(ÍNDICE GENERAL) (ÍNDICE DEL CAPÍTULO)

 

ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE RC 

 IV.8.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

 IV.8.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CEM)

METODOLOGÍA (I)

8.(En mi asignatura, los algoritmos ocupan)entre el 15 y el 20 %...el resto es hacer matemáticas, no algorítmicas... puede ser resolver problemas..., plantear retos... El hacer matemáticas es el poder discutir ideas que tú tienes en un lenguaje matemático, el poder profundizar...en una idea que te ha surgido en un contexto de un ejercicio, de una lectura de cualquier capítulo de cualquier historia.

2'.Tengo muy claro que la "tiranía" de un programa "tradicional" debe romperse mediante el planteamiento de una seleccionada y ágil colección de situaciones problemáticas, que aseguren el trabajo sobre los diferentes aspectos matemáticos del curriculum. Es imprescindible que las distintas situaciones se presenten de acuerdo a un esquema que incluya las siguientes pautas: motivación, tener en cuenta las ideas previas de los alumnos, introducir nuevos conceptos y procedimientos y reflexionar sobre lo aprendido.

17.(La programación)intento cumplirla, lo que pasa es que tampoco me agobia el que no me dé tiempo...La sensación mía y de mis alumnos de que en ese rato, la clase de matemáticas, hemos estado hablando de matemáticas y haciendo matemáticas, yo con eso me conformo.

21.Mi programación está basada en una serie de documentos..., en los documentos hay información teórica, información práctica, y hay resoluciones de problemas, etc, cosas interesantes..., pero, que no les obligo, les digo que ese documento hay que trabajarlo, y sobre ese documento versará, de alguna manera, lo que hacemos en clase...Hay una labor, es decir, en una clase tiene sentido resolver algunas cuestiones que aparecen en el documento...,poder explicar alguna demostración que sea farragosa o que no se vea clara, algunas veces utilizo textos que no son tan claros o que utilizan un lenguaje "circuncional". Funciono...como una especie de dossier con distintos lenguajes, no sólo en el mismo texto de un mismo libro, sino de distintos... Con lo cual cambian, a lo mejor, la nomenclatura, la forma de...utilizar los símbolos, entonces... ahí hay un esfuerzo de traducción que lo hacemos en clase y lo hacen también ellos en casa.

14.(Reviso mis planteamientos iniciales) continuamente... Sondeo, realmente...qué es lo que está pasando, si realmente... estamos sintonizados...,si no es que yo estaría en el vacío...No habría ninguna posibilidad de interacción.

I1:Resolución de problemas

 

 

 

 

 

I1+2:Resolución de problemas. Investigación planificada

 

 

 

 

 

 

 

I2:Investigación planificada

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

I3:Objetivos flexibles y revisables

E3 en la práctica (según consenso)

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METODOLOGÍA (II)

16.Mi programación no es una programación...de hora a hora, y eso sí que es importante...Es una secuenciación, pero sin temporalizar...No tengo...ningún reparo en pararme, entre conceptos...o cualquier cosa...., si surge...el más mínimo interés...por parte de los alumnos que me permitan desviarme y parar en otro sitio, sigo ese hilo, es decir, que mi programación es que se va como rompiendo, entonces trabajo como con una trama normalmente... Cuando veo que...la cosa ya...es como repetitiva, retomo otra vez la historia. Me vuelvo otra vez al núcleo de la trama y me muevo por otro lado.

18.(Respecto a cuándo debe abandonarse un tema)Cuando yo me aburro...y yo me aburro cuando veo que los demás empiezan a aburrirse...Creo que un núcleo se puede abandonar y volver a retomar en otro contexto...Cuando...ya cuesta trabajo...seguir en eso..., cambio...De todas maneras es que nos estamos moviendo siempre en lo mismo. Es que te metas por donde te metas, siempre vas a hacer las mismas cosas que tenemos que hacer, a lo mejor en un contexto matricial o en un contexto geométrico, pero, en el fondo, estamos siempre trabajando con lo mismo, que es la matemática que hay en la etapa doce-dieciséis, o doce-dieciocho.

29.Ellos no tendrían posibilidad (de participar en el diseño didáctico)si no se la doy yo. Es decir,...lo que realmente tienen es las tramas de lo que pretendemos hacer durante el curso y aproximadamente una temporalización trimestral...Si ellos son capaces de decir, claramente: "Pues, mira nos interesaría esto", yo no tengo ningún problema en modificarlo, ¡vamos!, lo que pasa que eso es muy difícil que un alumno lo diga.

33.(Abordo el teorema de Tales,)jugando con triángulos y buscando regularidades, y, cuando ...sean capaces de aventurar alguna conjetura,... decir que...eso se llama teorema de Thales y puedo dar paso a la Trigonometría, puedo definir la razón trigonométrica o puedo meterme en el trabajo con semejanza...o puedo poner en práctica para qué me sirve.

I4:Redes conceptuales organizadas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I4

I4

 

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SENTIDO ASIGN.(I)

5'.(Lo más importante que debe aprender el alumno es)sin dudarlo, a ser feliz. En este sentido, un adiestramiento en el razonar, en el trabajar sistemáticamente y con ahínco, en el cooperar con otras personas, en la tolerancia, ...y algo de destrezas y métodos matemáticos.

5.(Enseño al algoritmo de la ecuación de segundo grado)a partir...de contextos no algorítmicos, digamos, a partir del no algoritmo, llegar hacia el algoritmo final. Sí,... y luego decir, bueno, que, que utilicen el que, el que quieran, ¡vamos!, Ruffini, por ejemplo, puede ser uno exactamente igual que el de la... que el otro, ¿no?, Ruffini, siempre que, ¡bueno!, para soluciones enteras, ¿no?. La... coja la calculadora; por aproximación también podría servirte, es decir, es... Yo creo que eso, ese tipo de acercamiento al algoritmo... Luego, el nivel de la demostración del algoritmo... depende del nivel y depende, digamos, de lo que él pretenda realmente ¿no?. Como si, por ejemplo, si es, es una, es una tarea de, de, de, ¡bueno!, de comprobar un algoritmo, en un momento determinado, pues, puede servirme ése, como comprobación, pero, ¡vamos!, que el tema no es aprender el algoritmo, sino comprobar que un algoritmo para la ecuación de segundo grado funciona.

6.La introducción de la calculadora...propicia que el algoritmo no sea la única herramienta posible.

10.(En mi asignatura me planteo como objetivos) conocer una gama de, de conceptos matemáticos y de problemática adaptada, de alguna manera, al nivel o a lo que el progra-ma suele dar..., el conocer de alguna manera eventos relacionados con esos conceptos a nivel histórico...Poten-ciar en todo momento, digamos, esos procedimientos de..., vamos a llamarlo, de carácter general,... como pue-den ser, como pueden ser, pues, el gusto por... el gusto por... el gusto por la búsqueda de soluciones,...el buscar la elegancia,...el no quedarte con la comprobación, sino siempre intentar llegar a algo más, en la generalización... El conocer el lenguaje matemático...creo que se tiene que saber de números,...de geometría,...de lenguaje proba-bilístico, creo que se tiene.... Entonces, que esos cono-cimientos, una vez conocidos en el estado en que están, profundizar,...y plantear unas situaciones donde realmente sea más, más profundo el conocimiento de esos tópicos.

E5:Énfasis procedimental y actitudinal

 

 

I5:Procedimientos, conceptos y actitudes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I5

 

I5

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SENTIDO ASIGN.(II)

1'.El papel del profesor en la clase debe tender hacia la consecución de:-un ambiente relajado y de interés hacia la asignatura,-una tarea, a resolver por los alumnos, que vaya surgiendo de una forma dinámica a lo largo de las clases. A veces a partir de una investigación, quizás a partir de una discusión (profesor-alumno, alumno-alumno) o de una exposición por parte del profesor o alumno,-ser aceptado como un miembro más del aula, aunque con una labor algo diferenciada. Debe motivar, encauzar y propiciar la adquisición de los conceptos, procedimientos y hábitos relacionados con el aprendizaje de las matemáticas.

2'.Tengo muy claro que la "tiranía" de un programa "tradicional" debe romperse mediante el planteamiento de una seleccionada y ágil colección de situaciones problemáticas, que aseguren el trabajo sobre los diferentes aspectos matemáticos del curriculum. Es imprescindible que las distintas situaciones se presenten de acuerdo a un esquema que incluya las siguientes pautas: motivación, tener en cuenta las ideas previas de los alumnos, introducir nuevos conceptos y procedimientos y reflexionar sobre lo aprendido.

25.Si una matriz multiplicada por sí misma es la matriz cero, eso es que la matriz no tiene inverso. Primera cuestión, probar con una matriz...concreta, donde realmente se cumpla...Entonces, todo el mundo a buscar matrices, dos por dos, la han ligado y tal. Siguiente paso..., vamos a generalizar un poquito, entonces el siguiente paso es trabajar matrices dos por dos con coeficientes literales... Ahí puedes perder dos horas intentando trabajar con eso. Se consiguen una serie de ideas, que luego se verifican y salen... Se revisa ese documento...y, curiosamente, salen una serie de iniciativas donde ya no se trabaja con los elementos de las matrices, sino que se trabaja: si una matriz A por otra matriz A nos da una matriz cero... Inmediatamente, surgen un montón ...de demostraciones de otras propiedades matriciales que habían ido surgiendo... Ese es el discurso...No pretendo... que sepan manejar y resolver sistemas...Pretendo que digan: " Jolín, pues hay todo un método..."..., "que es muchísimo más elegante, muchísimo más conciso, y sobre todo muchísimo más cómodo". Eso es lo que les intento transmitir continuamente.

I5:Procedimientos, conceptos y actitudes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I7:Formativa (aprender a aprender)

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CONC.APRENDIZ.(I)

30.(A la hora de tener que decidir entre varios temas, por falta de tiempo...)El tema que más cercano esté a lo que se ha estado haciendo.

10.(En mi asignatura me planteo como objetivos) conocer una gama de, de conceptos matemáticos y de problemática adaptada, de alguna manera, al nivel o a lo que el progra-ma suele dar..., el conocer de alguna manera eventos relacionados con esos conceptos a nivel histórico...Poten-ciar en todo momento, digamos, esos procedimientos de..., vamos a llamarlo, de carácter general,... como pue-den ser, como pueden ser, pues, el gusto por... el gusto por... el gusto por la búsqueda de soluciones,...el buscar la elegancia,...el no quedarte con la comprobación, sino siempre intentar llegar a algo más, en la generalización... El conocer el lenguaje matemático...creo que se tiene que saber de números,...de geometría,...de lenguaje proba-bilístico, creo que se tiene.... Entonces, que esos cono-cimientos, una vez conocidos en el estado en que están, profundizar,...y plantear unas situaciones donde realmente sea más, más profundo el conocimiento de esos tópicos.

2.(Cuando de una buena enseñanza no se obtiene un buen aprendizaje, puede achacarse a)lo que sería el acoplamiento ...dificultad-capacidad del alumno.

5.(Enseño al algoritmo de la ecuación de segundo grado)a partir...de contextos no algorítmicos, digamos, a partir del no algoritmo, llegar hacia el algoritmo final. Sí,... y luego decir, bueno, que, que utilicen el que, el que quieran, ¡vamos!, Ruffini, por ejemplo, puede ser uno exactamente igual que el de la... que el otro, ¿no?, Ruffini, siempre que, ¡bueno!, para soluciones enteras, ¿no?. La... coja la calculadora; por aproximación también podría servirte, es decir, es... Yo creo que eso, ese tipo de acercamiento al algoritmo... Luego, el nivel de la demostración del algoritmo... depende del nivel y depende, digamos, de lo que él pretenda realmente ¿no?. Como si, por ejemplo, si es, es una, es una tarea de, de, de, ¡bueno!, de comprobar un algoritmo, en un momento determinado, pues, puede servirme ése, como comprobación, pero, ¡vamos!, que el tema no es aprender el algoritmo, sino comprobar que un algoritmo para la ecuación de segundo grado funciona.

7.Hay una serie de algoritmos que sí, que merecen la pena, porque son rentables y no tienen un grado de dificultad muy gordo. Hay otros que me parece que son gratuitos, por ejemplo el de la raíz cuadrada.

I8:Significativo relevante (redes semánticas)

 

I9:Inducción-deducción

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I12:Dinamizador: intereses de alumnos y disciplina

I12

 

 

 

 

  

I12

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CEM)

CONC.APREND.(II)

12.Yo programo previamente la asignatura, sin conoci-miento...del alumnado...Dedico...bastante tiempo, casi un par de semanas o tres...a principio de curso a ajustar la programación, con ellos, detectar..., practicando cosas que se han hecho en el curso anterior, necesidades, que yo voy a tener de cara a lo que yo tengo previsto hacer y, una vez que...conozco, más o menos, el ambiente y la forma...de los distintos grupos, clasifico...por pequeños grupos cómo son...,qué es lo que tienen aprendido y cuál es su interés respecto...a la asignatura, modifico la programación. Entonces, me adapto a ellos..., lo que ocurre es que...al principio es una adaptación...de ponerme a su nivel, pero luego...hay como un salto brusco, en estos años lo he notado...,que es una pequeña aceleración que yo doy...En ese tirón intento llevarme al mayor número...de alumnos posibles...Hay unos niveles de exigencia por mi parte...bastante serios...de que hagan ese pequeño esfuerzo para sintonizarnos, y luego ya marchar.

