ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE PN 

 IV.7.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

 IV.7.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)	METODOLOGÍA
6.(Además de los algoritmos, en mis clases)utilizo...el lenguaje, además lo...valoro y lo califico como elemento importante, utilizo la resolución de problemas..., algunos recursos..., el diálogo..., procedimientos, hablamos de... razonamientos matemáticos..., de la forma en que la matemática se expresa..., de notaciones..., de estrategias generales o de heurísticos. 11.(La programación)Procuramos que sea operativa, es decir, que aparezcan parámetros y luego... se va concretando en función del desarrollo de la clase; como aproximadamente un 40% es de trabajo en grupo, pues eso nos va dando pistas para las actividades siguientes y también...ese trabajo en grupo y la propia...conformidad de los alumnos con cada tipo de actividad, es decir, en un momento dado podemos hacer sesiones de clases magistrales, porque los alumnos se encuentren incómodos, procurando captar el ritmo, la sensibilidad de la clase. 4'.(En la planificación de un tema han de darse cambios) cuando se haga "patente" que no hay sintonía entre lo programado y su repercusión en la dinámica de trabajo. A veces nos negamos a ver lo evidente.	I1:Resolución de problemas           I3:Objetivos flexibles y revisables                 I3:
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)	SENT.ASIGNAT.(I)
6.(Además de los algoritmos, en mis clases)utilizo...el lenguaje, además lo...valoro y lo califico como elemento importante, utilizo la resolución de problemas..., algunos recursos..., el diálogo..., procedimientos, hablamos de... razonamientos matemáticos..., de la forma en que la matemática se expresa..., de notaciones..., de estrategias generales o de heurísticos. 7.(En mis alumnos)valoro la expresión, tanto en castellano como en lenguaje matemático, la comprensión de la tarea..., los procedimientos..., las intuiciones, la autonomía, y los razonamientos, además de los algoritmos y de los cálculos. 9.(En mis asignaturas me planteo)objetivos donde la matemática...contribuye a favorecerlo (el espíritu de la reforma), pero que rebasan el ámbito de la propia matemática; también nos planteamos objetivos matemáticos.	I5:Procedimientos, conceptos y actitudes           I5         I5

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)

SENT.ASIGNAT.(II)

3.(Una buena enseñanza es)aquella que permite que el aprendiz desarrolle su...potencial, que lo anima, que le favorece su seguridad personal y que coordina su trabajo. 4.(Procuro que mis alumnos aprendan)permitiendo que su pensamiento se exprese, potenciando las actitudes positivas, dándoles tiempo,...cariño, valorando lo que no saben y lo que saben..., jugando. 3'.(El papel del profesor)va a depender de los distintos momentos didácticos y de la secuencia que se esté introduciendo. Yo represento distintos papeles, según los momentos y mi estado de ánimo; entre ellos destacaría: "cuento, la mayoría de las veces, lo que vamos a trabajar"; "les hago preguntas" en público y procuro que las contesten ellos (no siempre sale); "les miro sus cuadernos" y comento, muy de pasada, algunas cosas; "procuro" enérgicamente (lo más que puedo) que aprovechen el tiempo de trabajo personal; "coordino los debates"; "planteo algunos interrogantes" personales a su trabajo; "procuro" con todas mis fuerzas favorecer la autonomía y la autoestima; "preparo cuidadosamente mi clase"; "hago anotaciones";...y, como puede deducirse, "me sale de dentro" intentar controlar y marcar el ritmo del aula, porque estoy en el instituto que estoy y en el seminario que estoy... 5'.Favorezco que los alumnos cuenten (verbalicen) sus pensamientos, que trabajen solos, en grupo, que me escuchen y escuchen a los otros, que se hagan preguntas, que escriban organizadamente, que resuelvan problemas, que se planteen interrogantes, que diseñen estrategias y se familiaricen con las destrezas, que trabajen en casa, que se sientan cómodos trabajando,...que conozcan cómo piensan. 6'.(Lo más importante que debe aprender un alumno es)a buscarse la vida, a desarrollar su curiosidad natural, a intercambiar ideas, a colaborar en tareas comunes, a pensar por sí mismo y, a ir aceptándose y desarrollando su propio estilo de pensamiento.

I7:Formativa (aprender a aprender)   I7       I7                                 I7 I7

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)

CONC.APRENDIZ.

1.(Aprendemos matemáticas)ante una necesidad, sea de tipo que sea,...que puede provenir de una tesis, de una curiosidad..., pero...no le veo sentido a cogerse un manual y estudiárselo. 25.(El teorema de Tales)intuyo que lo abordaría en cursos superiores a partir de manipulaciones, de experiencia... 5.(El algoritmo de la ecuación de segundo grado lo enseñaba)a partir del cuadrado, es decir, cogiendo un modelo manipulativo y... intentando abstraerlo a partir de él. 26.(Para abordar la irracionalidad de raíz de dos)primero que vivan la existencia de números de ese tipo, que trabajen con..., para obtener cifras decimales que salen distintas, que lo apliquen a modelos geométricos, que lo representen, que operen con ellos como...otros números, es decir, ...que le pierdan el miedo a esos objetos y luego, por último, intentaríamos el salto a la demostración..., una demostración geométrica, viendo la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado o una demostración numérica por reducción al absurdo. 2'.(Respecto de la presentación de los contenidos)puedo asumir...que el conocimiento se construye con la acción. Por tanto, en una programación sensata, tengo que dedicar un tiempo razonable para que los alumnos "hagan matemáticas", otro...lo dedicaré a debatir cuestiones y a procurar que se escuchen comprensivamente..., otro a que trabajen solos (individualmente o en equipos) mientras yo los observo, les animo y discuto lo más individualmente que puedo y la programación lo permite..., también explico, casi todos los días un poquito. 5'.Favorezco que los alumnos cuenten (verbalicen) sus pensamientos, que trabajen solos, en grupo, que me escuchen y escuchen a los otros, que se hagan preguntas, que escriban organizadamente, que resuelvan problemas, que se planteen interrogantes, que diseñen estrategias y se familiaricen con las destrezas, que trabajen en casa, que se sientan cómodos trabajando,...que conozcan cómo piensan. 14.(Debe abandonarse un tema)cuando...hemos recorrido una parte del camino..., pensada por el profesor y cuando ya, los alumnos,de alguna manera, están aburridos, pero esto sería una segunda razón, es decir, cuando veo que al menos lo...que consideramos básico ha salido, está explicitado.

I8:Significativo relevante (redes semánticas)     E9Ì I9:Proc. inductivos Ì Inducción-deducción I9:Inducción-deducción       I9+10:Inducción-deducción. Por construcción dirigida               I10+11:Por construcción dirigida. Diversidad de agrupaciones y puestas en común           I11:Diversidad de agrupaciones y puestas en común         I12:Dinamizador: intereses del alumno y disciplina

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)

PAPEL ALUMNO

20.(En la programación los alumnos participan)indirectamente, es decir, a través de sus reacciones, pero no de otra manera. 2.Si el aprendiz se implica, pienso que (de una buena enseñanza se obtiene necesariamente un buen aprendizaje)...con sus grados, evidentemente,... (de no ser así se debe a)fundamentalmente...cuestiones actitudinales. 12.(Habitualmente no conseguimos lo que nos proponemos debido)creo que fundamentalmente a la prisa del profesor y a quizás no considerar variables, dentro del propio centro, pero que son externas a la clase..., como son el ritmo que imponen los demás profesores, la dinámica, los exámenes, etc; ese tipo de cosas habitualmente se escapa. 5'.Favorezco que los alumnos cuenten (verbalicen) sus pensamientos, que trabajen solos, en grupo, que me escuchen y escuchen a los otros, que se hagan preguntas, que escriban organizadamente, que resuelvan problemas, que se planteen interrogantes, que diseñen estrategias y se familiaricen con las destrezas, que trabajen en casa, que se sientan cómodos trabajando,...que conozcan cómo piensan. 19.(Durante mis clases, los alumnos)suelen trabajar,... intervenir,...atender, y, si no lo hacen, les obligo..., porque dedico tiempo, individualmente y en grupo...a que lo hagan, e incluso en alguna clase magistral, pues hay siempre cinco minutos de aplicación, cinco minutos o dos... para que explican las conclusiones o escriban lo que se ha dicho o resuman o...actividades,..., personales. 2'.(Respecto de la presentación de los contenidos)puedo asumir...que el conocimiento se construye con la acción. Por tanto, en una programación sensata, tengo que dedicar un tiempo razonable para que los alumnos "hagan matemáticas", otro...lo dedicaré a debatir cuestiones y a procurar que se escuchen comprensivamente..., otro a que trabajen solos (individualmente o en equipos) mientras yo los observo, les animo y discuto lo más individualmente que puedo y la programación lo permite..., también explico, casi todos los días un poquito.

E15:Participa indirect. en el diseño didáctico a través de sus reacciones I16:Clave de la transferencia el consenso (motivación por los significados) I16           I17+18+19:Investiga. Reflexiona. Cuestiona           I18:Reflexiona             I18

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)

PAPEL PROFESOR(I)

19.(Durante mis clases, los alumnos)suelen trabajar,... intervenir,...atender, y, si no lo hacen, les obligo..., porque dedico tiempo, individualmente y en grupo...a que lo hagan, e incluso en alguna clase magistral, pues hay siempre cinco minutos de aplicación, cinco minutos o dos... para que explican las conclusiones o escriban lo que se ha dicho o resuman o...actividades,..., personales. 17.(En mi programación los resultados influyen)en cualquier proceso, desde un examen hasta una puesta en común, eso...incide en las siguientes actividades, de hecho...creo que tengo la suerte de tener un buen banco de materiales y puedo ir jugando, no hay que inventarlo todo... (Pero hasta el punto de)volver a dar un tema no. Sí...para incidir en aspectos, para proporcionarles alguna hoja resumen, pero sobre todo para las siguientes actividades, donde procuro englobar aquellas cosas que he visto que no han quedado de manera satisfactoria, desde mi punto de vista. 1'.(Para aclimatar a la clase el profesor)creo que debe escuchar, procurar que los demás escuchen, suavizar los estados emocionales de tensión, propiciar el éxito de todos los alumnos con cierta frecuencia, favorecer la comunicación positiva, desafiar intelectualmente a los alumnos, potenciar la autonomía personal,... Creo que el profesor tiene que asumir la autonomía intelectual de sus alumnos, hacer patente el respeto a sus formas de "pensamiento argumentado", debatir y propiciar el debate, consensuar las reglas del juego, respetar los compromisos y también estimular los ritmos de aprendizaje, apretar las clavijas a los perezosos y escuchar. 11.(La programación)Procuramos que sea operativa, es decir, que aparezcan parámetros y luego... se va concretando en función del desarrollo de la clase; como aproximadamente un 40% es de trabajo en grupo, pues eso nos va dando pistas para las actividades siguientes y también...ese trabajo en grupo y la propia...conformidad de los alumnos con cada tipo de actividad, es decir, en un momento dado podemos hacer sesiones de clases magistrales, porque los alumnos se encuentren incómodos, procurando captar el ritmo, la sensibilidad de la clase.

