cap46

ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE PG

IV.6.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

IV.6.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

METODOLOGÍA

9.Nos centramos nada más que en la resolución de ejercicios y ejercicios.

5'.Hasta ahora sólo tengo claro que la práctica reiterada en el estudio de un tema es lo más positivo, pero siempre está el tiempo y el temario a impartir.

17.(No conseguimos lo que nos proponemos a la hora de programar,) porque en realidad nosotros no somos ellos..., porque...tú eres uno y el ritmo,...la mente, es de ellos, son ellos los que van aprendiendo, y al final siempre hay que machacar mucho.

3'.El profesor debe ser ameno y variado al impartir la clase. Unas veces él lleva el control de la explicación, otras veces el alumno resuelve ejercicios y pregunta lo que ignora. Otras, se enseña mediante la búsqueda de respuestas a enunciados teóricos o prácticos.

2.La forma que más me ha gustado...siempre es cuando los alumnos se ponen a hablar entre ellos...; aunque digan tonterías, creo que aprenden más.

7.(Procuro que aprendan haciéndolos) hablar,...de forma matemática,...entre ellos y...conmigo.

36.Te ponías a hablar e iban saliendo cosas aparte...,"¿y qué pasará si pasa esto?", y eso es lo que te hacía pensar.

12.Me gusta ir sacándole cosas, hasta que él vaya encontrando la respuesta afirmativa.

16. Me pongo a ver lo que hay que dar en 1º, lo que hay que dar en 2º, al final se va uno a un libro de 2º.

8.Yo nunca he explicado (la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado)...lo más fácil ha sido eso: así se resuelve y...Como siempre hemos ido a la parte mecánica de las matemáticas...Cuando empecé,...me gustaba ir deduciéndola,...(pero) poco a poco iba uno desechando toda esa teoría, iba uno nada más que a lo que después iban a utilizar los alumnos.

15.La programación, siempre va la que está hecha en el Centro...Por mí solo todavía no he hecho yo una programación,...porque no sé si sabría hacerla.

21.(En la práctica, se abandona un tema dependiendo) de la época del año...(o)si un cierto sector lo sabe...Una clase con muy pocos alumnos quizás fuera...más positiva.

26.(Según las calificaciones,)si veo que... el desarrollo de los temas le va a ser complicado, los sigo manteniendo... más asequible...; y cuando no, pues me gusta darlos enteros.

TR1:Ej. repetitiva

TR1+4:Ej. repetitiva Progr. oficial prescript. rígida (u. aisladas)

TR o TE1:Ej.repetitiva. O ejercitación reproductiva

TR o TE1

TE1:Ej. reproductiva

TE1

TE1

TE1+TR3:Ej. repr. Obj.conc.car.terminal

TR2+4:Expos.magistral Pr.of.presc.ríg.(u.aisl.)

TR4:Progr. oficial prescr. rígida(u.aisladas)

TR4

TR4

TR4

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

S. ASIGNATURA

6'.Lo más importante que debe aprender un alumno son nociones generales, razonamientos y saber expresarse en lenguaje matemático (y conocimiento de las reglas).

30.(Las matemáticas se deberían poner de acuerdo)con cualquier asignatura en la que se utilice como herramienta ...(Por ejemplo)la Física...para el despeje.

7'.El profesor de matemáticas debe contar con los profesores de asignaturas donde se utilizan las matemáticas, para conocer aquellos conceptos que ellos van a utilizar.

TR5:Énfasis conceptual

TE7:Informativa utilitaria

TE7

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

C. APRENDIZAJE

3.Una vez que se estudiaban los apuntes, nos poníamos a hablar...él me hacía a mí razonar...,cuando dos o tres se ponen a hablar,...de eso sí que se puede aprender.

17.(No conseguimos lo que nos proponemos a la hora de programar,) porque en realidad nosotros no somos ellos..., porque...tú eres uno y el ritmo,...la mente, es de ellos, son ellos los que van aprendiendo, y al final siempre hay que machacar mucho.

4.Una buena enseñanza tiene que ser aquélla que después implique un buen aprendizaje, si no ¿cómo podría ser buena?...Todo el mundo sabe que no basta (con una buena explicación)...Depende mucho de cómo sea el alumno... No todos aprenden igual...Cualquier método de enseñanza ...le puede ir bien a un...tipo de alumnos,otro, a lo mejor se pierde.

5.Son distintos métodos y le puede ir bien a cada uno...o explicas siempre igual y no comprende igual uno que otro ...Le daba clase a un chaval que lo que me pedía era explicación...Ellos me hacían ver a mí cuál era el método que les podía ir mejor.

TE10:Por asimilación

E-I13:Aptitud transformable

E-I13+TE14:Apt. transf.y act. parc. transf.

E-I13+TE14

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

PAPEL ALUMNO

29.(Los alumnos)no (participan en el diseño de las actividades o en la programación).

22.A veces,...cuando ya los ejercicios no le salen a un cierto tipo de alumnos, pues ellos mismos dicen "bueno, vamos a pasar a otro tema", y paso.

20.(Un tema debe abandonarse cuando ya) aburre a la clase o cuando...lo han asimilado.

1'.El profesor debe ver si el clima particular de cada clase es positivo para la enseñanza. La relación entre el profesor y los alumnos debe ser de respeto mutuo, de que todos puedan expresarse con libertad.

4'.Debe haber total libertad para cambiar la planificación de un tema, siempre con la posterior observación de si es positivo para el interés o rendimiento del alumno.

3'.El profesor debe ser ameno y variado al impartir la clase. Unas veces él lleva el control de la explicación, otras veces el alumno resuelve ejercicios y pregunta lo que ignora. Otras, se enseña mediante la búsqueda de respuestas a enunciados teóricos o prácticos.

28.Cosas muy diversas...Ese curso de 1ºera un curso con el que estaba a gusto, porque preguntaban, intervenían, hablaban...(En otros)imposible.

T15:No participa en diseño didáctico

TR16:Único resp.transf. E-A. Sumisión

TE16:Resp.ppal. transf. E-A(mot. por contexto)

TE16

TE16

T18:Atiende

T18+E19:Atiende. Dialoga

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

PAPEL PROFESOR

1.No me gusta...hablar...mucho y, de vez en cuando, preguntar, pero..., sin querer, lo haces muchas veces.

8.Yo nunca he explicado (la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado)...lo más fácil ha sido eso: así se resuelve y...Como siempre hemos ido a la parte mecánica de las matemáticas...Cuando empecé,...me gustaba ir deduciéndola,...(pero) poco a poco iba uno desechando toda esa teoría, iba uno nada más que a lo que después iban a utilizar los alumnos.

34.También lo he explicado (la irracionalidad de Ö 2),... pero no una demostración...tan matemática...como ésta [por reducción al absurdo]...(Con)la maquinita..., una forma poco correcta de decirlo, ¿no?,... le dan a la expresión decimal y...sale exacto, pero yo ya les digo que ...no hay secuencia.

3'.El profesor debe ser ameno y variado al impartir la clase. Unas veces él lleva el control de la explicación, otras veces el alumno resuelve ejercicios y pregunta lo que ignora. Otras, se enseña mediante la búsqueda de respuestas a enunciados teóricos o prácticos.

TR20:Transmite verbalmente

TR20

TR20

TR20+TR o TE23: Transmite verbalmente. Especialista en contenido o Técnico del contenido y del diseño didáctico

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

EVALUACIÓN (1)

18.No suelo revisar (mis planteamientos iniciales durante el curso), salvo en casos que yo vea fácil que me he equivocado.

4'.Debe haber total libertad para cambiar la planificación de un tema, siempre con la posterior observación de si es positivo para el interés o rendimiento del alumno.

26.(Según las calificaciones,)si veo que... el desarrollo de los temas le va a ser complicado, los sigo manteniendo... más asequible...; y cuando no, pues me gusta darlos enteros.

19.Me di cuenta (de que me había equivocado, pues)había chavales que en casa trabajaban y...sabían cómo se suman quebrados, cómo se dividía y cómo todo, pero después en la torre...me fallaban un montón.

23.Cuando hemos llegado a la...ecuación de segundo grado, (valoro el conocimiento según)lo que está en los libros,...cuando ya el alumno sabe...las expresiones de la suma y el producto de las soluciones,...cuando sabe resolver el planteamiento de problemas...

24.(Para calificar a mis alumnos utilizo)exámenes, que es lo más importante,...a veces también hago controles intermedios, los trabajos,...las preguntas orales,...(los) alumnos que te quedan así en duda,...si es gente trabajadora,...los califico bien.

11.A veces sí(saben los alumnos lo que valoro), a veces no...Por ejemplo, saben que yo valoro los exámenes,...el trabajo en clase, porque...cuando...pregunto,...saben que vale como una calificación,...aunque no es exactamente eso.

13.(Lo que valoro en mis alumnos)nunca lo he reflejado (en los objetivos de la asignatura)..."Legue a resolver ecuaciones de segundo grado", "llegue a tener un manejo práctico de ecuaciones de cualquier tipo", ésas son las cosas que se ponen (en la programación).

25.No lo había hecho (tomar notas de las preguntas orales), solamente...les ponía que me había razonado de forma positiva o negativa.

27.Me da igual el número de alumnos aprobados,...lo que me gusta es cuando...estamos dando un tema y (hay mucha)gente metida...en las discusión. No sé si...eso sirve o no.

14.(Sobre el grado de consecución de los objetivos indago mediante el)careo y exámenes...(y)a veces,...trabajo (de un) tema...superfácil...por sí solos.

TR o TE25: Sumativa(producto final o proceso en función del producto)

TR o TE25

TR o TE25+T26: Sumativa (producto final o proceso en func.del producto).Cuantitativa

TR o TE25+TE27: Sumativa(pr.final o pr.en func. del pr.).Crit.expl. Taxonómica (cond. obs.)

TR o TE25+ TR28+29: Sumativa (pr.final o pr.en func. del pr.). Memoria. Aplicación mecánica

T26+TR35:Cuantitativa Calificación mediante controles del producto

TR27:No explicita criterios. Subjetiva

TR27

TR27

TR27

TE27:Crit.explícitos. Taxonómica (cond. obs.)

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)

EVALUACIÓN (2)

6.Cuando ya veíamos que mecánicamente hacían las cosas, ya nos parecía que habían aprendido.

8.Yo nunca he explicado (la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado)...lo más fácil ha sido eso: así se resuelve y...Como siempre hemos ido a la parte mecánica de las matemáticas...Cuando empecé,...me gustaba ir deduciéndola,...(pero) poco a poco iba uno desechando toda esa teoría, iba uno nada más que a lo que después iban a utilizar los alumnos.