16.Mi programación no es una programación...de hora a hora, y eso sí que es importante...Es una secuenciación, pero sin temporalizar...No tengo...ningún reparo en pararme, entre conceptos...o cualquier cosa...., si surge...el más mínimo interés...por parte de los alumnos que me permitan desviarme y parar en otro sitio, sigo ese hilo, es decir, que mi programación es que se va como rompiendo, entonces trabajo como con una trama normalmente... Cuando veo que...la cosa ya...es como repetitiva, retomo otra vez la historia. Me vuelvo otra vez al núcleo de la trama y me muevo por otro lado.

18.(Respecto a cuándo debe abandonarse un tema)Cuando yo me aburro...y yo me aburro cuando veo que los demás empiezan a aburrirse...Creo que un núcleo se puede abandonar y volver a retomar en otro contexto...Cuando...ya cuesta trabajo...seguir en eso..., cambio...De todas maneras es que nos estamos moviendo siempre en lo mismo. Es que te metas por donde te metas, siempre vas a hacer las mismas cosas que tenemos que hacer, a lo mejor en un contexto matricial o en un contexto geométrico, pero, en el fondo, estamos siempre trabajando con lo mismo, que es la matemática que hay en la etapa doce-dieciséis, o doce-dieciocho.

I12:Intereses de alumnos y disciplina

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I12

 

 

 

 

 

 

 

 

I12

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CONC.APREND.(III)

29.Ellos no tendrían posibilidad (de participar en el diseño didáctico)si no se la doy yo. Es decir,...lo que realmente tienen es las tramas de lo que pretendemos hacer durante el curso y aproximadamente una temporalización trimestral...Si ellos son capaces de decir, claramente: "Pues, mira nos interesaría esto", yo no tengo ningún problema en modificarlo, ¡vamos!, lo que pasa que eso es muy difícil que un alumno lo diga.

3.(Uno de los factores presentes a la hora de analizar la correlación entre la buena enseñanza y el buen aprendizaje es)el entrenamiento del alumno a rentabilizar su esfuerzo, independientemente de las capacidades potenciales que tenga.

4.(Para que mis alumnos aprendan...)Motivar, primero... Transmitir mediante... mi discurso y mi actitud, que realmente merece la pena aprender lo que...traemos entre manos, ya sea el programa oficial, que...se puede presentar, incluso, de muchas formas...,presentar que realmente hay...un... bagaje detrás de belleza, ...de libertad a la hora de pensar... transmitir que... estoy convencido de que lo que estoy haciendo merece la pena..., estoy ofreciendo la oportunidad de abrir campos...de ellos mismos poder descubrirlos.

I12:Intereses de alumnos y disciplina

 

 

 

 

 

 

E-I13:Aptitud transformable

 

 

 

E-I14:Actitud transformable

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PAPEL ALUMNO (I)

29.Ellos no tendrían posibilidad (de participar en el diseño didáctico)si no se la doy yo. Es decir,...lo que realmente tienen es las tramas de lo que pretendemos hacer durante el curso y aproximadamente una temporalización trimestral...Si ellos son capaces de decir, claramente: "Pues, mira nos interesaría esto", yo no tengo ningún problema en modificarlo, ¡vamos!, lo que pasa que eso es muy difícil que un alumno lo diga.

1.(Se aprende matemáticas)enamorándose se ellas...el descubrir el poder...del orden..., el estructurar lo que es el razonamiento... es un factor, para mí, motivador...Si eso se transmite..., yo creo que se hace matemáticas...La motivación y el... el atractivo intrínseco que tiene la propia matemática, lo que es el descubrir.

T15:No participa en diseño didáctico

 

 

 

 

 

 

I16:La clave de la transferencia es el proceso (motivación por los significados)

 

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PAPEL ALUMNO (II)

4.(Para que mis alumnos aprendan...)Motivar, primero... Transmitir mediante... mi discurso y mi actitud, que realmente merece la pena aprender lo que...traemos entre manos, ya sea el programa oficial, que...se puede presentar, incluso, de muchas formas...,presentar que realmente hay...un... bagaje detrás de belleza, ...de libertad a la hora de pensar... transmitir que... estoy convencido de que lo que estoy haciendo merece la pena..., estoy ofreciendo la oportunidad de abrir campos...de ellos mismos poder descubrirlos.

24.Los aspectos algebraicos, por muy duros que sean...son útiles...clarifica y permite investigar a través de ellos y profundizar. Yo creo que mis propuestas no son...repetitivas, sino que son siempre intentar que haya algo que posibilite que el chaval sea capaz de hacer algo original suyo...que él no haya visto...escrito..., ni contado...No me importa que...ante una...pregunta que haga, que se queden absolutamente colapsados...la primera insinuación de posibilidad, profundizarlo; llegar hasta decir: "¡La Virgen!, esto es por aquí".

3'.(Respecto a cómo debe presentarse el contenido de la materia), pienso que el Informe Cockcroft lo resume con mejores palabras: Todo profesor debe incluir en su práctica: exposiciones por su parte (estimular, provocar, retar a los alumnos), trabajos prácticos adecuados, consolidar y practicar destrezas, resolver problemas y realizar trabajos de investigación. En todas esas diferentes prácticas, el profesor debe ser un mero dinamizador y tratar de conocer y, si fuese posible, prever la marcha de la clase y detentar los suficientes datos para sí poder evaluar el proceso puesto en juego en el aula.

23.Lo que pretendo es que...en todas las propuestas que haya...sean capaces de...explicitar lo que han aprendido. Por lo tanto, hay muchas cuestiones...de carácter..., teórica, más que de teórica de... comunicaciones, es decir, ellos me tienen que comunicar, aunque sea una "chorrada"...,e intentar que esa comunicación sea lo más clara posible.

I16:La clave de la transferencia es el proceso (motivación por los significados)

 

 

 

 

 

 

I17:Investiga

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I17

 

 

 

 

I18:Reflexiona

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PAP. ALUMNO (III)

27.Hay muchas veces ...que siento la satisfacción de haber echado una hora a gusto donde...hemos hecho matemáticas...Tendrías que ver la cara de la gente...y haber grabado la discusión...,el interés independientemente de las capacidades. El interés y el esfuerzo ...no por querer copiar...las cosas, sino...el poder aportar algo ...Hay veces que...después de una charlita mía podemos hablar en unos términos donde sí que me doy cuenta de...que lo que hemos hablado se ha comprendido. Que...se entra en la fase de... ejercitar..., eso ya en actividades...más de lápiz y papel, o más de...trabajo personal, pero lo que...traemos entre manos,...se ha comprendido.

2'.Tengo muy claro que la "tiranía" de un programa "tra-dicional" debe romperse mediante el planteamiento de una seleccionada y ágil colección de situaciones problemáticas, que aseguren el trabajo sobre los diferentes aspectos mate-máticos del curriculum. Es imprescindible que las distintas situaciones se presenten de acuerdo a un esquema que incluya las siguientes pautas: motivación, tener en cuenta las ideas previas de los alumnos, introducir nuevos con-ceptos y procedimientos y reflexionar sobre lo aprendido.

28.(Durante mis clases, los alumnos)escriben, salen a la pizarra, discuten...por parejas, ...por tríos, se ríen...

I18:Reflexiona

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I18

 

 

 

I19:Cuestiona

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PAPEL PROFES. (I)

1.(Se aprende matemáticas)enamorándose se ellas...el descubrir el poder...del orden..., el estructurar lo que es el razonamiento... es un factor, para mí, motivador...Si eso se transmite..., yo creo que se hace matemáticas...La motivación y el... el atractivo intrínseco que tiene la propia matemática, lo que es el descubrir.

27.Hay muchas veces...que siento la satisfacción de haber echado una hora a gusto donde...hemos hecho matemáticas...Tendrías que ver la cara de la gente...y haber grabado la discusión...,el interés independientemente de las capacidades. El interés y el esfuerzo ...no por querer copiar...las cosas, sino...el poder aportar algo ...Hay veces que...después de una charlita mía podemos hablar en unos términos donde sí que me doy cuenta de...que lo que hemos hablado se ha comprendido. Que...se entra en la fase de... ejercitar..., eso ya en actividades...más de lápiz y papel, o más de...trabajo personal, pero lo que...traemos entre manos,...se ha comprendido.

I20:Provoca

 

 

 

 

 

I20

 

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PAPEL PROFES. (II)

3'.(Respecto a cómo debe presentarse el contenido de la materia), pienso que el Informe Cockcroft lo resume con mejores palabras: Todo profesor debe incluir en su práctica: exposiciones por su parte (estimular, provocar, retar a los alumnos), trabajos prácticos adecuados, consolidar y practicar destrezas, resolver problemas y realizar trabajos de investigación. En todas esas diferentes prácticas, el profesor debe ser un mero dinamizador y tratar de conocer y, si fuese posible, prever la marcha de la clase y detentar los suficientes datos para sí poder evaluar el proceso puesto en juego en el aula.

8.(En mi asignatura, los algoritmos ocupan)entre el 15 y el 20 %...el resto es hacer matemáticas, no algorítmicas... puede ser resolver problemas..., plantear retos... El hacer matemáticas es el poder discutir ideas que tú tienes en un lenguaje matemático, el poder profundizar...en una idea que te ha surgido en un contexto de un ejercicio, de una lectura de cualquier capítulo de cualquier historia.

1'.El papel del profesor en la clase debe tender hacia la consecución de:-un ambiente relajado y de interés hacia la asignatura,-una tarea, a resolver por los alumnos, que vaya surgiendo de una forma dinámica a lo largo de las clases. A veces a partir de una investigación, quizás a partir de una discusión (profesor-alumno, alumno-alumno) o de una exposición por parte del profesor o alumno,-ser aceptado como un miembro más del aula, aunque con una labor algo diferenciada. Debe motivar, encauzar y propiciar la adquisición de los conceptos, procedimientos y hábitos relacionados con el aprendizaje de las matemáticas.

I20+22:Provoca. Investiga en y sobre la acción

 

 

 

 

 

 

 

 

I20+23:Provoca. Experimentador interactivo del contenido y los métodos

 

 

 

I20+21+23:Provoca. Conduce.Experimentador interactivo del contenido y los métodos

 

 

  

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PAPEL PROFES.(III)

12.Yo programo previamente la asignatura, sin conoci-miento...del alumnado...Dedico...bastante tiempo, casi un par de semanas o tres...a principio de curso a ajustar la programación, con ellos, detectar..., practicando cosas que se han hecho en el curso anterior, necesidades, que yo voy a tener de cara a lo que yo tengo previsto hacer y, una vez que...conozco, más o menos, el ambiente y la forma...de los distintos grupos, clasifico...por pequeños grupos cómo son...,qué es lo que tienen aprendido y cuál es su interés respecto...a la asignatura, modifico la programación. Entonces, me adapto a ellos..., lo que ocurre es que...al principio es una adaptación...de ponerme a su nivel, pero luego...hay como un salto brusco, en estos años lo he notado...,que es una pequeña aceleración que yo doy...En ese tirón intento llevarme al mayor número...de alumnos posibles...Hay unos niveles de exigencia por mi parte...bastante serios...de que hagan ese pequeño esfuerzo para sintonizarnos, y luego ya marchar.

I23:Experimentador interactivo del contenido y los métodos

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EVALUACIÓN (I)

26.Sí, yo creo que sí influyen. De hecho,... si los resultados fueran, por ejemplo, que el trabajo cotidiano... no se hace, evidentemente me tiene que influir...Por ejemplo, que en los acuerdos a que llegamos, en el sentido...de entrega o de trabajar un problema concreto...y detecto que no se trabaja..., tengo que cambiar, porque es que, si no quieren trabajar problemas en casa o... dedicarles un rato en casa, tengo que cambiar... mi metodología y evidentemente mi programación.

I25:Formativa-sumativa (proceso y producto)

 

 

 

 

 

 

 

 

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EVALUACIÓN (II)

20.Yo tengo ...consensuado con los alumnos en el primer período de la clase, el cómo va a ser los criterios de evaluación...criterios de calificación, más claro. lo que pasa es que son unos criterios de calificación donde hay también un factor...meramente de evaluación...A lo largo de todo el curso, yo tengo siempre ...pendiente una serie de tareas...que son desde resolución de problemas o... desde estudios de...un texto matemático, etc..., o de una consulta fuera de la clase, son tareas...de casa, que acordamos...dependiendo...del trabajo que ellos tengan con las demás asignaturas...Son trabajos individuales y que eso tiene un peso, sobre diez, cuatro...Ellos propusieron, con las ideas...de que necesitaban experimentar...lo que serían los exámenes tipo selectividad..., que se harían uno o dos exámenes en el trimestre...y también se llegó...al acuerdo de que eso se valoraba, sobre diez, en cuatro. Y luego,...el dos restante sería sobre...la revisión, por mi parte, y según mis criterios,...de lo que el alumno ha fabricado a lo largo de todas...las clases.

4'.Una práctica abierta a los diferentes enfoques que del aula surjan, implica un profesor dispuesto a cambiar la planificación y retomarla, sin brusquedades ni autoritarismos, en el momento más idóneo o sencillamente reformarla. Sería fenomenal poder consensuar el plan de trabajo en el aula. Facilitaría toda la cuestión relativa a la calificación y permitiría centrar más atención al análisis de la dinámica del aula. Creo que es un factor de motivación muy interesante.

