cap49

ESTUDIO SOBRE EL MODELO MENTAL DE RV

IV.9.1. TENDENCIA DIDÁCTICA

IV.9.1.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

METODOLOGÍA(I)

16.(El algoritmo de la ecuación de segundo grado se conoce...)cuando ya han conseguido manejarlo...cuando ya ellos saben bien por qué es eso...después de hacer varios ejercicios saben qué es lo que están haciendo...para una ecuación de segundo grado, pues problemas por ejemplo, que tengan que sacar la ecuación de segundo grado...Tengan un enunciado y conectándolo con la geometría...de que dónde corta al eje,...no me refiero tanto a la fórmula en sí, a la... a que sepan de dónde sale la fórmula como a que sepan lo que te he dicho antes: la interpretación geométrica...en un nivel determinado, en otros ya a lo mejor haría falta que sepan deducir una fórmula...no sólo que sepan deducir una fórmula, porque yo creo que lo más interesante de saber deducir una fórmula es una de las cosas que en matemáticas yo creo que deberían aprender, de que no salen las cosas ahí por las buenas...no me gustaría es que se la creyeran,...por ahí; tendrían que ver ellos que de verdad esa fórmula tiene sentido...Algunas veces...es bueno explicarles de dónde viene la fórmula para que se vayan un poco habituando ...hay algunos que yo creo que no lo entenderían... no ya que no lo entenderían, sino que no intentarían entenderlo.

19.(En la clase, mis alumnos)toman notas algunos, otros ni eso, hacen ejercicios, eso sí...les pongo mucho y hablan unos con otros, comentan los ejercicios y lo que no son los ejercicios..., no están en grupos...Sí(doy apuntes desde la pizarra o explico)...Deben tomar nota.

15.(Saber cuándo se debe abandonar un tema)es difícil, porque a veces te parece...que ya está el tema visto, que ya ellos han entendido lo principal...que saben manejar los conceptos... y después te das cuenta de que...no es así...Cuando ya tú crees que...está dominado, más o menos, el tema...sin hacerte demasiado pesada...Los niveles que hay en las clase también influyen... si hay distintos niveles, te puedes hacer muy pesada para un determinado tipo de gente, que tampoco estaría bien.

TE1:Ejercitación reproductiva

TR o TE1:Ejercitación repetitiva. O Ejercitación reproductiva

TE3:Objetivos terminales operativos

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

METODOLOGÍA(II)

14.Sí (reviso mis planteamientos)... Si yo estoy viendo que la clase no va a funcionar así... tengo que cambiar... algunas veces sí... de contenido hasta cierto punto... ya te he dicho que... cuando estás dentro de un planteamiento donde hay un programa, ... puede ser que tú amplíes más un tema o lo amplíes menos. Entonces depende de las clase, si tú algunas veces te das cuenta de que el tema no interesa...y que lo único que estás haciendo al intentar tú ampliar el tema es volverlos locos...es mejor dejarlo.

TR4:Programación oficial prescriptiva rígida (unidades aisladas)

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

SENT. ASIGNAT. (I)

7.(Los algoritmos)son útiles para... resolver determinadas situaciones y para facilitar a la hora de hacer algo...Si todo el Seminario está de acuerdo en dar un determinado temario, los tiempos los tengo que dar... en lo que hay. Pero, vamos, yo les daría poco... Me gusta más otro tipo de...conceptos y de cosas. Yo les daría poco porcentaje.

8.(Aparte de los algoritmos,los componentes de mis clases son...)de principio, los conceptos...tienes que darle los conceptos y... y eso, aplicar los algoritmos normalmente a resolver un problema, o los algoritmos o los conceptos.

15.(Saber cuándo se debe abandonar un tema)es difícil, porque a veces te parece...que ya está el tema visto, que ya ellos han entendido lo principal...que saben manejar los conceptos... y después te das cuenta de que...no es así... Cuando ya tú crees que...está dominado, más o menos, el tema...sin hacerte demasiado pesada...Los niveles que hay en las clase también influyen... si hay distintos niveles, te puedes hacer muy pesada para un determinado tipo de gente, que tampoco estaría bien.

24.(Respecto de la conveniencia de recoger las necesidades sociopolíticas,...)lo que creo es que ahora mismo hay muchas cosas en matemáticas, en lo que es la E.G.B., que de verdad que no le aportan nada al alumno ni le sirven luego para nada, en el sentido de....conectarlo con otros conceptos ni nada, porque se quedan cosas ahí muy aisladas y le dan...muchas cosas...que no tienen mucho sentido...Se debería ajustar a lo que va la sociedad... lo que yo no estoy de acuerdo es que el entorno te limite, tampoco...El entorno específico no. Hombre, a lo que va la sociedad sí, por ejemplo, la informática...o la estadística, yo creo que además se hace, ¿no?. Aunque vayamos más retrasados, pero poco a poco se va introduciendo lo que se necesita, yo creo que sí. Aunque siempre vayamos por detrás, claro.

TR5:Énfasis conceptual

TR5

TR5

TE6+7:Matemática escolar como adaptación de la matemática formal a la problemática real. Informativa utilitaria

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

SENT. ASIGNAT. (II)

1'.(El contenido de la materia debe presentarse)intentando, si es posible, explicar el porqué es necesario el estudio de ese tema.

22.(A la hora de tener que elegir entre varios temas, selecciono)Normalmente, lo que puedan necesitar para... otros años o para otras asignaturas (de matemáticas)... o de física, por ejemplo.

TR7Ì TE7:InformativaÌ Informativa utilitaria

TE7:Informativa utilitaria

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

CONC.APREND. (I)

28.De cara a los alumnos también me cuesta muchas veces decirles un resultado sin...un desarrollo, pero, a veces, da resultado hacerlo así, o sea,...no interesa el desarrollo, interesa el resultado, que entiendan el resultado más o menos ... Muchas veces les ayuda mucho más a comprender lo que están haciendo..., ya lo voy haciendo más, pero al principio me costaba mucho trabajo decirles algo sin habérselo demostrado.

29.(Respecto a la aceptación de un resultado no apoyado en un proceso deductivo elaborado por un alumno)Sí se lo acepto... Pero, vamos, que tiene que hacer...un proceso lógico, aunque no sea deductivo.

15.(Saber cuándo se debe abandonar un tema)es difícil, porque a veces te parece...que ya está el tema visto, que ya ellos han entendido lo principal...que saben manejar los conceptos... y después te das cuenta de que...no es así... Cuando ya tú crees que...está dominado, más o menos, el tema...sin hacerte demasiado pesada...Los niveles que hay en las clase también influyen... si hay distintos niveles, te puedes hacer muy pesada para un determinado tipo de gente, que tampoco estaría bien.

TR9(en evolución): Procesos deductivos

TE9:Procesos inductivos simulados y deductivos

TE10:Por asimilación

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

CONC.APREND. (II)

16.(El algoritmo de la ecuación de segundo grado se conoce...)cuando ya han conseguido manejarlo...cuando ya ellos saben bien por qué es eso...después de hacer varios ejercicios saben qué es lo que están haciendo...para una ecuación de segundo grado, pues problemas por ejemplo, que tengan que sacar la ecuación de segundo grado...Tengan un enunciado y conectándolo con la geometría...de que dónde corta al eje,...no me refiero tanto a la fórmula en sí, a la... a que sepan de dónde sale la fórmula como a que sepan lo que te he dicho antes: la interpretación geométrica...en un nivel determinado, en otros ya a lo mejor haría falta que sepan deducir una fórmula...no sólo que sepan deducir una fórmula, porque yo creo que lo más interesante de saber deducir una fórmula es una de las cosas que en matemáticas yo creo que deberían aprender, de que no salen las cosas ahí por las buenas...no me gustaría es que se la creyeran,...por ahí; tendrían que ver ellos que de verdad esa fórmula tiene sentido...Algunas veces...es bueno explicarles de dónde viene la fórmula para que se vayan un poco habituando ...hay algunos que yo creo que no lo entenderían... no ya que no lo entenderían, sino que no intentarían entenderlo.

3.(Para aprender, lo ideal es)que el alumno vaya el solo aprendiendo los conocimientos. Hombre, dándole, digamos, un guión... unos objetivos...además pienso que debería haber muy poquitos alumnos en clase y hacer una cosa de grupos... eso es otra de las cosas de la Didáctica: saber llevar una clase así en grupitos, que no sé.

19.(En la clase, mis alumnos)toman notas algunos, otros ni eso, hacen ejercicios, eso sí...les pongo mucho y hablan unos con otros, comentan los ejercicios y lo que no son los ejercicios..., no están en grupos...Sí(doy apuntes desde la pizarra o explico)...Deben tomar nota.

10.(Respecto a si los alumnos saben lo que valoro)Una cosa que les repito mucho es que a mí los ejercicios...me da igual cómo me los hagan y que cada uno tenga su forma de hacerlo...(En los objetivos de la asignatura) no, porque ya te vuelves más cómoda... ya al final no sabes qué elegir, ¿no?. A veces ya dices, bueno, pues, que se lo aprendan aunque sea... no sepan ni lo que están haciendo... sobre todo quiero es que sepan lo que están haciendo. O sea, que entiendan por qué hacen esto o por qué hacen lo otro... que eso muchas veces no... paso de... porque ya me desespero y paso.

TE10:Por asimilación

TE10+11:Por asimilación. Trabajo individual

T11:Trabajo individual

TR12:Dinamizador: la lógica de la asignatura

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

CONC.APREND.(III)

14.Sí (reviso mis planteamientos)... Si yo estoy viendo que la clase no va a funcionar así... tengo que cambiar... algunas veces sí... de contenido hasta cierto punto... ya te he dicho que... cuando estás dentro de un planteamiento donde hay un programa, ... puede ser que tú amplíes más un tema o lo amplíes menos. Entonces depende de las clase, si tú algunas veces te das cuenta de que el tema no interesa...y que lo único que estás haciendo al intentar tú ampliar el tema es volverlos locos...es mejor dejarlo.

2.(Aprendemos matemáticas)Nosotros solos...hay algo que te puede ayudar de fuera, pero es la predisposición que tú tienes, la forma de hacerlo.

5.(Cuando la enseñanza no produce un buen aprendizaje, la responsabilidad se reparte,)creo que muchas veces a un 50%, otras veces a lo mejor tiene más culpa el profesor... Creo que la motivación es suya misma, vamos, no ya sólo lo que tú lo motives en clase, sino la motivación que tenga el alumno para estar aquí, que es distinto...En la forma tuya de dar clase influye tu forma de ser. Tú tienes que buscarte una Didáctica con tu carácter, tú no puedes hacer cosas que contigo no vayan, vamos. Y a veces lo intentas hacer bien, pero no son cosas que tú..., que vayan contigo..., tú no estás natural en la clase, entonces eso también influiría.

13.(Normalmente, no conseguir lo que nos proponemos)se debe a varios factores (jj). El primero que te he dicho, por ejemplo, en mi caso..., porque después yo estoy pensando hacer una cosa y al final me sale otra en la clase. Principalmente por ti misma, después por la clase... Que los niños estén más o menos interesados en estar allí, como te he dicho antes; aparte de lo que tú les puedas interesar la materia, yo creo que una de las cosas fundamentales de valorar es que los niños pasan olímpicamente de estar aquí, vamos, para cualquier cosa...Otro de los factores... eso de no conocer a los niños y muchas veces te pones a hacer algo pensando que les va a interesar y no les interesa y otras veces, al contrario.

TR12:Dinamizador de la asignatura

TE14:Actitud parcialmente transformable

TE14

TE14

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

PAPEL ALUMNO

20. En la programación no(participan los alumnos)... la programación está... En el diseño de actividades, bueno, sí, algunas veces, pues...depende, lo que tú dices, por ejemplo, un tema que yo creo que ya ha quedado zanjado, a veces ellos mismos dicen que no ha quedado y pretenden que...vuelva otra vez a algo en especial...Llevo programado una serie de ejercicios, ¿no?, pues a veces ellos piden otros también, que no... y eso sí lo... pero, vamos, poquito.

4.No(se obtiene necesariamente un buen aprendizaje de una buena enseñanza)...Creo que depende del alumno, de cómo le llegues tú.