13.(Lo que valoro en mis alumnos)nunca lo he reflejado (en los objetivos de la asignatura)..."Legue a resolver ecuaciones de segundo grado", "llegue a tener un manejo práctico de ecuaciones de cualquier tipo", ésas son las cosas que se ponen (en la programación).

30.(Las matemáticas se deberían poner de acuerdo)con cualquier asignatura en la que se utilice como herramienta ...(Por ejemplo)la Física...para el despeje.

2'.Cada tema debe tener unos objetivos mínimos que se deben impartir; después, según el nivel de la clase, progresar en la dificultad del tema con una periodicidad apropiada.

21.(En la práctica, se abandona un tema dependiendo) de la época del año...(o)si un cierto sector lo sabe...Una clase con muy pocos alumnos quizás fuera...más positiva.

15.La programación, siempre va la que está hecha en el Centro...Por mí solo todavía no he hecho yo una programación,...porque no sé si sabría hacerla.

31.(Mi criterio para establecer el temario es seguir el) oficial...Nunca he quitado a penas...,(si acaso, uno que hayan)dado con fuerza en la EGB...(o porque lo den) en otra asignatura.

TR29:Aplicación mecánica

TR29

TR29

TR29

TE30+T31:Mínimos rígidos(tratam.modific.). No diferenciac. individual

T31:No diferenciac. individual

TR34:Inf.inic.en base a conten.impart.con anter.

TR34

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE PG

CATEG.

IND\TEND

TRADIC.

TECNOL

ESPONT.

INVEST.

METODOLOGÍA

1

*
*

2

*

3

*

4

*

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

5

*

6

*

7

*

CONCEPCIÓN

DEL

APRENDIZAJE

8

*

9

*

10

*

11

**

12

*

13

**

14

*

PAPEL

DEL

ALUMNO

15

**

16

*

17

*

18

**

19

*

PAPEL

DEL

PROFESOR

20

*

21

*
*

22

*

23

*

24

*

EVALUACIÓN

25

*
*

26

**

27

*

28

*

29

*

30

*

31

**

32

*

33

**

34

*

35

*

(Cuadro 28)

PG se halla mayoritariamente entre las tendencias tradicional y tecnológica con predominio de aquélla, TR*-TE. Este predominio no sólo se manifiesta en la mayor cantidad de indicadores y unidades de información de la tendencia tradicional, sino en el hecho de que dos de las seis categorías son tecnológicas, mientras que las cuatro restantes pertenecen a la tendencia tradicional.

IV.6.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE PG

Es frecuente encontrar poca información a través de los cuestionarios y la entrevista; sin embargo, se tiene la suficiente para determinar claramente su tendencia, ya que abunda en algunos indicadores y, de otro lado, ha sido confirmada en la fase de consenso.

METODOLOGÍA

Ni las unidades de información ni el consenso dan pie a dilucidar su inclinación entre el indicador tradicional y el tecnológico, por lo que parece combinar ambas opciones casi por igual. De esta forma, la actividad del aula se caracteriza por la repetición iterada de ejercicios tipo, o bien por la repetición de ejercicios que pretenden reproducir los procesos lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por parte de los alumnos.

La escasa información que proporcionó a través de las unidades sobre los objetivos y su papel en la praxis se vio, no obstante, corroborada también en la fase de consenso. Así, emplea la exposición magistral como técnica habitual y usa el libro de texto como único material curricular; e identifica los contenidos con los conceptos, enunciados como objetivos de carácter terminal.

Por otra parte, sigue una programación prescrita de antemano, externa a él y rígida, sin plantearse relaciones entre las unidades.

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

Esta categoría es de la que aporta menos información inicialmente (el consenso no añadió detalles significativos en cuanto a su tendencia).

La asignatura está orientada, exclusivamente, hacia la adquisición de conceptos y reglas.

El contenido matemático a movilizar en el aula no se diferencia en estructura, aunque sí en nivel de abstracción, del conocimiento matemático formal.

Para PG la asignatura no sólo ha de tener una finalidad informativa, sino también un carácter práctico que permita su aplicación en otros ámbitos de la matemática, otras disciplinas o en la técnica.

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

Aunque hay suficiente información de esta categoría, casi toda es referente a la aptitud y la actitud de los alumnos, por lo que el consenso ha servido para determinar el resto.

PG piensa que se aprende cuando el objeto de aprendizaje, que surge aleatoriamente del contexto, posee un significado para el alumno. Además cree que, aunque el aprendizaje pueda comenzar por la observación de un proceso inductivo, el verdadero aprendizaje ha de apoyarse en un proceso deductivo y que, para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior.

En cuanto al tipo de agrupamiento, opina que la única forma de agrupamiento que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual.

La estructura de la propia asignatura, plasmada en la programación, es el dinamizador ideal del aprendizaje, según expresó durante el consenso.

Respecto a aptitudes y actitudes de los alumnos, las unidades de información daban mucha cabida a la duda, pero la catalogación fue confirmada en la fase de consenso. PG piensa que la capacitación del alumno puede ser modificada y que en la actitud del alumno hacia el aprendizaje hay aspectos que pueden sufrir cambios. El hecho de creer que la aptitud es modificable, incoherencia (habitual por otra parte) con su tendencia tradicional-tecnológica, no implica una consecuente concepción del aprendizaje.

PAPEL DEL ALUMNO

El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc. y opina que, cuando los procesos de enseñanza se realizan en un contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje recae en el alumno.

Respecto a lo que hace el alumno en el aula, el consenso ha determinado que el alumno, al enfrentarse a cada una de sus tareas educativas, reproduce el proceso lógico mostrado por el profesor, imitando así su estilo cognitivo. Además, como entre la toma de apuntes y la preparación para la valoración de los conocimientos del alumno no media apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una excesiva relevancia. El ambiente dinámico que se propicia en la clase, permite que el alumno comunique sus experiencias y sentimientos con el profesor y los demás compañeros, rasgo espontaneísta que se sale de su tendencia general.

PAPEL DEL PROFESOR

En esta categoría la información se ha centrado casi exclusivamente en el indicador correspondiente a la transmisión verbal, siendo la fase de consenso la que ha proporcionado información sobre el resto, siempre dentro de la tendencia de PG.

Transmite verbalmente los contenidos de aprendizaje, mediante dictado de sus apuntes o alusión a un libro de texto o exposición, realizando, por su caracterización como especialista en contenidos, una reproducción literal de los citados documentos. La única unidad alusiva al hecho de ser especialista en contenido o técnico del contenido y del diseño didáctico no despejaba las dudas entre ambos, pero el consenso inclinó la balanza hacia lo primero.

En cuanto a la coordinación con otros profesores, ésta se refiere a la selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o a su organización.

EVALUACIÓN

En esta categoría el consenso no ha hecho más que confirmar lo extraído anteriormente y la tendencia general, a excepción hecha de la concepción de la recuperación, respecto a la cual se sitúa en la tendencia investigativa, y la consideración de mínimos negociables, que se discutirá más adelante.

Alterna la concepción de la evaluación como una actividad que se debe realizar al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, con el único fin de medirlo, con la concepción según la cual el profesor debe cuestionar (para su eventual modificación futura) el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados obtenidos al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno, dando dichos resultados asimismo una medida del aprendizaje individual.

Además, reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto y el hecho de no disponer de criterios explícitos hace que la valoración de los alumnos sea subjetiva.

Trata de medir la capacidad del alumno de retener información a corto plazo, valorando la aplicación mecánica de la misma.

En la fase de consenso, PG ha manifestado que el desarrollo de la programación permite negociar los contenidos de aprendizaje en función de las demandas contextuales. Sin embargo, hay poca información y me inclino a pensar que, sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, los contenidos de aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos inicialmente, aunque se introduzcan eventualmente cambios en su tratamiento. Ello es debido a que parece entender la negociación en un sentido amplio, incluyendo el caso en que la "negociación es implícita", o sea, que en realidad no existe, sino que el profesor va adaptando un poco los mínimos.

En cuanto a la diferenciación individual, no obtiene información personalizada de los alumnos a lo largo del proceso.

Cuando en el desarrollo del proceso PG toma conciencia de que los contenidos de aprendizaje no están en concordancia con el campo de intereses de los alumnos o el grado de significado que éstos deberían otorgar a los contenidos de la disciplina, cualifica su apreciación e introduce variantes de tipo metodológico, disciplinar o contextual, de forma individualizada. Éste es el indicador, citado al comienzo de la categoría, perteneciente a la tendencia investigativa, en el que se ha posicionado en la fase de consenso. Al no haber información al respecto en las unidades de información, hay que constatar exclusivamente lo manifestado por él, aunque es razonable mantener un margen de duda sobre la coherencia de dicho indicador en relación a la tendencia general; en principio, no parece razonable su coexistencia con el resto de indicadores. En cualquier caso, no afecta a su tendencia.

Para PG, el examen es el instrumento ideal para medir el aprendizaje de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase.

En relación al diagnóstico inicial de los alumnos, éste está basado exclusivamente en los contenidos que, supuestamente, han sido impartidos con anterioridad.

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, PG utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

IV.6.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

IV.6.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CM)

TIPO DE CTO.

6'.Lo más importante que debe aprender un alumno son nociones generales, razonamientos y saber expresarse en lenguaje matemático (y conocimiento de las reglas).

30.(Las matemáticas se deberían poner de acuerdo)con cualquier asignatura en la que se utilice como herramienta ...(Por ejemplo)la Física...para el despeje.

7'.El profesor de matemáticas debe contar con los profesores de asignaturas donde se utilizan las matemáticas, para conocer aquellos conceptos que ellos van a utilizar.

2".Las demás asignaturas de Ciencias utilizan la Matemática como herramienta de trabajo.

IN1:Conj. de reglas y herramientas de uso compartimentado

IN3:Cuerpo de conocimiento útil

IN3

IN3

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CM)

FIN

32.En la época de la Edad Media, cuando los matemáticos se encerraban,...nada más que el deseo de saber más unos que otros los hacía avanzar...Cuando empezó el Análisis, fue como una herramienta de trabajo bastante buena dentro de la matemática y eso la ha hecho avanzar.

33.Concibo que (hoy día) se encierran a un cierto tema, a saber cada vez más y a intentar, a lo mejor, si de esa parte del tema hay algunos problemas o teoremas que no están demostrados, intentar buscar...Yo pienso que lo que busca es la satisfacción personal de saber...; hay personas que se sienten bien sabiendo y quieren saber más y estudian y hacen bien, y ya está.