9.(Valoro en mis alumnos)el trabajo cotidiano, la responsabilidad,...cumplir los compromisos,...el esfuerzo personal...de tomarse en serio las propuestas...Hago un esfuerzo...en entablar un diálogo amistoso...,que sea recíproco eso...No esquivar el rato que estamos juntos, con el único objetivo de hacer matemáticas.

19.(Respecto a la valoración del grado de conocimiento del algoritmo de resolución de la ecuación de segundo grado...)En principio...que sepa calcular las raíces... Evidentemente, tiene que ser en la práctica..., y sobre todo, el saber que eso lo saben y lo utilizan cuando les es necesario, fundamentalmente.

I26+27+35:Cualitativa-cuantitativa. Criterios explícitos negociables. Holística. Calificación por conjunción de varios instrumentos (cuaderno alumno, exámenes, observación, trabajo en grupo,...)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I26+30:Cualitativa-cuantitativa. Mínimos reformulables (en función de los alumnos, proceso, materia y contexto escolar)

 

 

 

I27:Criterios explícitos negociables. Holística

 

 

I29:Aplicación significativa y relevante

 

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EVALUACIÓN (III)

13.(Es habitual que no consigamos lo que nos proponemos)Puede ser que no lo hagamos bien del todo. Hay un montón de causas externas...Mis alumnos tienen ahora mismo diez profesores...,no conozco lo que hacen...salvo raras excepciones; ...ellos sí que lo saben...,van valorando, y entonces hay distintos niveles de exigencia...y hace que el alumno, pues se encuentre...disperso. Pero...también tengo responsabilidad...en mi persona...como docente...Aunque lo intentes hacer bien, pues no lo consigues;...porque igual lo que tienes previsto, o lo que has decidido hacer...no es lo adecuado...He notado este año cosas que he hecho mal...,que no me han salido, que no me han sido rentables, y fundamentalmente han sido cosas a las que les he dedicado mucho tiempo en prepararlas, que deberían de funcionar. Sobre todo...cuestiones...que el año pasado no me había gustado como había funcionado,...este año lo he querido renovar y resulta que vuelvo...a no estar satisfecho. Yo creo que es una cuestión...de, al menos, a medio plazo,...corregirse, y, una vez corregido eso, yo creo que...no existe un formato ideal que pueda ser utilizado, todos los años con distintos grupos de alumnos.

14.(Reviso mis planteamientos iniciales) continuamente... Sondeo, realmente...qué es lo que está pasando, si realmente... estamos sintonizados...,si no es que yo estaría en el vacío...No habría ninguna posibilidad de interacción.

15.Que el alumno exprese las ideas libremente...es una baza que a mí me da buen resultado (de cara a revisar mis planteamientos iniciales)... A partir de ahí...conozco si realmente se va avanzando...en la programación, si realmente lo que se va avanzando en el programa...va quedando...haciendo referencia hacia atrás, planteando cuestiones...

22.El trabajo...de las propuestas del documento lo reflejan ...en sus apuntes...Una vez terminado el trimestre, yo recojo esos apuntes, los reviso y, según mi criterio..., que es adaptar a lo que hay ahí, de la concepción que yo tengo de ese alumno, de las posibilidades reales que tiene de afrontar distintos...aspectos.

I30:Mínimos reformulables (en función de los alumnos, proceso, materia y contexto escolar)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I30

 

 

 

I30

 

I31+35:Difer. individual organizada. Calificación por conjunción de varios instrum.(cuaderno al., exámenes, observación, trabajo en grupo,...)

  

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EVALUACIÓN (IV)

12.Yo programo previamente la asignatura, sin conoci-miento...del alumnado...Dedico...bastante tiempo, casi un par de semanas o tres...a principio de curso a ajustar la programación, con ellos, detectar..., practicando cosas que se han hecho en el curso anterior, necesidades, que yo voy a tener de cara a lo que yo tengo previsto hacer y, una vez que...conozco, más o menos, el ambiente y la forma...de los distintos grupos, clasifico...por pequeños grupos cómo son...,qué es lo que tienen aprendido y cuál es su interés respecto...a la asignatura, modifico la programación. Entonces, me adapto a ellos..., lo que ocurre es que...al principio es una adaptación...de ponerme a su nivel, pero luego...hay como un salto brusco, en estos años lo he notado...,que es una pequeña aceleración que yo doy...En ese tirón intento llevarme al mayor número...de alumnos posibles...Hay unos niveles de exigencia por mi parte...bastante serios...de que hagan ese pequeño esfuerzo para sintonizarnos, y luego ya marchar.

2'.Tengo muy claro que la "tiranía" de un programa "tradicional" debe romperse mediante el planteamiento de una seleccionada y ágil colección de situaciones problemáticas, que aseguren el trabajo sobre los diferentes aspectos matemáticos del curriculum. Es imprescindible que las distintas situaciones se presenten de acuerdo a un esquema que incluya las siguientes pautas: motivación, tener en cuenta las ideas previas de los alumnos, introducir nuevos conceptos y procedimientos y reflexionar sobre lo aprendido.

11.(Indago el grado de consecución de mis objetivos) fundamentalmente con...mi observación directa..., con el debate, con el...mantenimiento de un discurso coherente..., con el "vis a vis",...También es verdad que hago tests,... exámenes...Suelo tomar nota...con un código personal. Me lo permito, porque...la clase no es muy numerosa...; es un código que...me funciona.

I34:Diagnóstico inicial que informa la elaboración y ejecución del proceso

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I35:Calificación por conjunción de varios instrumentos (cuaderno alumno, exámenes, observación, trabajo en grupo,...)

 PERFIL CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE RC

 CATEG.

IND\TEND

TRADIC.

TECNOL

ESPONT.

INVEST.

METODOLOGÍA

1

 

 

 

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2

 

 

 

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3

 

 

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4

 

 

 

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SENTIDO

DE LA ASIGNATURA

5

 

 

 

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CONCEPCIÓN

 

DEL

 

 

APRENDIZAJE

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PAPEL

 

DEL

 

ALUMNO

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PAPEL

 

DEL

 

PROFESOR

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EVALUACIÓN

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31

 

 

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33

 

 

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34

 

 

 

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35

 

 

 

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(Cuadro 32)

 

No hay margen en dudar que el perfil de RC en cuanto a su concepción de la enseñanza de la matemática es marcadamente investigativo, I, ya sea por la cantidad de unidades de información de esta tendencia, por sus indicadores o por el hecho de estar todas las categorías inmersas en dicha tendencia.

 

IV.8.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE RC

 

METODOLOGÍA

 

Los alumnos se enfrentan habitualmente a situaciones para las que no poseen soluciones hechas y tiene organizado el proceso que llevará al alumno a la adquisición de unos conocimientos determinados, a través de su investigación.

 

Aunque piensa que lo ideal es que los objetivos sean flexibles y revisables (marcando claramente las intenciones educativas, pero sujetos a reformulaciones debidamente fundamentadas), en la práctica, según lo expresado en el consenso, sólo definen un marco genérico de actuación (carácter orientativo) y están sujetos a eventuales modificaciones en cuanto al grado de consecución (flexibles), suponiendo el mencionado carácter orientativo un rasgo espontaneísta que no aparta de la tendencia investigativa general.

 

Respecto a la programación, las unidades dan una clara información y la fase de consenso confirma que RC dispone de una propuesta organizativa de los elementos del programa, pero no está vinculado a un recorrido concreto. Existe una trama que vincula y organiza el conocimiento por la que el profesor se mueve dependiendo de los intereses, nivel,..., de los alumnos.

 

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

 

En esta categoría escasea la información concerniente a uno de los indicadores que se refieren a la orientación de la asignatura, pero el consenso ha confirmado la tendencia investigativa de los otros indicadores y ha aportado información sobre el primero que conduce a la misma tendencia.

 

Le interesan tanto la adquisición de conceptos, como el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia y el trabajo escolar en general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los que determinan el peso específico de cada una de las componentes citadas.

 

La fase de consenso ha puesto de manifiesto que para RC la matemática escolar, de diferente naturaleza que la matemática formal, tiene su punto de partida en la etnomatemática de los alumnos y recoge las necesidades socio-políticas, culturales,..."Hacer matemáticas" con un carácter más formal proviene del análisis de lo concreto.

 

Por otra parte, la finalidad última de la asignatura es dotar al alumno de unos instrumentos que le posibiliten el aprendizaje autónomo.

 

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

 

En esta categoría la información inicial, aunque abundante, está casi al completo centrada en el dinamizador del aprendizaje. No obstante, el consenso confirmó las suposiciones y la tendencia general.

 

Según RC, los objetos de aprendizaje no sólo tienen significado, sino también la capacidad de ser aplicados en contextos diferentes de donde fueron aprendidos, adquiriendo así un carácter móvil a través de una malla conceptual.

 

Para RC el aprendizaje comienza, normalmente, por la observación de regularidades que permiten aflorar una conjetura; pero a ésta ha de seguir una comprobación razonable y, en la medida de lo posible, una generalización adecuada.

 

Estima que, aunque el aprendizaje puede producirse, de manera espontánea, cuando el alumno está inmerso en situaciones que propician el descubrimiento, debe encauzarse a través de investigaciones que han sido planificadas por el profesor.

 

Respecto al tipo de agrupamiento, piensa que la forma de agrupamiento aconsejable para la producción de aprendizaje depende de la actividad a desarrollar, según ha puesto de relieve durante el consenso.

 

Llegado el punto relativo al dinamizador del aprendizaje, hay que recordar que la información es abundante y rotundamente clara hacia la tendencia investigativa. Para RC el dinamizador ideal del aprendizaje es el equilibrio entre los intereses y estructura mental de los alumnos y los de la matemática.

 

En cuanto a aptitudes y actitudes de los alumnos, piensa que tanto la capacitación como la actitud del alumno pueden ser modificadas.

 

PAPEL DEL ALUMNO

 

En esta categoría había información inicialmente de todos los indicadores y el consenso ha confirmado la tendencia, incluso de aquellos indicadores de los que se poseía menos información.

 

Hay que decir que sus alumnos no participan ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc., aunque su objetivo es que participen directa o indirectamente en el diseño didáctico, pero afirma que esto es difícil, siendo tanto más fácil cuanto mayores son los alumnos.

 

Piensa que para que se dé aprendizaje es necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de aprendizaje y procura que la actividad del alumno esté organizada (interna o externamente) hacia la búsqueda de respuestas a determinados interrogantes, tomando conciencia de qué hace y para qué lo hace y manteniendo una actitud crítica ante las informaciones que se movilizan en el aula.

 

PAPEL DEL PROFESOR

 

No se disponía de información relativa a la coordinación, por lo que aquí el consenso ha sido esencial. Además, la fase de consenso ha servido para confirmar la información inicial.

 

RC intenta provocar la curiosidad del alumno conduciendo su investigación hacia la consecución de aprendizajes. Su carácter de experimentador interactivo del contenido y de los métodos, le obliga a analizar los procesos en el contexto del aula (investigación-acción).

 

En relación a la coordinación con otros profesores, considera necesaria una coordinación sobre todos los aspectos que caracterizan el diseño didáctico.

 

EVALUACIÓN

 

En esta categoría se tenía información suficiente para determinar claramente la tendencia general, a lo que hay que añadir que el consenso no ha añadido alteraciones en la misma.

 

Concibe la evaluación como un sensor permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en cada momento, orientando la enseñanza hacia los aprendizajes previstos a través de contextos más apropiados.

 

Dispone de un informe de tipo cualitativo, tanto del proceso como de los resultados de aprendizaje del alumno, así como de criterios para la cuantificación de dicho informe.

 

Trata de medir el grado de implicación del alumno y la significatividad (según ha manifestado durante el consenso) y relevancia de sus aprendizajes.

 

A lo largo del proceso va reformulando los contenidos de aprendizaje, teniendo en cuenta los intereses del alumno, la propia asignatura, el contexto educativo y el propio proceso, y obtiene información personalizada de los alumnos, de manera organizada, a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora.

 

El consenso ha evidenciado un rasgo espontaneísta relativo a la concepción de la recuperación. En efecto, cuando en el desarrollo del proceso toma conciencia de que los contenidos de aprendizaje o las actividades que se realizan para éste no están en concordancia con el campo de intereses de los alumnos, reconduce la actividad o el proceso, sin dar muestras de pasar a una recuperación personalizada y compleja.

 

Respecto al examen, también ha sido el consenso el que ha puesto de manifiesto que RC opina que puede ser un instrumento educativo con el que conseguir una doble finalidad; de aprendizaje, en la medida en que es considerado como una actividad individual inserta en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de control de dicho proceso.

 

Cree que el diagnóstico inicial debe poner de relieve todos aquellos aspectos del conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas, concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan interferir en el proceso de enseñanza-aprendizaje. El proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su conocimiento ofreciéndole vías para su adecuación y progresión.

 

Finalmente, para la valoración del progreso de los alumnos, utiliza la información obtenida en base al análisis del cuaderno de clase, sus obsevaciones sistemáticas, los datos provenientes de los exámenes y trabajos de grupo,...