13.(Normalmente, no conseguir lo que nos proponemos)se debe a varios factores (jj). El primero que te he dicho, por ejemplo, en mi caso..., porque después yo estoy pensando hacer una cosa y al final me sale otra en la clase. Principalmente por ti misma, después por la clase... Que los niños estén más o menos interesados en estar allí, como te he dicho antes; aparte de lo que tú les puedas interesar la materia, yo creo que una de las cosas fundamentales de valorar es que los niños pasan olímpicamente de estar aquí, vamos, para cualquier cosa...Otro de los factores... eso de no conocer a los niños y muchas veces te pones a hacer algo pensando que les va a interesar y no les interesa y otras veces, al contrario.

19.(En la clase, mis alumnos)toman notas algunos, otros ni eso, hacen ejercicios, eso sí...les pongo mucho y hablan unos con otros, comentan los ejercicios y lo que no son los ejercicios..., no están en grupos...Sí(doy apuntes desde la pizarra o explico)...Deben tomar nota.

T15:No participa en el diseño didáctico

TE16:Responsable prpal. transf. E-A (motivación por el contexto)

TE16

TR17:Escucha y copia

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

PAPEL PROFES. (I)

6.Yo mezclo...que los alumnos trabajen con dar clases en la pizarra, lo mismo les doy un concepto y después trabajamos sobre el concepto, les hago hacer problemas y eso... Algunas veces me paso en una cosa o me paso en otra..., no tengo yo muy bien delimitado cómo hacerlo.

16.(El algoritmo de la ecuación de segundo grado se conoce...)cuando ya han conseguido manejarlo...cuando ya ellos saben bien por qué es eso...después de hacer varios ejercicios saben qué es lo que están haciendo...para una ecuación de segundo grado, pues problemas por ejemplo, que tengan que sacar la ecuación de segundo grado...Tengan un enunciado y conectándolo con la geometría...de que dónde corta al eje,...no me refiero tanto a la fórmula en sí, a la... a que sepan de dónde sale la fórmula como a que sepan lo que te he dicho antes: la interpretación geométrica...en un nivel determinado, en otros ya a lo mejor haría falta que sepan deducir una fórmula...no sólo que sepan deducir una fórmula, porque yo creo que lo más interesante de saber deducir una fórmula es una de las cosas que en matemáticas yo creo que deberían aprender, de que no salen las cosas ahí por las buenas...no me gustaría es que se la creyeran,...por ahí; tendrían que ver ellos que de verdad esa fórmula tiene sentido...Algunas veces...es bueno explicarles de dónde viene la fórmula para que se vayan un poco habituando ...hay algunos que yo creo que no lo entenderían... no ya que no lo entenderían, sino que no intentarían entenderlo.

28.De cara a los alumnos también me cuesta muchas veces decirles un resultado sin...un desarrollo, pero, a veces, da resultado hacerlo así, o sea,...no interesa el desarrollo, interesa el resultado, que entiendan el resultado más o menos ... Muchas veces les ayuda mucho más a comprender lo que están haciendo..., ya lo voy haciendo más, pero al principio me costaba mucho trabajo decirles algo sin habérselo demostrado.

19.(En la clase, mis alumnos)toman notas algunos, otros ni eso, hacen ejercicios, eso sí...les pongo mucho y hablan unos con otros, comentan los ejercicios y lo que no son los ejercicios..., no están en grupos...Sí(doy apuntes desde la pizarra o explico)...Deben tomar nota.

TR20:Transmite verbalmente

TR20

TR20

TR21:Dicta

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

PAPEL PROFES.(II)

3.(Para aprender, lo ideal es)que el alumno vaya el solo aprendiendo los conocimientos. Hombre, dándole, digamos, un guión... unos objetivos...además pienso que debería haber muy poquitos alumnos en clase y hacer una cosa de grupos... eso es otra de las cosas de la Didáctica: saber llevar una clase así en grupitos, que no sé.

2'.El profesor debe coordinar y dirigir las actividades de la clase.

12.Al final lo hago todo muy clásico...,por mucho que yo intento de hacer esto o lo otro, al final, pues, si tomo un tema... me planteo qué es lo que tengo que dar en este tema, qué problemas le vienen mejor, qué ejercicios, cómo darlo, cómo introducirlo, que venga más facilito o les interese más.

1.Sí, bueno, yo creo que hay muchos aspectos (de mi interés o que podría mejorar), vamos, en mí a la hora de dar clase, por ejemplo: la forma de llevar una clase, de organizarla bien. Algunas veces me sale, otras veces no me sale, que eso debería de aprender más, en eso y más estructurados los conocimientos, creo yo, los problemas, los niveles.

21.No (tengo en cuenta lo que hacen mis compañeros en otras asignaturas, aunque)... estoy convencida (de que)...asignaturas como las matemáticas y la física...están muy relacionadas, vamos, y otras que a lo mejor no están tan relacionadas, pero se puede buscar...,como por ejemplo la Geografía, puede ser interesante.

TE22:Organiza

TE22

TE22+23:Organiza. Técnico del contenido y del diseño didáctico

TR o TE23:Especialista en contenido o Técnico del contenido y del diseño didáctico

TE24:Coordinación, en su caso, sobre selección (utilidad) y/u organización de contenidos

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

EVALUACIÓN (I)

10.(Respecto a si los alumnos saben lo que valoro)Una cosa que les repito mucho es que a mí los ejercicios...me da igual cómo me los hagan y que cada uno tenga su forma de hacerlo...(En los objetivos de la asignatura) no, porque ya te vuelves más cómoda... ya al final no sabes qué elegir, ¿no?. A veces ya dices, bueno, pues, que se lo aprendan aunque sea... no sepan ni lo que están haciendo... sobre todo quiero es que sepan lo que están haciendo. O sea, que entiendan por qué hacen esto o por qué hacen lo otro... que eso muchas veces no... paso de... porque ya me desespero y paso.

14.Sí (reviso mis planteamientos)... Si yo estoy viendo que la clase no va a funcionar así... tengo que cambiar... algunas veces sí... de contenido hasta cierto punto... ya te he dicho que... cuando estás dentro de un planteamiento donde hay un programa, ... puede ser que tú amplíes más un tema o lo amplíes menos. Entonces depende de la clase, si tú algunas veces te das cuenta de que el tema no interesa...y que lo único que estás haciendo al intentar tú ampliar el tema es volverlos locos...es mejor dejarlo.

11.(Sobre el grado de consecución de los objetivos, indago)con los exámenes...,en clase...hago ejercicios, entonces voy viendo, saco alguno a la pizarra, normalmente quieren salir unos... tomo nota. Y cuando voy...por las mesas, eso me refleja más que cuando los saco...a la pizarra casi...No tomo nota allí, pero normalmente en casa pongo... "éste esto no lo tiene muy claro, éste va un poquillo peor..", en fin, así ...Delante de ellos, no. Es que no quiero que se sientan vigilados.

15.(Saber cuándo se debe abandonar un tema)es difícil, porque a veces te parece...que ya está el tema visto, que ya ellos han entendido lo principal...que saben manejar los conceptos... y después te das cuenta de que...no es así...Cuando ya tú crees que...está dominado, más o menos, el tema...sin hacerte demasiado pesada...Los niveles que hay en las clase también influyen... si hay distintos niveles, te puedes hacer muy pesada para un determinado tipo de gente, que tampoco estaría bien.

TR27+TR o TE29:No explicita criterios. Subjetiva. Aplicación o Interpretación mecánica

E27+TE30:Criterios variables y consensuados. Indefinida.Mínimos rígidos (tratamiento modificable)

E27+31:Criterios variables y consensuados. Indefinida. Diferenciación individual no organizada

TE28:Operatividad de los objetivos

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)

EVALUACIÓN (II)

16.(El algoritmo de la ecuación de segundo grado se conoce...)cuando ya han conseguido manejarlo...cuando ya ellos saben bien por qué es eso...después de hacer varios ejercicios saben qué es lo que están haciendo...para una ecuación de segundo grado, pues problemas por ejemplo, que tengan que sacar la ecuación de segundo grado...Tengan un enunciado y conectándolo con la geometría...de que dónde corta al eje,...no me refiero tanto a la fórmula en sí, a la... a que sepan de dónde sale la fórmula como a que sepan lo que te he dicho antes: la interpretación geométrica...en un nivel determinado, en otros ya a lo mejor haría falta que sepan deducir una fórmula...no sólo que sepan deducir una fórmula, porque yo creo que lo más interesante de saber deducir una fórmula es una de las cosas que en matemáticas yo creo que deberían aprender, de que no salen las cosas ahí por las buenas...no me gustaría es que se la creyeran,...por ahí; tendrían que ver ellos que de verdad esa fórmula tiene sentido...Algunas veces...es bueno explicarles de dónde viene la fórmula para que se vayan un poco habituando ...hay algunos que yo creo que no lo entenderían... no ya que no lo entenderían, sino que no intentarían entenderlo.

9.A la hora de evaluarlos... tengo una serie de...conceptos mínimos que tienen que cumplir, los objetivos mínimos que tienen que hacer y también valoro eso, bueno: hacer un ejercicio un poco... no ya típico, sino que se sale un poco...

17.(Los resultados influyen en algunos aspectos de la programación. En la) metodología sí...,pero (en el) temario no.

18.(Si viera que poca gente me ha seguido,)creo que volvería un poco más...atrás, pero no sé si empezaría otra vez de nuevo, no lo sé.

TE29:Interpretación mecánica

TR o TE30:Mínimos rígidos. O Mínimos rígidos (tratamiento modificable)

TE30:Mínimos rígidos (tratamiento modificable)

TR32:Recuperación como repetición global, aislada del desar. normal

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DE RV

CATEG.

IND\TEND

TRADIC.

TECNOL

ESPONT.

INVEST.

METODOLOGÍA

1

*

2

*

3

*

4

*

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

5

*

6

*

7

*

CONCEPCIÓN

DEL

APRENDIZAJE

8

*

9

*

10

*

11

**

12

*

13

**

14

*

PAPEL

DEL

ALUMNO

15

**

16

*

17

*

18

**

19

*

PAPEL

DEL

PROFESOR

20

*

21

*

22

*

23

*

24

*

EVALUACIÓN

25

*

26

**

27

*

28

*

29

*

30

*

31

*

32

*

33

**

34

*

35

*

(Cuadro 34)

RV se halla básicamente entre las tendencias tradicional y tecnológica, mostrando un predominio de unidades de información e indicadores tecnológicos. En cuanto a las categorías, ninguna es tradicional y cuatro están a medias entre las dos tendencias mencionadas, de las cuales dos se inclinan del lado de la tendencia tecnológica; las dos restantes están marcadamente inmersas en esta tendencia. Así, pues, su perfil respecto a la concepción de la enseñanza de la matemática se simbolizará por TR-TE*.

IV.9.1.2. INFORME SOBRE LA TENDENCIA DIDÁCTICA DE RV

METODOLOGÍA

La fase de consenso ha sido fundamental para determinar los indicadores de la praxis, pues ha habido discrepancia en el primero y del segundo no se poseía información a través de las unidades seleccionadas. En cuanto a los demás indicadores, la confirmación de la escasa información ha sido plena.

RV afirma en el consenso que la actividad de su aula se caracteriza por la repetición iterada de ejercicios tipo, mientras la hipótesis inicial, aun dando cabida a dicha caracterización, se inclinaba más por una caracterización a través de ejercicios que pretenden reproducir los procesos lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por parte de los alumnos, en concordancia sobre todo con la primera de las unidades relativas a este indicador. Debido a la más que probable falta de distinción entre ejercitación repetitiva y ejercitación reproductiva por parte de RV y en base a la unidad que se acaba de referir parece oportuno mantener la hipótesis inicial.

Emplea la exposición magistral como técnica habitual y usa el libro de texto como único material curricular.

Además identifica los contenidos con los conceptos, enunciados como objetivos de carácter terminal, con el matiz de su funcionalidad. y sigue una programación prescrita de antemano, externa a él y rígida, sin plantearse relaciones entre las unidades.

SENTIDO DE LA ASIGNATURA

De esta categoría había información más que suficiente en las unidades, aunque fuera escasa la información correspondiente a uno de los indicadores referentes a la orientación de la asignatura. El consenso ha servido para reafirmar las conclusiones.