1".Conocimiento y profundización de conceptos para la obtención de resultados importantes que después pueden utilizarse para resolución de problemas.

P4:Interno

P4

P4

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CM)

MODO EVOLUCIÓN

6.Cuando ya veíamos que mecánicamente hacían las cosas, ya nos parecía que habían aprendido.

8.Yo nunca he explicado (la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado)...lo más fácil ha sido eso: así se resuelve y...Como siempre hemos ido a la parte mecánica de las matemáticas...Cuando empecé,...me gustaba ir deduciéndola,...(pero) poco a poco iba uno desechando toda esa teoría, iba uno nada más que a lo que después iban a utilizar los alumnos.

10.Que comprendan la idea intuitiva o idea geométrica, pero también todo lo que sea las deducciones de fórmulas o demostraciones de teoremas.

34.También lo he explicado (la irracionalidad de Ö 2),... pero no una demostración...tan matemática...como ésta [por reducción al absurdo]...(Con)la maquinita..., una forma poco correcta de decirlo, ¿no?,... le dan a la expresión decimal y...sale exacto, pero yo ya les digo que ...no hay secuencia.

35.La actitud principal es...la capacidad de razonar de la persona,...más que el saber, más que el conocimiento que tenga de muchas partes de la matemática.

3".Sí se puede hablar de pruebas matemáticas. Son conclusiones a las que se llega mediante razonamientos matemáticos.

4".El primer fin de la matemática como ciencia es el razonamiento.

IN5:Proc.de creación y uso de alg. P.v.pragmát.

IN5

P7:Razonamiento lógico

P7

P7

P7

P7

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE PG

CATEGORÍAS

IND\MODELO

INSTRUMENT.

PLATÓNICO

RES.PROBLEM.

TIPO DE

CONOCIMIENTO

1

*

2

*

3

*

FIN

4

*

MODO

DE

EVOLUCIÓN

5

*

6

*

7

*

(Cuadro 29)

El gran equilibrio entre los modelos instrumentalista y platónico en cuanto a la cantidad de indicadores y unidades de información de cada uno, unido al hecho de que la primera categoría es claramente instrumentalista, la segunda platónica y la tercera más bien inclinada al modelo platónico, aconseja situar a PG entre los mencionados modelos, IN-P, sin expresión alguna de predominio por parte de ninguno de estos modelos

IV.6.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE PG

La escasa y pobre información proporcionada hace suponer su falta de formación y reflexión sobre aspectos epistemológicos.

TIPO DE CONOCIMIENTO

En esta categoría la fase de consenso ha aportado información sobre un indicador (no se disponía inicialmente) y confirmado la tendencia de PG.

Aunque los conceptos y los valores racionales, derivados éstos del grado de significatividad de su estructura, son elementos a considerar en el conocimiento matemático, para PG los elementos que conforman el núcleo son los resultados, entendidos como un conjunto de reglas y herramientas, sin una vinculación teórica (conceptual) ni práctica determinada.

Concibe la matemática como un conjunto de resultados, de marcado carácter utilitario, cuyas veracidad y existencia no están sujetas a discusión o revisión.

FIN

Su información, tanto en las unidades como en el consenso, apunta con claridad al modelo platónico. De esta forma, para PG el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas.

MODO DE EVOLUCIÓN

En esta ocasión el consenso también ha aportado información sobre uno de los indicadores relativos al proceso de construcción del conocimiento matemático, del cual no se había extraído información inicialmente.

Desde una perspectiva pragmática, ve en la creación y uso de algoritmos el principal impulsor de la construcción del conocimiento matemático.

El consenso ha mostrado que para él el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos.

Finalmente, piensa que el instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es el razonamiento lógico (basado en una teoría axiomática).

IV.6.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

IV.6.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

DESCRIPCIÓN

Tras dibujar un romboide, aborda el caso del cuadrado, viendo que verifica la fórmula. A continuación, demuestra que el único rectángulo que verifica la fórmula es el cuadrado. Después pasa al rombo, comprobando que también cumple la fórmula.

No prosigue el estudio con los cuadriláteros, sino que decide atacar la segunda parte por inducción.

Dibuja un octógono inscrito en una circunferencia con sus triángulos centrales y algunas diagonales y pasa a estudiar el pentágono.

Calcula el nº de diagonales del pentágono, así como la medida de sus ángulos interiores y centrales, llegando a calcular el área de cualquier triángulo central en función de la mitad del ángulo central y del lado, obteniendo así también el área del pentágono. Comete un pequeño error, al no dividir por 2 en la expresión del área del triángulo.

Seguidamente, descompone el pentágono en tres triángulos, uno de cuyos vértices es el mismo vértice del pentágono. Después obtiene el área de estos triángulos, apareciendo la longitud del lado en las expresiones, además de una diagonal y el ángulo central.

VALORACIÓN

Parece dibujar el romboide para recapacitar sobre el enunciado. Su decisión, olvidando de momento el romboide, de ir comprobando con figuras en orden de complejidad creciente es acertada.

En el rombo se aprecia un error de tipo lógico, pues, en realidad, demuestra que, si A=Dxd/2, entonces el área del triángulo mitad es A_T=Dxd/4, y esto es cierto.

Se echa en falta la comprobación con otros cuadriláteros, lo que no efectúa, según la entrevista, por no recordarlos. De esta forma, da la primera parte por concluida. Como él mismo dice después durante la entrevista, da palos de ciego, en el sentido de que no trata de extraer alguna característica que le permita asegurar de forma general para qué cuadriláteros es válida la fórmula.

Ya en la segunda parte, piensa en inscribir los polígonos en una circunferencia, efectuando una buena decisión de control al suponer que eso no le ayudaría para la cuestión de las diagonales.

Aunque el planteamiento general es correcto (estudiar el pentágono a ver si se puede generalizar con lo obtenido en el cuadrado; si no, estudiar el exágono), se introduce en la ejecución de algunos cálculos sin preguntarse si serán necesarios; en concreto, el cálculo del área del pentágono en función del lado, a partir del área de los triángulos centrales, no sirve para nada. De hecho, parece haber perdido el norte, sobre todo a tenor de los dos siguientes detalles:

- Cuando termina el protocolo, el área de un triángulo está expresada en función de una diagonal, pero las otras dos áreas quedan en función del lado.

- Preguntado cómo seguiría, si tuviera tiempo, dice que seguiría dividiendo el pentágono hasta que intervinieran todas las diagonales. No se ha percatado de que, en el pentágono, todas las diagonales miden lo mismo y de que lo que importa es sólo la medida, no la diagonal.

No revisa la ejecución, ni se hace una idea global del proceso, lo que probablemente le hubiera llevado a caer en la cuenta de lo que de verdad se pretendía. Además, se encuentra satisfecho con el control de progreso efectuado, basado en la frecuente aparición de 36 grados y muchos triángulos isósceles en el pentágono, lo cual le da confianza. Es obvio que se trata de un control de progreso bastante ingenuo. No le sale nada que no salga en cualquier problema sobre polígonos, o pentágonos en particular, regulares, pero esto no quiere decir que marchen bien las cosas, pues hay que buscar regularidades e intentar que todo venga en función de la diagonal, lo que parece haber olvidado el resolutor.

En suma, el protocolo parece ausente de cualquier organización del tiempo, abordando diversas ejecuciones sin un rumbo claro, con la esperanza aparente de que la solución surja en algún momento. No parece haber captado el resolutor la estructura del problema, al menos de la segunda parte, y muestra fallos en la retención de información matemática. Se ha basado en detalles irrelevantes a la hora de ver si progresaba en la solución y, en cuanto a la confianza en sí mismo, más bien parece desprenderse una indiferencia ante el hecho de resolver o no el problema.

IV.6.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

DESCRIPCIÓN

Lee 3 veces el enunciado, tras lo cual no saca ideas en claro.

A continuación piensa que podría usar la idea de la descomposición decimal, pero no sabe para qué.

La idea que plasma por escrito es la de definir una función de R ¹¹ en R que asigne a cada 11-upla la suma de sus elementos y tratar de ver que dicha función no es inyectiva, pero lo tacha, pues cae en la cuenta de que eso no llevaría a la solución.

Abandonado, por el momento, el estudio funcional, elige un conjunto de 11 números al azar y empieza a calcular las correspondientes sumas. Encuentra dos sumas iguales, pero con un sumando en común, en concreto dos sumas que dan 501, aunque la segunda suma es errónea, ya que corresponde a 500+11. Sigue efectuando cálculos un poco más y luego los clasifica por centenas, tras lo cual afirma que sería muy largo seguir comprobando en la búsqueda de un contraejemplo que incluso podría no existir.

Vuelve al tratamiento funcional, considerando un conjunto A formado por 0 y 11 números no mayores que 1000 y definiendo una función real f con dominio en A¹¹. Su idea es aplicar teoremas de isomorfía, para lo que demuestra que f(a+b) = f(a)+f(b), interrogándose después por la estructura de (A¹¹,+) y observando que no es de grupo, lo que concluye el protocolo.

VALORACIÓN

Hay un detalle que salta a la vista en el protocolo, cual es la cantidad de tiempo invertido entre las grabaciones y los momentos en los que afirma no ocurrírsele nada.

Como expresa en la entrevista ("...no he llegado a pensar en el después, sino en lo que iba saliendo..."), no ha existido organización temporal alguna. A pesar del tiempo empleado sin escribir, no ha llegado a ningún planteamiento claro. Dicho tiempo tendría que haber sido empleado en diseñar una estrategia plausible, con una definición clara de objetivos y, al mismo tiempo, asequible, dado el estado de su conocimiento.

Pasando ya al análisis secuencial del protocolo, es de resaltar que de las dos principales ideas que tiene al principio (sistema decimal y tratamiento funcional), elija la segunda, que supone un estudio en profundidad de las características de la función. Este hecho sugiere dos aspectos: uno es la falta de planteamiento sobre la disponibilidad de su conocimiento, la cual parece estar bastante lejos de lo deseable para abordar con éxito el problema ("...que tendría hasta que recordar esos teoremas de isomorfía..."); el otro es la sensación de seguridad que le da el poseer una regla o un algoritmo que le pueda resolver el problema, pues, como se ve a lo largo del protocolo (sobre todo a lo largo de la parte que queda entre los dos estudios funcionales), no dispone de estrategias heurísticas. Preguntado incluso sobre si pensó abordar el problema en el caso de que fueran 2, 3 ó 4, en lugar de 11, su respuesta hace ver con nitidez que simplificar el problema no pasó por su cabeza ("No sé por qué pensé que el número 11 era idóneo"); asimismo, esta respuesta delata su aversión a profundizar en las condiciones del problema, ya que, si 11 era idóneo o así lo intuía, tendría que haber intentado sacar alguna consecuencia de ese hecho, es decir, tendría que haber explotado más el papel del 11.