I21:Conduce             I22:Investiga en y sobre la acción                   E23Ì I23:Humanista, especialista en dinámica de grupo Ì Experimentador interactivo de contenidos y métodos             I23:Experimentador interactivo de contenidos y métodos

 

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)	PAPEL PROFES.(II)
3'.(El papel del profesor)va a depender de los distintos momentos didácticos y de la secuencia que se esté introduciendo. Yo represento distintos papeles, según los momentos y mi estado de ánimo; entre ellos destacaría: "cuento, la mayoría de las veces, lo que vamos a trabajar"; "les hago preguntas" en público y procuro que las contesten ellos (no siempre sale); "les miro sus cuadernos" y comento, muy de pasada, algunas cosas; "procuro" enérgicamente (lo más que puedo) que aprovechen el tiempo de trabajo personal; "coordino los debates"; "planteo algunos interrogantes" personales a su trabajo; "procuro" con todas mis fuerzas favorecer la autonomía y la autoestima; "preparo cuidadosamente mi clase"; "hago anotaciones";...y, como puede deducirse, "me sale de dentro" intentar controlar y marcar el ritmo del aula, porque estoy en el instituto que estoy y en el seminario que estoy... 7'.(La relación con los demás profesores va)desde una relación cordial, pasando por colaboraciones, puntuales y/o sistemáticas, sobre temas de mutuo interés, y volviendo a pasar por actividades extramatemáticas..., hasta la ciencia integrada; me parece deseable. Con las limitaciones impuestas por una razonable dedicación.	I23:Experimentador interactivo de contenidos y métodos                             I24:Coordinación a nivel de caracterización del diseño didáctico
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)	EVALUACIÓN (I)
10.(Indago sobre el grado de consecución de los objetivos)revisando sus cuadernos de vez en cuando, como... suelo ver dos o tres veces el cuaderno de cada alumno al trimestre, los trabajos en grupo, viendo, viendo sus procesos, y en los debates en clase, escuchándolos y procurando que unos construyan sobre otros, sobre el razonamiento de otros...Sí. Exámenes sí, en estas condiciones, en unas condiciones más relajadas no lo sé, no lo sé. En el [Nombre de Centro] no hacíamos exámenes, pero tenía dolor de conciencia. 8.(Los alumnos)lo saben (lo que les valoro), porque incluso en los exámenes están escritos...Están reflejados (en los objetivos de la asignatura).	I25+35:Formativa-sumativa (proceso y producto). Calificación por conjunción de varios instrumentos(cuad. alumno,exámenes, observación, trabajo en grupo, ...)     ù TR27:No: No explicita criterios subjetivos

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CEM)

EVALUACIÓN (II)

16.(Para calificar a mis alumnos utilizo)los exámenes, el trabajo en clase, el cuaderno y la participación. De todas maneras está la opción de que el alumno que no quiera integrarse en la dinámica apruebe sus exámenes, y yo lo apruebo, no es fácil, no es fácil aprobarme los exámenes, porque no son... son exámenes difíciles, difíciles en el sentido de que son problemas, los exámenes míos no se pueden preparar la noche anterior. Y como criterios, pues, fundamentalmente, la expresión, la comprensión el explicitar procedimientos y el proceso de resolución. 15.(El grado de conocimiento del algoritmo de la ecuación de segundo grado lo valoraría)mediante un problema..., ejemplos que no sean de aplicación directa y algunos ejemplos de aplicación directa. 13.(Para revisar los planteamientos durante el curso, obtengo la información)de los propios alumnos cuando trabajan en grupo y cuando intervienen en clase, y cuando al final de la clase, que creo que tengo suerte en ese sentido, todos los finales de clase tengo siete u ocho alumnos que me vienen a preguntar dudas, y también viendo su cuaderno de trabajo. 18.Me doy por satisfecho con grupos concretos de alumnos, es decir, si un alumno trabaja, si veo que se esfuerza, si veo que curra en casa, pues me doy por satisfecho, le acepto el ritmo, pero ese caso es pequeño, ese caso es, a lo mejor, un 20%, en el resto no estoy satisfecho nunca y la verdad es que no sé muy bien qué hacer. 17.(En mi programación los resultados influyen)en cualquier proceso, desde un examen hasta una puesta en común, eso...incide en las siguientes actividades, de hecho...creo que tengo la suerte de tener un buen banco de materiales y puedo ir jugando, no hay que inventarlo todo... (Pero hasta el punto de)volver a dar un tema no. Sí...para incidir en aspectos, para proporcionarles alguna hoja resumen, pero sobre todo para las siguientes actividades, donde procuro englobar aquellas cosas que he visto que no han quedado de manera satisfactoria, desde mi punto de vista.

I27+33+35:Criterios explícitos negociables. Holística. Examen como act. creativa del alumno; mediante su ejecución se aprende. Calificación por conjunc.de varios instr. (cuad.alumno, exám., observaciones, trabajo en grupo,...) I28:Grado de implicación y significados   I30:Mínimos reformulables(en función del alumno, proceso, materia y contexto escolar)     ù T31:No: No diferenciación individual           I32:Recuperación personalizada, compleja e inserta en el desarrollo normal.

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLOGÍA	1				*
	2				*
	3				*
	4				*
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5				*
	6				*
	7				*
CONCEPCIÓN   DEL   APRENDIZAJE	8				*
	9				*
	10				*
	11				*
	12				*
	13			**
	14			**
PAPEL   DEL   ALUMNO	15			*
	16				*
	17				*
	18				*
	19				*
PAPEL   DEL   PROFESOR	20				*
	21				*
	22				*
	23				*
	24				*
EVALUACIÓN	25				*
	26				*
	27				*
	28				*
	29				*
	30				*
	31				*
	32				*
	33			*	*
	34				*
	35				*

No hay ninguna duda de que el perfil de PN respecto a su concepción de la enseñanza de la matemática puede simbolizarse por I, tanto si nos fijamos en las unidades de información, en los indicadores o en las categorías, pues todas ellas son investigativas.

IV.7.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE PN

METODOLOGÍA

Entre las unidades de información y la fase de consenso (no se había obtenido información de todos los indicadores) se confirmó y definió ya desde la primera categoría su clara tendencia investigativa.

Los alumnos se enfrentan habitualmente a situaciones para las que no poseen soluciones hechas y PN tiene organizado el proceso que llevará al alumno a la adquisición de unos conocimientos determinados, a través de su investigación.

Los objetivos marcan claramente las intenciones educativas, pero están sujetos a reformulaciones debidamente fundamentadas.

En cuanto a la programación, dispone de una propuesta organizativa de los elementos del programa, pero no está vinculado a un recorrido concreto. Existe una trama que vincula y organiza el conocimiento por la que se mueve dependiendo de los intereses, nivel,..., de los alumnos.

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

Le interesan tanto la adquisición de conceptos, como el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia y el trabajo escolar en general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los que determinan el peso específico de cada una de las componentes citadas.

PN manifestó en el consenso que para él la matemática escolar, de diferente naturaleza que la matemática formal, tiene su punto de partida en la etnomatemática de los alumnos y recoge las necesidades socio-políticas, culturales,..."Hacer matemáticas" con un carácter más formal proviene del análisis de lo concreto.

Opina asimismo que la finalidad última de la asignatura es dotar al alumno de unos instrumentos que le posibiliten el aprendizaje autónomo.

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

No se obtuvo información inicialmente tan sólo de su posición respecto a la aptitud y la actitud del alumno. El consenso confirmó la tendencia general.

Los objetos de aprendizaje no sólo tienen significado, sino también la capacidad de ser aplicados en contextos diferentes de donde fueron aprendidos, adquiriendo así un carácter móvil a través de una malla conceptual.

Aunque piensa que el aprendizaje puede producirse a través de la participación activa del alumno en procesos inductivos, cuando no se deba o no se vea viable llegar a los procesos deductivos, cree que el aprendizaje comienza, normalmente, por la observación de regularidades que permiten aflorar una conjetura; pero a ésta ha de seguir una comprobación razonable y, en la medida de lo posible, una generalización adecuada.

Además, piensa que el aprendizaje se produce a través de investigaciones que han sido planificadas por el profesor.

Para PN la forma de agrupamiento aconsejable para la producción de aprendizaje depende de la actividad a desarrollar.

En cuanto al dinamizador del aprendizaje, cree que lo ideal es el equilibrio entre los intereses y estructura mental de los alumnos y los de la matemática.

De manera consecuente, en el consenso ha dejado claro que opina que tanto la capacitación como la actitud del alumno pueden ser modificadas.

PAPEL DEL ALUMNO

El consenso ha confirmado las conclusiones anteriormente extraídas y ha ayudado a interpretar las unidades relativas a la clave de la transferencia.

El alumno participa indirectamente en el diseño didáctico a través de sus reacciones en el quehacer del aula, rasgo espontaneísta bastante frecuente entre profesores de tendencia investigativa.

Piensa que, para que se dé aprendizaje, es necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de aprendizaje y procura que la actividad del alumno esté organizada (interna o externamente) hacia la búsqueda de respuestas a determinados interrogantes, tomando éste conciencia de qué hace y para qué lo hace y manteniendo una actitud crítica ante las informaciones que se movilizan en el aula.

PAPEL DEL PROFESOR

No se tenía información relativa al tipo de transmisión y el consenso ha confirmado la tendencia en éste y en los demás indicadores.

PN provoca la curiosidad del alumno (según expresó durante el consenso) conduciendo su investigación hacia la consecución de aprendizajes. Su carácter de experimentador interactivo del contenido y de los métodos, le obliga a analizar los procesos en el contexto del aula (investigación-acción). El mostrarse a veces como humanista, especialista en dinámica de grupos, no es más que un complemento del carácter antes mencionado, en ningún momento expresa lo máximo a conseguir, como en el caso del espontaneísta.

Respecto a la coordinación con otros profesores, considera necesaria una coordinación sobre todos los aspectos que caracterizan el diseño didáctico.