IV.8.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

 

IV.8.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CM)

TIPO CTO. (I)

1.(Se aprende matemáticas)enamorándose se ellas...el descubrir el poder...del orden..., el estructurar lo que es el razonamiento... es un factor, para mí, motivador...Si eso se transmite..., yo creo que se hace matemáticas...La motivación y el... el atractivo intrínseco que tiene la propia matemática, lo que es el descubrir.

29.Ellos no tendrían posibilidad (de participar en el diseño didáctico)si no se la doy yo. Es decir,...lo que realmente tienen es las tramas de lo que pretendemos hacer durante el curso y aproximadamente una temporalización trimestral...Si ellos son capaces de decir, claramente: "Pues, mira nos interesaría esto", yo no tengo ningún problema en modificarlo, ¡vamos!, lo que pasa que eso es muy difícil que un alumno lo diga.

2".(Respecto de los procesos esenciales en matemáticas)

-Algebraización de las situaciones reales: geométricas, sociales,... (en definitiva, hablaríamos de los diferentes métodos). -Los procesos heurísticos, en toda su amplitud. -Los procesos relacionados con la computación (tecnología, informática y todo eso). -El puente entre los procesos continuos y los discretos...

10.(En mi asignatura me planteo como objetivos) conocer una gama de, de conceptos matemáticos y de problemática adaptada, de alguna manera, al nivel o a lo que el progra-ma suele dar..., el conocer de alguna manera eventos relacionados con esos conceptos a nivel histórico...Poten-ciar en todo momento, digamos, esos procedimientos de..., vamos a llamarlo, de carácter general,... como pue-den ser, como pueden ser, pues, el gusto por... el gusto por... el gusto por la búsqueda de soluciones,...el buscar la elegancia,...el no quedarte con la comprobación, sino siempre intentar llegar a algo más, en la generalización... El conocer el lenguaje matemático...creo que se tiene que saber de números,...de geometría,...de lenguaje proba-bilístico, creo que se tiene.... Entonces, que esos cono-cimientos, una vez conocidos en el estado en que están, profundizar,...y plantear unas situaciones donde realmente sea más, más profundo el conocimiento de esos tópicos.

P1:Estructurado significativamente. Núcleo: conceptos y valores racionales

 

 

RP1:Núcleo: estructuras conceptuales, procedimientos matemáticos y estrategias generales

 

 

 

RP1

 

 

 

 

 

 

RP1+3:Núcleo: estructuras conceptuales, procedimientos matemáticos y estrategias generales. Que implica unos valores

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CM)

TIPO CTO. (II)

4.(Para que mis alumnos aprendan...)Motivar, primero... Transmitir mediante... mi discurso y mi actitud, que realmente merece la pena aprender lo que...traemos entre manos, ya sea el programa oficial, que...se puede presentar, incluso, de muchas formas...,presentar que realmente hay...un... bagaje detrás de belleza, ...de libertad a la hora de pensar... transmitir que... estoy convencido de que lo que estoy haciendo merece la pena..., estoy ofreciendo la oportunidad de abrir campos...de ellos mismos poder descubrirlos.

36.(Respecto a las actitudes deseables en una matemático...)Una actitud investigadora..., una actitud de honradez..., un amor...a la estética...Cuando dices una actitud investigadora, ahí hay muchísimas cosas que están dentro.

5'.(Lo más importante que debe aprender el alumno es)sin dudarlo, a ser feliz. En este sentido, un adiestramiento en el razonar, en el trabajar sistemáticamente y con ahínco, en el cooperar con otras personas, en la tolerancia, ...y algo de destrezas y métodos matemáticos.

RP3:Que implica unos valores

 

 

 

 

 

 

 

 

RP3

 

 

 

 

RP3

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CM)

FIN

24.Los aspectos algebraicos, por muy duros que sean...son útiles...clarifica y permite investigar a través de ellos y profundizar. Yo creo que mis propuestas no son...repetitivas, sino que son siempre intentar que haya algo que posibilite que el chaval sea capaz de hacer algo original suyo...que él no haya visto...escrito..., ni contado...No me importa que...ante una...pregunta que haga, que se queden absolutamente colapsados...la primera insinuación de posibilidad, profundizarlo; llegar hasta decir: "¡La Virgen!, esto es por aquí".

5'.(Lo más importante que debe aprender el alumno es)sin dudarlo, a ser feliz. En este sentido, un adiestramiento en el razonar, en el trabajar sistemáticamente y con ahínco, en el cooperar con otras personas, en la tolerancia, ...y algo de destrezas y métodos matemáticos.

RP4:Desarrollo intelectual

 

 

 

 

 

 

 

 

RP4

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CM)

MODO EVOLUC.(I)

4.(Para que mis alumnos aprendan...)Motivar, primero... Transmitir mediante... mi discurso y mi actitud, que realmente merece la pena aprender lo que...traemos entre manos, ya sea el programa oficial, que...se puede presentar, incluso, de muchas formas...,presentar que realmente hay...un... bagaje detrás de belleza, ...de libertad a la hora de pensar... transmitir que... estoy convencido de que lo que estoy haciendo merece la pena..., estoy ofreciendo la oportunidad de abrir campos...de ellos mismos poder descubrirlos.

8.(En mi asignatura, los algoritmos ocupan)entre el 15 y el 20 %...el resto es hacer matemáticas, no algorítmicas... puede ser resolver problemas..., plantear retos... El hacer matemáticas es el poder discutir ideas que tú tienes en un lenguaje matemático, el poder profundizar...en una idea que te ha surgido en un contexto de un ejercicio, de una lectura de cualquier capítulo de cualquier historia.

24.Los aspectos algebraicos, por muy duros que sean...son útiles...clarifica y permite investigar a través de ellos y profundizar. Yo creo que mis propuestas no son...repetitivas, sino que son siempre intentar que haya algo que posibilite que el chaval sea capaz de hacer algo original suyo...que él no haya visto...escrito..., ni contado...No me importa que...ante una...pregunta que haga, que se queden absolutamente colapsados...la primera insinuación de posibilidad, profundizarlo; llegar hasta decir: "¡La Virgen!, esto es por aquí".

31.(La Matemática)ha ido evolucionando en elegancia y en belleza...Ha sentido la necesidad de ser, debido a la ciencia; la necesidad científica ha hecho que la matemática fuera ...lo que en un momento determinado tuvo que ser, pero ha llegado un momento...que la ciencia ha utilizado a las matemáticas y ya no tiene sentido la ciencia sin las matemáticas, entonces la matemática razona sobre sí misma, no en función de los avances científicos..., entonces yo creo que hay ahora mismo una simbiosis en que cualquier intento...de profundización en aspectos matemáticos, conlleva automáticamente una repercusión en la ciencia y viceversa...Ya no la concibo como un lenguaje ... necesario para la ciencia...o una herramienta para ciencia, sino ...un mecanismo autónomo que enriquece a todo lo que...le rodea.

RP5:Conocimiento dirigido por la resolución de problemas. Campo de creación. Punto de vista dinámico

 

 

 

 

 

RP5

 

 

 

 

 

 

RP5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<RP5

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CM)

MODO EVOLUC.(II)

32.Hoy día...no llega hasta... el primer cuarto del siglo XX...Yo creo que después visiones globales no conozco, entonces, cuando hablas de pensamiento..., la matemática se va desarrollando, pero por brazos..., están existiendo, apareciendo nuevas ramas de la matemática, nuevas aplicaciones...de métodos matemáticos..., Yo creo que...hasta el primer cuarto del siglo XX sí es coherente ...las dos cosas que he dicho. Ahora, posteriormente, no lo sé ...Hoy...los grandes matemáticos..., como no sean de divulgación, pero creo que...la casta matemática, a los que divulgan no los tienen en mucha consideración. Creo, ¡vamos!. Un matemático ..."puntero", que es el que sabe de eso...cositas concretas... Es muy parecido a la concepción que tengo de las ciencias, ...de la física, sobre todo.

1".El objetivo fundamental del estudio de las matemáticas viene marcado por ser éstas el filtro a través del cual podemos estudiar los fenómenos naturales, ya que esquematiza la complejidad de los mismos, sustituyéndolos por la sencillez de unos entes de razón sobre los cuales puede discurrir cómodamente el razonamiento lógico; una vez obtenidos los resultados, procede interpretarlos y aplicarlos en el campo de la realidad.

25.Si una matriz multiplicada por sí misma es la matriz cero, eso es que la matriz no tiene inverso. Primera cuestión, probar con una matriz...concreta, donde realmente se cumpla...Entonces, todo el mundo a buscar matrices, dos por dos, la han ligado y tal. Siguiente paso..., vamos a generalizar un poquito, entonces el siguiente paso es trabajar matrices dos por dos con coeficientes literales... Ahí puedes perder dos horas intentando trabajar con eso. Se consiguen una serie de ideas, que luego se verifican y salen... Se revisa ese documento...y, curiosamente, salen una serie de iniciativas donde ya no se trabaja con los elementos de las matrices, sino que se trabaja: si una matriz A por otra matriz A nos da una matriz cero... Inmediatamente, surgen un montón ...de demostraciones de otras propiedades matriciales que habían ido surgiendo... Ese es el discurso...No pretendo... que sepan manejar y resolver sistemas...Pretendo que digan: " Jolín, pues hay todo un método..."..., "que es muchísimo más elegante, muchísimo más conciso, y sobre todo muchísimo más cómodo". Eso es lo que les intento transmitir continuamente.

RP5:Conocimiento dirigido por la resolución de problemas. Campo de creación. Punto de vista dinámico

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P6+7:Conocimiento construido en base a resultados anteriores y problemas provenientes de otras ciencias. Razonamiento lógico

 

 

RP7:Razonamiento inductivo-deductivo (conjeturas, pruebas y refutaciones)

 

 UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RC (CM)

MODO EVOLUC.(III)

33.(Abordo el teorema de Tales,)jugando con triángulos y buscando regularidades, y, cuando ...sean capaces de aventurar alguna conjetura,... decir que...eso se llama teorema de Thales y puedo dar paso a la Trigonometría, puedo definir la razón trigonométrica o puedo meterme en el trabajo con semejanza...o puedo poner en práctica para qué me sirve.

34.(En el caso de raíz de 2,)introduciría el juego con la calculadora y... supongo que con un geoplano, también, a partir de la unidad.

35.Es que eso depende (aceptar un resultado no apoyado en un proceso deductivo). Yo acepto muchas conjeturas de los alumnos, que sean razonadamente argumentadas, aunque no sean rigurosamente deducidas...Eso también es una herramienta para mí seguir...como enseñante.

3".Creo que el faro que ilumina y descubre el avance matemático es la intuición, aunque sin olvidar el rigor lógico posterior.

RP7

 

 

 

 

 

 

RP7

 

 

RP7

 

 

 

 

RP7

 PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE RC

 CATEGORÍAS

IND\MODELO

INSTRUMENT.

PLATÓNICO

RES.PROBLEM.

TIPO DE

CONOCIMIENTO

1

 

 

*

 

2

 

 

*

 

3

 

 

*

FIN

4

 

 

*

MODO

DE

EVOLUCIÓN

5

 

 

*

 

6

 

*

 

 

7

 

 

*

(Cuadro 33)

 

RC muestra en todo momento una decidida inclinación por el modelo de resolución de problemas, tanto si nos fijamos en sus unidades de información, como si enfocamos nuestra atención en los indicadores o en las correspondientes categorías, entre lo que hay que citar como única excepción un indicador perteneciente al modelo platónico.

 

IV.8.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE RC

 

Abunda la información relativa a la matemática, de manera que se pudo configurar claramente la tendencia hacia un modelo (resolución de problemas concretamente). El consenso no hizo más que confirmar las conclusiones extraídas de la mencionada información inicial y aportar información sobre uno de los indicadores de la categoría Tipo de conocimiento, del cual no se poseía información.

 

 

TIPO DE CONOCIMIENTO

 

Piensa que los elementos que conforman el núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

 

Concibe la matemática como un conocimiento sometido a una revisión constante que depende del contexto social, cultural y científico, lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos sea relativa. No obstante, toma del modelo platónico, aunque en segundo término, la estructura lógica del conocimiento matemático. Cree que la aludida relación con el contexto impregna a la matemática de una serie de valores.

 

FIN

 

El consenso y las unidades de información ha puesto de relieve que RC piensa que el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de las capacidades intelectuales del ser humano, quedando la evolución de la matemática, por tanto, subyugada al progreso humano.

 

MODO DE EVOLUCIÓN

 

Las unidades de información mostraban claramente una tendencia al modelo de resolución de problemas en uno de los indicadores del proceso de construcción del conocimiento matemático y en el tipo de razonamiento, y una leve tendencia al modelo platónico en el otro indicador del proceso de construcción. El consenso ha confirmado ambas tendencias.

 

Desde una perspectiva dinámica, RC concibe la matemática como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas.

 

Opina que el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos.

 

Finalmente, cree que en el razonamiento matemático hay una combinación de procesos inductivos y deductivos siguiendo el esquema de Lakatos (conjeturas, pruebas y refutaciones).

 

IV.8.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

IV.8.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

 

DESCRIPCIÓN

 

RC comienza el problema con un estudio de casos, impelido por las características propias del enunciado.

 

Parece comprender el problema desde el principio, expresando con claridad la intención de escribir el área en función de las diagonales a partir de la fórmula en función de los lados.

 

La elección de los cuadriláteros está basada en criterios de simetría e igualdad de diagonales (rombo, cuadrado, rectángulo y trapecio isósceles), razón por la que descarta el trapecio rectángulo (desigualdad de diagonales).