RV orienta la asignatura exclusivamente hacia la adquisición de conceptos y reglas.

Piensa que la matemática escolar trata de dar una explicación, con los cánones de la matemática formal, a las situaciones provenientes de la problemática real.

Para RV la asignatura no sólo ha de tener una finalidad informativa, sino también un carácter práctico que permita su aplicación en otros ámbitos de la matemática, otras disciplinas o en la técnica.

CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE

En esta categoría el consenso ha confirmado de nuevo la tendencia general de RV, a excepción de su posición respecto a la aptitud del alumno.

Al no poseer información inicialmente, el consenso ha determinado que RV concibe el aprendizaje como memorístico, pero en lugar de poner el énfasis en la superposición de las unidades de información (tendencia tradicional), el énfasis se sitúa en la organización interna según la lógica estructural de la disciplina.

Cree que, aunque el aprendizaje pueda comenzar por la observación de un proceso inductivo, el verdadero aprendizaje ha de apoyarse en un proceso deductivo, y que, para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior.

Respecto al tipo de agrupamiento, piensa que la única forma que permite un verdadero aprendizaje es el trabajo individual.

Según RV, la estructura de la propia asignatura, plasmada en la programación, es el dinamizador ideal del aprendizaje.

En cuanto a la aptitud de los alumnos, el consenso, como antes fue mencionado, puso de relieve una tendencia no acorde con la tendencia general, aunque se trata de algo muy común en este indicador. En concreto, piensa que la capacitación del alumno puede ser modificada, indicador que corresponde a las tendencias espontaneísta e investigativa.

Respecto a la actitud del alumno hacia el aprendizaje, opina que hay aspectos que pueden sufrir cambios, pero no que pueda ser modificada significativamente.

PAPEL DEL ALUMNO

En esta categoría, salvo del indicador relativo a la clave de la transferencia, se disponía de poca información (incluyendo algún indicador sin información inicial); no obstante, el consenso ha confirmado las conclusiones y por ende la tendencia.

El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño de las actividades, programación, etc. y opina que, cuando los procesos de enseñanza se realizan en un contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje recae en el alumno.

Respecto a lo que hace el alumno en el aula, hay una sobrevaloración implícita de los apuntes; el alumno se esfuerza, por ello, en recoger en sus papeles todo aquello que proviene del profesor.

El consenso ha puesto de relieve que, como entre la toma de apuntes y la preparación para la valoración de los conocimientos del alumno no media apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una excesiva relevancia. Asimismo ha evidenciado que en su caso la confianza del alumno en lo expuesto por el profesor, inducida por la técnica empleada, le impide cuestionarse sobre el fondo del contenido.

PAPEL DEL PROFESOR

En este caso la información era abundante y el consenso no ha hecho más que confirmar las conclusiones establecidas.

RV transmite verbalmente los contenidos de aprendizaje, mediante dictado de sus apuntes o alusión a un libro de texto (carácter tradicional). El hecho de ser un técnico del contenido y del diseño didáctico, le permite, sin embargo, organizar los contenidos de aprendizaje (carácter tecnológico).

En cuanto a la coordinación con otros profesores, ésta se refiere a la selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o a su organización.

EVALUACIÓN

La información obtenida inicialmente sobre esta categoría, aunque significativa para confirmar la tendencia general, no era abundante, faltando incluso información de algunos indicadores, por lo que en esos casos el consenso se hizo imprescindible, aunque hay que insistir en que sin esos indicadores la tendencia de RV quedaba también perfectamente definida.

La fase de consenso puso de relieve que RV cuestiona (para su eventual modificación futura) el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados obtenidos al final de cada una de las partes en las que divide el aprendizaje del alumno. Dichos resultados dan asimismo una medida del aprendizaje individual.Además, reduce a términos numéricos la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

Dado que los criterios varían dependiendo del contexto y del consenso alcanzado con los alumnos, la evaluación queda poco definida. Se trata de un indicador espontaneísta que evidentemente se distancia un poco de la tendencia general (fundamentalmente tecnológica con bastantes rasgos de la tradicional).

Por otra parte RV trata de medir el grado de operatividad de los objetivos, valorando los aspectos mecánicos de la interpretación (procesos de traducción matemática).

Sean cuales sean las circunstancias y características del desarrollo de la programación, mantiene los contenidos de aprendizaje idénticos a los establecidos inicialmente, aunque introduzca eventualmente cambios en su tratamiento.

Aunque de forma no organizada, RV obtiene información personalizada de los alumnos a efectos de introducir mecanismos individuales de mejora, lo que supone de nuevo la concurrencia de un indicador espontaneísta.

Respecto a la concepción de la recuperación, cuando al final de un período del proceso RV toma conciencia de que no se han producido los aprendizajes deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se plantea la consecución de los mismos, procede a repetir dicho proceso de manera global.

En cuanto al examen, el consenso ha dejado claro que RV piensa que es el instrumento ideal para medir el aprendizaje de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo expreso para su preparación, no necesariamente coincidente con el período en el que se han desarrollado los contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y maduración de lo impartido en clase.

Asimismo el consenso ha puesto de manifiesto su creencia en que el diagnóstico inicial de los alumnos debe basarse en la detección de errores conceptuales o procedimentales que deberían ser corregidos antes de comenzar la ejecución del proceso (indicador tecnológico), aunque en la práctica no lleva a cabo casi nada al respecto.

Finalmente, también ha sido el consenso el que ha servido para aclarar su posicionamiento concerniente al tipo de calificación. Para RV la valoración del progreso de los alumnos, el profesor utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para medir la adecuación de los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.

IV.9.2. MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA

IV.9.2.1. UNIDADES DE INFORMACIÓN CLASIFICADAS. PERFIL

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CM)

TIPO CTO. (I)

8.(Aparte de los algoritmos, los componentes de mis clases son...)de principio, los conceptos...tienes que darle los conceptos y... y eso, aplicar los algoritmos normalmente a resolver un problema, o los algoritmos o los conceptos.

16. (El algoritmo de la ecuación de segundo grado se conoce...)cuando ya han conseguido manejarlo...cuando ya ellos saben bien por qué es eso...después de hacer varios ejercicios saben qué es lo que están haciendo...para una ecuación de segundo grado, pues problemas por ejemplo, que tengan que sacar la ecuación de segundo grado...Tengan un enunciado y conectándolo con la geometría...de que dónde corta al eje,...no me refiero tanto a la fórmula en sí, a la... a que sepan de dónde sale la fórmula como a que sepan lo que te he dicho antes: la interpretación geométrica...en un nivel determinado, en otros ya a lo mejor haría falta que sepan deducir una fórmula...no sólo que sepan deducir una fórmula, porque yo creo que lo más interesante de saber deducir una fórmula es una de las cosas que en matemáticas yo creo que deberían aprender, de que no salen las cosas ahí por las buenas...no me gustaría es que se la creyeran,...por ahí; tendrían que ver ellos que de verdad esa fórmula tiene sentido...Algunas veces...es bueno explicarles de dónde viene la fórmula para que se vayan un poco habituando ...hay algunos que yo creo que no lo entenderían... no ya que no lo entenderían, sino que no intentarían entenderlo.

25.(Lo que hace evolucionar a la matemática...)es el intentar solucionar un problema determinado que se encuentra en la vida: sea físico, biológico o de lo que sea...y después,.... bueno, a veces ha evolucionado simplemente...por ir a más a la abstracción. Creo que eso es lo mínimo, lo más que ha evolucionado ha sido a través de intentar resolver un problema...y después...Cuando intentó hacer una... una verdadera teoría, ¿no?, ser una verdadera especialidad, con... continuidad y que no hubiera contradicciones...Yo creo que es lo mismo, actualmente que antes.

30.(Respecto a la aceptación de hechos no debidamente justificados)Si yo me pusiera así, pues ni aceptaría las matemáticas, porque de hecho siempre partimos de algo, ¿no?. Siempre partimos de un mínimo y después vamos deduciendo.

P1:Estructurado significativamente. Núcleo: conceptos y valores racionales

P2:Estructurado lógicamente

P2

P2

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CM)

TIPO CTO. (II)

23.Yo creo que en general las demás asignaturas o las demás profesiones, lo que utilizan las matemáticas es como una herramienta.

3".(En el mundo profesional...)se utilizan mucho los conocimientos matemáticos y la forma de trabajo de las matemáticas.

IN3:Útil

IN3Ì IN4Ì P4:ÚtilÌ Fin externoÌ Fin interno

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CM)

FIN

26.(Yo creo que hoy los matemáticos...)empiezan a estudiar un tema..., porque les gusta...Pero que no sea... una cosa que se hayan planteado porque les haya planteado de fuera alguien ese problema, sino algo que a ellos les interesa, un problema que se hayan planteado o que le hayan planteado y la.. los objetivos es resolver eso, ¿no?, estudiar eso,... llegar a una solución.

1".El principal objetivo (de la matemática) es el razonamiento y la deducción lógica.

P4:Interno

P4

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CM)

MODO EVOLUC.

25.(Lo que hace evolucionar a la matemática...)es el intentar solucionar un problema determinado que se encuentra en la vida: sea físico, biológico o de lo que sea...y después,.... bueno, a veces ha evolucionado simplemente...por ir a más a la abstracción. Creo que eso es lo mínimo, lo más que ha evolucionado ha sido a través de intentar resolver un problema...y después...Cuando intentó hacer una... una verdadera teoría, ¿no?, ser una verdadera especialidad, con... continuidad y que no hubiera contradicciones...Yo creo que es lo mismo, actualmente que antes.

2".(La relación de la matemática con las otras ciencias)es muy importante. Por un lado, casi todas las ciencias se apoyan y utilizan los conocimientos matemáticos, y por otro, el desarrollo de las matemáticas, como ciencia, está muy influido por intentar dar solución a problemas planteados por otras ciencias.

29.(Respecto a la aceptación de un resultado no apoyado en un proceso deductivo elaborado por un alumno)Sí se lo acepto... Pero, vamos, que tiene que hacer...un proceso lógico, aunque no sea deductivo.

27.Cuesta (mucho aceptar un resultado que no esté apoyado en un proceso deductivo)...(El)Análisis 1 es muy fuerte.

31.(Un matemático...)debería especializarse más... yo lo que echo de menos, o sea, ya en plan personal, fue el que yo pensaba siempre que yo iba a llegar a la Universidad y que iba a trabajar yo y a resolver yo las cosas...otra de las cosas de un matemático es como con todo científico, vamos, de plantarse las cosas e intentar resolverlas con un método lógico...una lógica.

3'.Lo más importante que debe aprender (el alumno) es a razonar y utilizar los conocimientos matemáticos.

1".El principal objetivo (de la matemática) es el razonamiento y la deducción lógica.

P6+P7:En base a resultados anteriores y problemas provenientes de otras ciencias. Razonamiento lógico

P6

ù IN7:No Énfasis en la argumentación empírica

P7:Razonamiento lógico

P7

P7

P7

PERFIL CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE RV

CATEGORÍAS

IND\MODELO

INSTRUMENT.

PLATÓNICO

RES.PROBLEM.

TIPO DE

CONOCIMIENTO

1

*
<*>

2

*
<*>

3

*

<*>

FIN

4

*
<*>

MODO

DE

EVOLUCIÓN

5

*

6

*
<*>

7

*
<*>

Cuadro 35

Los indicadores <*> se refieren a posicionamientos expresados por RV en la fase de consenso que discrepan claramente de los inferidos previamente por el investigador. En este individuo se ponen de relieve los problemas que también el consenso tiene, dejando entrever la posible influencia de variables no consideradas en este estudio (afectivas, temperamentales, ...). La discordancia total entre su posicionamiento en el consenso y las conclusiones extraídas de la unidades de información es altamente sospechosa, siendo el único caso en el que esto se da. Revisadas las citadas unidades, llego a la conclusión de que esta persona no deseaba presentar la imagen que, sin embargo, parece transmitir en sus clases (como se deduce de sus declaraciones en cuestionarios y entrevista). Por otra parte, lo que se analiza es la concepción de la matemática asociada a la práctica docente, no la concepción de la matemática en abstracto, a la que se ha referido continuamente en la fase de consenso, sin posibilidad de persuasión. Por consiguiente, aunque constatando sus declaraciones, mantengo mi propuesta de perfil, el cual es marcadamente platónico, tanto por las unidades de información, como por los indicadores y categorías, quedando simbolizado por P.