EVALUACIÓN

No es abundante la información (a partir de los cuestionarios y la entrevista) concerniente a esta categoría, faltando algunos indicadores y siendo escasa en otros. No obstante, toda la información apunta a su tendencia general (investigativa) y ha sido confirmada en la fase de consenso.

Concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, orientando la enseñanza hacia los aprendizajes previstos a través de contextos más apropiados.

Durante el consenso ha declarado disponer de un informe de tipo cualitativo, tanto del proceso como de los resultados de aprendizaje del alumno, así como de criterios para la cuantificación de dicho informe.

Da a conocer a los alumnos su propuesta holística (compleja, completa y global) de criterios de evaluación, así como el marco de negociación de los mismos.

Trata de medir el grado de implicación del alumno y la significatividad y relevancia de sus aprendizajes.

A lo largo del proceso va reformulando los contenidos de aprendizaje, teniendo en cuenta los intereses del alumno, la propia asignatura, el contexto educativo y el propio proceso.

El consenso ha evidenciado que obtiene información personalizada de los alumnos, de manera organizada, a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora.

Cuando en el desarrollo del proceso PN toma conciencia de que los contenidos de aprendizaje no están en concordancia con el campo de intereses de los alumnos o el grado de significado que éstos deberían otorgar a los contenidos de la disciplina, cualifica su apreciación e introduce variantes de tipo metodológico, disciplinar o contextual, de forma individualizada.

La poca información relativa al papel que concede al examen hacía pensar en su consideración como instrumento educativo con el que conseguir una doble finalidad; de aprendizaje, en la medida en que es considerado como una actividad individual inserta en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de control de dicho proceso. Ahora bien, en la fase de consenso ha compatibilizado la apreciación anterior con la consideración de que el examen tiene connotaciones de índole psicológica que influyen desfavorablemente en la actividad del alumno y en las relaciones personales dentro del aula, por lo que no es un buen instrumento para medir la evolución de los alumnos. Supone añadir un indicador perteneciente a la tendencia espontaneísta que no afecta a su tendencia general.

El consenso ha puesto de relieve que PN, aunque piensa que es muy difícil abarcarlo todo y hacerlo bien, opina que el diagnóstico inicial debe poner de relieve todos aquellos aspectos del conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas, concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan interferir en el proceso de enseñanza- aprendizaje. El proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su conocimiento ofreciéndole vías para su adecuación y progresión.

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, PN utiliza la información obtenida en base al análisis del cuaderno de clase, sus observaciones sistemáticas, los datos provenientes de los exámenes y trabajos de grupo,...

IV.7.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

IV.7.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CM)

TIPO CTO. (I)

6.(Además de los algoritmos, en mis clases)utilizo...el lenguaje, además lo...valoro y lo califico como elemento importante, utilizo la resolución de problemas..., algunos recursos..., el diálogo..., procedimientos, hablamos de... razonamientos matemáticos..., de la forma en que la matemática se expresa..., de notaciones..., de estrategias generales o de heurísticos. 16.(Para calificar a mis alumnos utilizo)los exámenes, el trabajo en clase, el cuaderno y la participación. De todas maneras está la opción de que el alumno que no quiera integrarse en la dinámica apruebe sus exámenes, y yo lo apruebo, no es fácil, no es fácil aprobarme los exámenes, porque no son... son exámenes difíciles, difíciles en el sentido de que son problemas, los exámenes míos no se pueden preparar la noche anterior. Y como criterios, pues, fundamentalmente, la expresión, la comprensión el explicitar procedimientos y el proceso de resolución. 3".La Matemática es un cuerpo de conocimientos conectados, que posibilita obtener información de una variada gama de interrogantes, siempre que puedan cuantificarse, a través de modelos. El reto que supone resolver estos interrogantes enriquece, a su vez, a la Matemática, con frecuentes incorporaciones de nuevos conocimientos y relaciones. 6".Creo que sí puede hablarse de prueba matemática. Se diferencia de otras pruebas en que todo queda en casa. Sus objetos de estudio se expresan y se transforman en lenguajes y códigos matemáticos. Esto no ocurre con otras ciencias, como la Física, que tienen que expresar sus modelos en lenguaje matemático y operar con métodos matemáticos en muchos casos. Otra probable diferencia es la falta de exigencia de una verificación "aplicada" de las conclusiones. Si el "ente" sometido a prueba demuestra deductivamente coherencia interna y se relaciona de forma cohabitable con otros entes, puede decirse que ha pasado la prueba. 5".Salvo en los profesionales, que están implicados en investigaciones relacionadas con la matemática ("éstos" hacen matemáticas), (la matemática)es una herramienta útil por los modelos que permite utilizar con fiabilidad, por sus enormes posibilidades de estructurar información, por su potencia para hacer cálculos, porque expresa, de forma fiable, muchas estructuras lógicas...

RP1:Núcleo: estructuras conceptuales, procedimientos matemáticos y estrategias generales     RP1                   RP1             P2: Conocimiento estructurado lógicamente   IN3Ì RP3:Útil Ì Que implica unos valores

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CM)	TIPO CTO. (II)
22.(Respecto a la necesidad de que la enseñanza de la matemática recoja las necesidades sociopolíticas, culturales,...)En principio sí...La función no es consolidar, no es consolidar la ideología dominante, sino intentar rebasarla de manera no conflictiva, pero intentar rebasarla...Fomentando el espíritu crítico, fomentando que ese espíritu crítico...culmine en acciones, permitiendo pérdidas de autoridad y también, por otro lado, viviendo las consecuencias de lo que sería una desobediencia crítica. 28.(Los valores y actitudes en los que debería ser formado el matemático son aquellos que le llevaran a)no considerar a la matemática como algo fuera del mundo, sino como un modo de expresión del mismo. No, no tener una concepción oscurantista.	RP3:Que implica unos valores                 RP3
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CM)	FIN
21.(Al mundo profesional, la matemática)aporta capacidad de resolución, de análisis, ser sistemático, es decir, un conjunto de actitudes que, una vez interiorizadas, podrían convertirse en aptitudes, con "p". 4".En algunas ciencias...la matemática es el lenguaje en que se expresan y formalizan la mayoría de sus conocimientos...En otras...ayuda a controlar aquellos fenómenos o aspectos de los mismos que pueden ser cuantificados...Otros grupos de ciencias usan la matemática para organizar y extraer conclusiones de grupos de datos, como una herramienta habitual de trabajo...Otros grupos aplican métodos matemáticos a medida que pueden codificar o cuantificar sus objetos de estudio...La matemática también se relaciona con las otras ciencias a través de la "Tecnología". Esta contribución al "cacharraje"...facilita la investigación y el trabajo de todos los estudiosos.	RP4:Desarrollo intelectual     RP4

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CM)

MODO EVOLUC.(I)

23.Imagino que (la evolución de la matemática a lo largo de la historia va)desde el estudio de problemas concretos, buscando soluciones particulares hacia generalizaciones, dentro de, de nuestro propio contexto, hasta que se ha ido de, se ha ido de nuestro contexto habitual y ha partido de condiciones que pueden ser incluso extrañas, elaborando, pues, teorías y modelos, que intuyo que serán útiles. 1".(Respecto a los objetivos del estudio de la matemática) La resolución de problemas derivados de muchas interrelaciones externas (de poder) y de lo bien pagados que estén. 7".(El primer fin de la matemática como ciencia es la) resolución de problemas. C11.(Para entender contenidos matemáticos hago uso de la resolución de problemas)porque estoy convencido que necesito pasar por procesos de resolución de problemas para manejar...los conocimientos matemáticos cuyo aprendizaje necesito. 24.(Lo que hace evolucionar hoy en día el conocimiento matemático es) quizás la competencia entre investigadores; las subvenciones de gobierno, fundaciones, entidades, etc; la curiosidad de, de investigadores concretos y problemas particulares que puede plantear el desarrollo tecnológico. 22.(Respecto a la necesidad de que la enseñanza de la matemática recoja las necesidades sociopolíticas, culturales,...)En principio sí...La función no es consolidar, no es consolidar la ideología dominante, sino intentar rebasarla de manera no conflictiva, pero intentar rebasarla...Fomentando el espíritu crítico, fomentando que ese espíritu crítico...culmine en acciones, permitiendo pérdidas de autoridad y también, por otro lado, viviendo las consecuencias de lo que sería una desobediencia crítica. 8".Creo en la inspiración y en la suerte de tropezarse con lo inesperado en el campo de la investigación matemática entre aquellos que tienen un pensamiento rico, una formación matemática sólida y una actitud abierta, flexible y receptiva. El resto del mundo, aún con una formación básica, no creo que tenga tanta suerte. Para ver hay que saber mirar y mirar es muy difícil.

RP5:Conocimiento dirigido por RP; campo de creación. Punto de vista dinámico       RP5       RP5   RP5         RP5+6:Cto. dirigido por RP;campo de creac. P.V. dinámico. Cto. dirigido por y desde la interac. social. P.V.antropológico RP6: Conocimiento dirigido por y desde la interacción social. Punto de vista antropológico           RP6

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE PN (CM)

MODO EVOLUC. (II)

2".(Respecto a los procesos esenciales en matemáticas) Intuición de la "...idea...", sorpresa y atrevimiento, ¿la habrá pensado alguien?, ¿será posible? Voy a comentarlo con...Si me atrevo, busco más casos, intento generalizar, veo con un propósito,...Verificación de la "idea", ¿qué resuelve?, ¿qué generaliza?, ¿entra en contradicción con teorías importantes?, ¿cómo la expreso?...A lo mejor ¿quién me la patrocina?...Comunicación precavida, amparándose lo más posible en los conocimientos consensuados...Conexión/superación con/del conocimiento existente...Enriquecimiento del...descubrimiento (procesos de generalización, de optimización, nuevas relaciones,...) 26.(Para abordar la irracionalidad de raíz de dos)primero que vivan la existencia de números de ese tipo, que trabajen con..., para obtener cifras decimales que salen distintas, que lo apliquen a modelos geométricos, que lo representen, que operen con ellos como...otros números, es decir, ...que le pierdan el miedo a esos objetos y luego, por último, intentaríamos el salto a la demostración..., una demostración geométrica, viendo la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado o una demostración numérica por reducción al absurdo. 27.Por supuesto (que puedo aceptar un resultado que no esté apoyado en un proceso deductivo)...Creo que no hay más remedio. La deducción es un punto de llegada.

