ESTUDIO DE POSIBLES RELACIONES

Aunque el objetivo final de este trabajo no es, en absoluto, generalizar las relaciones encontradas, esto no es óbice para que tenga pleno sentido interrogarse sobre posibles coincidencias o conexiones entre diferentes aspectos de lo que se ha denominado modelo mental (epígrafe I.3.).

Asimismo, investigaciones como las de Schoenfeld (1985, 1989) ponen sobre la pista de probables imbricaciones entre creencias y comportamiento matemático. Schoenfeld encontró en las creencias de los alumnos (de Bachillerato) explicación de la inadecuada aplicación de los contenidos impartidos con anterioridad:

"Creencia 1: Las matemáticas formales tienen poco o nada que ver con el verdadero pensamiento o la resolución de problemas. Consecuencia: Ignóralas cuando necesites resolver problemas.

Creencia 2: Los problemas de matemáticas se resuelven siempre en menos de 10 minutos. Consecuencia: Abandona pasados 10 minutos.

Creencia 3: Sólo los genios son capaces de descubrir o crear matemáticas. Consecuencia primera: Si olvidas algo estás perdido, no serás capaz de deducirlo por tu cuenta. Consecuencia segunda: Acepta los procedimientos sin preguntarte por qué funcionan." (Schoenfeld, 1985, p. 372).

 

Creo natural preguntarse si estas creencias, claramente asociables a concepciones generales sobre la matemática, tienen sus correspondientes entre los profesores y, al mismo tiempo, poseen un reflejo en la concepción de éstos sobre la matemática y su enseñanza.

Es objetivo de esta tesis (como ya se mencionó en el epígrafe I.3.) colaborar en la mejora del proceso de desarrollo profesional del profesor, entendiendo tal desarrollo como requisito indispensable para una mejora de la calidad de la enseñanza y la calidad del aprendizaje, estadios que, en definitiva, contribuyen a la formación de ciudadanos más íntegros y felices. Dicho objetivo, de hecho, transciende a la propia tesis que se presenta y se alza como utopía hacia la que enfocar todos nuestros esfuerzos.

Para ello, es conveniente que desbrocemos la maraña de aspectos que influyen en la tarea docente de un profesor, como si se tratara de una investigación neurológica. El propósito es, pues, conocer mejor los motivos que impulsan a un profesor a comportarse de una determinada manera.

Sabemos que las creencias, concepciones, ideas,... de un profesor ejercen un gran influjo en su forma de poner en práctica la enseñanza. Recíprocamente, una determinada práctica, condicionada por razones externas, puede influir en las concepciones del profesor (la filosofía ortegiana, que asocia el destino del hombre a su circunstancia, se hace, como no podría ser de otra forma, evidente en el caso del profesor, el cual, como ser viviente, no es una máquina que se conserva en el vacío y aporta o recibe información exclusivamente cuando lo desea, sino un sistema de vida que interacciona de forma continua con los sistemas de vida de su entorno más o menos próximo, influenciando y siendo influenciado por ellos). De forma semejante se comportan los aspectos "internos" de un profesor, de tal suerte que es imposible desgajar el estudio de uno del estudio de todos los demás, si se pretende abordar dicho estudio con un 100% de amplitud o profundidad. Es así que tal estudio resulta imposible de realizar, por lo que nuestras investigaciones no son más que meras aproximaciones desde uno u otro rincón, desde una u otra perspectiva.

Pienso que debemos avanzar en el conocimiento de posibles conexiones. Podríamos hacer un análisis de correlaciones, que nos aportaría información cuantitativa al respecto. Y también podríamos investigar casos concretos con idea de enfatizar más el método o las ideas (incluso las dudas o conjeturas no corroboradas), ya que, a la hora de colaborar con un profesor o un grupo de profesores en su desarrollo profesional, puede resultar más útil disponer de recursos metodológicos que de resultados generales (aunque estos datos no son, en absoluto, desechables; entre otras razones, es importante tener una idea de la situación general). Por ello, este capítulo se dedica a intentar vislumbrar algunas relaciones y a esclarecer su inexistencia en otros casos, referidas a las Tendencias didácticas, Modelos de concepción de la matemática y Modos de resolución de problemas (desde la perspectiva del formador directo de profesores, las relaciones hacen referencia a las concepciones, como filtro, y a la resolución de problemas, como vehículo metodológico de la propia formación).