Es adecuado el abandono de la función definida inicialmente, pero se echa en falta algún comentario sobre la posibilidad o dificultad de definirla de otra manera para que se adaptara al enunciado, antes de efectuar el cambio de perspectiva.

En cuanto a la elección de los números, el proceder es bastante ingenuo, creyendo que la solución se le podría presentar por azar. En este caso, también es lógico el abandono, pero de nuevo se hace patente el hecho de no haber captado la estructura del problema. En ningún lugar del protocolo hay una traducción de las condiciones de elección de dichos números y, cuando se ha hecho (inyectividad de la primera función), se ha errado. Está ausente, pues, la búsqueda de un ejemplo, con números, en cuya selección se vayan imponiendo las condiciones del enunciado.

El estudio funcional final goza del detalle positivo de introducir el 0 para considerar sumas de menos de 11 números como sumas de 11 números, pero pone de manifiesto lo que ha sido denominador común de los tres intentos de abordaje a lo largo del protocolo, la falta de planteamiento de viabilidad de la estrategia, la ausencia de reflexión sobre su conveniencia, ya que primero define la función y demuestra una propiedad, postergando la cuestión sobre la estructura del par (A¹¹,+) ("...no me he parado a valorarlas -las estrategias-, simplemente lo que se me ha ocurrido lo he intentado").

En suma, un protocolo caracterizado por la ausencia de organización temporal, la incapacidad de imponer las condiciones del enunciado, la falta de reflexión sobre la conveniencia de cada estrategia y la manifestación de la falta de disponibilidad de recursos heurísticos.

Se centra en recursos inútiles, no habiendo encontrado la clave de algún progreso significativo en la resolución.

IV.6.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

DESCRIPCIÓN

Inicialmente efectúa tres lecturas del enunciado y ya no vuelve a leerlo. Se debe a que, tras la primera lectura, no lo entiende bien, no consigue interpretar de momento lo de "original" y tampoco tiene claro lo que le pide el enunciado.

Decide abordar la resolución según el número de cifras. En primer lugar estudia el caso de una cifra, en el que, basándose en el hecho erróneo de que un número que divide a un producto, divide a uno de los factores, llega a la conclusión de que las soluciones son 2 y 5, olvidándose del 1 como divisor de 10. A continuación, después de esta pequeña deducción, pone algunos ejemplos "para quedarme contento...Para no seguir, por si estaba mal".

Luego aborda el caso de dos cifras, dentro del cual se plantea la posibilidad de trabajar directamente con números de alguna determinada forma, pero lo ve complejo y decide seguir con el razonamiento iniciado. Este caso lo da por terminado dando las soluciones, 25,20 y 50, entre las que falta el 10, y comprobando con algunos ejemplos, al igual que hiciera en el primer caso. Le extraña la aparición del 0 (no había aparecido en el caso de una cifra) y revisa el primer caso.

Seguidamente se enfrenta al caso de tres cifras con la intención de descubrir alguna regla general. Este caso le sirve para plantearlo de forma general (n cifras), llegando a la conclusión de que las soluciones son los divisores de 10ⁿ con n cifras. No obstante, vuelve al caso de tres cifras a calcular los divisores de 1000, a ver si encuentra una regla sobre la formación de los números en función de la distribución de sus cifras.

VALORACIÓN

Se observa una dificultad inicial en la comprensión del enunciado, teniendo problema con el entendimiento de algunas palabras y con el texto en general. Es, no obstante, positivo que relea el enunciado hasta que lo da por comprendido.

En el aspecto negativo de la fase inicial del protocolo hay que destacar el hecho de que no se hiciera una idea de cómo podrían ser las soluciones, al menos algunas de ellas, introduciéndose en un estudio por casos sin un tanteo previo.

Respecto a la mencionada descomposición del problema en casos, es organizada, pero bastante pesada, reiterando el razonamiento (casos 1,2,3 y n cifras), lo que da la impresión de tener dificultades en abordar casos generales, así como en los aspectos deductivos.

Una muestra de ello es la ejemplificación posterior al estudio de una cifra, que, más que una concreción de la solución en casos particulares, parece una confirmación de que el razonamiento empleado no ha tenido fallos, lo cual necesita, ya que se halla inseguro. Hay que observar que, para el número 2, se pone nada menos que 4 ejemplos. Además, debido a que, en realidad, lo que ha demostrado es que si wx es divisible por x, entonces x=2 ó x=5, es necesario que justifique que se trata de una doble implicación, o sea, que 2 y 5 son los únicos números de una cifra que lo cumplen, pero este detalle le ha pasado completamente desapercibido. Es de mencionar, por otra parte, que dicha ejemplificación no le descubre el error cometido al inferir que x divide a 10 ó x divide a w del hecho de que 10w/x pertenece a Z, donde aplica un resultado referente a números primos. De todas formas, esta incorrección no influye para nada en la obtención de las soluciones, donde el hecho de faltar el 1 puede ser interpretado como un despiste.

El caso de dos cifras destila también la falta de planteamiento de necesidad de "cerrar" el argumento (doble implicación) y confirma su inseguridad en los argumentos deductivos.

El parón efectuado dentro del estudio del caso de dos cifras para ver si podía abordar el problema pensando en una distribución determinada de las cifras es positivo, pues plantea una planificación alternativa, lo que ocurre es que la discusión de la misma se basa exclusivamente en el miedo a enfrentarse a estudios complejos. También es positiva la revisión que efectúa del caso de una cifra al creer que la aparición de la cifra 0 no le permitiría una generalización de una a dos cifras.

Termina el problema sin haber revisado la ejecución, contento con una solución en base a su forma ("un buen resultado"), en lugar de haberse planteado si es razonable. No es cuidadoso con el proceso, dejando cabos sin atar, y en ningún momento se organiza el tiempo. Es positivo, desde luego, que, después de haber encontrado la solución, vuelva al caso de tres cifras a ver si la puede expresar de otra forma.

No se ha planteado extender el resultado a otros conjuntos numéricos, aunque el enunciado daba pie a ello.

Se ha sentido bien a lo largo de la resolución, pues le agrada el Álgebra.

En definitiva, se percibe falta de confianza en sí mismo, ausencia de organización temporal, dificultad en fundamentar el proceso, ausencia de intuición y problemas en la retención de información matemática, además de un encorsetamiento en la consideración exclusiva de los números enteros.

No ha explotado suficientemente los recursos, pudiéndole haber sacado mucho más partido al problema.

IV.6.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

"...Generalmente incómodo...Intento superar esta adversidad, sin darle importancia...". Es la respuesta a la cuestión (C1) sobre su comportamiento cuando es observado, lo que muestra una distorsión que procura superar, aunque no con facilidad.

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

3) Los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

"...Generalmente en solitario, pero sin descartar una ayuda conveniente..." (respuesta a C3). Es lo más determinante de su contestación en lo que respecta a la inclinación por el trabajo en solitario. En la segunda parte de su respuesta afirma olvidar los problemas cuando entre él y los más allegados no pueden resolverlos. Aunque este hecho supone una actitud abierta a pedir colaboración, parece, por la cita anterior, que relega dicha colaboración a casos extremos.

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

1) Existen pocos motivos que le impulsen al abordaje de algún problema, que, si acaso, sería en solitario, aunque prefiere los ejercicios.

"...No me atraen, pues tengo otras ocupaciones más atractivas para mí..." (C4).

Esta frase, junto con el siguiente extracto de la respuesta a C2,

"...no he trabajado nunca, al menos conscientemente, en resolución de problemas...",

ponen de relieve su falta de interés hacia los problemas.

Preguntado sobre el uso que hace de la resolución de problemas, no contesta absolutamente nada, dando, por tanto, mucha información de forma implícita. Asimismo dice que no puede contestar sobre su preferencia de trabajar en solitario o en grupo la resolución de problemas (C5).

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

1.4.1. Predisposición.

1) Su predisposición usual ante la resolución de problemas es de total indiferencia, por lo que no muestra interés ni por el resultado ni por el proceso de resolución.

Sus respuestas a las cuestiones 6, 8, 9 y 12 ponen de manifiesto, por una parte, los frecuentes desánimos, trabas y ganas de abandonarlo,

"...Siento todo lo que dice la pregunta [interés, desánimo, indiferencia, entusiasmo, expectativa] según sea el enunciado y de qué parte de la Matemática sea... Depende de mi estado de ánimo, de concentración, pero sobre todo del tiempo disponible, de las ganas que tenga..." (C6)
"...[Al resolver un problema] ni miedos ni complejos, sí suelen aparecer trabas..." (C9)

"...Casi siempre [tengo ganas de abandonarlo]..." (C8),

y, por otra, la falta de pudor al reconocer no dedicarse ni interesarse por el tema:

"...Cada vez me intereso menos de Matemáticas, salvo excepciones..." (C8)
"...No me lo planteo [si dispongo de conocimientos suficientes para abordar un problema]... Si son insuficientes,... lo dejo..." (C12).

Esta actitud se ve confirmada en lo que manifiesta en la entrevista del tercer problema:

"...En el principio...en pensar..., bueno, que se me ocurra alguna idea (jj). Se me ocurrió la primera y me puse a hacerla, ya no pensé en más..." (3U1)
"...Me he encontrado bien, no me, no lo he rechazado (jjj), me he encontrado bien..." (3U7),

esgrimiendo una sonrisa cómplice de su mencionada actitud más habitual.

1.4.2. Confianza en sí mismo.

2) Posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver el problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera. Si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo .

Los comentarios sobre su actitud ante la resolución de problemas y el hábito de enfrentarse a ellos, unidos a su respuesta a C23,

"...Cada año que pasa tengo menos habilidad en resolver problemas de Álgebra [área de más confianza], pues voy perdiendo conocimientos...",

nos llevan a pensar que posee muy poca confianza en sí mismo.

En el primer problema parece desprenderse una indiferencia ante el hecho de resolver o no el problema, por encima de la confianza o desconfianza en sí mismo. No obstante, en la entrevista deja meridianamente clara su actitud:

"...Yo en el momento...que veo un problema de geometría, me parece que...no lo voy a hacer... Después algunos me han salido, lo he hecho porque son muy fáciles...Tengo siempre esa sensación..." (1U5)

Aún es más definitorio lo que podemos extraer de la entrevista posterior al tercer problema, en el que se encuentra a gusto por ser de Álgebra, asegurando que en otras áreas

"...no es que no consiga la concentración, sino que no quiero saber nada (jj)..." (3U8)

En el segundo problema puede observarse la sensación de seguridad que le da el hecho de poseer una regla o un algoritmo que le pueda resolver el problema (lo que trata de conseguir desde el principio con el enfoque funcional, nada profundo por cierto). Este hecho, interpretado nuevamente a la luz de su actitud ante los problemas, indica una falta de confianza en sus posibilidades a la hora de enfrentarse a verdaderos problemas.

