, ha capturado perfectamente la estructura del problema, obteniendo normalmente la información matemática subyacente en el enunciado. Abstrae, pues, a partir de las relaciones concretas, hacia estructuras formales.

 

En los protocolos se observa que la planificación está bien estructurada, teniendo sólo alguna falta de relevancia o pertinencia para la situación sin demasiada importancia para la resolución.

 

En cuanto a la ejecución, es consecuente con la planificación, mostrando su eficacia en la aportación de resultados de importancia y trascendencia para la resolución de la situación planteada, pudiendo tener sólo algún pequeño fallo de cálculo que apenas le resta eficacia.

 

Dentro de su buen nivel en esta categoría se halla también el empleo de la revisión, ya que revisa cálculos y proceso de forma adecuada, teniendo presente la coherencia de la ejecución con la planificación. No obstante, pueden existir lagunas en la revisión de los cálculos, pues no les otorga demasiada importancia.

 

En las misma línea, tras obtener una solución, trata de llegar al resultado de otra manera y se plantea si la solución es razonable. En gran parte de las ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

 

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

 

Su nivel en esta categoría es excelente.

 

De los protocolos y sus manifestaciones se extrae con claridad la idea de que es consciente de que la inversión en la obtención de una representación significativa es rentable y no pasa a otra fase hasta que la haya conseguido. Hay un contraste pormenorizado, entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento, y búsqueda de información pertinente.

 

Asimismo, con plenitud de control sobre los entresijos de la resolución de problemas, piensa que la resolución de un problema puede depender en gran medida de una buena planificación, por lo que le otorga gran importancia y piensa que debe volverse a ella siempre que lo requiera el proceso, siendo, por tanto, consciente de que los posibles errores en el proceso, además de hallarse en la ejecución, pueden estar también en el plan diseñado.

 

También explicita con frecuencia el estado de la ejecución, de forma natural y dentro de la propia ejecución, aclarando las razones por las que está llevando algo determinado a cabo, qué hará con ese resultado en ciernes y qué está haciendo exactamente.

 

En cuanto al control del proceso, es totalmente coherente y está completamente organizado, manteniéndose una misma guía a lo largo de todo él. Hay un planteamiento adecuado de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. Las decisiones de control son una fuerza positiva en la resolución. Los recursos son cuidadosamente elegidos y explotados o abandonados apropiadamente como resultado de un control cuidadoso. Le concede una importancia vital al control del proceso, pensando que puede ser determinante de una correcta resolución del problema.

 

En lo que concierne a la organización temporal, la existencia de un plazo determinado de tiempo no le produce agobios, pues es consciente de que cada fase de la resolución precisa de cierta inversión de tiempo. Por otra parte, procura obtener resultados importantes dentro de dicho plazo, aunque esto suponga dejar alguna justificación sin importancia para el final. En fin, se planifica la resolución para lograr conclusiones relevantes dentro del tiempo dado.

 

Finalmente, parece conocer bastantes estrategias de RP, siendo consciente de su utilidad, así como del papel que pueden desempeñar las estrategias de control. Es asimismo consciente de la existencia de otras variables.

 

IV.5.4. ANÁLISIS FINAL

Buena acción y excelente control de un espontaneísta

 

Su esporádico enfrentamiento a problemas matemáticos (que suponen un reto y una diversión para él) (1.3.-3) concuerda con una tendencia didáctica en la que aparecen rasgos de todas las tendencias, predominando los aspectos espontaneístas e investigativos, pero donde se deja notar la ejercitación reproductiva (TE1) en la metodología. Asimismo, la confianza que posee en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-4) y su excelente predisposición ante el enfrentamiento a problemas (1.4.1.-5) son consistentes con la flexibilidad que concede a los objetivos de la asignatura (E3) y con la aleatoriedad de los contenidos a impartir (E4), no apareciendo complejos o temores ni como resolutor ni como docente. En consecuencia, sus alumnos juegan (E18), investigan (I17) y cuestionan (I19), y los mínimos, a la hora de evaluar, son reformulables (I30). Esa falta de temor se ve corroborada por el buen empleo que hace de la memoria en la resolución de problemas (1.6.-4), coherentemente con el hecho de descartar la memoria como criterio de evaluación (E28) y como forma de aprendizaje (E o I8). Asociable a lo anterior es el peso concedido, por encima de reglas y conceptos, a los procedimientos y estrategias generales como caracterizadores del conocimiento matemático (RP1), y la consideración del desarrollo intelectual como fin primordial de la matemática (RP4). Sin embargo, pensar que el conocimiento matemático está dirigido por la resolución de problemas y que es un campo de creación (RP5) no parece que pueda ir de la mano de la ya aludida ejercitación reproductiva (TE1) y de la transmisión por procesos tecnológicos (TE20). De hecho, estos indicadores, junto con TE2 (simulación puntual de investigaciones) no encajan aparentemente con el perfil espontaneísta-investigativo de LD; no obstante, podemos aportar una explicación: el espontaneísmo le induce a no tener interiorizado un modelo coherente, encontrando razones a favor de aspectos contradictorios. Su flexibilidad conduce a la posibilidad de que los alumnos puedan plantear cuestiones o temas e incluso indagar en ellos, pero su pretensión será mostrar procedimientos y métodos a los alumnos y que éstos se ejerciten. De todas formas, hay que añadir que es difícil conseguir que un alumno investigue si predomina la ejercitación reproductiva.

 

El papel que concede a la resolución de problemas como dinamizadora de la evolución del conocimiento matemático (RP5) se ve correspondido por un buen empleo de la revisión (2.4.-4), así como por un buen nivel de acabado de la solución (2.5.-4) (aunque tal concordancia no creo que sea generalizable). También podemos pensar que, en particular, el hecho de decantarse por un tipo de razonamiento basado en conjeturas, pruebas y refutaciones (RP7) motive una excelente actuación en el control de la acción (todos 5 menos un 4).

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