Inicialmente se va a hacer uso del cuadro 36, como resumen del análisis de la información obtenida.

Se ha prescindido de la categoría Características personales dentro del Modo de resolución de problemas, ya que las conclusiones relativas a esta categoría han sido obtenidas mayoritariamente a partir del cuestionario sobre estrategias personales, poniéndose de manifiesto aspectos inherentes a la personalidad de cada individuo, variable que no ha sido controlada en este trabajo. No obstante, se ha querido dejar patente la viabilidad del esquema cognitivo-metacognitivo en esta categoría, por lo que no ha sido suprimida del trabajo. Además, el indicador Papel de la memoria, para el que también se ha extraído información de los protocolos, puede estar íntimamente relacionado con algunos indicadores de las otras dos categorías (de hecho, el mencionado indicador bien podría sumergirse en la tercera categoría). En las columnas 2ª y 3ª se ha codificado la tendencia didáctica y el modelo de concepción de la matemática predominantes, respectivamente, de cada sujeto (epígrafes IV.i.1.1. y IV.i.2.1., para i=1,...,9). Las columnas 4ª y 5ª informan de los niveles entre los que se sitúa mayoritariamente su modo de resolución de problemas en lo que atañe a las categorías 2 y 3, respectivamente, y, finalmente, la 6ª columna es una síntesis de las dos anteriores, plasmando la banda (B) y la subbanda (S) en la que se halla cada individuo (epígrafes IV.i.3.4., para i=1,...,9). En las tres últimas columnas se detallan también los niveles que se encuentran fuera de la banda o la subbanda dominante.

(*=predominio ostensible;

'=ligero predominio)

Respecto a la búsqueda de relaciones, hay que añadir que no he tratado de evidenciar relaciones directas, pues soy consciente de tal imposibilidad. La literatura de investigación (como ya he reflejado) ha puesto de relieve que, en unos casos, ciertos investigadores han encontrado consistencia entre la concepción de la enseñanza de la matemática y la concepción de la matemática, y, en otros casos, otros investigadores han hallado inconsistencia. Aunque este hecho no es asociable inmediatamente a lo que aquí se estudia (la concepción de la matemática que se presenta es la asociada a la tendencia didáctica o a la concepción de la enseñanza de la matemática, como fragancia de ésta), esta discrepancia deja claro que es arriesgado pronosticar la concepción de la matemática, conocida la tendencia didáctica, y viceversa. Sin embargo, no parece lógico que se den asociaciones entre polos (por ejemplo, TR con RP o I con IN). Por lo que atañe a los Modos de resolución de problemas, la lógica más elemental me dice (incluso por la propia experiencia como alumno durante los estudios de la licenciatura) que de una determinada concepción no se puede inferir si el modo de resolver problemas es "correcto" o "incorrecto". Ahora bien, hablar de "corrección" es demasiado ambiguo y quizás existan algunas relaciones si desentrañamos la palabra "corrección". Las categorías 2 y 3 tratan de esclarecer lo que hay detrás de la palabra corrección desde mi punto de vista, aportando elementos diferenciadores que pueden ser espejos de eventuales relaciones. Aún así, no es más que la búsqueda de un dorado sin certeza de hallarlo, pero con la convicción de que la propia búsqueda merece la pena y de que el resultado, positivo o negativo, será significativo y, de nuevo, muestra patente de la complejidad del ser humano, así como de sus incoherencias existenciales.

Observando las columnas 2ª y 3ª del cuadro 36, constatamos la inexistencia, antes aludida, de relaciones entre polos. Es destacable la existencia de detalles del modelo platónico al lado de tendencias TR-TE (en los sujetos AP, CG, PG -compaginado con indicadores instrumentalistas-, RV). Asimismo, es natural la asociación de TE con IN (JR, PG -ya referido), aunque hay otro TE con un modelo P'-RP (KN). De otro lado, tenemos un E'-I con un modelo P-RP* (LD) y las asociaciones más directas de I con RP (PN y RC). En resumen, aunque lo "lógico" o "deseable" sería asociar a cada tendencia didáctica una y sólo una concepción de la matemática, se constata una "anarquía controlada".