El tercer protocolo muestra miedos a introducirse en estudios complejos (parón efectuado en el caso de dos cifras) y la escasa fe que posee en sus razonamientos,

"...[Tras deducir un resultado]pongo unos ejemplos...como seguridad..." (3U3) (parte de la entrevista correspondiente a los ejemplos que trata para el caso de una cifra -E1),

detectándose, por consiguiente, la falta de confianza antes mencionada.

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

1) Muestra una falta de conocimiento a nivel elemental, a veces comparable al que pueden mostrar sus alumnos.

En el primer problema muestra falta de conocimiento a nivel elemental, poniendo así de manifiesto su pobre capacitación matemática para la RP, ya que no indaga sobre las propiedades básicas de los cuadriláteros con idea de completar el repertorio (aunque no pudiera asignar nombres):

"...me vino el romboide y...no sé si vendría alguno más... ¿Hay alguno más? Romboide... [Bueno, trapecio] ¡Ah, trapecio, sí, sí, sí! No me acordaba del trapecio ahora para nada..." (1U3),

lo que hace que no prosiga el estudio de los cuadriláteros (E2). Análogamente, evidencia sus carencias en geometría cuando afirma, como ya se ha referido:

"...Yo en el momento...que veo un problema de geometría, me parece que...no lo voy a hacer..." (1U5).

Algo que corrobora la superficialidad de sus conocimientos es el hecho de creer que con unas pocas lecturas del enunciado ha adquirido una buena comprensión de la situación.

En el segundo problema, haber elegido el tratamiento funcional antes que el uso de propiedades del sistema decimal, siendo esto mucho más asequible, denota la inoperancia de su conocimiento a nivel elemental.

En el tercer problema, da la impresión (casos 1, 2, 3 y n cifras) de tener dificultades en abordar casos generales o complejos, así como en los aspectos deductivos. Dichas dificultades se hacen más patentes cuando aplica indebidamente un resultado válido para números primos (E2).

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.2) El papel de la memoria es imprescindible, provocando su ausencia inseguridad y falta de motivación.

Preguntado sobre el papel de su memoria en la resolución de problemas, escribe:

"...No lo sé, he trabajado poco en resolución de problemas..." (C19),

aportando información (aunque no en relación a lo que se le pregunta) precisamente por la carencia de ella.

El primer protocolo sí aporta algo de información directamente. El hecho de estancarse, de no proseguir el estudio con más cuadriláteros, porque no recuerda más (como ya se ha constatado), en lugar de ir variando las condiciones, pone de relieve la importancia concedida a la memoria (su ausencia distorsiona la evolución de la resolución).

El segundo protocolo no deja traslucir nada sobre el papel de la memoria, ya que no ha llegado a desarrollar gran cosa. Sus ausencias de información matemática (Teoría de conjuntos, teoremas de isomorfía) no informan tampoco de ello.

Del tercer problema hay que decir lo mismo, por lo que, como conclusión, no se dispone de suficiente información directa para respaldar una calificación. Ahora bien, dada su actitud hacia la resolución de problemas y los pocos datos anteriores, no parece descabellado pensar que se ve bastante condicionado por la memoria de resultados.

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa.

3) La comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

En el primer problema cree haber obtenido una buena comprensión con el leve esfuerzo de leer unas pocas veces el enunciado, no profundizando en las condiciones o implicaciones de la situación propuesta:

"...Creo que un par de veces nada más [he leído el enunciado]...mucha atención no le he prestado, porque está muy claro..." (1U1)

De todas formas, hay que decir que comprende el enunciado, aunque sin profundidad.

En el segundo problema se echa en falta una manipulación inicial, antes de planificar ninguna estrategia. Lee tres veces el enunciado (como afirma por dos veces en la entrevista), lo que dice algo positivo de su interés por comprender la situación, aunque éste no va más allá de lo que le pueda sugerir una lectura tras otra, sin ánimos de profundizar de verdad en las condiciones. Esto le lleva a una comprensión escasa, teniendo escollos para plantear una estrategia (E2). En suma, se hace patente el hecho de no haber captado la estructura. En ningún lugar del protocolo hay una traducción de las condiciones de elección de dichos números y, cuando se ha hecho (inyectividad de la primera función) se ha errado.

Se observa una dificultad inicial en la comprensión del enunciado del tercer problema, teniendo dificultad con el entendimiento de algunas palabras y con el texto en general. A tal respecto, es positivo que lea tres veces el enunciado al principio, pero ya no vuelve a leerlo más, dando por entendida la situación, lo que muestra su ingenuidad como resolutor, además de su escaso interés por estas situaciones. No sabe si ha profundizado lo suficiente en las condiciones del problema o si algún dato se le quedó en el tintero. No obstante, consigue una comprensión significativa de parte del problema, no teniendo idea de la posible extensión del conjunto numérico.

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

2) Existe un atisbo de planificación, aunque irrelevante para la resolución.

Confiesa "dar palos de ciego" al comienzo de la resolución del primer problema, en el sentido de que no trata de extraer alguna característica que le permita asegurar de forma general para qué cuadriláteros es válida la fórmula (E2), evidenciando una falta de planificación, un simple hacer hasta concluir el tiempo. No se plantea la necesidad de poseer el número de diagonales y lo calcula (E3) tan sólo porque en el problema intervienen las diagonales, ya que no tiene seguridad de que el número de diagonales intervenga en la fórmula (sólo piensa que sí, pero debería haberse asegurado antes de introducirse en cálculos). Aunque el planteamiento general es correcto (estudiar el pentágono a ver si se puede generalizar con lo obtenido en el cuadrado; si no, estudiar el exágono), se introduce en la ejecución de algunos cálculos sin preguntarse si serán necesarios; en concreto, el cálculo del área del pentágono en función del lado, a partir del área de los triángulos centrales, no sirve para nada. De hecho, parece haber perdido el norte, sobre todo a tenor de los dos siguientes detalles:

- Cuando termina el protocolo, el área de un triángulo está expresada en función de una diagonal, pero las otras dos áreas quedan en función del lado.

En suma, aborda diversas ejecuciones sin un rumbo claro, con la esperanza aparente de que la solución surja en algún momento.

Por otra parte, el apoyo en lo intuitivo, para ser el primero un problema de geometría, es mínimo, predominando el enfoque lógico algebraico. Algo parecido sucede en el segundo problema, donde la tendencia intuitiva mostrada en la segunda estrategia (E3) es cortada de inmediato en busca de fórmulas o reglas que permitan resolver directamente el problema, lo que confirma, además de la poca confianza en sí mismo como resolutor de problemas, el escaso uso de la intuición como algo útil de cara a planificar una estrategia de resolución. En el tercer problema es prácticamente inexistente el empleo de la intuición. Se echa en falta un tanteo previo en busca de ideas sobre las soluciones.

A pesar de suponer en el segundo problema que no recordaba resultados (como los teoremas de isomorfía) necesarios para el desarrollo de la estrategia funcional, abunda en ella, ya que "...es la única idea que tenía..." (2U4).

Esta actitud conduce a que no disponga en ningún momento de un camino a seguir y que lo poco planificado sea ineficaz. Más aún, ni se le ocurre simplificar el problema, a pesar de las dificultades por las que ha atravesado la resolución, poniendo de relieve la ineficacia de la planificación:

"...No sé por qué pensé que el número 11 era el idóneo..." (2U5) (contestación a la pregunta sobre si pensó abordar el problema en el caso de que fueran 2, 3 o 4 números, en lugar de 11)

En el tercer problema, el empleo de problemas similares se ciñe al recuerdo de problemas en los que se usa la descomposición de los números según el lugar de las cifras:

"...he recordado problemas de ese tipo,...donde...se utilizaba esta descomposición de los números según el lugar de las cifras..." (3U5).

Conjetura en base a la frecuente aparición de las cifras 2 y 5, no profundizando más en su porqué. El parón efectuado dentro del estudio del caso de dos cifras (E3) para ver si podía abordar el problema pensando en una distribución determinada de las cifras es positivo, pues plantea una planificación alternativa, lo que ocurre es que la discusión de la misma se basa exclusivamente en el miedo a enfrentarse a estudios complejos, como antes se mencionó:

"...Me quedo ahí un rato [minutos 15-20] sin saber a donde ir y, bueno, por este camino sí sabía ir, porque era el mismo que había hecho antes, pero de momento no, no me puse a escribirlo, y me puse a pensar si se podía, si directamente se podía empezar a trabajar con números...eso, lo que te he dicho, que estén formados con 2, 5 y 0, pero ¡nada!, no se ocurrió nada, todos es... Además, que no sabía cómo, cómo meterlo mano a eso; al final pensé: digo, más o menos, lo mismo, después, quizás, por aquí llegue a ver cómo están formados..."(comienzo 3U2).

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

3) La ejecución es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

En la ejecución del primer problema se echa en falta el tratamiento del otro sentido de la implicación que conduce a que el área del triángulo sea la cuarta parte del producto de las diagonales del rombo, a partir de que el área del rombo es el semiproducto de las diagonales. En realidad, se trata de un error de tipo lógico (como ya se ha comentado), pues, en realidad, demuestra que, si A=Dxd/2, entonces el área del triángulo mitad es A_T=Dxd/4 (E2), y esto es cierto. Además, se introduce en la ejecución de algunos cálculos sin preguntarse si serán necesarios; en concreto, el cálculo del área del pentágono en función del lado, a partir del área de los triángulos centrales (E3), como ya se ha dicho, no sirve para nada. En dicho cálculo comete un error achacable a un lapsus (no divide por 2 al calcular el área). Por otra parte, el hecho de no tratar de extraer alguna característica que le permita asegurar de forma general para qué cuadriláteros es válida la fórmula (primera parte) pone de relieve su incompetencia a la hora de generalizar. En resumen, una ejecución que alterna la correspondencia con el plan con el cálculo arbitrario.

El segundo problema no aporta información, ya que no sale de la planificación. Hay un uso de símbolos matemáticos, pero ningún desarrollo con ellos, saltando de estrategia en estrategia, lo que hace pensar en la inadecuación de su conocimiento a la tarea del problema o, de nuevo, en la dificultad de manejar símbolos (no obstante, esto no es demasiado claro en este protocolo).