 

Los resultados con el rombo, el cuadrado y el rectángulo confirman sus intuiciones; no obstante, anda algo confuso con este último, viéndose obligado a volver a pensar lo que le solicita el enunciado.

 

Ya con el trapecio isósceles, se plantea cambiar de perspectiva, empleando vectores, pues ve complicado el trabajo con ángulos, pero lo abandona, reconociendo no tener las cosas claras.

 

Comete un error al aplicar el teorema del coseno, que no influye en el proceso.

 

No le da tiempo a abordar la segunda parte, estimando que le sería muy difícil resolverla, al no haber resuelto la primera, que considera más fácil.

 

VALORACIÓN

 

Confunde los datos de la primera parte con los de la segunda, suponiendo que sólo dos diagonales han de entrar en juego. De todas formas, poco hay que añadir de una segunda parte de la que sólo ha dicho que le parece complicada.

 

Contrasta la claridad de su objetivo (escribir las áreas de los cuadriláteros en función de las diagonales) con la cortedad de miras de la estrategia empleada, consistente en ir probando uno a uno todos los tipos de cuadriláteros.

 

De hecho, aunque en 7 dice que se halla en la fase de hacerse con el problema, no significa que esté en la fase de comprensión, pues desde el principio sabe qué le pide el enunciado, incluso dispone de una estrategia inicial: relacionar la fórmula en función de los lados con la fórmula en función de las diagonales.

 

La restricción de la prueba a aquéllos que son simétricos y tienen iguales las diagonales, fundamentada en su intuición, es absurda, ya que no generaliza el caso del rombo totalmente y además la fórmula no es válida para los rectángulos en general.

 

Desde el comienzo, la decisión de probar con todos es poco útil, pues conlleva la ausencia de la intención de buscar regularidades en los ejemplos que se van abordando. Es por ello que el caso del trapecio isósceles le supone un estudio ajeno al resto. Al ir de los casos más sencillos a los más complicados, no busca generalizar resultados, sino tan sólo el procedimiento, lo que le implica dificultad en este caso.

 

No explota suficientemente lo obtenido con el rectángulo, probablemente por no recapacitar en la característica de las diagonales en los casos del cuadrado y del rombo. Está ofuscado por la idea de abordar un caso y cerrarlo, abordar otro y ... De hecho, el ángulo empleado en el razonamiento para el rectángulo (diagonal con lado) no lo relaciona, al deducir que el doble ha de ser de 90o, con el formado por las diagonales, sino con el formado por los lados.

 

El abordaje del caso del trapecio isósceles es aún peor, ya que no llega a aportar ninguna solución, ni siquiera parcial, debido a que se centra en unos recursos inútiles.

 

En general, no hace una contrastación del valor de Dxd/2 con el área del cuadrilátero en cuestión.

 

Asimismo, se echa en falta una manipulación de cuadriláteros fijándose en las diagonales, con idea de poder, al menos, intuir condiciones necesarias o suficientes para que tal fórmula sea válida.

 

A pesar de ser positiva la decisión de no introducirse (caso del trapecio isósceles) en ejecuciones infructuosas, más bien parece un temor, sentido a lo largo de toda la resolución, a enfrentarse de verdad al problema; en otras palabras, hay una manifiesta falta de confianza en sus posibilidades desde el comienzo, particularizada en el rechazo al estudio de casos generales.

 

Este hecho merma las ventajas de sus adecuados y frecuentes controles de progreso.

 

También es positiva la descripción efectuada al final del protocolo, pero la relación de tal cantidad de cuestiones puede ser una excusa para no abordar ninguna por falta de tiempo.

 

En suma, la aparente retención de información matemática no ha sido efectiva, porque en ningún momento se ha sentido dueño del problema al faltarle la confianza en sus posibilidades.

 

IV.8.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

 

DESCRIPCIÓN

 

Lee tres veces el enunciado, tras lo cual piensa que el ser 11 uno más de 10 podría explicar lo que ocurre.

 

Decide ponerse un ejemplo para ver si también le ocurre lo que a los jugadores, dándose cuenta, tras varios intentos mentales, de que sería muy pesado buscar dos sumas iguales, por lo que abandona ese camino.

 

A continuación se plantea, según lo expresado en la entrevista, simplificar el problema, bien eligiendo los 11 números de 1 al 100, bien eligiendo 10 números del 1 al 1000, siendo esta última simplificación la que más visos de relación con la situación inicial tiene para el resolutor. A pesar de este planteamiento, no aborda ninguna de las simplificaciones.

 

No teniendo claro por donde enfocar la resolución, elige un tratamiento algebraico, suponiendo que tiene tales sumas y deduciendo propiedades que cumplirían los números en dicho caso.

 

Después de 15 min. de desarrollo algebraico, llega a la conclusión de que dos sumas de números naturales son iguales si y sólo si lo son las sumas de las respectivas unidades, decenas y centenas, afirmando que esto no es nada nuevo. Esta afirmación es claramente errónea, pues, por ejemplo, 10+9+5=20+4, pero 9+5 no es 4 (suma de unidades) ni 1 es 2 (suma de decenas).

 

Prácticamente se le acaba el tiempo y sólo añade que intuye que, elegidos 11 números, siempre será posible encontrar dos subconjuntos disjuntos que sumen lo mismo.

 

VALORACIÓN

 

El propósito inicial de probar con 11 números no es desacertado del todo, si bien la imposibilidad práctica de su ejecución ("es una locura") le conduce a abandonar el abordaje a través de casos particulares.

 

En este sentido, es encomiable su decisión de no ejecutar las sumas, pues hay demasiadas; sin embargo, se echa en falta la elección de una serie de números de forma organizada, de manera que las condiciones de selección de dichos números le hubieran podido dar luz sobre las propiedades que se han de cumplir necesariamente.

 

Importante es, asimismo, la idea de simplificar de alguna forma la situación, incluso discutiendo qué tipo de simplificación puede ser más conveniente. No obstante, resulta chocante que no haya profundizado en dicha simplificación (pasar de 11 a 10 probablemente le hubiera llevado hasta casos más simples aún y, con ello, a los requisitos de selección de los 11 números).

 

El enunciado, pues, le sorprende y el carácter anárquico del ejemplo le dirige al extremo opuesto, el tratamiento algebraico. Puede verse de esta forma cómo una errónea decisión de control condiciona el éxito del proceso de resolución.

 

Hay que comentar también el error cometido al afirmar, sin vacilación, que para que se anule la suma (comienzo de la página 2) han de anularse todos los corchetes. Se nota la ausencia de una discusión sobre el signo de cada corchete. Para que dicha afirmación fuera correcta tendría que haber argumentado que necesariamente cada corchete ha de ser positivo o nulo o bien una cifra del 0 al 9, lo cual, por otra parte, no es deducible de su planteamiento ni de las condiciones del problema.

 

Es de resaltar que, tras la afirmación errónea que se acaba de comentar, vuelva a plantearse la simplificación al caso de 10 jugadores, lo que ocurre es que dicho planteamiento sólo le ronda la cabeza, no llega a plasmarlo en ningún momento, lo que es una muestra más de la decisión de abandonar un tratamiento de casos particulares, pensando en su inviabilidad en base al ejemplo inicial.

 

En cuanto a la intuición final, está basada exclusivamente en el enunciado, por lo que es de poco valor, ya que no se apoya en ningún resultado parcial.

 

Así, pues, como resumen, puede decirse que se ha centrado en recursos inútiles para la resolución, que su conjetura final se basa en hechos irrelevantes, se ha perdido en explicaciones y consideraciones en las que no ha profundizado, ha mostrado cierto nerviosismo, faltándole confianza en sus posibilidades. En el aspecto positivo, hay que subrayar la frecuente aparición de decisiones de control y su repetido cuestionamiento sobre la simplificación del problema, aunque no haya llegado a desarrollarlo.

 

Para terminar, añadir que una posible causa del desconcierto reinante en todo el protocolo es el hecho de haber invertido 5 min. en leer el enunciado, para no sacar ningún abordaje en claro.

 

IV.8.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

 

DESCRIPCIÓN

 

Lee una vez el enunciado y enseguida, leyendo el ejemplo del 5, encuentra el 2 y descarta el 0. A continuación, dando por entendido el enunciado, ejemplifica con los números del 0 al 11; no obstante, por temor a estar un poco perdido, relee el enunciado, poniéndose ejemplos, lo que le da pie a formularlo en términos algebraicos (ωa/a=α, ω,αÎ Z).

 

Desarrolla la expresión polinómica de la igualdad anterior, pero no continúa por ese camino, pensando que es más conveniente quedarse con una expresión simplificada.

 

Aunque con errores de notación, consigue llegar a soluciones para el caso en que a es una cifra o, a lo sumo, 10. Pensando que puede haber más soluciones, estudia el caso en que ωi/a es entero y es ahí donde pierde completamente el rumbo del problema, pues empieza a buscar casos particulares que sean divisibles por un determinado número, lo que no coincide en absoluto con la situación propuesta.

 

Al final parece volver al caso general, tomando a de i cifras, pero sólo expresa una igualdad, no desarrollando nada.

 

VALORACIÓN

 

Es un protocolo que empieza bien, ejemplificando y profundizando en el enunciado hasta quedar satisfecho del grado de comprensión del mismo. Más aún, hay un intento valioso de formular el enunciado en términos de poder abordar una solución general, incluso valorando la conveniencia de un planteamiento u otro (ωa/a=α o ωa=αa).

 

Sin embargo, da la impresión de que a partir de ese momento se le hace inmanejable la situación, tomando, como primera decisión, la alternativa de simbolizar a través de 10iωi/a el número (10nωn+...+10iωi)/a, lo que repercute negativamente en la solución, pues no maneja las sucesivas potencias de 10. De hecho, sólo da como solución, en ese momento, los números 1, 2, 5 y 10. Además, no es consciente de que es suficiente estudiar 10i/a, por lo que pasa a considerar lo que llama otros casos. Este hecho induce a pensar en la existencia de dificultad a la hora de hacer riguroso un proceso, teniendo problemas con el operativismo simbólico.

 

Es un dato negativo el que, a estas alturas del problema, pierda el rumbo, pasando a resolver otro problema.

 

En cuanto a la posible generalización a otros conjuntos numéricos, está completamente ausente de toda consideración, ni explícita ni implícita.

 

Cuando pierde el norte, no se da cuenta de que, en realidad, está abordando problemas triviales, paralelos a los criterios de divisibilidad, lo que pone de manifiesto una falta de control del proceso, además del hecho de haberse centrado en detalles inútiles.

 

Como ya se ha dicho, contrasta con la fase inicial de la resolución, a la que sí se le puede achacar el no haberle sacado todo el partido posible.

 

Aunque se queja de la falta de tiempo, estimo que su obstáculo es la dificultad de pasar del estudio de casos concretos y suposiciones superficiales a un proceso lógico en el que la lógica y el proceso deductivo imperen.

 

Por otra parte, parece confiar en sus posibilidades de atacar el problema, lo que no equivale a confiar en resolverlo.

 

IV.8.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

 

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

 

 1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

3) Supone un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

 

Hace depender su comportamiento del dominio personal sobre lo que tenga que desarrollar. Así, manifiesta haber superado ya su timidez en las situaciones que domina, mientras que asegura sufrir alteraciones en el comportamiento y en el estado de ánimo cuando se enfrenta a situaciones que no domina:

"...Tras años de no tener más remedio que enfrentarme a situaciones en las que soy centro de atención, he conseguido superar, en parte, mi timidez... No siempre soy capaz de dominar el terreno... Esto se traduce en alteraciones serias de mi comportamiento y estado anímico durante los días previos..." (C1).

 

 1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

4) Recaba ayuda e información para afrontarlos preferentemente en solitario.

 

De su respuesta a C3 se desprende una inclinación hacia afrontar en solitario los problemas cotidianos, recabando ayuda para volver a analizarlo individualmente:

"...Recabo la información... No obstante, suelo analizar en solitario las aportaciones y...asumirlas como propias. Pienso que esto se llama responsabilizarse de las decisiones que finalmente tomo...".

 

 1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

4) El abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimiento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso.

 

En C4 dice:

"...me atrae la RP pues los ejercicios me aburren...",

añadiendo en C21 detalles que dejan claro que su dedicación a la resolución de problemas está motivada fundamentalmente por su quehacer docente:

"...Suelo trabajar con problemas que a priori sean utilizables en clase...".

 

En C5, por su parte, dice tener

"...buen recuerdo de la RP compartida con otras personas... Me lo he pasado bien en ambas situaciones [RP individual y en grupo]. Estoy abierto a todo tipo de sugerencias...",

lo que pone de manifiesto su actitud hacia el trabajo en grupo, aunque no sea lo habitual.

 

Finalmente, en C11 insiste en su dedicación a los problemas

"...como vehículo metodológico..."

y como divertimiento,

"...por lo bien que me lo paso...".

 

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

 

 1.4.1. Predisposición.

3) Al enfrentarse a situaciones problemáticas, aparecen miedos y ganas de abandonarlas, pero se van superando progresivamente, lo que supone una paulatina concentración en la resolución de las mismas.

 

Las entrevistas correspondientes a los problemas 2 y 3 muestran dos casos extremos:

"...no me ha gustado. Luego le he ido cogiendo manía..." (2U2),

"...me gustaría terminarlo..." (3U7).