RP6+7:Conocimiento dirigido por y desde la interacción social. Punto de vista antropológico. Razonamiento inductivo-deductivo (conjeturas, pruebas y refutaciones)           RP7:Razonamiento inductivo-deductivo (conjeturas, pruebas y refutaciones)             RP7

CATEGORÍAS	IND\MODELO	INSTRUMENT.	PLATÓNICO	RES.PROBLEM.
TIPO DE CONOCIMIENTO	1			*
	2			*
	3			*
FIN	4			*
MODO DE EVOLUCIÓN	5			*
	6			*
	7			*

PN tiene también un perfil claramente definido en lo que respecta a su concepción de la matemática, siendo todas las categorías asociables al modelo de resolución de problemas, por lo que quedará simbolizado por RP.

IV.7.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE PN

TIPO DE CONOCIMIENTO

Para PN los elementos que conforman el núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

En la única unidad referente a la certeza del conocimiento matemático se hace hincapié en la estructura lógica, como algo que se le exige a la prueba matemática, sin embargo, según manifestó durante el consenso, no se trata de una consideración absoluta. Concibe el conocimiento matemático como un conocimiento sometido a una revisión constante que depende del contexto social, cultural y científico, lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos sea relativa. Esa relación con el contexto impregna a la matemática de una serie de valores.

FIN

En esta categoría la información daba pie a pensar en el modelo de resolución de problemas. El consenso ha confirmado este hecho y ha añadido la consideración de los indicadores de los modelos instrumentalista y platónico como casos del primero. En efecto, piensa que la creación del conocimiento matemático persigue el desarrollo de otras ciencias y técnicas, quedando este fin, por tanto, fuera de la matemática. También cree es un fin de la creación del conocimiento matemático el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas. Pero todos estos fines quedan inmersos en el fin último, cual es el desarrollo de las capacidades intelectuales del ser humano, quedando la evolución de la matemática, por tanto, subyugada al progreso humano.

MODO DE EVOLUCIÓN

Desde una perspectiva dinámica, concibe la matemática como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas.

Las unidades de información daban pie a pensar que para PN el conocimiento matemático se construye, desde una perspectiva antropológica, por interacción social, para dar respuesta a los problemas sociales, culturales, económicos,... La fase de consenso lo ha confirmado y ha añadido la apreciación platónica (el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos), que puede considerarse, en realidad, como incluida en la primera apreciación (correspondiente al modelo de resolución de problemas).

Finalmente, piensa que en el razonamiento matemático hay una combinación de procesos inductivos y deductivos siguiendo el esquema de Lakatos (conjeturas, pruebas y refutaciones).

IV.7.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

IV.7.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

(ERRORES EJECUTIVOS)

(*) Parte 4: l²-l²/4 = 5l²/4 , en lugar de 3l²/4.

(**) Parte 8: cos a = D/2 × l , en lugar de D/2 : l.

(***) Parte 8: S = ... No pone 1/2... (triángulo).

(****) Parte 10: 4 + ... en lugar de 2+2+ ..., pues no son iguales los 4 triángulos.

Debido fundamentalmente al error (**) llega a que

S = 1/2 [(4cos a)²-D⁴]^1/2 , en lugar de obtener la expresión

S = tg a × D²/4.

El error (****) da lugar erróneamente al factor n-4 de las áreas de los triángulos de lados l,l y D, en lugar de ser sus lados l, D y D'.

DESCRIPCIÓN

Después de leer el problema, a pesar de expresar miedo, tiene la impresión de que es fácil, debido a que lo relaciona con problemas abordados previamente por él.

Manipula ("nunca intento un proceso de manipulación sin jugar un rato con el problema"), lo que le lleva a la elección del procedimiento de la triangularización, que no abandonará a lo largo de todo el proceso de resolución, incluso cuando se percata de que la hipótesis inicial (diagonales iguales) era errónea.

Hace un estudio de casos, según el tipo de triángulo y según la paridad del número de lados del polígono, siendo al final del estudio realizado para polígonos con número par de lados cuando aprecia el error antes mencionado. Tras esto, vuelve a manipular e infiere una fórmula para el número de diagonales distintas de un polígono regular en función del número de lados.

Incurre en algunos errores ejecutivos, el primero de ellos debido probablemente a un despiste (*), que afecta tan sólo a un caso particular, y el segundo a un mal planteamiento de una fórmula (**), éste último con consecuencias de tipo general de cara a la solución.

De la entrevista se trasluce el haber pensado en otra estrategia, pero no la llega a desarrollar.

VALORACIÓN

Es de resaltar el hecho de intentar relacionar el problema con otros resueltos anteriormente, aunque asimismo hay que criticar la ausencia de evaluación de la posibilidad de transferencia del método.

En la valoración de su conocimiento relativo al problema, expresa determinado menosprecio, lo que quizás influya en la precipitada elección de un procedimiento para abordar la resolución.

Globalmente, sigue un proceso coherente, con un propósito claramente definido. En concreto, la perspectiva está perfectamente determinada, lo que puede inferirse más por el proceso que por el hecho de haberla explicitado inicialmente.

El plan está bien estructurado, aunque la falta de revisión puede ser causa de haber arrastrado el error de partida hasta casi el final. La consistencia de las acciones locales con las globales es total, resaltando la continua constatación del momento en que se halla la ejecución.

Se nota la ausencia de evaluación de resultados en la fase de ejecución, con las posibles consecuencias de cara a la solución. De hecho, es probable que, si hubiera analizado la viabilidad de la fórmula S = 1/2 [(4cos a)² - D⁴]^1/2, se hubiera dado cuenta de la existencia de un error previo.

Una vez que se da cuenta del error, al final de la resolución, parece intentar salvar lo valioso del planteamiento abandonado.

Hay que valorar negativamente el hecho de no haberle prestado la atención debida a la situación de los cuadriláteros, dándola por resuelta al comprobar que se verificaba en el rombo y en el cuadrado.

Resulta chocante el hecho de haberse enfrascado como lo ha hecho en la resolución sin hacer un análisis en profundidad de las hipótesis implícitas iniciales, cual es la suposición de que todas las diagonales miden lo mismo. Resulta inaudito que este error lo haya arrastrado durante tanto tiempo, siendo al final del estudio del caso de número par de lados cuando se lo topa. Es increíble que poco antes dibujara un octógono y lo descompusiera en un rectángulo y 4 triángulos iguales.

Percatarse de esta forma y a esa altura de la resolución del error mencionado le produce malestar y , a pesar de disponer de un poco más de tiempo, abandona; ahora bien, en ese momento, convencido de que su estrategia general era válida.

No obstante, es apreciable el intento de disminuir las dificultades del problema, descomponiéndolo en dos casos: par e impar.

El esqueleto del protocolo, el proceso, es bastante lineal, C, PE, E, V, C, que aún podría esquematizarse más, ya que, en realidad, tan sólo hay dos grandes fases (C, PE): comprensión inicial (hacerse con el problema) y planificación, iniciada con un tanteo, al que le sigue una decisión estratégica esencial en la resolución (el problema se hará descomponiéndolo en caso impar-caso par y, dentro de ellos, habrá unas submetas, áreas de los distintos triángulos), la cual es ejecutada hasta encontrarse con el error, procediendo entonces a una pequeña revisión del proceso, la cual, a su vez, conlleva una manipulación algo desorientada.

Quizás sea precisamente el exceso de linealidad lo más criticable, ya que debería haber intercalado momentos de control del proceso, de revisión de la resolución.

A pesar de los errores, como resumen, cabría resaltar dos cosas: una es su intento de hacerse con una representación significativa del problema; otra es su conocimiento de que la explicitación de lo que se está haciendo (aspecto metacognitivo) es esencial para no perder la perspectiva de la resolución. Asimismo, aunque posee memoria matemática, muestra torpeza a la hora de trabajar con símbolos, lo que contrasta con su gusto hacia la ejemplificación o el tanteo. La organización del tiempo ha sido correcta, aunque su excesiva confianza inicial y su hipótesis sobre la igualdad de las diagonales han dado al traste con un plan que, en caso contrario, podría haber dado el fruto deseado, pues había captado la estructura del problema en lo que se refiere a la segunda parte.

IV.7.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

DESCRIPCIÓN

Inicialmente piensa que es un problema difícil y que no le va a salir (como los anteriores).

Tras 3 o 4 lecturas del enunciado, asocia la idea de dorsal a un solo número, dándose cuenta enseguida de que la cuestión no se refiere a ese hecho, sino a la existencia de dos subconjuntos con la misma suma. Asimismo ve que es muy probable que esto ocurra con números de 1 al 100.

A continuación escribe qué entiende por el problema, reformulándolo de dos formas distintas.

Se pone un ejemplo intencionadamente fácil y que recorra del 1 al 1000, luego aborda el caso de que los números sean consecutivos y luego equidistantes, en general, concluyendo, tras unos cuantos tanteos mentales, que en este caso siempre hay dos subconjuntos que sumen lo mismo.

Así, pues, observa que la dificultad se halla en el caso de que los números no sean equidistantes y se pregunta cómo caracterizar 11 números al azar entre 1 y 1000 con las cifras del 0 al 9.

Llegado a este punto, se le ocurren tres estrategias de abordaje del problema. La primera, no escrita en el protocolo, consiste en estudiar un caso más pequeño, por ejemplo números entre el 1 y el 100, y luego intentar generalizar, pero no le apetece desarrollarla. La segunda emplea la expresión polinómica de los números, consciente de que, entre 11 números, hay forzosamente dígitos repetidos. Dentro del desarrollo de esta estrategia desarrolla la tercera, al parecerle complicada la segunda. En la tercera supone los números ordenados, escribiendo todos como el primero más una diferencia. Piensa que combinando las diferencias se pueden encontrar dos subconjuntos con la misma suma, pero este camino le parece "lioso, pero posiblemente productivo". Vuelve a la segunda estrategia, pensando que aplicando el orden establecido en la tercera se podría obtener algo provechoso, pero llega sólo a que 2 de los 11 números poseen la misma cifra en las centenas: 5y_iz_i, 5y_jz_j. En realidad, su idea es reducir el estudio a dos cifras, pero ahí se le acaba el tiempo.

Antes de pasar de la segunda a la tercera estrategia, se lleva bastante tiempo pensando qué notación puede ser más conveniente y decidiendo no abordar el problema por probabilidad.

VALORACIÓN

El comienzo del protocolo es bastante bueno, invirtiendo considerable tiempo en hacerse con una representación significativa del mismo.

También destaca la elección inicial de un ejemplo fácil, comenzando así la resolución en orden de complejidad creciente, lo que viene confirmado por el abordaje del caso de que los números sean equidistantes.