La descomposición del tercer problema en casos, es organizada, pero bastante pesada, reiterando el razonamiento (casos 1,2,3 y n cifras), lo que da la impresión de tener dificultades en abordar casos generales, así como en los aspectos deductivos. Parece temer, por consiguiente, abordar situaciones no elementales, planteándolas todo lo más, pero abandonando su ejecución:

"...no sabía cómo meterle mano a eso..., quizás siguiendo por este camino también primero, así directamente también se puede ver...(jj) no sé. Ya es que después me he quedado aquí..." (final 3U2).

No posee confianza en sus razonamientos, por lo que, tras obtener un resultado por procedimientos deductivos, se pone bastantes ejemplos de comprobación. Una muestra de ello es la ejemplificación posterior al estudio de una cifra, que, más que una concreción de la solución en casos particulares, parece una confirmación de que el razonamiento empleado no ha tenido fallos, lo cual necesita, ya que se halla inseguro. Hay que observar que, para el número 2, se pone nada menos que 4 ejemplos. Además, debido a que, en realidad, lo que ha demostrado es que si wx es divisible por x, entonces x=2 ó x=5, es necesario que justifique que se trata de una doble implicación, o sea, que 2 y 5 son los únicos números de una cifra que lo cumplen, pero este detalle le ha pasado completamente desapercibido. Es de mencionar, por otra parte, que dicha ejemplificación no le descubre el error cometido al inferir que x divide a 10 ó x divide a w del hecho de que 10w/x pertenece a Z, donde aplica un resultado referente a números primos. De todas formas, esta incorrección no influye para nada en la obtención de las soluciones, donde el hecho de faltar el 1 puede ser interpretado como un despiste. El caso de dos cifras destila también la falta de planteamiento de necesidad de "cerrar" el argumento (doble implicación) y confirma su inseguridad en los argumentos deductivos, mostrando dificultad en fundamentar el proceso. No obstante, la ejecución es plenamente coherente con el plan diseñado y le permite aportar una solución global al problema (E5).

La discrepancia reinante en los protocolos hace que, en esta ocasión, la valoración obedezca a un comportamiento medio, no a lo que hubiera sido deseable (una constancia en su actuación a lo largo de los protocolos).

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

2) El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

En el cuestionario (C14) asegura hacer uso de la revisión, más que de los cálculos, del "...planteamiento...y las conclusiones parciales...".

En el primer protocolo hay que resaltar el hecho de no haber revisado la ejecución (enfatizado por los errores de los episodios E2 y E3) ni la corrección de cada paso, ni se hace una idea global del proceso (lo que expresa lacónicamente en la entrevista). Probablemente dicha revisión le hubiera llevado a caer en la cuenta de lo que de verdad se pretendía. En la segunda parte, la revisión se ciñe a la estética de los resultados. En efecto, se encuentra satisfecho con el control de progreso efectuado, basado en la frecuenta aparición de 36 grados y muchos triángulos isósceles en el pentágono, lo cual le da confianza, reduciendo, por tanto, la revisión, a una conformidad con la buena apariencia de los resultados que van saliendo.

En el segundo problema revisa su planteamiento funcional (E4) de forma inmediata, casi como acto reflejo al darse cuenta de la inviabilidad. Por lo demás, no concede gran importancia al control de progreso hacia una solución, por lo que la revisión no es significativa:

"...no he llegado a pensar en el después, sino en lo que iba saliendo..." (final 2U6).

En el problema 3 la revisión de la ejecución es escasa y carente de profundidad, pues se limita al choque que le produce algún resultado, siendo positiva la revisión que efectúa del caso de una cifra al creer que la aparición de la cifra 0 no le permitiría una generalización de una a dos cifras:

"...cuando llego al resultado de dos cifras, que, como me sale el número 0, que antes no me había salido (me voy al caso 1 y aquí no me salió), era por ver esa, digamos, esa idea de, de que por qué se me repite la cifra 2 y 5 y el 0, y el 0 no me salió aquí; y entonces me dio por pensar, mira, ¿antes por qué no me salió el 0?, fui a revisar esto y después ya pensé: pero. bueno, es un caso trivial, porque no se puede dividir por 0..." (3U12)

Por otra parte, como no espera ninguna solución, no se ha planteado cómo puede ser (porque no le importa), el control de progreso se limita a una conformidad de los ejemplos con los resultados deductivos, no pensando en qué medida se aproximan a la solución:

"...de principio...no esperaba nada, no sabía lo que me iba a salir...en el momento que metía los ejemplos, me estaba quedando conforme con las cosas que estaban saliendo..." (3U11).

2.5. Nivel de acabado de la solución.

1) Se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

La información es escasa; no obstante puede extraerse la respuesta

"...No suelo buscar otras formas [de solución]..." (C15a).

Por otra parte, la fundamentación del proceso de resolución del primer problema es débil y hay un fallo de racionalidad (error de argumentación lógica) cuando obtiene el área del triángulo a partir de la fórmula del área del rombo (E2). Por lo demás, no se ve nada positivo que resaltar, como ocurre en el segundo problema, ya que no llega a ninguna solución.

Respecto al tercer protocolo, es el más claro en este caso. Intenta, aunque no lo consigue por la premura del tiempo o por su falta de organización temporal, expresar de otra forma la solución, volviendo al caso de tres cifras a ver si la puede expresar de otra manera (E6). Lo termina contento con una solución en base a su forma,

"...Sí, me parecía que era, que daba un (jj) buen resultado..." (3U6),

en lugar de haberse planteado si es razonable. En general, no es cuidadoso con el proceso, dejando cabos sin atar (E1, donde falta el 1; E3, donde falta el 10).

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

2) Escasa, le cuesta trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

Preguntado sobre si se plantea si dispone de conocimientos suficientes cuando aborda un problema, responde:

"...No me lo planteo, intento abordarlo con mis conocimientos..." (C12),

poniendo de relieve la inexistencia de reflexión sobre los requerimientos del problema.

Esto se ve confirmado en el primer problema, donde no efectúa ningún contraste y sólo constata su disposición hacia los problemas de geometría:

"...en el momento...que veo un problema de geometría, me parece que...no lo voy a hacer..." (1U5).

Afirma, además, que

"...mucha atención no le he prestado [al enunciado], porque está muy claro..." (1U1),

por lo que poco más puede inferirse de la importancia otorgada a una buena comprensión, ya que suponía disponer de ella.

Al comienzo del segundo problema piensa que no corresponde a sus conocimientos, pues se debería abordar usando elementos de la teoría de conjuntos,

"...lo cual desconozco totalmente..." (2U2),

pero este hecho, más que contraste inicial, debería enmarcarse en la constatación automática de un hecho provocado, no por el enunciado, sino por su forma de abordar el problema. Lee tres veces el enunciado (como afirma por dos veces en la entrevista), lo que dice algo positivo de su interés por comprender la situación (ya resaltado en el indicador de obtención de una representación significativa), aunque éste no va más allá de lo que le pueda sugerir una lectura tras otra, sin ánimos de profundizar de verdad en las condiciones, percibiéndose una sensación de impaciencia por introducirse dentro de una ejecución, aunque después se vea su inviabilidad.

En el tercer problema lee tres veces el enunciado, al principio (E1), pero ya no vuelve a leerlo más, dando por entendida la situación, lo que muestra su ingenuidad como resolutor, además de su escaso interés por estas situaciones. No sabe si ha profundizado lo suficiente en las condiciones del problema o si algún dato se le quedó en el tintero, no pareciendo importarle mucho, lo que muestra indiferencia en la obtención de una representación significativa y, desde luego, desinterés por invertir en ello mucho tiempo y energías:

"...no lo sé [si he profundizado lo suficiente en las condiciones del problema], lo que sí quería profundizar un poquito más en...la distribución de las cifras..." (3U4).

Se constata finalmente el hecho de introducirse sin más en lo primero que se le ocurre, lo que indica falta de contraste y planteamiento reflexivo:

"...Se me ocurrió la primera y me puse a hacerla, ya no pensé en más..." (3U1).

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

1) El resolutor no concede ninguna importancia a la planificación, pensando que probablemente incluso una ejecución desorganizada puede aportar la solución.

El hecho de abordar diversas ejecuciones en el primer problema sin un rumbo claro (E3), con la esperanza aparente de que la solución surja en algún momento, explicita la importancia que concede a la planificación:

"...No sé [por qué utilizo esos ejemplos],...así se me han venido a la cabeza y así lo he ido viendo..." (1U2)
"...Esto era como dar palos de ciego...y aquí [segunda parte] pensé que por este camino se podía llegar a [alguna solución]..." (1U4)

Efectivamente, parece no importarle ir dando palos de ciego, pues tampoco trata de obtener plan que englobe el abordaje de todos los casos estudiados en la primera parte (E2).

El segundo protocolo es un caso que evidencia su comportamiento relativo a este indicador. Aunque plantea tres estrategias diferentes (E2, E3 y E4), éstas no se han debido a una minuciosa planificación, sino a un deseo de no estar parado, volcándose literalmente sobre la ejecución (elección superficial de los números (E3):

"...no he pensado mucho [la elección de los números]... Digo: "Los voy a coger de una forma rara"... No siguiendo ninguna regla..." (2U1)),

a pesar de que ésta es prácticamente inexistente, ya que las estrategias son inmediatamente abortadas por su inviabilidad. La ausencia de manipulación inicial ha motivado el desconcierto de la planificación.

En el tercer problema, mejor estructurado que los anteriores, se pone de manifiesto la diferencia entre la consecución de una planificación aceptable (E1: abordaje según el número de cifras) y la importancia que el resolutor concede a ésta:

"...Se me ocurrió la primera [idea] y me puse a hacerla, ya no pensé en más..." (3U1)

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

2) La explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

En el primer protocolo los comentarios son narrativos, no aportando nada relevante al proceso, salvo los efectuados al comienzo de E4, donde detalla sus intenciones. En general, se echa en falta una aclaración de la razón de ejecutar con los ejemplos elegidos; ahora bien, donde esta falta se hace más acuciante es al comienzo de E3, donde sitúa casi al mismo nivel de la hoja tres dibujos muy distintos y una fórmula sin explicar sus intenciones.

En el segundo no aparece el criterio de selección de los números que elige. Por lo demás, hay muy poca ejecución, aunque puede destacarse la explicitación siguiente (E2):

"...Metido en la idea de, de la función f, definida de esta forma, se me ocurre, por reducción al absurdo...intentar ver si llego a una contradicción, al suponer que la función f es inyectiva...es decir, si fuera inyectiva, es que a una n-upla... No, pero esta idea no vale, porque esto es la suma de los 11... la suma de los 11... y se pueden formar subconjuntos que sumen igual..."