IV.9.2.2. INFORME SOBRE EL MODELO DE CONCEPCIÓN DE LA MATEMÁTICA DE RV

TIPO DE CONOCIMIENTO

La unidad de información relativa a qué compone el conocimiento matemático ha evidenciado que para RV los elementos que conforman el núcleo son los conceptos y los valores racionales, derivados éstos del grado de significatividad de su estructura. Sin embargo, durante el consenso ha opinado que los elementos que conforman el núcleo son las estructuras conceptuales, que permiten un entramado de relaciones entre conceptos y tópicos, así como los procedimientos matemáticos específicos y las estrategias generales.

De forma análoga, mientras que las unidades de información apuntaban claramente a una concepción de la matemática como un cuerpo de conocimiento preexistente dotado de una estructura lógica, aunque de marcado carácter utilitario, en el consenso se inclinó por una concepción de la matemática como un conocimiento sometido a una revisión constante que depende del contexto social, cultural y científico, lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos sea relativa, añadiendo que esa relación con el contexto impregna a la matemática de una serie de valores.

FIN

De nuevo las unidades de información hacían pensar que para RV el fin que persigue la creación del conocimiento matemático es el desarrollo de la propia matemática, que, aun siendo consciente de sus posibles aplicaciones, se desarrolla de forma independiente respecto de ellas. Sin embargo el consenso apuntó como el desarrollo de las capacidades intelectuales del ser humano, quedando la evolución de la matemática, por tanto, subyugada al progreso humano.

MODO DE EVOLUCIÓN

No se poseía información del primer indicador relativo al proceso de construcción del conocimiento matemático, por lo que en este caso sólo puede contarse con lo expresado en el consenso, según el cual RV, desde una perspectiva dinámica, concibe la matemática como campo de creación continua, teniendo como principal impulsor la resolución de problemas.

Respecto al otro indicador del proceso de construcción, las unidades de información dejaban patente que para RV el conocimiento matemático se construye para dar explicación a problemas surgidos en otras ciencias y la propia matemática, teniendo como apoyo otros resultados ya obtenidos (rasgo platónico). Por contra, durante la fase de consenso expresó el convencimiento de que el conocimiento matemático se construye, desde una perspectiva antropológica, por interacción social, para dar respuesta a los problemas sociales, culturales, económicos,... (rasgo correspondiente al modelo de resolución de problemas).

Finalmente, en relación al tipo de razonamiento, mientras que las unidades indicaban que para RV el instrumento que otorga validez a los resultados matemáticos es el razonamiento lógico (basado en una teoría axiomática), durante el consenso manifestó que en el razonamiento matemático hay una combinación de procesos inductivos y deductivos siguiendo el esquema de Lakatos (conjeturas, pruebas y refutaciones).

IV.9.3. MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

IV.9.3.1. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº1

DESCRIPCIÓN

Del primer dibujo puede deducirse que, recordando la validez de la fórmula para el rombo, ha obtenido su área como suma de las áreas de dos triángulos iguales, de base una diagonal y altura la mitad de la otra (las diagonales son perpendiculares). Después ve que esto mismo es aplicable al cuadrado.

A continuación aborda el caso del rectángulo, viendo que no se cumple la fórmula más que cuando los lados son iguales, y generaliza que los lados deben ser iguales, sin justificación. Esto le lleva a dar por concluida la primera parte.

Inicia la segunda parte con el pentágono, dibujando diagonales.

Dice no recordar la fórmula para calcular el número de diagonales y, seguidamente, manifiesta que no cree que tal número importe.

Dibuja un exágono y comprueba que no todas las diagonales son iguales.

Confusa, empieza de nuevo, conjeturando que la fórmula no puede ser parecida a la de la primera parte, pues ahora las diagonales no se cortan perpendicularmente. Luego comprueba que una fórmula que recuerda es la del número de diagonales.

Finalmente, tras la obtención simplificada de la fórmula mencionada, termina el problema dibujando diagonales y triángulos centrales en pentágonos regulares.

VALORACIÓN

En el caso del rectángulo comete dos errores de argumentación lógica. El primero de ellos consiste en afirmar, de entrada, que en el rectángulo no puede ser cierta la fórmula debido a que sus diagonales no son perpendiculares (la perpendicularidad de las diagonales ha sido condición suficiente para el cumplimiento de la fórmula en los casos del rombo y el cuadrado, pero esto no quiere decir que no pueda darse bajo otras condiciones). No obstante, parece no conformarse con esta afirmación y pasa a ver qué ocurriría si se pudiera aplicar la fórmula. Es por ello que consideramos más grave el segundo error. Llega a la conclusión de que, para que se cumpla la fórmula en el rectángulo, los lados deben ser iguales, lo que (y aquí es donde está el error) le permite asegurar que la igualdad de lados es condición necesaria para la validez de la fórmula, por lo que da por concluida la primera parte ("al ver que no se cumplía con el rectángulo, de lo que me di cuenta es que...tenía que tener los lados iguales. Entonces, ya, entre el cuadrado y el rombo, digo: '¿Para qué voy a intentarlo con más?'").

Entrando ya en la segunda parte, es acertada la manipulación inicial, que le conduce a percatarse de la desigualdad, en general, de las diagonales.

Se echa en falta la aplicación de algún conocimiento tendente a la obtención del área en función de las diagonales o alguna diagonal, al menos para el pentágono y el exágono, a pesar de decir en la entrevista que trabaja con el pentágono y luego con el exágono para buscar una relación con lo obtenido en la primera parte.

La confusión, la falta de decisión de algún plan de abordaje del problema hace que se plantee empezar de nuevo, pero esta vuelta atrás es infructuosa. No hay evidencia de planificación alguna; más aún, hay evidencia de falta de planificación ("No hay un camino. Yo creo que no he llegado a ningún camino"). A pesar de no saber si necesitará conocer el número de diagonales, pierde el tiempo en comprobar una fórmula, probablemente por ser esto lo único que en ese momento podía desarrollar ("el número de diagonales...lo saqué...por tenerlo ahí").

Los dibujos finales no le aportan nada, pues no está en disposición de profundizar en las condiciones del problema.

En suma, ejecuta algunas acciones sin un claro propósito.

No saca ningún partido de la regularidad de los polígonos.

Además teme introducirse en un plan incierto, en otras palabras, parece temer los problemas ("lo que pasa es que sé que si te metes en un algo así, te vuelves loco y tampoco lo consigues").

No efectúa ningún control de progreso, lo que era de esperar debido al avance del tiempo en comparación con la escasez de resultados intermedios.

En resumen, como hemos comentado anteriormente, la planificación de la segunda parte consiste en una búsqueda de regularidades sin concretar nada sobre lo que fijarse, y que, de la misma forma, la comprensión no va más allá del dibujo, sin profundizar en las condiciones del problema. Por ello, la crítica podría resumirse en: escasa comprensión de la situación y ausencia de una planificación eficiente. De la verificación no podemos decir nada, pues poco hay que verificar.

IV.9.3.2. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº2

DESCRIPCIÓN

Efectúa varias lecturas del enunciado, pues al principio no entiende si debe calcular una probabilidad o se trata de otra cosa. Además, cree inicialmente que los grupos sólo pueden ser de dos elementos.

Tras releer el enunciado, se le aclara la situación, cayendo en la cuenta de que no han de poseer necesariamente la misma cantidad de elementos los grupos.

Decide plantear la resolución partiendo de la existencia de 11 números tales que no haya sumas iguales por grupos. A partir de este supuesto, va extrayendo condiciones que deberían cumplir esos 11 números.

En primer lugar elige un orden creciente para la sucesión.

Comete algunos errores: a) a lo mejor a₁+a₂> 1000 y no hay que descartarlo,

b) no hay 999 para elegir a₂, sino 999-(a₁-1), ya que la sucesión es creciente,

c) falta eliminar a₁+a₂+a₃+a₄ a la hora de elegir a₅.

El comienzo de la segunda página está dedicado a contar lo que acaba de efectuar, indicando dónde se ha equivocado, aunque no se percata de ninguno de los errores antes mencionados.

A continuación, sigue con su idea de encontrar una ley que permita saber con cuántos números contaría para elegir el 11º. De nuevo comete errores, pues sus primeros términos son: 1,2,3,7,14, lo que no coincide con lo obtenido respecto a los números que hay que descartar antes de elegir uno dado (sería 1,2,4,8,15-en realidad, el 15 corresponde al error c, ya que lo correcto sería 16).

Para obtener la ley aborda el caso del a₆, aunque lo abandona al dar con una fórmula que le puede dar el número buscado. Aplica una fórmula de combinatoria y obtiene que la cantidad de números a descartar para elegir el 11º es superior a 1000, con lo que concluye el problema diciendo que es imposible encontrar esos 11 números.

Casi al final comete un error de cálculo al no multiplicar por 2 el primer sumando (=10) del desarrollo de la suma de números combinatorios correspondiente a la cantidad de números descartados para elegir a₁₁ (ya que aplica la propiedad C_m,n=C_m,m-n salvo para C_10,1=C_10,9).

VALORACIÓN

Es adecuado su intento de hacerse con el problema inicialmente, antes de efectuar planteamientos que no le condujeran a nada.

Muestra convencimiento de que el camino, más que consistir en ejemplificaciones, consiste en dar el problema por resuelto y deducir propiedades.

Al comienzo de este planteamiento se echa en falta una justificación de que la elección de que la sucesión sea creciente no supone pérdida de generalidad.

Es apreciable su intento de establecer una relación, aunque le falte precisión en la ejecución y debiera haber efectuado un estudio más a fondo de las implicaciones de elegir una sucesión creciente y de las otras posibilidades.

Es también apreciable el pequeño control de progreso que va efectuando, haciéndose asimismo una idea de lo que le tiene que ir saliendo, según va conjeturando a la vista de la magnitud de los resultados que va obteniendo.

Su resolución tiene un objetivo claro, dar con una fórmula que, según supone, conlleve la imposibilidad de la existencia de 11 números con las consabidas condiciones. Por ello, al comienzo de la 3ª página, cuando cree haberla hallado, aunque se percata de algunos errores cometidos en la sucesión anterior (en la entrevista manifiesta que el 1 debería ser sustituido por 0 y el 2 por 1), no los modifica, sino que aplica dicha fórmula, la cual le da la solución a falta de 3 minutos para el final. Aunque 3 minutos no sea tiempo suficiente para acometer grandes modificaciones, sí lo es para efectuar una reflexión sobre las hipótesis no justificadas con la idea de, al menos, dejar planteados los interrogantes no resueltos.

Hay revisión de la ejecución, aunque no haya sido suficientemente eficaz, pero en ningún momento ha habido una revisión de las condiciones impuestas a esos 11 números, siendo precisamente éstas la clave del problema. Es una muestra de una resolución en la que no se ha entrado a fondo, de un protocolo que no quiere introducirse en terrenos dificultosos.

En fin, ha captado la estructura del problema y ha actuado con confianza, pero no ha explotado suficientemente sus recursos ni se ha parado a reflexionar sobre las partes menos claras.

IV.9.3.3. DESCRIPCIÓN Y VALORACIÓN GENERAL DEL PROTOCOLO Nº3

DESCRIPCIÓN

Tras leer un par de veces el enunciado, lo que primero se le ocurre es que el 2 es una solución, lo cual pasa a formular. A continuación, tantea con algunos números primos y después con el 6 y, viendo que ninguno de ellos es solución, conjetura que los únicos válidos van a ser 2 y 5.

Para probar su conjetura, en primer lugar simplifica la situación, considerando exclusivamente los números de la forma 1n, en lugar de wn. Aborda la resolución suponiendo que n divide a 1n, estudiando por separado el caso de que n sea una cifra del caso general (1n=1x10^m+n). En el primer caso, llega a la conclusión de que n tiene que ser 2 o 5 (se olvida del 1). En el caso general, afirma que los únicos primos que lo verifican son 2 y 5 y que también podrían ser solución las potencias de 2 y de 5.