Hasta este momento, el protocolo destila un buen hacer. A continuación, el propio resolutor insiste en que la clave del fracaso está en que le ha faltado notación, aunque quizás no se halle tanto ahí la clave como en el hecho de no haber desarrollado a fondo las estrategias consideradas, sobre todo la tercera.

En sus comentarios también deja claro que conoce la utilidad de la simplificación del problema, haciéndose incluso una idea de lo que ocurriría si el tope fuera 100, pero el hecho de descartar este abordaje hace explícita una cierta desconfianza en sus posibilidades, hecho al que alude en la entrevista cuando dice que piensa que no lo va a resolver.

Es apreciable que recapacite, antes de plantear la tercera estrategia, sobre la notación más conveniente a utilizar.

Su comentario sobre la posibilidad de que la tercera estrategia sea productiva pone de manifiesto su control de progreso, así como una buena intuición. Probablemente por la premura del tiempo, no profundiza en esta segunda estrategia, abrumado también por el innecesario simbolismo empleado en ella.

No es oportuno el intento (idea final que no le da tiempo a desarrollar) de combinar la expresión polinómica con la tercera estrategia, pues, incluso reduciendo el estudio a dos cifras, la notación aún se habría complicado más. En estos momentos se echa en falta el empleo de algún ejemplo que pusiera de manifiesto cómo es la sucesión a, a+d₁,...a+d₁₀, más aún si supone que ese camino puede ser productivo. Además, siempre conviene hacerse una idea antes de introducir una notación más complicada.

Parece que domina el proceso, sabe dónde está en cada momento y qué es lo que quiere; busca conexiones entre los tres modos de resolver el problema, pero esto se ve minimizado por su inseguridad, lo que motiva un tratamiento superficial del mismo.

En suma, el resolutor sabe emplear algunas estrategias heurísticas, en particular el tanteo y la organización de la información, ha captado la estructura del problema y posee una idea del proceso, pero presenta dificultades a la hora de razonar con símbolos matemáticos y muestra desconfianza en sus posibilidades, lo que motiva la falta de profundización y desarrollo de algunas estrategias. En particular, se podría haber percatado de que la tercera estrategia se podía desarrollar de forma más simplificada que la segunda.

IV.7.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

DESCRIPCIÓN

Comienza la resolución efectuando varias lecturas del enunciado, con el objetivo de comprenderlo bien. A continuación, se pone dos ejemplos, el 25, que cumple la condición, y el 23, que no la cumple, como punto de partida de un abordaje que pretende "ser más sistemático, no quería empezar a tantear de forma mmm imprecisa, y puse un ejemplo que me surgió, me surgió, y busqué enseguida otro que estaba casi seguro que no se iba a cumplir (para decirme: vuelve otra vez al principio y empieza tranquilo)".

Plasma ese estudio sistemático en una planificación inicial de la resolución según el número de cifras. Naturalmente, empieza con los números de una cifra, tras cuya resolución formula la conjetura de si todas las soluciones serán de la forma 2^a5^b. A partir de ese instante combina la comprobación de la conjetura con el estudio por cifras. Llega a una conclusión, al filo del minuto 15, que es cierta para números de 2 cifras, lo que parece pasar por alto, pero no de manera general. Aunque a esa altura de la resolución no se puede saber si era consciente de ello, es claro que el resumen que hace posteriormente de sus resultados pone de relieve la cota 2 para a y la 3 para b (por lo que podría considerarse un error).

Prácticamente da el problema por concluido a mitad de la página 3, pero revisa lo hecho hasta entonces, pues sospecha desde el principio la relación de las soluciones con las potencias de 10 y porque además quiere comprobar los resultados parciales. Es el momento en el que se le acaba el tiempo y finaliza.

VALORACIÓN

Es encomiable la inversión de tiempo y esfuerzos por hacerse con una representación significativa del problema, consciente, además, de la importancia de ello:

"la fase de comprensión le he dedicado tiempo, no he tenido prisa, o sea, que no...hasta que no, hasta que no he entendido no he pasado a la siguiente"

 

Hace también un esfuerzo consciente por desarrollar una buena fase de planificación ("para decirme: vuelve otra vez al principio y empieza tranquilo"), lo que viene a materializar el comentario que efectúa al final de la entrevista posterior a la resolución:

"me he dado cuenta que mi proceso de resolución de problemas, lo que se le podría llamar la fase de planificación, paso muy rápido por ella; entonces, suelo detenerme en la fase de comprensión, en la de resolución, pero esa resolución se basa en estrategias poco pensadas. Esa puede ser una de las claves por la que tenga dificultades en muchos problemas, no por lo, digamos, por los muchos o pocos conocimientos matemáticos que tenga sobre la situación, que es lo que yo he pensado hasta ahora; me he dado cuenta que paso rápidamente, incluso en este problema, pues también he pasado rápido, menos, pero rápido (debe ser algo, algo relacionado con mi propia personalidad)"

 

Parece haber sido clave en el proceso el hecho de no haber relacionado su sospecha sobre la relevancia de las potencias de 10 con la conjetura sobre la forma de las soluciones. Su relación le podría haber conducido a tener en cuenta los divisores de las potencias de 10, punto central de la resolución.

Por otra parte, hay un punto de inflexión en la planificación cuando enfoca ya la resolución posterior en función de la conjetura mencionada. A tal respecto, es criticable la ausencia de un estudio sobre si ese tipo de solución abarca o no todas las soluciones, pero, según manifiesta ("prefería terminar esto, que era algo así como terminar lo seguro y luego abordamos lo probable"), decide intentar resolver de alguna manera el problema, aunque la solución no sea completa.

La generalización desde el estudio con 2 y 3 cifras al caso general es bastante pobre, provista de cierta ingenuidad al suponer que no habría soluciones con la forma conjeturada con más de 3 cifras.

Por contra, es muy bueno el control del proceso, comprobando sus resultados y revisando la coherencia del mismo.

Así, pues, exhibe un buen repertorio de estrategias heurísticas, destacando el empleo frecuente de la revisión y poniendo de relieve su conocimiento metacognitivo. Se organiza bien el tiempo para sus pretensiones, aunque no parece preocuparle en demasía una resolución efectiva. Aunque inicialmente planifica cuidadosamente, luego no explota suficientemente sus recursos. En este problema muestra una mente más intuitiva que lógica. A pesar de que adquiere confianza en sus posibilidades ("después de los primeros 5 minutos sí" [he considerado asequible el problema]), no la posee desde el principio, sino todo lo contrario, manifestando al principio de la entrevista que lo primero que pensó fue "que era difícil y que no lo iba a sacar...Porque...No te lo sé explicar; es una cuestión de actitud, porque habitualmente no resuelvo problemas matemáticos".

Finalmente, parece captar la estructura del problema y se cuestiona la razonabilidad de la solución.

IV.7.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

PN reconoce estar siempre un poco tenso en esas situaciones, produciéndole

"...distintos grados de atascamiento intelectual y de estrés..." (C1).

No obstante distingue tres tipos de situaciones: en la primera experimenta poca tensión (cuando está siendo observado por personas con menos "tablas"); asimismo sufre poca tensión cuando los observadores son "colegas", aunque aquélla se incrementa cuando ha de resolver problemas; finalmente, si es observado por personas que

"...pueden crearme conflicto..." (C1),

por la razón que sea, experimenta mucha tensión.

Por todo lo expuesto, parece que no existe uniformidad, y que más podría hablarse de un especie de media de diferentes situaciones.

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

4) Recaba ayuda e información para afrontarlos preferentemente en solitario.

Tiende a resolverlos solo, efectuando una evaluación de la ayuda que puede necesitar:

"...tras pensarlo solo, decido si puedo abordarlos con o sin ayuda y actúo... tiendo, si puedo, a resolverlos solo..." (C3)

 

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

4) El abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso.

Asegura enfrentarse a problemas

"...siempre que estén relacionados con la enseñanza... Me atraen razonablemente. Pero lo que tengo seguro es que los algoritmos me aburren mucho..." (C4).

 

Hace mucho que no resuelve problemas en grupo, aunque sí participa a distancia cuando él los propone a un grupo de profesores o en un curso de formación:

"...estoy presente cuando algún grupo aborda la resolución de algún problema, pero participo a distancia..." (C5).

"...No me importa aceptar estrategias no sugeridas por mí, pero pocas veces mi interés...coincide con el...de algún grupo... Me he acostumbrado a pensar solo y consultar si es preciso..." (C5).

Esta última referencia da una idea de su aparente buena predisposición a trabajar en equipo, aunque de hecho no llegue a hacerlo.

Por otra parte, la respuesta a C11 aclara su concepción sobre el aprendizaje:

"...estoy convencido que necesito pasar por procesos de resolución de problemas para manejar con suficiente soltura los conocimientos matemáticos...".

 

1.4. Actitud usual en la RP.

1.4.1. Predisposición.

3) Al enfrentarse a situaciones problemáticas, aparecen miedos y ganas de abandonarlas, pero se van superando progresivamente, lo que supone una paulatina concentración en la resolución de las mismas.

En C6 dice poseer entusiasmo y miedo, el cual depende

"...de los conocimientos que a primera vista pueda movilizar el problema...".

 

En las cuestiones 8 y 9 afirma tener ganas de abandonar el problema en varias ocasiones

("...Cuando tardo en elaborar una conjetura razonable... Cuando exige ser muy sistemático..." -C8) y

poseer miedos y bloqueos, ya que los aborda para ver sus posibilidades didácticas y

"...tengo prisas... Por otro lado...creo que no tengo conocimientos matemáticos suficientes y tengo que compensar con otro tipo de estrategias y esto produce complejos..." (C9).

 

Lo anterior se ve corroborado por lo que manifiesta en la entrevista posterior al primer problema:

"...Primero [he sentido al enfrentarme al problema] miedo y luego...que era un problema fácil..." (1U1).

 

Su sensación en el segundo problema es peor:

"...[Inicialmente pensé] que era un problema difícil y que probablemente no me iba a salir..." (2U5),

así como en el tercero:

"...[Inicialmente pensé] que era difícil y que no lo iba a sacar...porque habitualmente no resuelvo problemas..." (3U2).

En los protocolos se aprecia, en general, que los miedos iniciales se van superando paulatinamente, independientemente del hecho de obtener una solución.

1.4.2. Confianza en sí mismo.

3) Tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad puede deberse a distintos motivos, como la limitación temporal o la familiaridad del tópico o la disponibilidad de alguna fórmula.