Finalmente, en el tercer problema las explicaciones (escasas) son de corte narrativo (en realidad sustituyen a un simbolismo cuyo manejo no domina:

"...x tal que wx es divisible por x con w cq entero..." (E2)),

sin dejar claro qué se hará con el resultado de cada ejecución, a excepción hecha de la siguiente frase:

"...Veamos con los números de tres cifras, a ver si descubrimos alguna regla que se dé en general..." (comienzo de E4).

3.4. Coherencia y control del proceso.

2) La coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo control efectivo.

Al final del primer problema parece haber perdido el norte, sobre todo a tenor de los dos siguientes detalles:

- Cuando termina el protocolo, el área de un triángulo está expresada en función de una diagonal, pero las otras dos áreas quedan en función del lado.

En la segunda parte (E3), piensa en inscribir los polígonos en una circunferencia, efectuando una buena decisión de control al suponer que eso no le ayudaría para la cuestión de las diagonales. Se encuentra satisfecho con el control de progreso efectuado, basado en la frecuenta aparición de 36 grados y muchos triángulos isósceles en el pentágono, lo cual le da confianza, reduciendo, por tanto, dicho control, a una conformidad con la buena apariencia de los resultados que van saliendo. Es obvio que se trata de un control de progreso bastante ingenuo. No le sale nada que no salga en cualquier problema sobre polígonos, o pentágonos en particular, regulares, pero esto no quiere decir que marchen bien las cosas, pues hay que buscar regularidades e intentar que todo venga en función de la diagonal, lo que parece haber olvidado el resolutor. De hecho, el cálculo del área del pentágono en función del lado, a partir del área de los triángulos centrales (E3), no sirve para nada, lo que da idea de la inexistencia de un planteamiento de control de progreso.

En suma, aborda diversas ejecuciones sin un rumbo claro, con la esperanza aparente de que la solución surja en algún momento. En la primera parte, como ya se ha citado, va haciendo las cosas tal como le van saliendo, lo que induce a pensar que le concede poca importancia al control del proceso, algo que se vería respaldado por su actitud usual ante la resolución de problemas:

"...[Has calculado el número de diagonales de un pentágono, ¿por qué lo haces?]...como estoy buscando una expresión del área en función de las diagonales,... se me viene...la idea de formar...triángulos donde intervengan... Entonces... quiero saber el número de ellas... [¿Piensas que el número puede influir en la fórmula?] Yo pienso que sí..." (1U7) (mostrando falta de fundamentación de las ideas que desarrolla)

En el primer problema, por tanto, se centra en recursos inútiles, no llegando a las claves del mismo. De hecho, no extrae ninguna conclusión de la primera parte (es decir, no explota suficientemente los recursos), y pasa a la segunda dejándola inacabada y orientada hacia unos cálculos que no sirven para nada, como ya se ha dicho.

El segundo problema parece progresar a impulsos, valorando en profundidad sólo la conveniencia de la primera estrategia (grabación E2). En el resto, sólo la creciente complicación le iba sugiriendo lo inapropiado del camino elegido, probablemente en un doble sentido: en cuanto a su plausibilidad (E3) y en cuanto a la puesta en funcionamiento de procedimientos y conceptos no disponibles por el resolutor (E4). El hecho de no hacer una buena discusión de la conveniencia de cada estrategia, saltando de plan en plan, nos lleva a suponer de nuevo que no ve importante invertir muchas energías en el control del proceso. Por ejemplo, en E4 primero define la función y demuestra una propiedad, postergando la cuestión sobre la estructura del par (A¹¹,+):

"...No me he parado...a valorarlas, simplemente...lo que se me ha ocurrido lo he intentado... He empezado las ideas sin saber muy bien si es el camino idóneo... y, cuando iban saliendo cosas, me iba encontrando con cosas cada vez más complicadas..." (2U6).

En definitiva, aunque es adecuado el abandono de la función definida inicialmente, se echa en falta un estudio en profundidad con vistas a esbozar una estrategia adecuada al problema y a su conocimiento. De hecho, haber elegido en principio el tratamiento funcional, en lugar de desarrollar una estrategia a partir del sistema decimal, supone centrarse en recursos inútiles, dado el estado de su conocimiento, aunque los corte con cierta prontitud. En definitiva, no ha encontrado ninguna clave que le permita un progreso significativo en la resolución, aunque ha terminado cortando los planteamientos sin salida.

No regula el proceso de resolución del tercer problema, llevando a cabo lo que buenamente se le ocurre, cosa tras cosa, lo que no quita que en alguna ocasión llegue a discernir entre dos posibles caminos, aunque la base de su decisión más parece ser su sensación de seguridad (múltiples comprobaciones con 1 y 2 cifras, E1 y E2) que la adecuación del planteamiento:

"...Se me ocurrió la primera [idea] y me puse a hacerla, ya no pensé en más...Aquí [entre el minuto 15 y 20] me paré más, porque no sabía si seguir en cuanto a buscar algo así general [idea de divisores análoga a la de E6]..." (3U1)
"...Al final pensé...quizás por aquí llegue a ver cómo están formados..." (comienzo 3U2).

Es decir, no ha explotado suficientemente los recursos, pudiendo haber sacado más partido al problema, ya que el planteamiento inicial del mismo (estudio de casos) es adecuado. De haber explotado esta idea, habría progresado con más contundencia, al menos hacia la solución aportada.

No obstante, el empleo de la verificación, aunque muy esporádico, indica que le concede algo de importancia al control del proceso.

3.5. Organización temporal.

1) La limitación temporal le supone un bloqueo insalvable o bien, por el contrario, no es en absoluto un factor que tenga en cuenta a lo largo de la resolución de un problema, abordando el mismo sin hacer valoración alguna de la inversión de tiempo que le pueda suponer llevar a cabo una estrategia determinada. Esto puede suponer que el plazo dado para la resolución le sobrevenga repentinamente, sin haberle sacado partido a algunos enfoques del problema.

El primer protocolo parece ausente de cualquier organización del tiempo, consistiendo en un simple hacer hasta concluir el tiempo dado.

En la entrevista del segundo problema dice incluso que

"...no he llegado a pensar en el después, sino en lo que iba saliendo..." (final 2U6),

confirmando lo que el protocolo destila, cual es la inexistencia de organización temporal alguna.

Finalmente, en la resolución del tercer problema hay una falta de organización temporal consciente:

"...Yo he ido haciéndolo y, cuando me he dado cuenta, han pasado los 40 minutos...y punto..." (3U9).

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

2) Conoce algunas estrategias de RP. La constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

La respuesta dada a la cuestión en la que se le solicita que nombre estrategias es contundente:

"...No conozco nada sobre resolución de problemas, pero me imagino que habrá que abordarlos suponiendo diferentes casos, es decir, suponiendo hipótesis previas..." (C10).

No obstante, sabe qué puede obtener del tanteo, como expresa en la entrevista correspondiente al primer problema:

"...si obtengo la expresión del cuadrado y...la del pentágono,...con la comprobación se puede ya intentar ver si puede existir algo en general..." (1U6).

Sin embargo, se trata de un conocimiento metacognitivo sin correlato habitual en la práctica, pues, en general (en los 3 problemas), se echa en falta un tanteo adecuado.

Hay algo que también se repite en todos los problemas; en concreto, el hecho de no saber qué es una conjetura (lo que no quiere decir que no las formule, como hace en el episodio E2 del segundo problema; a pesar de todo, su empleo no es tan frecuente como sería deseable):

"...Eso...¿a qué te refieres?..." (1U8) (respuesta a la pregunta "¿Has poseído en algún momento una conjetura?" de la entrevista posterior al primer problema),
"...¿Una conjetura qué es?..." (2U6) (idem segundo problema),

"...¿Eso qué es? No sé lo que es..." (3U10) (idem tercer problema).

El problema 2, además, muestra claramente su escasa disponibilidad de recursos heurísticos, haciéndose más patente entre los minutos 10 y 20, donde no llega a ningún planteamiento claro a pesar del tiempo empleado sin escribir.

No muestra interés cuando se le pregunta por las características de un experto (C18), destacando sólo la organización del problema y el hecho de ser deductivo.

Globalmente, pone en juego los siguientes heurísticos (aunque su empleo deje mucho que desear):

- Primer problema: organizar la información (comprensión), descomponer el problema, buscar regularidades (planificación).

- Segundo problema: organizar la información (comprensión), conjeturar, argüir por contradicción, considerar problemas equivalentes, tantear (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Tercer problema: organizar la información (comprensión), descomponer el problema, considerar problemas equivalentes, buscar regularidades (planificación), analizar la consistencia de la solución (verificación).

En total, un heurístico de comprensión, 6 de planificación y 2 de verificación (uno de ellas de forma frecuente en el tercer problema), pero sin tener un conocimiento consciente de su utilidad.

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

(Gráfico 11)

Es obvio que su perfil está inmerso, en lo que concierne a las categorías 2 y 3, en la banda 1-3. En particular, la categoría 2 se halla en la subbanda 2-3 con un nivel 1 en uno de sus indicadores. Por su parte, la tercera categoría está claramente situada en la subbanda 1-2. Así, pues, globalmente, PG se halla en la subbanda 1-2 con dos indicadores con nivel 3: B1-3, S1-2 (con dos 3).

IV.6.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

La información obtenida parece indicar que para PG el hecho de ser observado supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

Respecto a su actitud ante los problemas cotidianos, los afronta en solitario, solicitando ayuda si lo estima imprescindible, o bien incluso compartiendo las conclusiones posteriormente.

Inmersos ya en el ámbito de la matemática, su nivel baja ostensiblemente. En concreto, existen pocos motivos que le impulsen al abordaje de algún problema, que, si acaso, sería en solitario, prefiriendo los ejercicios. Coherentemente, su predisposición usual ante la resolución de problemas es de total indiferencia, por lo que no muestra interés ni por el resultado ni por el proceso de resolución. Además, posee muy poca confianza en sus posibilidades de resolver el problema, estimando desde el principio que sería extraño que lo resolviera, y, si el problema cae en un área que no domina, siente desánimo y se ve mermado su interés por resolverlo.

Ha mostrado una falta de conocimiento a nivel elemental, a veces comparable al que pueden mostrar sus alumnos.

En cuanto al papel que concede a la memoria, la considera imprescindible, provocando su ausencia inseguridad y falta de motivación, en concordancia con el resto de esta categoría.