No obstante, el cuadro 37 (síntesis del cuadro 36) pone de relieve la existencia de cierto grado de correlación entre Concepción de la Enseñanza de la Matemática (CEM) y Modelo de concepción de la Matemática (CM), y entre CEM y el Modo de Resolución de Problemas (MRP), pero, sobre todo, entre CM y MRP, aunque con alguna excepción que comentaré posteriormente.

La observación del cuadro 37 permite realizar los siguientes grupos: A = {JR, PG}, caracterizado globalmente por la terna (TE, IN, S1-2); B = {AP, CG, RV}, caracterizado por (TR-TE, P, B2-4); B' = {KN}, como grupo próximo a B, ya que está caracterizado por la terna (TE, P'-RP, B2-4), pero donde destaca un carácter eminentemente tecnológico, propio del grupo A; C = {LD, PN}, caracterizado por (I, RP, B3-5); y RC como esa excepción aludida anteriormente, compaginando una tendencia investigativa y un modelo de 

(*=predominio ostensible;

'=ligero predominio)

concepción de la matemática de resolución de problemas con la pertenencia a la subbanda 2-3, respecto al modo de resolver problemas:

CEM tecnológico -- CM instrumentalista -- MRP subbanda 1-2

CEM tradicional-tecnológico -- CM platónico -- MRP banda 2-4

CEM investigativo -- CM resolución de problemas -- MRP banda 3-5 (salvo RC)

Acerquémonos un poco más a las posibles relaciones. Parece lógico pensar que las relaciones pueden ser más fuertes entre categorías específicas. La conjetura es que, en general: a) debe existir una fuerte asociación entre el sentido que el profesor concede a la asignatura y el fin que según él persigue el conocimiento matemático; b) la opinión del profesor respecto a la forma en que se aprende ha de tener su correlato en su concepción relativa a cómo ha evolucionado la matemática; c) los rasgos relativos a la evaluación de aprendizajes pueden guardar paralelismo con la concepción sobre el tipo de conocimiento que es la matemática; y d) asimismo el tipo de conocimiento puede presentar alguna relación con la tendencia metodológica expresada.

('=ligero predominio)

De nuevo, las asociaciones más directas se producen en la relación I-RP, a lo que puede añadirse que no se ha cifrado ninguna relación TR-RP, aunque sí TE-P-RP (KN), ni ninguna I-IN.

Surge la tentación de pensar que la asociación TR-RP no se produce porque abrigar un modelo dinámico de concepción de la matemática requiere un nivel de reflexión incompatible con la falta de fundamentación de la tendencia tradicional (se trata de una tendencia no defendida por casi nadie de los que la practican cuando se formulan preguntas directas, ya que o bien carecen de argumentos para fundamentarla o bien no los exponen por no estar de moda dicha tendencia); no obstante, no se debe simplificar excesivamente la cuestión: de hecho, hay razones, aparte de las de pura lógica, que podrían sustentar asociaciones en principio incongruentes, razones que emanan de las características e inconsistencias del ser humano. Es por ello que, lejos de suponer que dispongo de una explicación definitiva para el hecho constatado, no llego más allá de la creencia de que existen algunas razones para que eso ocurra.

En cuanto a la relación con los Modos de resolución de problemas, es significativo que IN esté asociado a un control deficiente (JR y PG son los únicos que están en la subbanda 1-2 de la categoría 3, la relativa al control de la acción). También es cierto que un predominio de TE está ligado a la subbanda 2-3 de la categoría 1 (Características personales), pero esto no es relevante por lo anteriormente comentado. De hecho, las relaciones con esta categoría serán obviadas, pues para respaldarlas haría falta un análisis más profundo de los aspectos incluidos en dicha categoría, que escapa del propósito marcado en esta tesis (a pesar de todo, se ha efectuado un somero estudio que ha puesto de manifiesto una falta de relación entre tendencias didácticas, modelos de concepción de la matemática y características personales).

También es reseñable que el caso más deficiente de la categoría 2, concerniente a la eficacia de la acción, (subbanda 1-2, aunque con un 1 exclusivamente) es un TE-IN (JR). Sin embargo, la subbanda 2-3 es variopinta (como puede pensarse que corresponde a las subbandas intermedias), albergando 5 individuos: dos TR*-TE-P, un TR*-TE-IN-P, un I-RP y un TR-TE*, entre los que sólo desentona el I-RP, pero hay que insistir en que una concepción "plausible" no tiene por qué venir adherida a una "correcta" resolución de problemas. Por otra parte, en la subbanda 2-4 se halla un TE-P'-RP (KN) y, finalmente, en la banda 3-5 se encuentran individuos con gran peso de I y de RP (asociaciones que podríamos tildar de deseables).