La respuesta a C23,

"...De entrada la sensación de que puedo hacer cosas [cuando un problema corresponde a un tópico de confianza] y a partir de esa actitud se inicia todo el proceso de forma más relajada y gratificante...",

junto con la dada a C24,

"...gran inseguridad de partida,...puedo abandonarlo, puedo buscar información,...puedo intentar la resolución mediante...heurísticos e ir construyendo algunos de esos conocimientos...",

ponen de relieve una confianza en sus posibilidades que depende del tópico matemático, estimando asimismo su disponibilidad de estrategias generales, mostrando un comportamiento variado en el caso de que el problema corresponda a un área de poca confianza.

Todo ello se combina con la constancia de miedos iniciales y paulatina superación a lo largo de los protocolos, como se ha constatado anteriormente (ver citas de 1.4.1., a las que hay que añadir una relativa al tercer protocolo, en la que, tras los primeros momentos para hacerse con el problema, lo considera asequible:

"...después de los primeros 5 minutos sí [lo considero asequible]..." (3U7).

 

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la RP.

3) Alterna conocimiento organizado con desorganizado, por lo que la aplicabilidad de sus conocimientos es variable.

En general muestra un conocimiento adecuado al nivel exigido en los problemas, aunque con lagunas en cuestiones de generalización o simbolismo.

En el primer problema muestra un conocimiento adecuado al nivel que se exige, independientemente de los múltiples errores ejecutivos cometidos.

En el segundo problema dice haberle faltado notación:

"...no sabía cómo caracterizar el problema, me ha faltado notación...", (2U1)

"...Estaba buscando una notación para expresar...un conjunto de 11 números entre el 1 y el 1000...y cuál era la más conveniente, si la expresión polinómica o..." (2U3).

Está abrumado por el innecesario simbolismo empleado en la resolución.

Finalmente, en el tercer problema parece que teme abordar el caso de las potencias negativas, desechando su estudio

"...porque originarían denominadores y entraríamos en otra película..." (3U15).

Hay que decir que haberlas desechado pudo deberse al deseo de garantizar soluciones, aunque fueran parciales, pero asimismo muestra la dificultad de tratar ambos casos al mismo tiempo.

Cuando se le pregunta si cree poseer suficiente formación matemática para abordar problemas (C7), da una más que probable causa de sus deficiencias:

"...Creo que no. Durante la carrera no fui un entusiasta de las mates...".

Además, preguntado por su hábito de revisar el planteamiento, una vez obtenida una solución (C14), añade:

"...Me cuesta más trabajo buscar todas las soluciones posibles, quizás porque piense en la dificultad matemática que conlleva...".

Finalmente, cuando se le cuestiona por su rendimiento en estos tres problemas, dice:

"...inferior a mis posibilidades,...[porque] he partido del supuesto de no poder resolverlos satisfactoriamente..., porque creo que no sé muchas mates y por tanto iba a necesitar más tiempo...[y] porque los he abordado con desgana..."(C2),

poniendo de manifiesto que confía en sus posibilidades, caso de disponer de más tiempo, aunque dichas posibilidades no se centren en la acumulación de conocimiento matemático específico.

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

4) La memoria es útil; su falta se tratará de solventar con procedimientos alternativos.

En C19 deja claro un conocimiento detallado (según las fases de resolución) sobre el papel que puede desempeñar la memoria en la resolución de un problema. Da, en efecto, muestras de un considerable conocimiento metacognitivo. También nombra varios efectos que la falta de memoria puede tener sobre él:

"...En algunos casos bloqueo total. Otras veces puedes planificar, pero no ejecutar. Otras te obliga a perder generalidad en los resultados. Otras a seguir caminos mucho más largos y laboriosos. Otras te permite construir esos conocimientos de forma profundamente sólida...",

lo que pone de relieve que, cuando el fallo de memoria no impida completamente abordar el problema, da cabida a la búsqueda de procedimientos alternativos.

Esto se ve confirmado cuando en el primer protocolo intenta relacionar el problema con otros resueltos anteriormente (E1: triangularización). Precisamente, en el cuestionario (C19) destaca lo siguiente:

"...En la fase de planificación me permite buscar estrategias por analogía...".

 

Insiste en el segundo problema:

"...He pensado en esa posibilidad, pero...no me he acordado de problemas similares..." (2U9),

y en el tercero:

"...en un principio me recordó otro..., lo deseché enseguida y...no se me han ocurrido problemas similares,...no ha habido un razonamiento por analogía..." (3U9).

 

Respecto a la seguridad en la búsqueda de procedimientos alternativos, en el primer protocolo parece mostrar frescura al respecto, en el sentido de confiar en la obtención de vías de aproximación, aunque éstas no conduzcan al resultado en su totalidad. Este hecho también se hace patente en el segundo protocolo, dando incluso la impresión de que lo que le agrada es la búsqueda de posibilidades, a veces por encima de la efectividad de la resolución. El tercer protocolo aporta menos información al respecto, aunque el final, donde dice que se abre otra línea y posteriormente que lo pensará, pone de manifiesto su interés por abordar estrategias alternativas.

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa.

4) Obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

Obtiene una buena comprensión del primer problema (E1), sabiendo perfectamente qué se le pide y en qué contexto ha de trabajar (E4 y E5), aunque menosprecie el abordaje en profundidad de la primera parte (E1), que debería haber hecho independientmente de la segunda.

Consigue hacerse con una representación significativa del segundo problema (E1, E2 y E3), captando su estructura. En ningún momento deja entrever dudas sobre la comprensión.

El tercer problema también es comprendido significativamente (E1), aunque tiene dificultades en la formalización, abordando casos concretos, sin formular de manera general la condición.

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

3) Existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

El plan está bien estructurado desde principio a fin, pero sólo en lo que se refiere a la segunda parte del primer problema, siendo inapropiado para la primera parte. La perspectiva está perfectamente determinada, lo que puede inferirse más por el proceso que por el hecho de haberla explicitado inicialmente (E4 y E5 fundamentalmente).

En el segundo problema destaca la elección de un ejemplo fácil (E2), comenzando así la resolución en un orden de complejidad creciente, lo que viene confirmado por el abordaje del caso de que los números sean equidistantes (E3). Sin embargo, no haber desarrollado a fondo las estrategias, sobre todo la tercera (E5), le ha llevado al fracaso.

Exhibe un buen repertorio de estrategias heurísticas en el tercer problema. En su planificación hay un punto de inflexión cuando enfoca la resolución en función de la conjetura sobre la forma de las soluciones (E3 comienzo). No obstante, la planificación, aunque posibilita la obtención de soluciones, no abarca todos los casos, echándose en falta la inclusión de mecanismos de generalización, como el uso de la expresión polinómica.

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

3) La ejecución es coherente con la planificación, pero es tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

En el primer problema incurre en algunos errores ejecutivos, el primero de ellos debido probablemente a un despiste (E2), que afecta tan sólo a un caso particular; el segundo error se debe al mal planteamiento de una fórmula (E4 caso 1) con consecuencias de tipo general de cara a la solución; en E5 también comete un error que sólo incide en la expresión final. Todo ello da muestras de torpeza a la hora de trabajar con símbolos. No obstante, la ejecución guarda coherencia con su planificación y le permite obtener resultados intermedios.

En el segundo problema escasea la ejecución y da la impresión de tener dificultades en el manejo de símbolos.

El protocolo del tercer problema muestra una ejecución consecuente con la planificación, aunque no aporta resultados que podrían haber conducido a una mejora de dicha planificación, encaminada a abordar el problema en toda su extensión. Por otra parte, la deducción del paso 10º (E3) no está justificada y tan sólo es parcialmente correcta. Por ejemplo, 160 es un divisor de 10⁵ y, por tanto, sería una solución de la forma 2^a5, entendiendo 160 como 00160. En cualquier caso, la ejecución le permite obtener resultados parciales (E4).

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

3) Revisa cálculos y proceso, pero falta profundidad al menos en uno de ellos.

"...Suelo [revisar el planteamiento] para confirmar o desechar[lo]...como válido... Suelo [revisar los cálculos] por si distorsionan el proceso...y porque tengo tendencia a los "despistes" calculísticos..." (C14)

La respuesta anterior da pie a pensar, al menos, en la existencia de revisión de la ejecución y la planificación.

En el primer problema se nota la ausencia de evaluación de resultados en la fase de ejecución, con las posibles consecuencias de cara a la solución. De hecho, es probable que, si hubiera analizado la viabilidad de la fórmula S = 1/2 [(4cos a)² - D⁴]^1/2 (E4), se hubiera dado cuenta de la existencia de un error previo. Resulta algo chocante el hecho de haberse enfrascado como lo ha hecho en la resolución sin hacer un análisis en profundidad de las hipótesis implícitas iniciales, cual es la suposición de que todas las diagonales miden lo mismo, pero esto no se debe más que a la inercia de un proceso con el que inicialmente se sentía satisfecho. Este error lo ha arrastrado durante bastante tiempo, siendo al final del estudio del caso de número par de lados (E5 final) cuando se lo topa. Es increíble que poco antes dibujara un octógono y lo descompusiera en un rectángulo y 4 triángulos iguales. Tras encontrarse con el error (parte 11 del protocolo, E5), procede a una pequeña revisión del proceso, la cual, a su vez, conlleva una manipulación algo desorientada. En resumen, dicha revisión (escasa a lo largo del protocolo) no posee la suficiente profundidad como para desentrañar los errores más relevantes. De hecho, la ejecución no ha sido revisada, como afirma en la entrevista con un rotundo "no".

El segundo protocolo no se presta más que a lo que ha hecho:

"...iba revisando y releyendo, pero...solamente eso..." (2U10),

ya que no llega a desarrollar ningún plan.

En cuanto al tercer problema, lo da prácticamente por concluido en E4, pero revisa lo hecho hasta entonces (E5), pues sospecha desde el principio la relación de las soluciones con las potencias de 10 y porque además quiere comprobar los resultados parciales. Es el momento en el que se le acaba el tiempo y finaliza:

"...aproximadamente a los 20 minutos he hecho una revisión [en realidad se refiere al episodio E4, entre los minutos 25 y 30, que escribe muy poco]... he estado releyendo todo..." (3U11),

"...me he ayudado con la calculadora [para revisar también las estrategias]..." (3U13)

"...enseguida me di cuenta de que no dependía del número que pusieras delante, sino de las potencias de 10 correspondientes a su descomposición polinómica... fue una sospecha...desde casi los primeros 10 minutos..." (3U16).