Prosigue comprobando que ni el 4 ni el 8 (potencias de 2) son solución, lo que le hace pensar que tampoco lo van a ser las de 5, lo que comprueba inmediatamente, percatándose de que no tienen el mismo comportamiento que las de 2.

Vuelve a la idea anterior, es decir, a considerar 10^m/n y afirma que ha de hacerlo por inducción sobre m, idea que no continúa, pues a continuación estudia el caso n=10^p, llegando poco más tarde a la conclusión de que 2, 5 y las potencias de 10 son solución. Luego pasa a considerar las potencias de 5, obteniendo que w5^p es múltiplo de 5^p siempre que p sea menor o igual que h, donde 10^h-1<5^p<10^h. Tiene dificultades con la relación entre p y h, pero finalmente opta por la ya descrita. Termina planteando el caso n= 2^p, en el que puede ser p>h y viendo que es necesario justificar la relación entre p y h para 5^p.

VALORACIÓN

Es positivo el comienzo, abordando sistemáticamente el problema (tanteo con los primos), pero excesivamente aventurada la conjetura, pues faltaban muchos números por estudiar.

El olvido del 1 como solución en el caso de una sola cifra puede ser debido a la trivialidad de esta solución. Sin embargo, la consideración exclusiva de potencias de 2 y de 5, sin tener en cuenta sus productos, es un hecho motivado por la ausencia de un análisis serio de los divisores de las potencias de 10. En este mismo sentido, cuando dice que pueden ser solución las potencias de 2, por ejemplo, no estudia la relación que debe darse entre el exponente de 2 y el exponente de 10 (1n=10^m+n).

Por otra parte, la falta de planteamiento de la reversibilidad de las implicaciones le fuerza a estudiar por separado si las potencias de 10, 5 y 2 son solución.

Asimismo, es positivo el hacer constar lo que va obteniendo y verificar los resultados (final pág.2), aunque se observa cierto desorden. En concreto, el abordaje del caso n=5^p es muy confuso, faltando un estudio a fondo de la relación entre p y h (Hay que tener en cuenta que el estudio de esta relación puede conducir a la consideración como solución, por ejemplo, de números de 4 cifras, como 0625, que son potencia de 5 (5⁴=625), pero que no están entre 10³ y 10⁴). La desorientación es tal que afirma que "lo único que me ha faltado demostrar era que p era menor o igual que h, si 5^p estaba entre 10^h-1 y 10^h". No es significativo el error cometido al comienzo de la última página, expresando w5^p/5^p en la forma wz^h10^h-p+1, donde coloca 10 en lugar de 5, pues puede ser simplemente un despiste, ya que la conclusión estaba clara. Se percibe desequilibrio al manejar símbolos, dificultad en abordar casos generales.

En cuanto a la comprensión de la situación, la entrevista deja ver que no fue del todo buena, pues mezcla las condiciones de w con las de n, algo que se hubiera puesto de manifiesto si hubiera abordado el caso de los racionales ("w como racional"), lo que no hizo por no haber terminado el caso de los enteros.

El protocolo destila confianza en sus posibilidades, aunque, al mismo tiempo, muestra dificultad en racionalizar las soluciones y en el estudio de casos generales. No hay suficiente inversión de esfuerzos en la obtención de una representación significativa, efectuando un tanteo pobre, aunque sistemático; manipula, pues, la situación excesivamente poco, procurando ir enseguida a casos generales que, por otra parte, no domina, careciendo de un sentido de economía de las soluciones y de un efectivo control de progreso. Da la impresión de que, aunque algunos resultados se van logrando, no hay constatación de la aportación de cada uno de ellos a la resolución del problema, ya que las revisiones son muy puntuales, no refiriéndose al proceso.

Respecto al tipo de control, puede decirse que no ha explotado suficientemente los recursos, en el sentido de que el hecho de centrar la atención en que 10^m/n debe ser entero es adecuado, aunque no le ha sacado todo el partido posible.

IV.9.3.4. JUSTIFICACIÓN DE LOS NIVELES ASOCIADOS. PERFIL

1.- CARACTERÍSTICAS PERSONALES

1.1. Repercusión en su comportamiento del hecho de ser observado.

2) Provoca nerviosismo y desconfianza, repercutiendo negativamente en su comportamiento.

Su respuesta a C1 no da margen a dudas:

"...[En situaciones donde estoy siendo observada] Me siento muy mal. Suelo ponerme nerviosa, me equivoco e incluso en algunas ocasiones me cuesta expresar bien mis ideas...".

1.2. Actitud ante los problemas cotidianos.

2) Los afronta en solitario. Si necesita ayuda, puede incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución).

Responde a C3 que trata de resolver inmediatamente los problemas. Si no,

"...me agobio mucho y estoy pensando en él continuamente...".

Añade que suele afrontarlos sola y que le

"...cuesta mucho pedir ayuda...".

1.3. Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos.

2) El abordaje de problemas, casi siempre en solitario, suele estar motivado por causas ajenas a la docencia o la investigación. Aunque, de hecho, no suele enfrentarse a problemas, le atraen más que los ejercicios.

En C4 dice:

"...No [estoy acostumbrada a enfrentarme a problemas]. Los ejercicios que suelo hacer en clase son rutinarios para mí, [aunque] no me atraen especialmente...",

poniendo de manifiesto su escasa dedicación a problemas, a pesar de no sentirse atraída por los ejercicios. (Todo lo anterior se ve reiterado con las mismas palabras en su respuesta a C21).

En C5 dice haber realizado problemas en grupo cuando pertenecía a un seminario permanente y que su agrado por hacerlos en grupo o en solitario

"...Depende de mi estado de ánimo...",

lo que deja claro que actualmente no realiza problemas en grupo y que no es consciente de las ventajas e inconvenientes del abordaje en grupo, con excepción del hecho de que le puede insuflar ánimo:

"...Algunas veces preferiría resolverlos sola para concentrarme mejor, pero en otras ocasiones me animo más al resolverlos en grupo...".

Finalmente, en C11 afirma no hacer uso de la resolución de problemas para entender contenidos matemáticos y piensa

"...que debe ser por comodidad o por falta de confianza en mí misma...".

1.4. Actitud usual en la resolución de problemas.

1.4.1. Predisposición.

2) Cuando se enfrenta a problemas, suelen aparecer miedos, complejos, desánimo y ganas de abandonarlos, lo que en ocasiones provoca grandes lagunas de concentración y de efectividad en el abordaje de los mismos.

En C6 asegura mostrar interés o indiferencia tras la primera lectura del enunciado de un problema, dependiendo

"...del estado de ánimo, de cómo esté planteado el problema, del tipo de problema y del entorno...",

información que podría ser ambigua o demasiado generalizable si no viniera acompañada de su respuesta a C8:

"...bastantes veces [tengo ganas de abandonar un problema] y cada vez con más frecuencia... Cuando me falla la estrategia...Últimamente es raro que vuelva a intentarlo...",

respuesta que muestra escaso interés por la resolución de problemas en sí.

A lo anterior hay que añadir que sobre todo siente

"...miedo a cometer una incorrección matemática y miedo a no tener la suficiente capacidad para resolverlo..." (C9).

Tal temor se ve corroborado en el primer protocolo, donde teme introducirse en un plan incierto, en otras palabras, parece temer los problemas:

"...lo que pasa es que sé que si te metes en un algo así, te vuelves loco y tampoco lo consigues..." (1U9).

1.4.2. Confianza en sí mismo.

3) Tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad puede deberse a distintos motivos, como la limitación temporal o la familiaridad del tópico o la disponibilidad de alguna fórmula.

Su respuesta a C24 es bastante categórica:

"...[Cuando un problema cae en un área que no domino] Me siento incapaz de resolverlo desde el principio... Es muy difícil que el problema me interese y no logro concentrarme en él...".

En C23 dice que suele resolver los problemas correspondientes a áreas de confianza (sólo cita la Topología), añadiendo que

"...En esta asignatura utilizábamos mucho técnicas de resolución de problemas...",

no quedando claro si se refiere a lo que le sucede actualmente o cuando estudiaba la carrera. En cualquier caso estas dudas sobre si posee confianza en alguna parcela matemática se disipan con sus respuestas a C9 y C11, mencionadas en la justificación de Predisposición y Hábito de enfrentarse a problemas matemáticos, en las que evidencia no poseer confianza en sus posibilidades, confianza que se extiende también a los cálculos:

"...En los cálculos suelo confundirme mucho. Creo que se debe a que me aburren y a la falta de confianza en mí misma..." (C17).

En el primer protocolo confirma esta falta de confianza en sus posibilidades cuando en la entrevista manifiesta:

"...debía de haberme metido con el pentágono (E2) e intentar..., lo que pasa es que sé que si te metes en un algo así, te vuelves loco y tampoco lo consigues..." (1U9).

Sin embargo, ha actuado con confianza en el segundo protocolo, aunque ésta parece deberse a que ha obtenido algunos resultados, no a una reflexión sobre sus posibilidades y sobre la plausibilidad de la resolución:

"...creí que sí,...que lo podía hacer,...que no era cuestión de conocimiento, sino que se me ocurriera o no..." (2U3).

El tercer protocolo también destila confianza en sus posibilidades, habiéndose sentido a gusto durante la resolución

"...Sí, sí, sí [me he sentido a gusto durante la resolución]..." (3U3),

y habiéndolo considerado asequible, aunque no haya llegado a obtener una solución acabada.

Así, pues, se observan grandes diferencias entre el primer protocolo y los otros dos. El primero corresponde a un área de poca confianza para la resolutora (como indica en C24) y la influencia en su comportamiento es coherente con lo expresado en las cuestiones anteriormente referidas. Ahora bien, los otros dos problemas no caen en área de poca confianza, por lo que su predisposición no es mala.

1.5. Organización del conocimiento. Capacitación matemática para la resolución de problemas.

2) Muestra un conocimiento inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

En el primer protocolo se echa en falta la aplicación de algún conocimiento tendente a la obtención del área en función de las diagonales o alguna diagonal, al menos para el pentágono y el exágono, a pesar de decir en la entrevista que trabaja con el pentágono y luego con el exágono para buscar una relación con lo obtenido en la primera parte:

"...ver si podía encontrar una fórmula para el pentágono y el exágono [E2] que después la pudiera trasladas, porque el cuadrado es como más especial..." (1U2).

En definitiva, no es capaz de poner en práctica el conocimiento adquirido.

En el segundo protocolo debería haber efectuado un estudio más a fondo de las implicaciones de elegir una sucesión creciente (E2). Debería haberse planteado si tal elección suponía o no pérdida de generalidad, condición de rigor que debe tener asimilada.

En el tercer protocolo se echa en falta el planteamiento de reversibilidad de las implicaciones (E3), lo que le fuerza a estudiar por separado si las potencias de 10, 5 y 2 son solución. Esto se podría haber evitado si hubiera tratado de emplear un conocimiento que pudiera integrar toda la resolución. Tiene asimismo dificultad para el manejo de símbolos y para generalizar. Comete fallos de notación en E6, como reconoce en la entrevista:

"...[Entre los minutos 25 y 35] me compliqué con la notación,... cometí fallos..." (3U9).

1.6. Papel que concede a la memoria en la resolución de problemas.

2) El papel de la memoria es imprescindible, provocando su ausencia inseguridad y falta de motivación.

La segunda parte de su respuesta a C19 explicita dependencia de la memoria:

"...[Cuando pienso que no poseo suficiente conocimiento para resolverlo] El efecto es negativo, suelo tender al desánimo...".

A pesar de no saber si necesitará conocer el número de diagonales (primer problema) (E3), pierde el tiempo en comprobar una fórmula (E5), probablemente por ser esto lo único que en ese momento podía desarrollar:

"...el número de diagonales...lo saqué...por tenerlo ahí..." (1U10),

lo que parece poner de relieve la necesidad de agarrarse a algún hecho conocido para poder entrar en la resolución.

2.- CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

2.1. Obtención de una representación significativa.

3) La comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

Tarda en entender la situación enunciada en el primer problema, como afirma en la entrevista, pero lo que es más grave es el hecho de que la comprensión no va más allá del dibujo, sin profundizar en las condiciones del problema. Se percibe con claridad el peso de corresponder el problema a un área que no le da confianza.