Volviendo a los individuos de la subbanda 1-2 de 3, ya sabemos que tienen bastantes coincidencias globales, pero analicémoslas con algo más de detalle. En concreto, PG y JR poseen considerables semejanzas respecto a la concepción del aprendizaje (indicadores 9, 10 y 11), el papel del alumno (indicadores 15, 16, 17 y 18) y la evaluación (indicadores 25, 26, 30, 31 y 33) (dentro de TE o en TR-TE), así como una coincidencia plena en el tipo de conocimiento (indicadores 1, 2 y 3) (IN), además de un punto de vista pragmático (proceso de creación y uso de algoritmos) referente al modo de evolución (indicador 5).

Aumentando aún más la precisión de nuestro microscopio, podemos analizar la categoría 2 indicador por indicador, o bien por grupos de indicadores con sentido propio. De nuevo, PG y JR están en la subbanda más baja respecto al par (2.1. Comprensión, 2.2. Planificación) (subbanda 2-3), y son los únicos en ella, lo que lleva a la constatación de la relación esquematizada en el gráfico 15.

 Esta relación no se puede generalizar por las características de este trabajo, aunque tiene visos de realismo. En la misma no se ha incluido la tendencia TE, ya que no parece ser tan determinante como el modelo IN, pues JR, PG, RV y KN tienen similares coincidencias a las de JR y PG, pero RV y KN se hallan en el 3, aunque esto, al mismo tiempo, evidencia cierta relación con TE, pues las diferencias entre los cuatro respecto al par en cuestión no son significativas; sin embargo, dicha relación disminuye si hacemos referencia a los otros dos individuos con TE (AP y CG), pues ambos se hallan en la subbanda 3-4 de (2.1., 2.2.). No obstante, las coincidencias entre los seis son mínimas, no existiendo ninguna categoría que globalmente posea indicadores comunes. En resumen, se constata la relación visualizada en el gráfico 16, aunque con más cuestionamientos que la anterior sobre su posible generalización.

 Por contra, los mejores pares (2.1., 2.2.), subbanda 4-5, dan cobijo a varias tendencias y modelos: AP y CG (TR*-TE-P), LD (E'-I-P-RP*) y PN (I-RP), lo que confirma exclusivamente el alejamiento de IN.

 En la subbanda más baja de 2.3. (Eficacia de la ejecución) (nivel 2) se hallan JR, RC y RV, que no coinciden prácticamente en nada, siendo éste el primer indicador que pone claramente de manifiesto la separación que puede existir entre la efectividad como resolutor y la conveniencia de una determinada tendencia didáctica o de una determinada concepción de la matemática. Además, sólo hay un caso que se pueda considerar bueno, LD (nivel 5), que es un E'-I-P-RP*, hallándose los dos I-RP dispersos (PN en el nivel 3 y RC en el 2).

 Los niveles más bajos en cuanto al empleo de la revisión, 2.4. (nivel 2), se dan en AP, CG, JR, PG y RV, que sólo tienen en común la mayoría del papel del alumno (TE) y la consideración de la matemática como un tipo de conocimiento útil (indicador 3 de IN). No obstante, las coincidencias con KN (nivel 4 en 2.4.) son las mismas, salvo IN3, lo que induce a pensar en la existencia de una relación (Gráfico 17) análoga a la anterior:

[Conocimiento útil] IN───────> EMPLEO DEFICIENTE DE LA REVISIÓN (nivel 2 de 2.4.)

(Gráfico 17)

En cuanto al nivel de acabado de la solución (indicador 2.5.), encontramos en la subbanda 1-2 a AP, JR, PG y RC (nivel 1) y CG, KN y RV (nivel 2), 7 de los 9 individuos estudiados, por lo que sería poco probable encontrar similitudes. En el nivel más alto se hallan de nuevo PN y LD, individuos que presentan gran influencia de I y RP (aunque también lo hace RC, que, por contra, está en el nivel 1). Por consiguiente, las conclusiones sobre 2.5. son análogas a las de 2.3..