 

2.5. Nivel de acabado de la solución.

4) Tras obtener una solución, trata de llegar al resultado de otra manera y se plantea si la solución es razonable. En gran parte de las ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

"...Suelo [buscar otras formas de resolver un problema]...porque me gusta presentar y establecer relaciones entre conocimientos y métodos... creo que es una fecunda aportación al desarrollo intelectual..." (C15)

 

Lo anterior se ve confirmado por lo que expresa en la entrevista posterior al primer problema:

"...he pensado que podía tener relación con otros problemas resueltos anteriormente, pero no lo he hecho..." (1U8).

 

Tanto en el primero como en el segundo problema no ha lugar a discutir la razonabilidad de la solución, ya que no obtiene ninguna.

Respecto al tercer problema, se plantea la razonabilidad de la solución:

"...por eso...hice una revisión, porque me pareció [la solución] un poco pobre. Creo que es razonable, lo que pasa es que ahora mismo pienso que es un caso particular de una solución...más general..." (3U12).

En efecto, en el protocolo trata de cerrar el proceso (pues es consciente de que puede haber quedado algo sin justificar plenamente o sin sacarle el partido posible -paso 10º, E3) e incluso afirma que "se abre otra línea" (E5).

Así, pues, lo mostrado en los protocolos induciría a pensar en la posibilidad de que, a la hora de plantearse otras formas de solución, no pase de la intención; ahora bien, el nivel de acabado de la solución tiene mucho que ver con el tiempo destinado a la resolución, el cual, por razones obvias, ha de ser limitado en investigaciones de este tipo, y con el hecho de haber obtenido o no una solución, por lo que debe concederse más fiabilidad al tercer problema y al cuestionario.

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

4) Bastante, aunque no lo lleve a cabo de una sola vez al principio, pudiendo quedar algo suelto. Hay un contraste detallado en el momento adecuado entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento.

El protocolo del primer problema es una confirmación de lo que afirma en el cuestionario, donde dice invertir tiempo en comprender el enunciado (C13). Sobre todo debemos centrar nuestra atención en E1 y, más aún, en la parte 1, en la que, aunque le "suena al área del rombo" y "a un proceso de triangularización de polígonos regulares", decide profundizar en la comprensión:

"...Voy a manipular un rato a ver qué otras cosas obtengo...".

En la posterior entrevista ratifica lo anterior y da claves más generales:

"...nunca intento un proceso de generalización sin jugar un rato con el problema...me resulte fácil o difícil..." (1U2).

 

En C12 asegura ir detectando sus "posibles carencias" en la fase de comprensión, planteándose sus posibilidades tras "tantear un poquito informalmente".

En el segundo problema invierte más de 5 minutos (E1 completo) para hacerse con una representación significativa, poniéndose ejemplos y formulando el enunciado con sus palabras, lo que pone de manifiesto un conocimiento de la utilidad de la fase de comprensión y de los heurísticos apropiados en ella:

"...empecé a escribir...bueno, ¿qué es lo que yo entendía por el problema?..." (2U1),

"...lo que sí quería tener claro, desde el principio, era cuál era la pregunta, en qué consistía el problema..." (2U6),

"...le dediqué mucho tiempo a leerlo..." (2U7).

 

Es encomiable asimismo la inversión de tiempo y esfuerzos por hacerse con una representación significativa del tercer problema, consciente, además, de la importancia de ello:

"...la fase de comprensión le he dedicado tiempo, no he tenido prisa, o sea, ...hasta que no he entendido no he pasado a la siguiente..., ha habido como dos grandes momentos de relectura, uno intenso al principio (E1) y otro intenso al final (E5)..." (3U3),

"...al final del problema, consciente de que se me había escapado alguna línea, lo volví a releer por si me daba nueva pista..." (3U6).

Por otra parte, el abundante uso de heurísticos de comprensión pone de relieve la importancia que concede a la obtención de una representación significativa (Organizar la información, Expresar en otros términos y Ejemplificar).

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

3) El resolutor concede importancia a la planificación. No obstante, a veces se ve impulsado a no profundizar en ella, precipitándose en la elección de un plan.

"...no [invierto] demasiado en elaborar una estrategia..., creo que tiendo a menospreciar esa fase. Paso rápidamente de la comprensión a la resolución..." (C13)

Con esta respuesta deja claro su deseo de conceder más peso a la obtención de una buena planificación, lo que corrobora al final de la entrevista correspondiente al tercer problema:

"...me he dado cuenta que mi proceso de resolución de problemas, lo que se le podría llamar la fase de planificación, paso muy rápido por ella; entonces, suelo detenerme en la fase de comprensión, en la de resolución, pero esa resolución se basa en estrategias poco pensadas. Esa puede ser una de las claves por la que tenga dificultades en muchos problemas, no por lo, digamos, por los muchos o pocos conocimientos matemáticos que tenga sobre la situación, que es lo que yo he pensado hasta ahora; me he dado cuenta que paso rápidamente, incluso en este problema, pues también he pasado rápido, menos, pero rápido (debe ser algo, algo relacionado con mi propia personalidad)..." (3U16).

Se trata de una gran parte de un párrafo que informa de aspectos metacognitivos. La importancia que, de hecho, otorga a la obtención de una buena planificación hay que extraerla además de los protocolos.

En el primer problema hace una precipitada elección de un procedimiento para abordar la resolución (ya en el E2 tiene un plan que no discutido convenientemente).

En el segundo problema es apreciable que recapacite, antes de plantear la tercera estrategia (E5), sobre la notación más conveniente a utilizar. Temeroso de introducirse en una estrategia de complicado desarrollo, convierte el protocolo en una continua planificación:

"...estaba buscando una notación para expresar...un conjunto de once números entre el 1 y el 1000 [minutos 25-30 dentro de E5]..." (2U3),

"...he trabajado con esa conjetura [siempre hay dos grupos que suman lo mismo]..., pero...no ha habido una fe ciega..., tenía la impresión de que pudiera ser que no..." (2U4).

 

Hace en el tercer problema un esfuerzo consciente por desarrollar una buena fase de planificación

"...me lo sugiere el propio enunciado [los ejemplos del 225 y 223]..., intentar ser más sistemático, no quería empezar a tantear de forma...imprecisa, y puse un ejemplo que me surgió...y busqué enseguida otro que estaba casi seguro que no se iba a cumplir (para decirme: vuelve otra vez al principio y empieza tranquilo)..." (3U4),

lo que viene a materializar el comentario que efectúa al final de la entrevista (referido anteriormente). No obstante, cuando dice

"...he querido centrarme en ésa [estrategia]. Es un esfuerzo consciente..." (3U5),

deja entrever el síndrome del avestruz al no arriesgarse a indagar sobre una mejora en la planificación.

Por ello, parece que el resolutor concede, de hecho, una importancia relativa a la consecución de una buena planificación, pero, al mismo tiempo, se haya en proyección de otorgarle más importancia.

3.3. Importancia otorgada a la explicitación del estado de la ejecución.

5) La explicitación del estado de la ejecución es muy frecuente y natural dentro de la propia ejecución, aclarando las razones por las que está llevando algo determinado a cabo, qué hará con ese resultado en ciernes y qué está haciendo exactamente.

En el primer problema pone de manifiesto la importancia que concede a la explicitación del estado de la ejecución cuando, en la parte 3 (E2) detalla las razones que le llevan a elegir el primer ejemplo:

"...Cojo el exágono, porque el radio es igual lado y como caso particular...".

Más adelante, en la parte 7 (E3), aclara las conclusiones obtenidas en la ejecución:

"...En general, el problema puede reducirse a calcular el área de triángulos isósceles, unos formados por dos lados y una diagonal y otros formados por dos diagonales y un lado...".

En general, puede resaltarse la continua constatación del momento en que se halla la ejecución y su orden:

"...aunque esté aquí desordenado, he ido caso a caso..." (1U7).

 

Sin embargo, el segundo protocolo, al no desarrollar ninguna estrategia, no da lugar a obtener información sobre este indicador.

En cuanto al tercer problema, podemos observar la alta frecuencia con la que explicita el estado de la ejecución, resaltando los logros intermedios (final de E2, mitad y final de E3, E4), así como la dirección (conjeturas) hacia la que se dirige la ejecución que sigue (comienzo de E3).

3.4. Coherencia y control del proceso.

4) El proceso es bastante coherente y la organización es bastante frecuente, existiendo sólo algún momento sin demasiada importancia en que se note incoherencia y pérdida del control del proceso. El planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas tiene una frecuencia moderada. Los recursos son, por lo general, cuidadosamente elegidos y explotados. Le concede bastante importancia al control del proceso, pensando que puede influir bastante en la resolución del problema.

Globalmente, sigue un proceso coherente en el primer problema, con un propósito claramente definido. En concreto, la perspectiva está perfectamente determinada, lo que puede inferirse más por el proceso que por el hecho de haberla explicitado inicialmente. Tan sólo se observa pérdida de control en E6, al final de la resolución, tras percatarse en E5 del error cometido (suposición de igualdad de diagonales). Incluso ahí parece esforzarse por salvar lo valioso del procedimiento anterior. Quizás lo más criticable sea el exceso de linealidad (comprensión, planificación, ejecución, verificación), ya que debería haber intercalado momentos de control del proceso, de revisión de la resolución. Finalmente, es apreciable la parte 11, que da pie a la manipulación última (E6), donde trata de esbozar cómo se seguiría la resolución. Muestra de su control del proceso es el siguiente texto de la entrevista:

"...casi desde el principio, después del primer proceso de manipulación [supe lo que me solicitaba el enunciado]... Lo que sí me iba percatando del grado de dificultad, que quizás un problema sea menospreciar el enunciado..." (1U3),

"...sé que podría...averiguar el número de diagonales distintas, que podría conocer los ángulos, pero no lo he usado, estaba buscando más el procedimiento de tipo general..." (1U4),

"...sabía que, dentro del caso general, estaba incluido el mío, era una parte, lo que pasa es que no me ha dado tiempo, es decir, sería un pequeño subproblema..." (1U9).

 

Parece dominar el proceso de resolución del segundo problema, aunque no resultara efectivo. Sabe dónde está en cada momento y qué quiere y busca conexiones entre los tres modos de resolverlo. Su comentario sobre la posibilidad de que la tercera estrategia sea productiva (E5) pone asimismo de manifiesto su control de progreso.

Como expresa en la entrevista y se puede observar a lo largo del protocolo de resolución del tercer problema, ha tenido en todo momento el control del proceso, siendo consciente de posibles perspectivas (E5) e incluso volviendo a justificar pasos anteriores, manteniendo de esta forma la dirección elegida durante todo el proceso.

"...En algunos momentos iba casi por delante...del propio proceso, pero lo he ido comprobando..." (3U10).