Mientras en el segundo problema manifiesta un rechazo, debido a

"...esa sensación de no saber cómo resolverlo, aunque haya escrito cuatro chorradas..." (2U2),

en el tercero, consciente de haber obtenido algunos resultados (E2) y de disponer de una estrategia plausible (E4), se encuentra más a gusto, mostrando así una actitud hacia la resolución de problemas que depende en gran medida del grado de acercamiento a posibles soluciones.

 

Lo expresado anteriormente se complementa con su respuesta a C6:

"...No es lo mismo enfrentarme a un problema propuesto por ti que a un problema pensando en plantearlo en clase o por disfrute personal o reto...".

No siente curiosidad por cualquier problema, por motivos

"...muy diversos: momento inadecuado, enunciado poco atractivo, etc...",

clasificándolos en las mencionadas situaciones como

"...malos problemas..." (C8).

Por otra parte, en C9 dice sentir complejo de tonto

"...cuando intuyendo la solución no soy capaz de encontrar una estrategia adecuada...".

Finalmente, en C16 dice:

"...Si el problema me engancha...no lo olvido... Pueden pasar...semanas y tenerlo todavía como un reto...",

lo que viene a confirmar, junto a lo expresado en C24:

"...Lo más seguro es que no quiera ni resolverlo [si el problema cae en un área de poca confianza]...",

su gusto por la resolución de problemas de manera selectiva.

 

 

 1.4.2. Confianza en sí mismo.

3) Tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad puede deberse a distintos motivos, como la limitación temporal o la familiaridad del tópico o la disponibilidad de alguna fórmula.

 

Cuando un problema cae en un área de poca confianza, ni intenta resolverlo, como se acaba de constatar (C24), mientras

"...que la motivación es mayor y supongo que el banco de recursos también es superior [cuando un problema cae en un área de confianza]..." (C23),

lo que pone de relieve, además de la explicable confortabilidad en el último caso (algo comprensible e incluso natural), una posible falta de confianza en la búsqueda de procedimientos alternativos.

 

La conjetura anterior se ve corroborada en el primer protocolo, en el que hay un rechazo al estudio de casos generales, temiendo enfrentarse de verdad al problema y abordando exclusivamente casos particulares.

 

El segundo protocolo da poca información al respecto, y en el tercero se observa confianza en abordar el problema, aunque no tanto en resolverlo.

 

A todo lo dicho hay que sumar los problemas provenientes de la limitación temporal, que serán comentados en Organización temporal.

 

 1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

2) Muestra un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

 

En el primer protocolo la aparente retención de información matemática (tratamiento trigonométrico, E2; enfoque vectorial, E4) no ha resultado efectiva en su totalidad, resolviendo casos particulares, pero no estableciendo relaciones para abordar el caso general.

 

En el tercer protocolo también muestra dificultades a la hora de estudiar casos generales, no llegando a extraer todo el partido posible de su desarrollo (E2: no es consciente de que es suficiente estudiar 10i/a, por lo que pasa a considerar otros casos -E3).

 

Del segundo protocolo no puede extraerse más información, ya que no llega a concentrarse y a elaborar una estrategia plausible de resolución:

"...No conseguí rendir como me hubiera gustado, el tiempo pasaba volando y no conseguía centrarme en la tarea (no descarto que el enunciado me descentrara..." (C2).

 

 

 1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

3) La memoria es necesaria, efectuándose en su ausencia la búsqueda de un procedimiento alternativo de forma insegura.

 

Preguntado sobre qué ocurre cuando carece de algún conocimiento para resolver un problema, contesta:

"...La habilidad debe resentirse, ya que ese camino hacia la solución quedaría truncado. Es probable que lo intente por otro, pero creo que intentaría acumular el conocimiento necesario para continuar por el propio camino. Se transformaría en otro problema..." (C19),

a lo que añade en la primera parte de su respuesta, respecto al papel de la memoria, que ésta juega

"...un papel importante, aunque no indispensable...",

lo que denota una buena actitud ante la resolución de problemas, aunque, según lo observado en los protocolos, parece que la búsqueda de otros procedimientos es efectuada de forma insegura. En concreto, el intento de resolución para el caso del trapecio en el primer problema (E3, E4, E5) pone de relieve la inseguridad en los desarrollos emprendidos. Con más claridad se percibe esa inseguridad en el segundo protocolo, donde no es capaz de esbozar un plan mínimamente plausible.

 

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

 

 2.1. Obtención de una representación significativa.

3) La comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

 

Parece comprender el problema (primera parte) desde el principio, expresando con claridad la intención de escribir el área en función de las diagonales a partir de la fórmula en función de los lados (E2):

"...intento...verificar que el área, por mí conocida en función de los lados, se puede escribir en función de las diagonales..." (parte 3 grabación);

sin embargo, terminado el caso del rectángulo y empezando el caso del trapecio isósceles (E3), dice:

"...He tenido que volver...a pensar qué es lo que me pide el problema,... no acabo de centrarme muy bien en...qué es lo que pretende..." (parte 5 grabación),

a lo que hay que añadir el hecho de confundir los datos de la primera parte con los de la segunda, suponiendo que sólo dos diagonales han de entrar en liza:

"...en un pentágono todavía hay dos diagonales, pero en un exágono son ya tres..., entonces parece que solamente es posible trabajar con cuadriláteros y pentágonos..." (parte 11 grabación).

Así, pues, hemos de concluir que su comprensión ha sido parcial y que su razonamiento no ha sido abstracto (las dificultades han surgido cuando tenía que salirse de los casos particulares). En la entrevista él mismo reconoce su grado de comprensión de la segunda parte:

"...La segunda parte, creo que no me he enterado en todo el problema..." (1U2).

 

Comprende perfectamente el segundo problema, como él mismo supone:

"...Han pasado 10 minutos [E1] y el enunciado lo he comprendido..." (parte 3 grabación).

De hecho, el propósito inicial de probar con 11 números es acertado, si bien la imposibilidad práctica de su ejecución ("...es una locura...", E1) le conduce a abandonar el abordaje a través de casos particulares, influyendo negativamente en la planificación. Precisamente, la frase anterior completa (escrita al final de E1) deja en evidencia que comprende el enunciado:

"...es una locura buscar los grupos (supongo que éstos pueden estar formados por uno, dos o más números (dorsales))...".

Asimismo, en la entrevista dice:

"...al principio creía que era las sumas...de las cifras,... no sabía...si se podían montar grupos de tres, cuatro o cinco dorsales,... cuando me fijé que habías puesto dos grupos de distintos elementos..., supuse que sí era posible..." (2U1),

confirmando la comprensión de la situación, aunque la formalización de la misma haya resultado completamente irrelevante.

 

Comprende también inicialmente el tercer problema, ejemplificando correctamente al comienzo de su resolución; sin embargo, pierde el rumbo en E3, como él mismo reconoce en la entrevista:

"...Sí [me fui perdiendo]..." (3U4),

planteándose cuestiones que no permiten progresar en la resolución (mezcla las condiciones del número buscado con las del entero que ha de anteponer), lo que hace vislumbrar una falta de significatividad en la comprensión inicial.

 

 2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

3) Existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

 

Contrasta la claridad de su objetivo (escribir las áreas de los cuadriláteros en función de las diagonales) con la cortedad de miras de la estrategia empleada en el primer protocolo, consistente en ir probando uno a uno todos los tipos de cuadriláteros. De hecho, aunque en la parte 7 de la grabación (E4) dice que se halla en la fase de hacerse con el problema, no significa que esté en la fase de comprensión, pues desde el principio sabe qué le pide el enunciado, incluso dispone de una estrategia inicial: relacionar la fórmula en función de los lados con la fórmula en función de las diagonales (parte 3 de la grabación, E2). Desde el comienzo, la decisión de probar con todos es poco útil, pues conlleva la ausencia de la intención de buscar regularidades en los ejemplos que se van abordando. Es por ello que el caso del trapecio isósceles (E3, E4, E5) le supone un estudio ajeno al resto. Asimismo, se echa en falta una manipulación de cuadriláteros fijándose en las diagonales, con idea de poder, al menos, intuir condiciones necesarias o suficientes para que tal fórmula sea válida. Sin embargo, esto no quiere decir que no emplee su intuición; todo lo contrario:

"...en el rectángulo sí he encontrado un camino..., lo he intuido..." (1U3),

lo que ocurre es que su uso se queda en la superficialidad.

 

Es encomiable su decisión de no ejecutar las sumas (E1, segundo protocolo), pues hay demasiadas; sin embargo, se echa en falta la elección de una serie de números de forma organizada, de manera que las condiciones de selección de dichos números le hubieran podido dar luz sobre las propiedades que se han de cumplir necesariamente. Importante es asimismo la idea de simplificar de alguna forma la situación, incluso discutiendo qué tipo de simplificación puede ser más conveniente:

"...Quizás tenga que empezar por problemas..., digamos del 1 al 11..., no, del 1 al 11 no..., es decir, simplificar el enunciado..." (parte 3 de la grabación, E2).

No obstante, resulta chocante que no haya profundizado en dicha simplificación (pasar de 11 a 10 probablemente le hubiera llevado hasta casos más simples aún y, con ello, a los requisitos de selección de los 11 números). Es de resaltar que, tras afirmar (erróneamente) que se deben anular los corchetes (E2), vuelva a plantearse la simplificación al caso de 10 jugadores:

"...Ahora me vuelve a la cabeza el decir ¿los 11 jugadores?...¿y con 10 jugadores?..." (parte 7 grabación),

lo que ocurre es que dicho planteamiento sólo le ronda la cabeza, no llega a plasmarlo en ningún momento, lo que es una muestra más de la decisión de abandonar un tratamiento de casos particulares, pensando en su inviabilidad en base al ejemplo inicial:

"...he pensado...simplificar el problema, pero...me he dado cuenta que era plantear un problema...diferente..." (2U4).

En suma, un protocolo en el que no se ha llegado a esbozar un plan coherente de actuación:

"...no tengo claro...qué estrategia utilizar [pasados ya 10 minutos]..." (parte 3 grabación, E2),

"...vislumbro, pero no soy capaz de formular [pasados ya 25 minutos]..." (parte 5 grabación, E2),

"...ha sonado ya el tiempo, no he pasado de la intuición..." (parte 9 grabación, E3).

 

En el tercer protocolo podemos encontrar un plan de abordaje de la resolución, cuya primera formulación se halla en E2, aunque su obtención ha sido pesada (15 minutos, E1) y no tiene continuidad a lo largo del protocolo, ya que pierde el rumbo, como antes se ha comentado (E3), y cuando retoma el plan se dedica a plantearlo para un caso particular (E4).

 

 2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

2) La ejecución es ineficaz, porque, aunque es coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

 

En C9 da a entender que teme verse obligado a efectuar generalizaciones:

"...Sobre todo en la generalizaciones [me aparece el complejo de tonto]...".

 

La ejecución correspondiente al rectángulo y al cuadrado del primer problema es correcta, confirmando sus intuiciones:

"...en el rectángulo, he intuido...que no se daba..." (1U5).

Comete un error al aplicar el teorema del coseno (E5), error que no influye en la resolución. Al ir de los casos más sencillos a los más complicados (E1, E2), no busca generalizar resultados, sino tan sólo el procedimiento, lo que le implica dificultad en este caso. No explota suficientemente lo obtenido con el rectángulo (E2), probablemente por no recapacitar en la característica de las diagonales en los casos del cuadrado y del rombo. Está ofuscado por la idea de abordar un caso y cerrarlo, abordar otro y ... De hecho, el ángulo empleado en el razonamiento para el rectángulo (diagonal con lado) no lo relaciona, al deducir que el doble ha de ser de 90o, con el formado por las diagonales, sino con el formado por los lados. En suma, la ejecución es coherente con la planificación, pero, en el mejor de los casos, le permitiría obtener algún resultado intermedio (de haber dispuesto de más tiempo).

 

Después de 15 min. de desarrollo algebraico en el segundo protocolo (E2), llega a la conclusión de que dos sumas de números naturales son iguales si y sólo si lo son las sumas de las respectivas unidades, decenas y centenas, afirmando que esto no es nada nuevo. Esta afirmación es claramente errónea, pues, por ejemplo, 10+9+5=20+4, pero 9+5 no es 4 (suma de unidades) ni 1 es 2 (suma de decenas). Tal conclusión proviene del error cometido al afirmar, sin vacilación, que para que se anule la suma (E2) han de anularse todos los corchetes, notándose la ausencia de una discusión sobre el signo de cada corchete. Para que dicha afirmación fuera correcta tendría que haber argumentado que necesariamente cada corchete ha de ser positivo o nulo o bien una cifra del 0 al 9, lo cual, por otra parte, no es deducible de su planteamiento ni de las condiciones del problema. En resumen, puede decirse que tenemos delante una ejecución anodina para una planificación irrelevante.