 Entrando ya en la categoría 3, el nivel inferior constatado (2) de 3.1. (Importancia concedida a una buena comprensión) es ocupado por AP, JR, PG y RV, que al mismo tiempo son los individuos con perfil global inferior, coincidencia que puede dar luz sobre la importancia de los aspectos metacognitivos en resolución de problemas, en particular sobre la importancia de obtener una buena comprensión de la situación. Por otra parte, son los individuos con mayor carga de TE (a los que hay que añadir KN y CG) e IN (exceptuando RV, que de IN sólo posee el IN3). Por otra parte, AP es P, pero posee una categoría instrumentalista (FIN externo, IN4), además del IN3 (conocimiento útil), a diferencia de CG, que, aun coincidiendo en IN3, sus categorías son todas de corte platónico. Existe también coincidencia en el papel del alumno y algún que otro indicador de evaluación, pero parece que lo más significativo es el IN3. Por su parte, los mejores de 3.1. vuelven a ser LD y PN, a los que hay que sumar CG. En definitiva, CG es un elemento que distorsiona los resultados, ya que, al ser TR*-TE, podría corresponder a un nivel inferior. Sin embargo, parece que una concepción con gran peso de RP descarta los niveles inferiores (KN, que es P'-RP, y RC, que es RP, están en el nivel 3, PN, que es RP, está en el nivel 4, y LD, que es P-RP*, está en el 5). Esto nos lleva a formular con muchas dudas la existencia de la relación

Rasgos de TE + [Conocimiento útil]IN────> ESCASA IMPORTANCIA A LA COMPRENSIÓN (nivel 2 de 3.1.)

(Gráfico 18)

y de la relación

Gran peso de RP───────> IMPORTANCIA, AL MENOS ACEPTABLE, A LA COMPRENSIÓN (3-5 de 3.1.)

(Gráfico 19)

 Pasando ya al indicador relativo a la importancia otorgada a la consecución de una buena planificación (3.2.), el nivel 2 es compartido por AP, JR, KN y RV, situándose PG en el 1, mientras que lo más alto de la escala es para CG (TR*-TE-P) y LD (E'-I-P-RP*), lo que muestra la disparidad de asociaciones en este indicador, ya que los cinco primeros sólo poseen en común gran parte del papel del alumno y poco de evaluación (aparte de algún indicador suelto). No obstante, CG y LD poseen en común RP1 (el núcleo del conocimiento matemático lo forman las estructuras conceptuales, los procedimientos matemáticos y las estrategias generales) y P2 (conocimiento estructurado lógicamente), por lo que su opinión sobre el tipo de conocimiento que es la matemática es casi idéntica. Asimismo, los otros individuos que poseen características P-RP en la categoría Tipo de conocimiento (KN, PN y RC) se han situado en el nivel 3, a excepción de KN. Todo esto confirma la dispersión mencionada y, por tanto, lo único que puede concluirse es que

la importancia dada a la obtención de una buena planificación parece depender en gran medida de factores no analizados en este trabajo,

y que

IN───────> ESCASA IMPORTANCIA A LA PLANIFICACIÓN (1-2 de 3.2.)

(Gráfico 20)

Situados en 3.3. (Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución), con 2 encontramos a AP, CG, JR y PG, que tienen muy poco en común en lo que a indicadores concretos se refiere, y con 3 a RV (estos cinco tienen en común el pertenecer a tendencias TR o TE, no coincidiendo en la concepción de la matemática más que en el hecho de no ser ninguno RP y el tener todos un IN3), dejando los niveles más altos para RC (4) y LD, KN y PN (5), cuya intersección es el tener un peso importante de RP. Así, pues, podemos formular las relaciones que se muestran en los gráficos 21 y 22.

(Gráfico 21)

(Gráfico 22)

 Al no haberse cifrado ninguna asociación de E o I con ù RP, la siguiente relación (posible resumen de las dos anteriores) (Gráfico 23) hay que tomársela como relación a indagar en otros estudios:

(Gráfico 23)

En lo que respecta a 3.4. (Coherencia y control del proceso), el nivel más bajo (2) corresponde a AP, JR, PG y RC, el 3 es compartido por KN, CG y RV, el 4 es para PN y el 5 para LD, constatándose tal dispersión que sólo es reseñable la asociación que muestra el gráfico 24.

IN───────> DEFICIENCIA EN COHERENCIA Y CONTROL DEL PROCESO (2-3 de 3.4.)