Entiende la situación ya en el primer episodio del segundo protocolo, es decir, capta la estructura del problema, enfrentándose a la planificación con esperanza de éxito:

"...no entendía al principio bien...si era la probabilidad de elegir..., pero después me di cuenta que no,... que debía de ser...que no se pudiera en realidad..." (2U1),

siendo, por tanto, capaz de enunciar con sus propias palabras la situación planteada.

El tercer problema lo comprende bien (hay que soslayar el hecho de pensar sólo en los enteros), permitiéndole poner ejemplos y enfocar la resolución.

2.2. Eficacia y adecuación de la planificación.

3) Existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

La planificación del primer protocolo es totalmente irrelevante para la resolución del problema, como ella misma manifiesta:

"...lo he enfocado de una forma que yo creo...que no llega a ningún sitio..." (1U3).

En realidad no hay evidencia de planificación alguna; más aún, hay evidencia de falta de planificación:

"...No hay un camino. Yo creo que no he llegado a ningún camino..." (1U5).

La confusión, la falta de decisión de algún plan de abordaje del problema hace que se plantee empezar de nuevo (E4), pero esta vuelta atrás es infructuosa. Además, la planificación de la segunda parte (a partir de E2) consiste en una búsqueda de regularidades sin concretar nada sobre lo que fijarse. En pocas palabras:

"...es que no se me ha ocurrido nada, (sonrisas), ése es el problema..." (1U6).

La planificación del segundo protocolo es adecuada al tipo de situación, basada en suponer que se dispone de esos 11 números e intentar extraer condiciones que deben cumplir (E2, E3, E4), y ayudada por el cálculo combinatorio (E5). Muestra convencimiento en que ése es el camino de resolución, más que efectuar ejemplificaciones, lo que admite la crítica de no haber ejemplificado un poco inicialmente.

Es positivo el comienzo del tercer protocolo, abordando sistemáticamente el problema (tanteo con los primos, E2), pero excesivamente aventurada la conjetura, pues faltaban muchos números por estudiar. Manipula excesivamente poco la situación y aborda casos generales en los que debería haber cambiado de notación o de perspectiva de abordaje, pues estaba cometiendo fallos y se veía incapaz de proseguir por ese camino con éxito (E6, E7, E8):

"...sí [pensé en cambiar de notación donde empecé a liarme, entre los minutos 25 y 30], pero me resultaba más cómoda...la que llevaba... No [vi otras posibles perspectivas para abordar el problema], es que me centré ya ahí y ya no..." (3U4).

2.3. Eficacia y adecuación de la ejecución.

2) La ejecución es ineficaz, porque, aunque es coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

La ejecución del primer protocolo no es eficaz. Se introduce en el cálculo del número de diagonales (E3, E5) antes de ver si se podía aplicar o si era útil. Le atrae tanto obtener dicha fórmula que, aun diciendo que empieza de nuevo, lo intenta sin más razones que "tenerlo ahí". En el caso del rectángulo (E1) comete dos errores de argumentación lógica. El primero de ellos consiste en afirmar, de entrada, que en el rectángulo no puede ser cierta la fórmula debido a que sus diagonales no son perpendiculares (la perpendicularidad de las diagonales ha sido condición suficiente para el cumplimiento de la fórmula en los casos del rombo y el cuadrado, pero esto no quiere decir que no pueda darse bajo otras condiciones). No obstante, parece no conformarse con esta afirmación y pasa a ver qué ocurriría si se pudiera aplicar la fórmula. Es por ello que consideramos más grave el segundo error. Llega a la conclusión de que, para que se cumpla la fórmula en el rectángulo, los lados deben ser iguales, lo que (y aquí es donde está el error) le permite asegurar que la igualdad de lados es condición necesaria para la validez de la fórmula, por lo que da por concluida la primera parte:

"...al ver que no se cumplía con el rectángulo, de lo que me di cuenta es que...tenía que tener los lados iguales. Entonces, ya, entre el cuadrado y el rombo, digo: '¿Para qué voy a intentarlo con más?'..." (1U1),

explicitando de esta forma la enorme restricción en el estudio de los cuadriláteros (no tiene en cuenta ni trapecios, ni trapezoides, ni romboides).

En la entrevista correspondiente al segundo problema dice que le hubiera

"...gustado hacerlo...más analíticamente..." (2U4),

referido a que ha trabajado con a₁₁ (E5) y podría haberlo hecho con a_n. De la misma forma, aunque ve la posibilidad de estudiar el término general de la sucesión a₁=1, a₂=2, a₃=3, ... (E4),

"...no se me ocurrió, no tenía además mucha gana...de intentar..." (comienzo 2U6),

lo que excusa en base a haberse percatado de algunos errores previos:

"...No [dediqué tiempo a intentar encontrar el término general], porque...me di cuenta de que...aquí [en el a₁] tenía que haber puesto cero..." (final 2U6).

Comete algunos errores: a) a lo mejor a₁+a₂> 1000 y no hay que descartarlo (E2),

b) no hay 999 para elegir a₂, sino 999-(a₁-1), ya que la sucesión es creciente (E2),

c) falta eliminar a₁+a₂+a₃+a₄ a la hora de elegir a₅ (E3).

Los errores cometidos hacen pensar en que, a pesar de escribir a_i, está pensando en la sucesión 1,2,4,8,... En cualquier caso, debería haber considerado la posibilidad de que algunas sumas superaran 1000 y, por tanto, no hubiera que descartarlas. Es apreciable su intento de establecer una relación (E3), aunque le falte precisión en la ejecución. Casi al final (E5) comete un error de cálculo al no multiplicar por 2 el primer sumando (=10) del desarrollo de la suma de números combinatorios correspondiente a la cantidad de números descartados para elegir a₁₁ (ya que aplica la propiedad C_m,n=C_m,m-n salvo para C_10,1=C_10,9). De todas formas, a pesar de los errores cometidos y las carencias reseñadas, la ejecución es coherente con su planificación, aunque sólo sea parcialmente eficaz.

Se lía mucho en la ejecución del tercer protocolo y es frecuente el desorden. El olvido del 1 como solución en el caso de una sola cifra (E3) puede ser debido a la trivialidad de esta solución. Sin embargo, la consideración exclusiva de potencias de 2 y de 5 (E4), sin tener en cuenta sus productos, es un hecho motivado por la ausencia de un análisis serio de los divisores de las potencias de 10. En este mismo sentido, cuando dice que pueden ser solución las potencias de 2 (E4), por ejemplo, no estudia la relación que debe darse entre el exponente de 2 y el exponente de 10 (1n=10^m+n). El abordaje del caso n=5^p (E6) es muy confuso, faltando un estudio a fondo de la relación entre p y h (Hay que tener en cuenta que el estudio de esta relación puede conducir a la consideración como solución, por ejemplo, de números de 4 cifras, como 0625, que son potencia de 5 (5⁴=625), pero que no están entre 10³ y 10⁴). La desorientación es tal que afirma que

"...lo único que me ha faltado demostrar era que p era menor o igual que h, si 5^p estaba entre 10^h-1 y 10^h..." (3U1).

No es significativo el error cometido en E6, expresando w5^p/5^p en la forma wz^h10^h-p+1, donde coloca 10 en lugar de 5, pues puede ser simplemente un despiste, ya que la conclusión estaba clara. No obstante, se percibe desequilibrio al manejar símbolos, dificultad en abordar casos generales.

2.4. Eficacia en el empleo de la revisión.

2) El empleo de la revisión es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

En C14 dice revisar el planteamiento si tiene tiempo y añade:

"...Me suelo equivocar frecuentemente en los cálculos, por eso siempre los reviso...".

Poco se puede confirmar en el primer protocolo, puesto que, al no desarrollar ningún plan, no hay prácticamente nada que verificar. De hecho, la revisión es inexistente.

Hay revisión de la ejecución del segundo protocolo, a pesar de negarlo en la entrevista:

"...no,... debía de haberla revisado un poquito..." (2U5),

aunque no haya sido suficiente ni suficientemente eficaz: se percata de algún error, como se comentó al hablar de la eficacia y adecuación de la planificación, pero en ningún momento ha habido una revisión de las condiciones impuestas a esos 11 números, siendo precisamente éstas la clave del problema.

No ha revisado la ejecución del tercer protocolo, aunque

"...por encima un poco sí..." (3U7)

la corrección de cada paso (E6, E8). Contradice lo que afirma en la entrevista al respecto de la revisión de los cálculos.

2.5. Nivel de acabado de la solución.

2) Obtenida una solución, tan sólo intenta simplificarla (lo que supone una manipulación exclusivamente con la parte final de la ejecución) o expresarla de otra forma. En raras ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

En C15 afirma que, obtenida una solución, generalmente no busca otras formas de resolver el problema, aunque en alguna ocasión lo haya hecho,

"...cuando no me ha gustado la forma en que lo he resuelto o cuando en la ejecución del problema se me ha ocurrido otra estrategia que podría simplificar más los cálculos...".

En el primer protocolo no puede hablarse de solución de la segunda parte, pero sí de la primera. No justifica debidamente la solución aportada, igualdad de lados (error comentado en Eficacia y adecuación de la ejecución):

"...al ver que no se cumplía con el rectángulo,... me di cuenta...que tenía que tener los lados iguales. Entonces, ya, entre el cuadrado y el rombo... ¿Para qué voy a intentarlo con más?..." (1U1).

Es claro que no ha profundizado en las condiciones de aplicación de la fórmula (E1), llegando a la conclusión de que el rectángulo ha de tener los lados iguales para que se le pueda aplicar dicha fórmula, pero no ha llegado, como supone, a que cualquier cuadrilátero debe tener los lados iguales para ello.

En el segundo protocolo no le sobra mucho tiempo (3 minutos), pero podría haber bastado para iniciar una revisión de las implicaciones de haber elegido una sucesión creciente (E2), con idea de fundamentar la solución o percatarse de su inadecuación. Es apreciable, no obstante, la simplificación de la ejecución empleando el cálculo combinatorio (E5).

En el tercer protocolo posee dificultad a la hora de racionalizar las soluciones y carece de un sentido de economizar las mismas, pero, por otra parte, dice que

"...yo creo que sí es razonable [lo que he obtenido]..." (3U6),

afirmación que se ve confirmada por el abordaje formal que ha llevado a cabo, intentando justificar sus resultados, aunque haya cometido errores.

3.- CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

3.1. Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa.

2) Escasa, le cuesta trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

En C13 dice:

"...siempre trato de resolver los problemas inmediatamente... Suelo introducirme rápidamente en la ejecución y no me paro a comprender bien el enunciado...",

lo que informa de la escasa importancia que concede a la obtención de una representación significativa.

A pesar de ponerse ejemplos varias veces, volviendo a la comprensión de la situación enunciada en el primer problema (E2, E4, E6), no invierte suficiente esfuerzo para obtener una buena comprensión, limitándose a dibujos de los que no procura extraer datos importantes, de relevancia para la resolución. Por ejemplo, en E2 el contraste entre la disponibilidad de su conocimiento y los requerimientos de la tarea, en lugar de dar pie al desarrollo de estrategias alternativas, se reduce a un lamento:

"...Bueno, si esto lo he hecho cantidad de veces [calcular el número de diagonales de un polígono, E3]..." (1U4).

En la entrevista correspondiente al segundo problema dice haber necesitado releer el enunciado

"...Porque no entendía bien al principio..." (2U1),

ya que no sabía si debía calcular una probabilidad o se trataba de otra cosa. Además

"...inicialmente, yo pensé que los dorsales eran los grupos de dos los que no podían sumar...igual y entonces me di cuenta de que había un ejemplo con un grupo de distinto tamaño y lo puse...para enterarme mejor, no sé, para visualizarlo mejor..." (2U2).

Puede afirmarse, por tanto, que invierte el tiempo necesario para llegar a la comprensión de la situación, siendo adecuado el intento de hacerse con el problema inicialmente, antes de efectuar planteamientos que no le condujeran a nada.

El tercer protocolo es bien entendido desde el principio, por lo que no puede extraerse mucha información sobre la importancia que da a una buena comprensión:

"...Lo leí dos veces al principio un poco para enterarme bien..." (3U2).