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

Los protocolos han puesto de relieve que la comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

Por su parte, de la planificación sólo existe un atisbo, que es, además, irrelevante para la resolución.

En relación con la ejecución, ésta es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

De la misma forma, la poca información sobre el nivel de acabado de la solución sólo permite atisbar que se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

Los datos mostrados hacen suponer que concede escasa importancia a la obtención de una buena representación de la situación, costándole trabajo invertir en ello el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

Aún más determinante es el hecho de no conceder ninguna importancia a la planificación, pensando que probablemente incluso una ejecución desorganizada puede aportar la solución.

Asimismo, la explicitación del estado de la ejecución es escasa y se limita a exponer con palabras lo que efectúa con símbolos o números, sin dar explicaciones.

Por su parte, en general, la coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Le concede poca importancia al control del proceso, pensando que los motivos de una buena resolución tienen poco que ver con él, o bien, concediéndole importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo un control efectivo.

Respecto a la organización temporal, no es en absoluto un factor que tenga en cuenta a lo largo de la resolución de un problema, abordando el mismo sin hacer valoración alguna de la inversión de tiempo que le pueda suponer llevar a cabo una estrategia determinada. Esto puede suponer que el plazo dado para la resolución le sobrevenga repentinamente, sin haberle sacado partido a algunos enfoques del problema.

Finalmente, parece que conoce algunas estrategias de RP, aunque la constancia de su utilidad es muy limitada y no es consciente de la influencia de otras variables.

IV.6.4. ANÁLISIS FINAL

Despreocupación

El hecho de no trabajar nunca en resolución de problemas (1.3.-1) concuerda con la puesta en práctica de una metodología en la que predomina la ejercitación, ya sea repetitiva o reproductiva (TR o TE1). Asimismo, el poseer muy poca confianza en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-2), unido a su mala predisposición ante los problemas (1.4.1.-1), ante los que muestra total indiferencia, parece relacionarse con el apego a una programación rígida (TR4) y la consideración de mínimos rígidos (TE30) como criterio de evaluación. El mal empleo de la memoria en la resolución de problemas puede verse en concordancia con posibles temores ante lo desconocido, pero en este caso hay que decir que PG, más que temores, muestra despreocupación, no interesándose por la resolución de problemas, de un lado, y aferrándose a lo tradicionalmente establecido, por otro (tendencia didáctica). Consecuentemente, el alumno reproduce (TE17) y atiende (T18) y él transmite verbalmente (TR20) mediante dictado (TR21) o exposición (TE21). En la misma línea, aunque concibe el aprendizaje como significativo aleatorio (E8, una de las pocas excepciones a su perfil tradicional-tecnológico) y no como memorístico, utiliza la memoria (TR28) y la aplicación mecánica (TR29) como criterios de evaluación, incoherencia que pone de manifiesto que el ser consciente de cómo se pueden producir los aprendizajes no lleva necesariamente a una adecuación del modelo de evaluación. El citado apego a la memoria se corresponde con la concepción de la matemática como conjunto de reglas (IN1) y, por otra parte, la consideración de ésta como cuerpo de verdades incuestionables (IN2) se corresponde con el papel acrítico del alumno.

La despreocupación antes comentada se plasma también en su escaso empleo de la revisión (2.4.-2) y en el mal nivel de acabado de la solución (2.5.-1), así como en su falta de reflexión sobre qué es la matemática.

En cuanto a la deficiencia evidenciada en el control de la acción (sólo 1 y 2), parece lógico atribuirla a la componente instrumentalista de su modelo de concepción de la matemática, especialmente al carácter útil del conocimiento (IN3) y al papel esencial de los algoritmos en el proceso de construcción (IN5), indicadores que están en estrecha relación con el sentido informativo utilitario de la asignatura (TE7).

(principio del capítulo) (índice general)

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)	S. ASIGNATURA
6'.Lo más importante que debe aprender un alumno son nociones generales, razonamientos y saber expresarse en lenguaje matemático (y conocimiento de las reglas). 30.(Las matemáticas se deberían poner de acuerdo)con cualquier asignatura en la que se utilice como herramienta ...(Por ejemplo)la Física...para el despeje. 7'.El profesor de matemáticas debe contar con los profesores de asignaturas donde se utilizan las matemáticas, para conocer aquellos conceptos que ellos van a utilizar.	TR5:Énfasis conceptual TE7:Informativa utilitaria TE7
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)	C. APRENDIZAJE
3.Una vez que se estudiaban los apuntes, nos poníamos a hablar...él me hacía a mí razonar...,cuando dos o tres se ponen a hablar,...de eso sí que se puede aprender. 17.(No conseguimos lo que nos proponemos a la hora de programar,) porque en realidad nosotros no somos ellos..., porque...tú eres uno y el ritmo,...la mente, es de ellos, son ellos los que van aprendiendo, y al final siempre hay que machacar mucho. 4.Una buena enseñanza tiene que ser aquélla que después implique un buen aprendizaje, si no ¿cómo podría ser buena?...Todo el mundo sabe que no basta (con una buena explicación)...Depende mucho de cómo sea el alumno... No todos aprenden igual...Cualquier método de enseñanza ...le puede ir bien a un...tipo de alumnos,otro, a lo mejor se pierde. 5.Son distintos métodos y le puede ir bien a cada uno...o explicas siempre igual y no comprende igual uno que otro ...Le daba clase a un chaval que lo que me pedía era explicación...Ellos me hacían ver a mí cuál era el método que les podía ir mejor.	TE10:Por asimilación E-I13:Aptitud transformable E-I13+TE14:Apt. transf.y act. parc. transf. E-I13+TE14

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)	PAPEL ALUMNO
29.(Los alumnos)no (participan en el diseño de las actividades o en la programación). 22.A veces,...cuando ya los ejercicios no le salen a un cierto tipo de alumnos, pues ellos mismos dicen "bueno, vamos a pasar a otro tema", y paso. 20.(Un tema debe abandonarse cuando ya) aburre a la clase o cuando...lo han asimilado. 1'.El profesor debe ver si el clima particular de cada clase es positivo para la enseñanza. La relación entre el profesor y los alumnos debe ser de respeto mutuo, de que todos puedan expresarse con libertad. 4'.Debe haber total libertad para cambiar la planificación de un tema, siempre con la posterior observación de si es positivo para el interés o rendimiento del alumno. 3'.El profesor debe ser ameno y variado al impartir la clase. Unas veces él lleva el control de la explicación, otras veces el alumno resuelve ejercicios y pregunta lo que ignora. Otras, se enseña mediante la búsqueda de respuestas a enunciados teóricos o prácticos. 28.Cosas muy diversas...Ese curso de 1ºera un curso con el que estaba a gusto, porque preguntaban, intervenían, hablaban...(En otros)imposible.	T15:No participa en diseño didáctico TR16:Único resp.transf. E-A. Sumisión TE16:Resp.ppal. transf. E-A(mot. por contexto) TE16 TE16 T18:Atiende T18+E19:Atiende. Dialoga
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CEM)	PAPEL PROFESOR
1.No me gusta...hablar...mucho y, de vez en cuando, preguntar, pero..., sin querer, lo haces muchas veces. 8.Yo nunca he explicado (la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado)...lo más fácil ha sido eso: así se resuelve y...Como siempre hemos ido a la parte mecánica de las matemáticas...Cuando empecé,...me gustaba ir deduciéndola,...(pero) poco a poco iba uno desechando toda esa teoría, iba uno nada más que a lo que después iban a utilizar los alumnos. 34.También lo he explicado (la irracionalidad de Ö 2),... pero no una demostración...tan matemática...como ésta [por reducción al absurdo]...(Con)la maquinita..., una forma poco correcta de decirlo, ¿no?,... le dan a la expresión decimal y...sale exacto, pero yo ya les digo que ...no hay secuencia. 3'.El profesor debe ser ameno y variado al impartir la clase. Unas veces él lleva el control de la explicación, otras veces el alumno resuelve ejercicios y pregunta lo que ignora. Otras, se enseña mediante la búsqueda de respuestas a enunciados teóricos o prácticos.	TR20:Transmite verbalmente TR20 TR20 TR20+TR o TE23: Transmite verbalmente. Especialista en contenido o Técnico del contenido y del diseño didáctico

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLOGÍA	1	*	*
	2	*
	3	*
	4	*
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5	*
	6	*
	7		*
CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE	8			*
	9		*
	10		*
	11	**
	12	*
	13			**
	14		*
PAPEL DEL ALUMNO	15	**
	16		*
	17		*
	18	**
	19			*
PAPEL DEL PROFESOR	20	*
	21	*	*
	22	*
	23	*
	24		*
EVALUACIÓN	25	*	*
	26	**
	27	*
	28	*
	29	*
	30		*
	31	**
	32				*
	33	**
	34	*
	35	*

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CM)	TIPO DE CTO.
6'.Lo más importante que debe aprender un alumno son nociones generales, razonamientos y saber expresarse en lenguaje matemático (y conocimiento de las reglas). 30.(Las matemáticas se deberían poner de acuerdo)con cualquier asignatura en la que se utilice como herramienta ...(Por ejemplo)la Física...para el despeje. 7'.El profesor de matemáticas debe contar con los profesores de asignaturas donde se utilizan las matemáticas, para conocer aquellos conceptos que ellos van a utilizar. 2".Las demás asignaturas de Ciencias utilizan la Matemática como herramienta de trabajo.	IN1:Conj. de reglas y herramientas de uso compartimentado IN3:Cuerpo de conocimiento útil IN3 IN3
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PG (CM)	FIN
32.En la época de la Edad Media, cuando los matemáticos se encerraban,...nada más que el deseo de saber más unos que otros los hacía avanzar...Cuando empezó el Análisis, fue como una herramienta de trabajo bastante buena dentro de la matemática y eso la ha hecho avanzar. 33.Concibo que (hoy día) se encierran a un cierto tema, a saber cada vez más y a intentar, a lo mejor, si de esa parte del tema hay algunos problemas o teoremas que no están demostrados, intentar buscar...Yo pienso que lo que busca es la satisfacción personal de saber...; hay personas que se sienten bien sabiendo y quieren saber más y estudian y hacen bien, y ya está. 1".Conocimiento y profundización de conceptos para la obtención de resultados importantes que después pueden utilizarse para resolución de problemas.	P4:Interno P4 P4

CATEGORÍAS	IND\MODELO	INSTRUMENT.	PLATÓNICO	RES.PROBLEM.
TIPO DE CONOCIMIENTO	1	*
	2	*
	3	*
FIN	4		*
MODO DE EVOLUCIÓN	5	*
	6		*
	7		*