(Gráfico 24)

La subbanda inferior del indicador referente a la organización temporal (3.5.) es ocupada por KN y PG (nivel 1) y AP, JR y RC (nivel 2), RV se halla en el 3 y CG, LD y PN copan la subbanda 4-5 (LD con un 5). KN y PG tienen en común la concepción del aprendizaje, el papel del alumno y parte de la evaluación (dentro de TE), constituyendo una de las parejas con más coincidencias en lo que a tendencias didácticas se refiere. No obstante, RV tiene características similares y está mejor situada, por lo que no puede decirse que sea la inclinación tecnológica lo que conduzca a una deficiente organización temporal. Esto, unido a la gran dispersión, hace que considere inadecuado formular una relación diferente a la simbolizada en el gráfico 25, poniéndose de manifiesto que haría falta traer a colación otras variables para plantearse con rigor la existencia de relaciones más fuertes con este indicador, lo que podría llevar (o tal vez no) a explicar qué provoca que KN esté en un nivel tan bajo.

IN───────> DEFICIENTE ORGANIZACIÓN TEMPORAL (1-2 de 3.5.)

(Gráfico 25)

Finalmente, en el nivel 2 de 3.6. (Conocimiento metacognitivo general) encontramos a AP, JR y PG, en la zona intermedia del 3 a KN, RC y RV, y en la subbanda 4-5 a CG, LD y PN (éste con un 5). Podemos percatarnos de que los dos IN están en el nivel 2 y que el otro de dicho nivel (AP) posee un IN3 (Conocimiento útil); no obstante, CG y RV también poseen un IN3, enmarcado en una concepción platónica, como AP. Por ello, la conclusión, consecuente con un indicador que, por demasiado general, es poco diferenciador, no puede ir más allá de suponer que se da la asociación mostrada en el gráfico 26.

IN───────> ESCASO CONOCIMIENTO METACOGNITIVO (nivel 2 de 3.6.)

(Gráfico 26)

Estas relaciones guardan gran paralelismo con las obtenidas por Buchanan (1987), la cual investigó algunos factores que pueden influir en la actuación en resolución de problemas de alumnos de 9-11 años. De acuerdo con Nicholls (1983), clasifica la motivación de los estudiantes en 3 grupos: tarea, sí mismos (ego), externa. Presenta a continuación un cuadro (ver cuadro 41) en el que relaciona estos grupos (aunque no constata ningún caso del tercer grupo) con las creencias sobre la matemática y los procesos predominantes en la resolución de problemas, donde refleja las relaciones inferidas de su estudio cuantitativo. Obviamente, no hay una total coincidencia entre el trabajo de Buchanan y el que aquí se presenta, entre otras razones, porque los individuos analizados por ella eran alumnos y además porque algunas de las variables consideradas en el estudio no han sido analizadas en este trabajo y viceversa (para lo cual incluso necesitarían sufrir las oportunas adaptaciones). No obstante, el cuadro mencionado es bastante ilustrativo y merece la pena ser leído en comparación con las relaciones comentadas anteriormente.

Ti-po	Fuente de motivación	Creencia sobre la matemática	Proceso predo-minante en reso-lución de probl.	Forma de obtener satisfacción
ta-rea	Gusto por la tarea Provocación intelectual	Relacional Abierta/Flexible Con sentido	Clarificación Exploración Evaluación	Cuando compren-de el problema y lo relaciona con otros -generaliza
e g o	Autoridad Parecer interesado Ser bueno	Instrumental o Relacional	Exploración	Cuando el profe-sor considera el probl. completo
e g o	Autoridad entre lo compañeros Ser el primero Competir con otros	Instrumental Inflexible Manipular núme-ros para conseguir respuestas	Ejecución	Cuando se da una respuesta
e g o	Autoprotección ante el fracaso o de parecer tonto	Inconsistente Relacional o todo lo contrario	Eficaz iluminación	Cuando compren-de o cree que fracasará

Cuadro 41 (p. 407)

Por otra parte, al igual que una manifestación como resolutor de problemas puede verse asociada a una o varias características relativas a tendencias o concepciones o algún otro aspecto, así es lógico pensar que algunos indicadores del Modo de resolución de problemas estén más íntimamente ligados que otros. La conjetura es que tiene sentido hablar de

la terna T₁ = (I.6., 3.1., 3.2.) = (Papel de la memoria, Importancia concedida a la comprensión, Importancia concedida a la planificación) (= terna primera),

el par P₁ = (2.1., 2.2.) = (Obtención de una buena representación, Eficacia y adecuación de la planificación) (= primer par),

P₂ = (2.3., 2.5.) = (Eficacia y adecuación de la ejecución, Nivel de acabado de la solución),

P₃ = (3.1., 3.2.) = (Importancia otorgada a la comprensión, Importancia otorgada a la planificación),

P₄ = (3.4., 3.5.) = (Coherencia y control del proceso, Organización temporal) y

P₅ = (2.5., 3.3.) = (Nivel de acabado de la solución, Importancia concedida a la explicitación del estado de la ejecución).