 

En el tercer protocolo da la impresión de que a partir de E2 se le hace inmanejable la situación, tomando, como primera decisión, la alternativa de simbolizar a través de 10iωi/a el número (10nωn+...+10iωi)/a, lo que repercute negativamente en la solución, pues no maneja las sucesivas potencias de 10. De hecho, sólo da como solución, en ese momento, los números 1, 2, 5 y 10. Además, no es consciente de que es suficiente estudiar 10i/a, por lo que pasa a considerar lo que llama otros casos. Este hecho induce a pensar en la existencia de dificultad a la hora de hacer riguroso un proceso, teniendo problemas con el operativismo simbólico. De hecho, el episodio E3 parece ser la excusa para no profundizar en una resolución en la que impere la lógica y el proceso deductivo. Finalmente, puede asimismo pensarse en que el comienzo de E3 es erróneo, pues escribe 10i wi /a entero Þ wi /a = entero, cuando la implicación correcta es la recíproca, pero podría ser exclusivamente un mal uso del simbolismo. En definitiva, una ejecución coherente con la planificación que no posibilita la completa resolución del problema ni siquiera un estudio plausible de casos particulares.

 

 2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

3) Revisa cálculos y proceso, pero falta profundidad al menos en uno de ellos.

 

En C14 afirma considerar importante la revisión del proceso (aunque no haya tenido suficiente tiempo para llevarla a cabo en estos problemas) y estar obsesionado en comprobar los cálculos, debido a sus errores:

"...creo que esta fase es importante y suelo ponerla en práctica. En tus sesiones a veces no tengo tiempo... Desde siempre confío poco en mis cálculos... Por tanto, es una obsesión verificar que no me he equivocado...".

 

Antes de iniciar el estudio del trapecio en el primer protocolo (E3), analiza la consistencia de los resultados intermedios (cuadrado y rectángulo, E2, y el proceso subyacente) con las condiciones del problema. Por lo demás, asegura en la entrevista haber revisado la ejecución varias veces, mientras que no ha revisado la corrección de cada paso, lo que puede deberse tal vez a la falta de tiempo, pero quizás también al hecho de no poseer un plan de resolución bien estructurado.

 

Respecto al segundo protocolo, la ausencia de revisión es completa, si bien es verdad que poco tiene que revisar, como ya se ha comentado, ya que no alcanza una planificación coherente con las condiciones del problema y la ejecución es prácticamente inexistente. No obstante, podría haber revisado la conclusión de la anulación de los corchetes de E2.

 

Afirma no haber revisado la ejecución del tercer protocolo, ni la corrección de cada paso

"...porque son sencillos..., no he notado ninguna distorsión, aunque,...si lo pones a revisar, a lo mejor..." (3U9).

Sin embargo, de E2 dice:

"...ha habido...una vuelta atrás,... verificar lo que había sacado, a ver...si intuía algún error..., justificar que el proceso...era...más o menos validado..., ha habido un parón de pensar..." (3U2).

No obstante, a pesar de este aspecto positivo, dicha revisión no es eficaz en cuanto a renglón seguido se introduce en un tanteo infructuoso (E3).

 

 2.5. Nivel de acabado de la solución.

1) Se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

 

Es positiva la relación de interrogantes que formula al final de la resolución del primer problema (parte 11 de la grabación, E6), aunque deberían haber sido formulados al comienzo, para detectar posibles variables del problema. A esas alturas más parece una evasiva. No obstante, poco puede extraerse de un protocolo en el que la planificación no se ha encargado de indagar sobre regularidades a partir de los casos particulares, por lo que no hay atisbos de solución general.

 

El segundo protocolo no aporta solución, tan sólo una conjetura:

"...Intuyo que, independientemente del número de cifras de los números, elegidos 11, siempre es posible encontrarlos, pues se remite a buscar sumas con las cifras del 0 al 9 que sumen lo mismo..." (E3).

Ahora bien, esta conjetura está exclusivamente basada en la forma del enunciado y la razón esgrimida es equivalente a decir sí porque sí, poniendo de relieve la falta de racionalidad de las soluciones:

"...he sido capaz de dar una contestación, pero intuitiva..." (2U6).

 

En cuanto al tercer protocolo, obvia racionalizar el proceso tras obtener las soluciones para el caso de una cifra (E2). Tan poco claro es el estado de la solución que llega a afirmar en la entrevista:

"...Con lo que llevo sería un problema [decir cuál sería la solución], tendría que analizar ya todas las posibles soluciones para...mayor...número de cifras..." (3U8),

a pesar de haber obtenido la expresión (10i wi+a)/a (E4) para más de una cifra, expresión similar a la obtenida para el caso de una cifra (E2), que, de haber desarrollado un proceso claro y debidamente fundamentado (incluso para el caso de una cifra), le habría conducido a conjeturar como solución los divisores de las potencias de 10.

 

En cualquier caso, no se ha podido extraer una completa información sobre este indicador, debido a la ausencia de solución en los protocolos.

 

No obstante, la información extraída contrasta con su respuesta a C15:

"...Me gusta coleccionar variantes de resoluciones..., la búsqueda de variantes de enunciados es una tarea familiar... La generalización no es una variante, sino una de las fases de la resolución de problemas...";

sin embargo, dicha colección puede obtenerse a partir de otros resolutores, por ejemplo, y, por otro lado, no hay atisbos de generalizar ni fundamentar el proceso dignos de mención en ninguno de los tres protocolos.

 

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

 

 3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

3) Alguna, aunque se impacienta si le supone mucho tiempo y se introduce en otra fase. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento existe, pero repartido a lo largo del proceso, aunque con más intensidad al comienzo de la resolución.

 

En C12 asegura no contrastar inicialmente los previsibles requerimientos de la tarea con el estado de su conocimiento, aunque

"...eso puede que aparezca posteriormente, una vez que estoy metido en él...".

Por su parte, en C13 dice que dedica

"...tiempo a la fase de comprensión, pero no puedo asegurarte que sea el suficiente. A veces me introduzco rápidamente en él, aunque casi siempre que me atasco vuelvo al enunciado...".

Ambas respuestas dan pie a pensar que le concede importancia a la fase de comprensión, aunque se puede introducir en la planificación o la ejecución sin haber obtenido una representación altamente significativa; ahora bien, en tal caso vuelve a profundizar en la comprensión.

 

El primer protocolo confirma lo expuesto, pues el comienzo de E3 (parte 5 de la grabación) es una vuelta al enunciado:

"...He tenido que volver a...pensar qué es lo que me pide el problema...",

evidenciando su idea de no introducirse en ejecuciones infructuosas.

 

Lee el segundo enunciado tres veces, según dice en la parte 1 de la grabación (E1), explicando los motivos en la entrevista:

"...porque...al principio creía que era las sumas...de las cifras..., no sabía...si había que montar grupos de dos..." (2U1),

poniendo de relieve la necesidad de profundizar en la comprensión del enunciado, hecho que deja en evidencia la ineficacia de la triple lectura, pero que, a pesar de todo, deja claro que concede importancia a la obtención de una comprensión, como mínimo, operativa, aunque no llegue a ser muy significativa.

 

Al comienzo de la resolución del tercer problema lee una sola vez el enunciado, pues estima haberlo entendido. Sin embargo,

"...Sí [he necesitado releer el enunciado], varIas veces... Inicialmente no, porque el ejemplo lo clarificaba, pero...después de los 10, 15 minutos, he tenido que volver a leer, porque creía...que me estaba perdiendo..." (3U3),

cita que se ve confirmada en la parte 3 de la grabación (E1):

"...He escrito hasta 11..., digo 'voy a empezar a trabajar con el terminado en 3... Claro,... al poner esto, vuelvo otra vez a pensar...en el enunciado,... me hago la pregunta ¿qué es lo que tengo...que resolver?...'".

Invierte, pues, bastante energía en llegar a formular el problema (final E1) de forma asequible para su resolución, lo que pone de manifiesto su interés en obtener una buena representación.

 

 3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

3) El resolutor concede importancia a la planificación. No obstante, a veces se ve impulsado a no profundizar en ella, precipitándose en la elección de un plan.

 

Hay que traer de nuevo a colación la respuesta dada a C13 (referida en Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa, ya que en dicha cuestión se pregunta tanto por la comprensión como por la planificación, por lo que puede entenderse, debido también a la estrecha vinculación entre ambas fases, que la respuesta se refiere a las dos. En tal sentido concluiríamos que concede importancia a la obtención de un buen plan, aunque a veces se pueda introducir en la ejecución quedando algunos cabos sueltos.

 

Es consciente de la carencia de un buen plan para el primer problema, pues, pasados 20 minutos, dice:

"...estoy a la mitad y no he avanzado mucho. Estoy todavía en la fase de...meterme ya en él [el problema]..." (parte 7 grabación, E4),

pero esto no le lleva a dejar de abordar casos uno a uno, sin buscar regularidades, por lo que, a pesar de ver la importancia de tener un buen plan, la resolución plasma una ejecución sin rumbo claro. En la entrevista se observa la falta de inversión en la obtención de una buena planificación:

"...como me hablas de cuadrilátero,... ir recorriendo toda la familia...desde el más sencillo desde el punto de vista de la simetría y de la igualdad entre las diagonales, eso ha sido lo único que me ha motivado; de hecho, el [trapecio] rectangular lo he abandonado por eso..." (1U1),

esgrimiendo razones que no conducen a la reducción de casos considerada por él.

 

Es positiva la idea de simplificar la situación correspondiente al segundo problema, antes de introducirse en cálculos infructuosos:

"...no tengo claro...qué estrategia utilizar,... buscar los dos grupos que sumen lo mismo...me parece...que es un trabajo de chinos... Quizás tenga que empezar por problemas...del 1 al 11,... simplificar el enunciado... Voy a empezar a escribir unas...igualdades algebraicas..., pero no tengo muy claro...cómo voy a encontrar..., estoy despistado..." (parte 3 grabación, E2).

Sin embargo, acaba desarrollando el enfoque algebraico sin saber a dónde le puede conducir.

 

Entre los minutos 10 y 25 del tercer protocolo (E1, E2) se observa un deseo de elaborar un buen plan, valorando incluso la conveniencia de un planteamiento u otro (wa/a = α o wa = αa):

"...no seguir desarrollando esto,... intentar despejar a, porque luego decía: bueno,... voy a tener expresiones de este tipo [polinómica]..." (3U1).

No obstante, no tiene intenciones de profundizar en el plan, sino de pasar enseguida a la acción, pues no plantea la progresión de una a más cifras desde el principio.

 

 3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

4) Explicita frecuentemente el estado de la ejecución, alternando lo narrativo con lo explicativo.

 

Las partes 3 (E2) y 7 (E4) de la grabación correspondiente al primer protocolo son claras muestras de explicitación del estado de la ejecución, especialmente cuando dice:

"...lo que intento es..." (parte 3) y

"...me acabo de dar...cuenta que..., pensaba en la diagonal mayor y diagonal menor y estamos trabajando sobre diagonales que son iguales... Con el...trapecio...isósceles... Se me viene a la cabeza la posibilidad de trabajar con vectores..., lo veo largo y sin saber muy bien a dónde voy a llegar..." (parte 7),

lo que pone de relieve una frecuente explicitación de la ejecución, explicando los objetivos de la misma o las conclusiones obtenidas (como hace al final de E2).

 

En el segundo protocolo la explicitación es más escasa. En un caso,

"...Para que esto se anule, deben anularse los corchetes, luego deben sumar lo mismo grupos de cifras del 0 al 9..." (E2),

es una simple narración verbal de algo que podría haber simbolizado, sin añadir explicación a la resolución; y en el otro,

"...¿Se cumplirá siempre que tengamos 11 números diferentes? Creo que sí, que sólo tengo que comprobar que con las unidades suceda (claro es la suma de números naturales)..." (E3),

aporta una explicación al protocolo, pero nada a su posible resolución. No obstante, concuerda con las carencias ya comentadas de este protocolo.

 

En cuanto al tercer protocolo, en la parte 1 de la grabación (E1) explica sus intenciones:

"...voy a...intentar escribirlo, a ver...qué empiezo a sacar...",

al final de E2 resalta los resultados intermedios:

"...a=1,2,5,10 siempre, pues dividen a 10, como ya había previsto..." y

en E3 explica los casos que quedan por considerar:

"...Como las wi sólo pueden ser las cifras {0,1,...,9}quedaría estudiar los casos en que éstas sean divisibles por alguna de ellas...".

 

 3.4. Coherencia y control del proceso.

2) (aunque concede importancia al control del proceso)La coherencia del proceso es pequeña. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Aunque concede importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo un control efectivo.

 

En el primer protocolo no explota suficientemente lo obtenido con el rectángulo (E2), probablemente por no recapacitar en la característica de las diagonales en los casos del cuadrado y del rombo. El abordaje del caso del trapecio isósceles (E3, E4, E5) es aún peor, ya que no llega a aportar ninguna solución, ni siquiera parcial, debido a que se centra en unos recursos inútiles, a pesar de plantearse cambiar de perspectiva, empleando vectores (E4), pues ve complicado el trabajo con ángulos:

"...trabajar...con los ángulos en el trapecio, ¡puff!, lo veo complicado...y sin saber muy bien a dónde voy a llegar..." (parte 7 grabación),

pero lo abandona, reconociendo no tener las cosas claras:

"...desisto de hacerlo mediante vectores; vuelo otra vez a trabajar con los segmentos, pero no sé, no tengo las cosas claras..." (parte 9 grabación, E5).

Por otra parte, es preciso decir que su aparente miedo a la generalización merma las ventajas de sus controles de progreso. Significativa es su respuesta a la pregunta sobre si se ha hecho una idea global del proceso:

"...¡Hombre, no!, a posteriori, durante el problema no..." (1U6),

dejando en claro su falta de control, aunque tampoco se haya enfrascado en desarrollos inútiles.