También añade:

"...revisar el problema...para ver si había habido...algún hueco..., que ya lo he ido sospechando a lo largo del proceso..." (3U1),

"...pero me parecía compleja y prefería terminar esto..." (final de 3U11),

"...lo dejé para terminar primero sistemáticamente el proceso..." (3U14),

poniendo de manifiesto que llevaba las riendas del proceso al mismo tiempo que ha permitido posibles incoherencias o lagunas con la intención de solventarlas posteriormente.

3.5. Organización temporal.

4) Procura dominar el factor tiempo, interrogándose con una frecuencia moderada sobre la relación entre los resultados que va obteniendo y el tiempo invertido. Su aspecto negativo puede estar en la falta de visión global, contentándose con resultados parciales.

La organización del tiempo en el primer problema ha sido correcta, intentando obtener resultados con cierta frecuencia, independientemente de haber arrastrado una suposición errónea (igualdad de diagonales) durante mucho tiempo.

En el segundo problema hay muestras de una organización por encima de los agobios por el tiempo:

"...Me parece lioso [E5]... Ya llevo 35 minutos. Vuelvo a la expresión polinómica, un poco a ver si conectada con..." (2U2),

"...no he pasado a la fase siguiente hasta [tener] claro...cuál era la pregunta..." (2U8)

 

Se organiza bien el tiempo del tercer problema, invirtiendo esfuerzos en la comprensión y en la planificación. Tiene clara la intención de llegar a una primera solución al menos, aunque queden cabos sueltos para pensar luego :

"...al saber que tenía 40 minutos...tenía la intención de cerrar este camino [E3], solamente en la revisión [E5] se empezó a abrir y ya se había acabado el tiempo..." (3U8).

 

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

5) Tiene constancia de un completo repertorio de estrategias de RP y es consciente del papel que desempeñan en una buena resolución. Considera importante disponer de estrategias de control de la acción y de un conocimiento organizado e incluso piensa que en toda resolución pueden influir variables externas (afectivas, sociales, etc.).

En C10 escribe un amplio repertorio de estrategias (abundando las de comprensión y planificación), mencionando su utilidad en algunos casos. Este más que aceptable conocimiento metacognitivo se ve corroborado en su respuesta a C18 sobre las cualidades de un experto resolutor de problemas:

"...amplios conocimientos..., meticuloso en las distintas fases: comprensión..., planificación..., ejecución..., revisión...",

lo que pone de relieve su buen conocimiento de las componentes necesarias, independientemente de su efectividad personal, como confirma en C20:

"...No [me considero experto resolutor de problemas]. Porque no sigo con rigor las distintas fases...y porque no dispongo de suficientes conocimientos... Es posible que exista algún elemento actitudinal de creencia en las propias capacidades...".

 

En la entrevista posterior al primer problema también detalla la utilidad de una estrategia, en concreto el tanteo:

"...[Con el tanteo puedo obtener] pistas, una conjetura,... un procedimiento particular,... un patrón..." (1U5),

y deja claro que era consciente de la necesidad de emplear otra estrategia, aunque no lo hiciera:

"...vi que era oportuno hacerlo [cambiar de notación], pero...no me ha dado tiempo..." (1U6).

 

Todo lo dicho se ve plasmado en su uso de estrategias:

- Primer problema: organizar la información (comprensión), tantear, descomponer el problema, planificar jerárquicamente la solución (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Segundo problema: organizar la información (comprensión), tantear, descomponer el problema, considerar problemas equivalentes (planificación).

- Tercer problema: organizar la información, expresar en otros términos, ejemplificar (comprensión), descomponer el problema, conjeturar (planificación), analizar la consistencia de la solución, analizar la consistencia del proceso (verificación).

Pone así en evidencia su alto conocimiento estratégico, aunque no siempre consiga el objetivo deseado.

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

 

Situadas ambas categorías (la 2 y la 3) en la banda 3-5, hay que diferenciar una de otra. En efecto, la segunda categoría está dentro de la subbanda 3-4 completamente, mientras que la tercera se halla en la subbanda 4-5, aunque posee un indicador con un nivel 3. No obstante, globalmente es preciso decir que PN está en la banda 3-5, subbanda 3-4: B3-5, S3-4 (con dos 5).

IV.7.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

El hecho de estar siendo observado le supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

En cuanto a su actitud hacia los problemas cotidianos, recaba ayuda e información para afrontarlos preferentemente en solitario.

Dentro ya del campo matemático, el abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso. Sin embargo, al enfrentarse a situaciones problemáticas, aparecen miedos y ganas de abandonarlas, pero se van superando progresivamente, lo que supone una paulatina concentración en la resolución de las mismas. Por otra parte, tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad parece deberse a la familiaridad del tópico.

A veces ha mostrado un conocimiento organizado y otras veces desorganizado, por lo que da la impresión de que la aplicabilidad de sus conocimientos es variable.

Respecto al papel de la memoria, la considera útil, y trata de solventar su falta con procedimientos alternativos.

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

Por lo general, obtiene una representación bastante significativa, aunque puede quedar algún pequeño cabo suelto. En otras palabras, suele capturar la estructura del problema, aunque puede resultarle dificultosa la formalización.

A lo largo de los protocolos se observa que existe una planificación con cierto grado de coherencia, aunque a veces no resulte pertinente para la situación.

Respecto a la ejecución, es coherente con la planificación, pero tan sólo parcialmente eficaz, ya que aporta pocos resultados aprovechables para avanzar en la resolución de la situación planteada, o, en el mejor de los casos, permite obtener resultados intermedios.

Este tono medio continúa en relación al empleo de la revisión, ya que revisa cálculos y proceso, pero falta profundidad al menos en uno de ellos.

Sin embargo, el nivel de acabado de la solución es algo superior, pues, tras obtener una, trata de llegar al resultado de otra manera y se plantea si la solución es razonable. Además, en gran parte de las ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

Los rasgos de esta categoría son, por lo general, claramente superiores a los de las anteriores.

Concede bastante importancia a la obtención de una representación significativa, aunque no lo lleve a cabo de una sola vez al principio, pudiendo quedar algo suelto. Hay un contraste detallado en el momento adecuado entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento.

Asimismo, otorga importancia a la planificación. No obstante, a veces se ve impulsado a no profundizar en ella, precipitándose en la elección de un plan.

Despunta la explicitación del estado de la ejecución, que es muy frecuente y natural dentro de la propia ejecución, aclarando las razones por las que está llevando algo determinado a cabo, qué hará con ese resultado en ciernes y qué está haciendo exactamente.

Por su parte, el proceso es bastante coherente y la organización es bastante frecuente, existiendo sólo algún momento sin demasiada importancia en que se note incoherencia y pérdida del control del proceso. El planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas tiene una frecuencia moderada. Los recursos son, por lo general, cuidadosamente elegidos y explotados. Le concede bastante importancia al control del proceso, pensando que puede influir bastante en la resolución del problema.

Respecto a la organización temporal, procura dominar el factor tiempo, interrogándose con una frecuencia moderada sobre la relación entre los resultados que va obteniendo y el tiempo invertido. Su aspecto negativo puede estar en la falta de visión global, contentándose con resultados parciales.

Finalmente, tiene constancia de un completo repertorio de estrategias de RP y es consciente del papel que desempeñan en una buena resolución. Considera importante disponer de estrategias de control de la acción y de un conocimiento organizado e incluso piensa que en toda resolución pueden influir variables externas (afectivas, sociales, etc.).

IV.7.4. ANÁLISIS FINAL

Tendencia investigativa y Concepción dinámica puras-Práctica reflexiva-Autoconocimiento

La cierta frecuencia con la que se enfrenta a problemas matemáticos, motivado por la necesidad docente (1.3.-4) concuerda perfectamente con una metodología cuya práctica se caracteriza por la resolución de problemas (I1) y con la creencia de que el conocimiento matemático está dirigido por la resolución de problemas (RP5). Posee una confianza moderada en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-3) y, en el mismo tono, aparecen miedos cuando resuelve problemas, pero los supera progresivamente (1.4.1.-3), aspectos que no se corresponden con la consideración de objetivos flexibles y revisables (I3), con una programación a base de redes conceptuales organizadas (I4) o con el criterio de evaluación sobre mínimos reformulables (I30), pues estos indicadores muestran una gran confianza en su labor docente, a los que hay que añadir el papel que concede al alumno, que investiga (I17), reflexiona (I18) y cuestiona (I19) en sus clases; no obstante, esta discordancia informa de la no necesaria implicación entre algunos indicadores del perfil como resolutor y otros indicadores de la tendencia didáctica, y además es un reflejo del grado de conocimiento que PN posee de sí mismo, sabedor de sus limitaciones (actuales) como resolutor de problemas. Es, por consiguiente, un detalle que apunta hacia un alto conocimiento metacognitivo, como confirma en 3.6., donde posee un nivel 5. Asimismo, hace un buen uso de la memoria en la resolución de problemas (1.6.-4), en total asociación con su concepción del aprendizaje, en la que huye de lo memorístico, destacando la inclinación por un aprendizaje significativo relevante (I8) por construcción dirigida (I10).

Por otra parte, la confianza en su labor como profesor, antes referida, se ve respaldada por una evaluación volcada en el proceso (I34), en la que entran a informar varios instrumentos (I35) y que tiene un carácter cualitativo-cuantitativo (I26), lo que guarda relación con un modelo abierto y dinámico de concepción de la matemática, en la que podemos destacar la consideración de la matemática como campo de creación (RP5).

Aunque revisa la resolución de los problemas, le falta profundidad en los cálculos o en el proceso (2.4.-3), en relación con su declarada intención de enfrentarse a problemas con proyección en su aula (1.3.-4), mostrando desinterés en otro caso (de ahí el comportamiento mediocre o dubitativo). Sin embargo, el nivel de acabado de la solución es bueno (2.5.-4), ya que se plantea la razonabilidad de los resultados y, como dice en C15,

"...me gusta presentar y establecer relaciones entre conocimientos métodos... creo que es una fecunda aportación al desarrollo intelectual...",

lo que concuerda con un modelo de concepción de la matemática con fin de desarrollo intelectual (RP4) y con un conocimiento centrado en estructuras conceptuales, procedimientos matemáticos y estrategias generales (RP1).

Su buen control de la acción recuerda fundamentalmente la ausencia de criterios de utilidad en el conocimiento matemático, en sentido instrumentalista, que, por contra, implica unos valores (RP3), así como su posición a favor de un tipo de razonamiento basado en conjeturas, pruebas y refutaciones (RP7) respecto al modo de evolución del conocimiento matemático.

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