No obstante, el hecho de no haberse puesto algunos ejemplos aclaratorios del enunciado antes de iniciar el tanteo parece indicar sus deseos de pasar pronto a fases ejecutivas.

En resumen, lo observado en los protocolos, unido a lo expresado en la entrevista, hace pensar en que la importancia concedida a la obtención de una buena comprensión no está a prueba de problemas que se le resistan, en los que no sea capaz en un plazo breve de pasar a otra fase.

3.2. Importancia otorgada a la obtención de una buena planificación.

2) La importancia otorgada a la planificación es escasa, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

La cuestión C13, referida en Importancia otorgada a la obtención de una representación significativa, informa claramente de su impulso por pasar pronto a la ejecución.

Desde luego, esto no quiere decir que no planifique o lo haga mal, como se puede constatar en la justificación sobre Eficacia y adecuación de la planificación, de lo que informa es de que no está dispuesta a invertir muchos esfuerzos por diseñar un buen plan, hecho del que se percata uno analizando el primer protocolo, que es el único en el que no dispone de un plan desde el comienzo. Hay una ejecución de acciones sin propósito claro:

"...yo pensaba que el número de diagonales influía de alguna forma,...[pero esa conjetura] no la he contrastado..." (1U7).

Cabe, pues, pensar, que, de haber encontrado resistencia en los otros dos problemas, la reacción habría sido similar.

De hecho, en el tercer protocolo, consciente, como ya se ha comentado, de problemas de notación al final, no invierte ningún esfuerzo en mejorar o cambiar la planificación. Por otra parte, haberse aventurado pronto en una conjetura (E3), tras efectuar un tanteo pobre (E2), da asimismo muestras del escaso valor concedido a la consecución de una buena planificación.

3.3. Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución.

3) La explicitación del estado de la ejecución tiene una frecuencia moderada, pero suele predominar lo narrativo sobre lo explicativo.

Escasea la explicitación del estado de la ejecución en el primer protocolo y, cuando existe, es narrativa (E1 y comienzo de E3) o bien su pertinencia no se ve corroborada en la propia ejecución (final de E3 y grabación incardinada al comienzo de E5).

La poca explicitación del estado de la ejecución del segundo protocolo es básicamente narrativa, exceptuando dos momentos. El primero se da al comienzo del episodio E3:

"...Intento ver si puedo establecer una relación...",

de corte explicativo, pero tan escueta que no aclara qué tipo de relación, entre qué elementos o cómo encajaría en la resolución. La segunda se da pasado el minuto 25 (E5):

"...Lo que intento ver es si llegado un número determinado ya no tiene números que elegir...",

también explicativa y, aunque algo escueta, aclara el propósito de toda la resolución, lo que tendría haber hecho con anterioridad.

En el tercer protocolo es positivo el hecho de hacer constar lo que va obteniendo (final E3, final E5) y de explicar las razones por las que efectúa algo concreto:

"...Si demuestro que para cualquier otro número distinto de 2 y de 5 1n no es divisible por n, ya estaría..." (E3).

También detalla lo que va a hacer a continuación al comienzo de E5:

"...Tengo que hacerlo por inducción sobre m...".

En general, es un protocolo con abundante explicitación del estado de la ejecución, tanto de corte narrativo como explicativo, siendo fundamental para organizar una ejecución que conserva un orden hasta el minuto 25 (E6), a partir del cual

"...me lié un poco..." (3U9).

3.4. Coherencia y control del proceso.

3) La coherencia y la organización se pierden y se vuelven a recuperar a lo largo del proceso, teniendo éste, por tanto, partes que corresponden a la idea general en distintas fases del proceso de resolución. En raras ocasiones existe un planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. En general, los malos planteamientos son cortados antes de enfrascarse en ellos, pero los recursos no son suficientemente explotados. Le concede cierta importancia al control del proceso, pensando que puede tener algo de influencia en la correcta resolución de un problema.

En el primer protocolo ha pasado de unas ejecuciones a otras sin discutirlas, notándose un paso muy superficial por todas las fases del proceso. No ha profundizado en las condiciones para obtener buenos planes, ni se planteado la conveniencia de algunas estrategias o ejecuciones

"...No creo que el número de diagonales importe [E3]... Empiezo de nuevo [E4]..." ,

sin embargo luego vuelve al cálculo de tal número:

"...Es que me di cuenta...del número de diagonales y...lo saqué... por tenerlo ahí..." (1U10),

encontrándose con el inútil resultado del número de diagonales (E5), que se hubiera podido obtener más rápidamente con tranquilidad. No efectúa ningún control de progreso hacia la solución, lo que era de esperar debido al avance del tiempo en comparación con la escasez de resultados intermedios:

"...sí y no [he efectuado algún control de progreso] (sonrisas). No sé. He efectuado algunas cosas de decir: "Bueno, dejo esto, empiezo con lo otro...", en fin (sonrisas)..." (1U8).

En fin, no ha sabido elegir el camino de resolución apropiado, estando perdida durante toda la resolución.

Su comportamiento concuerda perfectamente con la respuesta a C19:

"...[El papel de la memoria puede ser también] negativo porque a veces te empeñas en seguir un camino que ha sido útil en otra ocasión pero que no sirve para la resolución de este problema...",

donde se vislumbra un tipo de resolución necesariamente vinculada a hechos destacados, relegando aparentemente el papel de los procedimientos y métodos matemáticos, y donde está ausente el análisis de la conveniencia de las estrategias.

Por contra, la resolución del segundo problema tiene un objetivo claro, dar con una fórmula que, según supone, conlleve la imposibilidad de la existencia de 11 números con las consabidas condiciones. Por ello, al comienzo del episodio E5, cuando cree haberla hallado, aunque se percata de algunos errores cometidos en la sucesión anterior (en la entrevista manifiesta que el 1 debería ser sustituido por 0), no los modifica, sino que aplica dicha fórmula, la cual le da la solución a falta de 3 minutos para el final. Aunque 3 minutos no sea tiempo suficiente para acometer grandes modificaciones, sí lo es para efectuar una reflexión sobre las hipótesis no justificadas con la idea de, al menos, dejar planteados los interrogantes no resueltos. Es también apreciable el pequeño control de progreso que va efectuando, haciéndose asimismo una idea de lo que le tiene que ir saliendo, según va conjeturando a la vista de la magnitud de los resultados que va obteniendo, pero este control de progreso es limitado a sensaciones, más que al hecho de plantearse seriamente si va aproximándose a la solución, o si, aun existiendo errores, puede asimismo haber instrumentos que posibiliten la aproximación a la solución. No ha explotado suficientemente sus recursos ni se ha parado a reflexionar sobre las partes menos claras, aunque, dentro de sus hipótesis, el proceso es coherente.

El control de progreso en la tercera resolución es escaso:

"...yo creo que no [he efectuado ningún control de progreso]..." (3U5)

y, en su caso, motivado por la ocurrencia de algún hecho de forma casi espontánea

("...me di cuenta que 125 sí [E4] y que 225 también, y entonces...empecé a hacer las divisiones y...a ver que tenía que buscar otra estrategia..." (3U8)),

no por una planificación consciente. Da la impresión de que, aunque algunos resultados se van logrando, no hay constatación de la aportación de cada uno de ellos a la resolución del problema. Respecto al tipo de control, puede decirse que no ha explotado suficientemente los recursos, en el sentido de que el hecho de centrar la atención en que 10^m/n debe ser entero es adecuado, aunque no le haya sacado todo el partido posible.

En resumen, aunque el control sólo es relativo, los procesos, salvo el primero, son bastante coherentes, independientemente de los errores cometidos o del hecho de no haber aprovechado a fondo los resultados obtenidos o el propio plan.

3.5. Organización temporal.

3) Tener un plazo definido de tiempo le supone nerviosismo. Aunque es capaz de ejecutar un plan determinado, puede perder la noción del tiempo en algunos momentos.

En C2 cita el tiempo, sin más explicaciones, como uno de los motivos que causan una disminución de su rendimiento en tareas de resolución de problemas.

Respecto al primer protocolo, hay que insistir de nuevo en el hecho de ser un verdadero problema para ella y en el hecho de haber perdido bastante tiempo (la mitad del límite establecido, E3, E5) en obtener una fórmula sin constancia alguna de su utilidad. No hay, por tanto, organización temporal encaminada a obtener algún resultado plausible dentro del tiempo dado para la resolución.

Está convencida de la estrategia a emplear en el segundo problema y obtiene el resultado esperado a falta de 3 minutos para los 40, por lo que da el problema por concluido. Así, pues, no puede extraerse gran cosa ni en sentido positivo ni negativo. Podría decirse que la ejecución de E4 es pesada, pero quizás le hiciera falta para saltar al cálculo combinatorio (E5) rondando el minuto 25, que es cuando ya parece verlo claro, por lo que no ha habido necesidad de una mejor organización temporal.

En el tercer protocolo hay una cadencia de resultados aceptable hasta el minuto 25 (E6), donde se lía. Hay unos momentos de desconcierto que podrían haber conducido a profundizar en la expresión 10^m/n, en lugar de continuar la resolución por otros derroteros, pero, en cualquier caso, no se percibe más que haber errado en el camino elegido, y no falta de organización temporal, ya que intenta aportar soluciones para los dos casos estimados (potencias de 2 y de 5).

3.6. Conocimiento metacognitivo de tipo general.

3) Su conocimiento de estrategias de resolución de problemas, así como la constancia de su utilidad, son aceptables, pudiendo tener alguna idea de la existencia de otras variables que influyen en la resolución de problemas.

En C!0 cita estrategias heurísticas que hacen ver un conocimiento aceptable de uno de los elementos que intervienen en la resolución de problemas:

"...por contradicción. Búsqueda de regularidades... Analogía... Modificar las condiciones. Empezar por el final...".

Como características deseables de un resolutor menciona que debe ser

"...curioso, metódico, ordenado, intuitivo y perseverante..." (C18),

aspectos que no incluyen ni el conocimiento organizado, ni otro tipo de variables. Puede entenderse que sí tiene en cuenta las estrategias de control de la acción en la fase de planificación cuando dice metódico.

En la entrevista posterior al segundo problema dice que la clave de la resolución no es su conocimiento,

"...sino que se me ocurriera o no..." (2U3),

lo que induce a pensar, en concordancia con lo escrito sobre la organización del conocimiento en el párrafo anterior, en la falta de constancia de la importancia de los procedimientos matemáticos, aparte de los conceptos.

Globalmente ha puesto en juego los siguientes heurísticos:

- Primer problema: organizar la información (comprensión), buscar regularidades, tantear, descomponer el problema (planificación).

- Segundo problema: organizar la información (comprensión), asumir la solución (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

- Tercer problema: organizar la información (comprensión), simplificar, tantear, considerar problemas equivalentes, conjeturar (planificación), analizar la consistencia del proceso (verificación).

PERFIL COMO RESOLUTOR DE PROBLEMAS

(Gráfico 14)

Todos los indicadores de RV se hallan en la subbanda 2-3, por lo que su perfil es claro: banda 1-3 (ya que no existen indicadores con nivel 4 que hagan pensar en la banda de transición), subbanda 2-3, quedando simbolizado por B1-3, S2-3.

IV.9.3.5. INFORME SOBRE EL MODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CARACTERÍSTICAS PERSONALES

La información disponible parece indicar claramente que el hecho de estar siendo observada provoca nerviosismo y desconfianza en RV, repercutiendo negativamente en su comportamiento.

En lo que concierne a su actitud ante los problemas cotidianos, los afronta en solitario, puede incluso abandonarlos (o sea, convivir con el problema sin intentar dar una solución) si necesita ayuda para resolverlos.

Entrando en el ámbito matemático, el abordaje de problemas es realizado casi siempre en solitario y suele estar motivado por causas ajenas a la docencia o la investigación. Aunque, de hecho, no suele enfrentarse a problemas, le atraen más que los ejercicios. Se puede deducir, por otra parte, que cuando se enfrenta a problemas, suelen aparecer miedos, complejos, desánimo y ganas de abandonarlos, lo que en ocasiones provoca grandes lagunas de concentración y de efectividad en el abordaje de los mismos. Asimismo, tiene una confianza moderada en sus posibilidades, lo que puede hacer que su sensación de seguridad sufra alteraciones a lo largo de la resolución o que en ocasiones pida ayuda. Dicha inseguridad puede deberse a distintos motivos, como la limitación temporal o la familiaridad del tópico o la disponibilidad de alguna fórmula.