 

El segundo protocolo está centrado en recursos inútiles para la resolución. El enunciado le sorprende y el carácter anárquico del ejemplo (E1) le dirige al extremo opuesto, el tratamiento algebraico (E2). Puede verse de esta forma cómo una errónea decisión de control condiciona el éxito del proceso de resolución. En el aspecto positivo, hay que subrayar la frecuente aparición de decisiones de control (ya referidas en los indicadores anteriores relativos al control) y su repetido cuestionamiento sobre la simplificación del problema (partes 3 y 5 de la grabación), aunque no haya llegado a desarrollarlo. Esto hace pensar en que concede importancia al control del proceso, aunque éste no sea efectivo.

 

En el tercer protocolo es positivo el hecho de haber valorado la conveniencia de un planteamiento u otro (wa/a = α o wa = αa) (final E1). Sin embargo, después pierde el rumbo de la resolución (E3). Pues bien, cuando pierde el norte, no se da cuenta de que, en realidad, está abordando problemas triviales, paralelos a los criterios de divisibilidad, lo que pone de manifiesto una falta de control del proceso, además del hecho de haberse centrado en detalles inútiles. No obstante, vuelve al planteamiento inicial, pero no le da tiempo a desarrollarlo para más de una cifra. Además, dicho regreso es compatibilizado con lo efectuado en E3; en ningún momento supone un cambio, sino una integración de todo en el proceso de resolución. De nuevo se constata la importancia otorgada al control del proceso, aunque sin la efectividad deseable:

"...[Entre los minutos 10 y 20 hay tan poco escrito porque] ha habido...una vuelta atrás..., justificar...el proceso que iba a seguir..." (3U2),

"...en el minuto 30 he tenido que pensar...'vamos a ver qué...llevo...y qué...me faltaría'..." (3U6).

En definitiva, un protocolo que da a entender que, cuando los recursos eran apropiados, no se han explotado debidamente, y que en caso contrario se han intercalado recursos inadecuados.

 

Finalmente, aparte del segundo protocolo, que aporta poca información, en los otros dos podemos observar partes que poseen coherencia en sí mismas, pero que no colaboran en un proceso global.

 

 3.5. Organización temporal.

2) Tener un plazo definido de tiempo para la resolución le condiciona bastante, suponiendo inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, provoca la falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

 

La limitación temporal le agobia durante la resolución del primer problema:

"...el tiempo...me agobia, porque ya he hecho cuatro rayitas, estoy a la mitad y no he avanzado mucho..." (parte 7 grabación, E4),

"...me he entretenido... El tiempo también me ha influido..." (1U4)

(refiriéndose al hecho de no haber profundizado en las condiciones del problema),

"...No he tenido tiempo [de evaluar los efectos de tomar una nueva dirección]..." (1U7).

Estas frases ponen de relieve su falta de organización temporal. El tiempo se le viene encima desarrollando cosas en las que no tiene mucha fe, como es el caso del trapecio, donde invierte más de 15 minutos.

 

En la parte 7 de la grabación correspondiente al segundo protocolo (E2) dice:

"...Me entra un poco de ansiedad el saber que...me quedan 10 minutos y que todavía no soy capaz de verlo...".

Es una constante de los protocolos el hecho de hablar mucho de lo que podría hacerse o cómo podría enfocarse, pero en la práctica desarrollar bastante poco. Invierte demasiado tiempo en pensar e idear el enunciado:

 

"...se me ha ido más de la mitad, cerca de media hora en entender el enunciado..." (2U3).

Parece, por tanto, necesitar mucho más tiempo para dedicarse con confianza a desarrollar una estrategia:

"...El tiempo se me ha hecho corto..." (2U5).

 

En el tercer protocolo se queja de falta de tiempo:

"...no he tenido tiempo en pensarlas [otras posibles perspectivas de abordaje]..." (3U5)

"...Se me ha pasado volado, no he pensado en...cómo distribuir el tiempo... Creo que es poco tiempo 40 minutos..." (3U10).

Sin embargo, más que la falta de tiempo, parece que su obstáculo es la dificultad de pasar del estudio de casos concretos a generales. De todas formas, debería haberse organizado el tiempo y que éste no le sobreviniera sin esbozar al menos una conjetura.

 

 3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

3) Su conocimiento de estrategias de RP, así como la constancia de su utilidad, son aceptables, pudiendo tener alguna idea de la existencia de otras variables que influyen en la resolución de problemas.

 

En C10 nombra 7 estrategias, 6 de ellas referentes a la fase de planificación, dando algún detalle que indica el conocimiento del manejo de las mismas y su adaptación a las diferentes situaciones problemáticas:

"...imaginar una situación más sencilla (simplificar el problema),... organizar la información (diagramas, tablas, gráficas,...),... dividir el problema en subproblemas...",

echándose en falta estrategias de control de la acción.

 

En C18 no da muchos más detalles sobre las características deseables de un resolutor de problemas:

"...paciencia,...metódico y ordenado,...curioso, perseverante, en una palabra, gustarle investigar...".

En esta ocasión enfatiza el papel del trabajo, la constancia (cuestión actitudinal), sin informar de otras variables.

 

En C7 dice

"...que a lo largo de estos años he conseguido un cierto bagaje de métodos y estrategias que me permiten abordar problemas, aunque soy consciente que problemas contextualizados en ciertos aspectos de la matemática me resultan muy difíciles...",

poniendo de manifiesto la importancia que concede a las estrategias de resolución de problemas, así como a la disponibilidad del conocimiento (aunque no habla de la organización del mismo, sólo de poseerlo). En C8 añade que es

"...una buena estrategia el dejarlo y dar tiempo a que los sesos vayan consumiendo neuronas de manera refleja...",

dando a entender que conoce el papel del subconsciente. Respecto a la necesidad del conocimiento, en C19 dice que el conocimiento de hechos, teoremas, etc

"...aportan seguridad y te pueden sugerir una amplia gama de posibles estrategias de resolución...",

evidenciando el conocimiento de la conexión existente entre lo estratégico y lo factual.

 

Globalmente utiliza los siguientes heurísticos:

- Primer problema: organizar la información (comprensión), considerar problemas equivalentes, descomponer el problema (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Segundo problema: organizar la información, ejemplificar (comprensión), asumir la solución (planificación).

- Tercer problema: organizar la información, ejemplificar, expresar en otros términos (comprensión), tantear, considerar problemas equivalentes (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

 

 

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

 

(Gráfico 13) 

El gráfico pone de manifiesto un evidente predominio de los niveles 2 y 3 en las categorías 2 y 3, sin aportación significativa de indicadores con niveles 4 que pudieran inducir a situarlo en la banda de transición 2-4. Por ello, su perfil queda simbolizado por B1-3 (con un indicador con nivel 4), S2-3 (con un indicador con nivel 1).

 

IV.8.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

 

Lo expresado por su parte hace suponer que el hecho de estar siendo observado es un elemento de distorsión que afecta a su comportamiento, pero que supera paulatinamente.

 

En relación con su actitud ante los problemas cotidianos, suele recabar ayuda e información para afrontarlos preferentemente en solitario.

 

Dentro del campo matemático, el abordaje de problemas tiene cierta frecuencia (siendo dominante sobre el enfrentamiento a ejercicios), motivado por la necesidad docente y/o investigadora o bien por el divertimiento, tanto de forma individual como en equipo, aunque aquélla tenga más peso. Sin embargo existe algo que resta eficacia a su actitud; se trata del hecho de que, al enfrentarse a situaciones problemáticas, aparecen miedos y ganas de abandonarlas, aunque se van superando progresivamente, lo que supone una paulatina concentración en la resolución de las mismas. Asimismo, tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad puede deberse a distintos motivos, como la limitación temporal o la familiaridad del tópico o la disponibilidad de alguna fórmula.

 

El conocimiento mostrado se sale un poco (es inferior) del medio tono, con aspectos bastante positivos, correspondiente al global de esta categoría. En efecto, muestra un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

 

Respecto al papel que concede a la memoria, la considera necesaria, efectuándose en su ausencia la búsqueda de un procedimiento alternativo de forma insegura.

 

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

 

En general, la comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

 

Asimismo, existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

 

En cuanto a la ejecución, es ineficaz, porque, aun siendo coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

 

Esta disminución en la efectividad se ve mínimamente compensada por su comportamiento, discretamente superior, en relación al empleo de la revisión, ya que revisa cálculos y proceso, aunque falta profundidad al menos en uno de ellos.

 

Sin embargo, es claramente deficiente el nivel de acabado de la solución. Se conforma con la primera solución que obtiene, sin al menos intentar simplificarla. No se plantea en absoluto otras formas de solución; la primera expresión con visos de solución supone el final de la resolución, sin más. En ningún momento se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

 

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

 

La información extraída hace pensar que otorga alguna importancia a la adquisición de una buena comprensión de la situación, aunque se impacienta si le supone mucho tiempo y se introduce en otra fase. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento existe, pero repartido a lo largo del proceso, aunque con más intensidad al comienzo de la resolución.

 

Análogamente, RC concede importancia a la planificación. No obstante, a veces se ve impulsado a no profundizar en ella, precipitándose en la elección de un plan.

 

En este apartado destaca positivamente la explicitación del estado de la ejecución, pues lo hace con frecuencia, alternando lo narrativo con lo explicativo.

 

En el polo opuesto, destaca negativamente la poca coherencia del proceso de resolución. Algunas partes guardan coherencia internamente, pero sin relación con el propósito global. La organización es escasa, no aportando un control significativo al proceso de resolución. Se centra en recursos inútiles, ignorando direcciones potencialmente útiles. Aunque concede importancia al control del proceso, en la práctica no lleva a cabo un control efectivo.

 

Asimismo, tener un plazo definido de tiempo para la resolución le condiciona bastante, suponiendo inquietud y nerviosismo a lo largo de toda la resolución, lo que, en ocasiones, provoca la falta de profundización en alguna estrategia. Esto le puede llevar a no resolver satisfactoriamente el problema, debido a no ver un enfoque perfectamente claro al que dedicarle todo el tiempo (teme aventurarse).

 

Finalmente, parece que su conocimiento de estrategias de RP, así como la constancia de su utilidad, son aceptables, pudiendo tener alguna idea de la existencia de otras variables que influyen en la resolución de problemas.

 

IV.8.4. ANÁLISIS FINAL

Confianza en su labor docente (tendencia investigativa), acorde con su concepción dinámica de la matemática, en discordancia con su falta de confianza como resolutor

 

La cierta frecuencia con la que se enfrenta a problemas matemáticos, motivado por la necesidad docente (1.3.-4) concuerda perfectamente con una metodología cuya práctica se caracteriza por la resolución de problemas (I1) y con la creencia de que el conocimiento matemático está dirigido por la resolución de problemas (RP5). Posee una confianza moderada en sus posibilidades como resolutor (1.4.2.-3) y, en el mismo tono, aparecen miedos cuando resuelve problemas, pero los supera progresivamente (1.4.1.-3), aspectos que no se corresponden con la consideración de objetivos flexibles y revisables (I3), con una programación a base de redes conceptuales organizadas (I4) o con el criterio de evaluación sobre mínimos reformulables (I30), pues estos indicadores muestran una gran confianza en su labor docente, a los que hay que añadir el papel que concede al alumno, que investiga (I17), reflexiona (I18) y cuestiona (I19) en sus clases; no obstante, esta discordancia informa de la no necesaria implicación entre algunos indicadores del perfil como resolutor y otros indicadores de la tendencia didáctica. Asimismo, la búsqueda de procedimientos alternativos, en ausencia de la memoria, es insegura (1.6.-3), en discordancia con su concepción del aprendizaje, en la que huye de lo memorístico, destacando la inclinación por un aprendizaje significativo relevante (I8) por construcción espontánea (E10) o dirigida (I10).

 

Por otra parte, la confianza en su labor como profesor, antes referida, se ve respaldada por una evaluación volcada en el proceso (I34), en la que entran a informar varios instrumentos (I35) y que tiene un carácter cualitativo-cuantitativo (I26), lo que guarda relación con un modelo abierto y dinámico de concepción de la matemática, en la que podemos destacar la consideración de la matemática como campo de creación (RP5).

 

Aunque revisa la resolución de los problemas, le falta profundidad en los cálculos o en el proceso (2.4.-3), en relación con su declarada intención de enfrentarse a problemas con proyección en su aula (1.3.-4), mostrando desinterés en otro caso (de ahí el comportamiento mediocre o dubitativo). El nivel de acabado de la solución es deficiente (2.5.-1), lo que contrasta de nuevo con su dedicación a resolver problemas como "vehículo metodológico" (C11) (1.3.-4) y con la convicción de que el conocimiento matemático está dirigido por la resolución de problemas (RP5).

 

Posee un mediocre control de la acción, con deficiente control del proceso (3.4.-2) y organización temporal (3.5.-2), no sacándole partido a la ausencia de criterios de utilidad en el conocimiento matemático, en sentido instrumentalista, que, por contra, implica unos valores (RP3), así como a su posición a favor de un tipo de razonamiento basado en conjeturas, pruebas y refutaciones (RP7) respecto al modo de evolución del conocimiento matemático. Aunque no se puede hablar, en general, de un bajo nivel en el control de la acción, cabría esperar mejor comportamiento a raíz de su concepción dinámica de la matemática.

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