El conocimiento mostrado ha resultado inoperante, incapaz de utilizar de forma adecuada lo que tiene adquirido, aunque esto no sea mucho.

En cuanto al papel de la memoria, sigue en el nivel deficiente de casi toda esta categoría. La considera imprescindible, provocando su ausencia inseguridad y falta de motivación.

CARACTERÍSTICAS TÁCTICAS DEL PROCESO (EFICACIA DE LA ACCIÓN)

Los protocolos muestran que la comprensión de la situación se suele extender a todas o casi todas las variables, aunque sin profundidad. De esta forma, la estructura del problema es captada habitualmente, aunque a veces de forma parcial, alternando el razonamiento concreto con el abstracto.

Asimismo, se ha puesto de manifiesto que, por lo general, existe una planificación con cierto grado de coherencia, pero a veces no resulta pertinente para la situación.

Respecto a la ejecución, es ineficaz, porque, aunque es coherente con la planificación, carece de un desarrollo significativo o bien los resultados que aporta no hacen más que distorsionar la resolución o, al menos, son ajenos a ella.

Esta disminución de tono permanece en relación al empleo de la revisión, que es escaso y no significativo, encontrando siempre un factor que le provoca no efectuarla.

En la misma línea continúa el nivel de acabado de la solución, pues, una vez obtenida, tan sólo intenta simplificarla (lo que supone una manipulación exclusivamente con la parte final de la ejecución) o expresarla de otra forma. En raras ocasiones se observa claridad, simplicidad, economía o racionalidad de las soluciones (fundamentación del proceso).

CARACTERÍSTICAS REGULADORAS DEL PROCESO (CONTROL DE LA ACCIÓN)

Los datos extraídos inclinan a suponer que concede escasa importancia a la obtención de una buena comprensión de la situación, costándole trabajo invertir en eso el tiempo de resolución. El contraste entre la previsible tarea del problema y el estado del conocimiento es bastante pobre, limitándose a lo sumo a ver si el tópico le es familiar.

Análogamente, la importancia otorgada a la planificación es escasa, pensando que se trata de una fase en la que no es preciso invertir muchas energías.

Algo superior es el nivel detectado en relación a la explicitación del estado de la ejecución, que tiene una frecuencia moderada, pero suele predominar lo narrativo sobre lo explicativo.

Por otra parte, la coherencia y la organización se pierden y se vuelven a recuperar a lo largo del proceso, teniendo éste, por tanto, partes que corresponden a la idea general en distintas fases del proceso de resolución. En raras ocasiones existe un planteamiento de la medida de aproximación o progreso hacia las soluciones previstas. En general, los malos planteamientos son cortados antes de enfrascarse en ellos, pero los recursos no son suficientemente explotados. Le concede cierta importancia al control del proceso, pensando que puede tener algo de influencia en la correcta resolución de un problema.

En cuanto a la organización temporal, el hecho de tener un plazo definido de tiempo le supone nerviosismo. Aunque es capaz de ejecutar un plan determinado, puede perder la noción del tiempo en algunos momentos.

Finalmente, siguiendo en la misma línea, su conocimiento de estrategias de resolución de problemas, así como la constancia de su utilidad, son aceptables, pudiendo tener alguna idea de la existencia de otras variables que influyen en la resolución de problemas.

IV.9.4. ANÁLISIS FINAL

Confianza moderada en sus posibilidades como resolutora, unida a falta de constancia. Temor a lo desconocido

Concuerda la escasa frecuencia de enfrentamiento a problemas matemáticos (aunque le atraen más que los ejercicios) (1.3.-2) con la puesta en práctica, como profesora, de una metodología en la que la ejercitación reproductiva (TE1) predomina. Asimismo, aunque posee una confianza moderada en sus posibilidades como resolutora (1.4.2.-3), muestra ganas de abandonar la resolución de los problemas (1.4.1.-2), lo que puede apuntar una correspondencia con el hecho de ajustarse, como profesora, a una programación rígida (TR4) y a la consideración de mínimos rígidos a la hora de evaluar (TE30), ya que en ambos casos se vislumbra en el fondo un miedo a lo desconocido o a lo aparentemente desorganizado. Esta suposición se ve respaldada por el aferramiento a la memoria (1.6.-2), en perfecta concordancia con el papel otorgado al alumno, el cual debe escuchar, reproducir y atender (TR17, T18) y la concepción del aprendizaje como memorístico secuencial (TE8). Por otra parte, lo anterior aporta un matiz a su posicionamiento en relación al tipo de conocimiento y al modo de evolución. En efecto, considera como núcleo del conocimiento matemático los conceptos y valores racionales (P1), y dentro de P1 parece que concede más importancia a los primeros que a éstos. Tal hecho no es en absoluto contradictorio con su asignación del razonamiento lógico (P7) al modo de evolución, sino que lo especifica: se trata de un razonamiento lógico encorsetado, en base a leyes establecidas y reglas de juego prefijadas que deben ser memorizadas.

El ya mencionado papel acrítico del alumno se ve reflejado en su escaso empleo de la revisión (2.4.-2), lo que coincide asimismo con su bajo nivel de acabado de la solución (2.5.-2) y está en concordancia con el carácter útil que otorga al conocimiento matemático (IN3).

Su mediocre-bajo nivel en el control de la acción encuentra también su mejor aliado en IN3, aunque no pueda hablarse de una consecuencia inmediata; no obstante, ese rasgo instrumentalista puede ayudar a respaldar la idea de la inutilidad de los aspectos organizativos de la resolución de problemas.

(principio del capítulo) (índice general) (siguiente capítulo)

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)	METODOLOGÍA(II)
14.Sí (reviso mis planteamientos)... Si yo estoy viendo que la clase no va a funcionar así... tengo que cambiar... algunas veces sí... de contenido hasta cierto punto... ya te he dicho que... cuando estás dentro de un planteamiento donde hay un programa, ... puede ser que tú amplíes más un tema o lo amplíes menos. Entonces depende de las clase, si tú algunas veces te das cuenta de que el tema no interesa...y que lo único que estás haciendo al intentar tú ampliar el tema es volverlos locos...es mejor dejarlo.	TR4:Programación oficial prescriptiva rígida (unidades aisladas)
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)	SENT. ASIGNAT. (I)
7.(Los algoritmos)son útiles para... resolver determinadas situaciones y para facilitar a la hora de hacer algo...Si todo el Seminario está de acuerdo en dar un determinado temario, los tiempos los tengo que dar... en lo que hay. Pero, vamos, yo les daría poco... Me gusta más otro tipo de...conceptos y de cosas. Yo les daría poco porcentaje. 8.(Aparte de los algoritmos,los componentes de mis clases son...)de principio, los conceptos...tienes que darle los conceptos y... y eso, aplicar los algoritmos normalmente a resolver un problema, o los algoritmos o los conceptos. 15.(Saber cuándo se debe abandonar un tema)es difícil, porque a veces te parece...que ya está el tema visto, que ya ellos han entendido lo principal...que saben manejar los conceptos... y después te das cuenta de que...no es así... Cuando ya tú crees que...está dominado, más o menos, el tema...sin hacerte demasiado pesada...Los niveles que hay en las clase también influyen... si hay distintos niveles, te puedes hacer muy pesada para un determinado tipo de gente, que tampoco estaría bien. 24.(Respecto de la conveniencia de recoger las necesidades sociopolíticas,...)lo que creo es que ahora mismo hay muchas cosas en matemáticas, en lo que es la E.G.B., que de verdad que no le aportan nada al alumno ni le sirven luego para nada, en el sentido de....conectarlo con otros conceptos ni nada, porque se quedan cosas ahí muy aisladas y le dan...muchas cosas...que no tienen mucho sentido...Se debería ajustar a lo que va la sociedad... lo que yo no estoy de acuerdo es que el entorno te limite, tampoco...El entorno específico no. Hombre, a lo que va la sociedad sí, por ejemplo, la informática...o la estadística, yo creo que además se hace, ¿no?. Aunque vayamos más retrasados, pero poco a poco se va introduciendo lo que se necesita, yo creo que sí. Aunque siempre vayamos por detrás, claro.	TR5:Énfasis conceptual TR5 TR5 TE6+7:Matemática escolar como adaptación de la matemática formal a la problemática real. Informativa utilitaria

UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)	SENT. ASIGNAT. (II)
1'.(El contenido de la materia debe presentarse)intentando, si es posible, explicar el porqué es necesario el estudio de ese tema. 22.(A la hora de tener que elegir entre varios temas, selecciono)Normalmente, lo que puedan necesitar para... otros años o para otras asignaturas (de matemáticas)... o de física, por ejemplo.	TR7Ì TE7:InformativaÌ Informativa utilitaria TE7:Informativa utilitaria
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CEM)	CONC.APREND. (I)
28.De cara a los alumnos también me cuesta muchas veces decirles un resultado sin...un desarrollo, pero, a veces, da resultado hacerlo así, o sea,...no interesa el desarrollo, interesa el resultado, que entiendan el resultado más o menos ... Muchas veces les ayuda mucho más a comprender lo que están haciendo..., ya lo voy haciendo más, pero al principio me costaba mucho trabajo decirles algo sin habérselo demostrado. 29.(Respecto a la aceptación de un resultado no apoyado en un proceso deductivo elaborado por un alumno)Sí se lo acepto... Pero, vamos, que tiene que hacer...un proceso lógico, aunque no sea deductivo. 15.(Saber cuándo se debe abandonar un tema)es difícil, porque a veces te parece...que ya está el tema visto, que ya ellos han entendido lo principal...que saben manejar los conceptos... y después te das cuenta de que...no es así... Cuando ya tú crees que...está dominado, más o menos, el tema...sin hacerte demasiado pesada...Los niveles que hay en las clase también influyen... si hay distintos niveles, te puedes hacer muy pesada para un determinado tipo de gente, que tampoco estaría bien.	TR9(en evolución): Procesos deductivos TE9:Procesos inductivos simulados y deductivos TE10:Por asimilación

CATEG.	IND\TEND	TRADIC.	TECNOL	ESPONT.	INVEST.
METODOLOGÍA	1		*
	2	*
	3		*
	4	*
SENTIDO DE LA ASIGNATURA	5	*
	6		*
	7		*
CONCEPCIÓN DEL APRENDIZAJE	8		*
	9		*
	10		*
	11	**
	12	*
	13			**
	14		*
PAPEL DEL ALUMNO	15	**
	16		*
	17	*
	18	**
	19		*
PAPEL DEL PROFESOR	20	*
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EVALUACIÓN	25		*
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UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CM)	TIPO CTO. (II)
23.Yo creo que en general las demás asignaturas o las demás profesiones, lo que utilizan las matemáticas es como una herramienta. 3".(En el mundo profesional...)se utilizan mucho los conocimientos matemáticos y la forma de trabajo de las matemáticas.	IN3:Útil IN3Ì IN4Ì P4:ÚtilÌ Fin externoÌ Fin interno
UNIDADES DE INFORMACIÓN DE RV (CM)	FIN
26.(Yo creo que hoy los matemáticos...)empiezan a estudiar un tema..., porque les gusta...Pero que no sea... una cosa que se hayan planteado porque les haya planteado de fuera alguien ese problema, sino algo que a ellos les interesa, un problema que se hayan planteado o que le hayan planteado y la.. los objetivos es resolver eso, ¿no?, estudiar eso,... llegar a una solución. 1".El principal objetivo (de la matemática) es el razonamiento y la deducción lógica.	P4:Interno P4

CATEGORÍAS	IND\MODELO	INSTRUMENT.	PLATÓNICO	RES.PROBLEM.
TIPO DE CONOCIMIENTO	1		*	*<>**
	2		*	*<>**
	3	*		*<>**
FIN	4		*	*<>**
MODO DE EVOLUCIÓN	5			*
	6		*	*<>**
	7		*	*<>**