El grado de homogeneidad en los niveles correspondientes es una medida de la ratificación o refutación de la conjetura:

	T1	P1	P2	P3	P4	P5
AP	(1,2,2)	(4,3)	(3,1)	(2,2)	(2,2)	(1,2)
CG	(5,4,5)	(4,3)	(3,2)	(4,5)	(3,4)	(2,2)
JR	(3,2,2)	(2,2)	(2,1)	(2,2)	(2,2)	(1,2)
KN	(2,3,2)	(3,3)	(3,2)	(3,2)	(3,1)	(2,5)
LD	(4,5,5)	(5,4)	(5,4)	(5,5)	(5,5)	(4,5)
PG	(2,2,1)	(3,2)	(3,1)	(2,1)	(2,1)	(1,2)
PN	(4,4,3)	(4,3)	(3,4)	(4,3)	(4,4)	(4,5)
RC	(3,3,3)	(3,3)	(2,1)	(3,3)	(2,2)	(1,3)
RV	(2,2,2)	(3,3)	(3,3)	(2,2)	(3,3)	(2,3)

Cuadro 42

En la primera columna no aparece ninguna distorsión (máxima distancia entre niveles) mayor que 1, apareciendo dos ternas con distorsión 0, por lo que se mantiene la conjetura:

Papel de la memoria asociado a la importancia concedida a la obtención de una buena comprensión y una buena planificación.

En la segunda columna aparecen cuatro pares con distorsión 0 y ninguno con distorsión mayor que 1, por lo que se ratifica la conjetura:

Eficacia de la comprensión asociada a la eficacia y adecuación de la planificación.

En la tercera columna hay un par con distorsión 0, pero también dos pares con distorsión 2, por lo que no se mantiene la conjetura.

 En la cuarta columna hay cinco pares con distorsión 0 y ninguno con distorsión mayor que 1, por lo que se ratifica la conjetura:

La importancia concedida a la obtención de una buena comprensión está asociada a la importancia concedida a la obtención de una buena planificación.

En la quinta columna hay un par con distorsión máxima (2), al lado de seis pares con distorsión 0, lo que hace pensar en que la conjetura es bastante razonable, aunque no se dé en todos los casos:

La coherencia y el control del proceso suelen estar asociados a la organización temporal.

En último lugar, la columna sexta presenta un par con distorsión 2, otro con distorsión 3 y otro con distorsión 0, además de los que tienen distorsión 1, lo que conduce a refutar la conjetura.

Por otra parte, se observa que (columna segunda) la eficacia de la planificación nunca ha superado a la eficacia de la comprensión, y que (columna sexta) el nivel de acabado de la solución tampoco ha superado nunca a la explicitación del estado de la ejecución.

Llegados a este punto, también puede plantearse la posibilidad de buscar relaciones centrándonos en los indicadores característicos de las tendencias didácticas (2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 16, 17, 20, 21, 23, 25, 28, 33 y 34 -epígrafe II.4.). Ahora bien, no considero pertinente incluir los correspondientes cuadros, ya que, como es deseable, estos indicadores son fiel reflejo del resto de la tendencia, por lo que no aportan más información al estudio de las relaciones.

Asimismo, ha parecido conveniente buscar relaciones fundamentalmente con la categoría 3, ya que la efectividad de la acción (categoría 2) puede verse más condicionada que el control de la acción por la calidad del propio conocimiento matemático, aspecto que sólo se ha estudiado tangencialmente. Tal suposición se ha visto respaldada por el hecho de que las diferencias entre individuos (cuantitativamente hablando, a partir de las medias) motivadas por el análisis conjunto de las categorías 2 y 3 se mantienen esencialmente si el análisis se centra en 3, mientras que se desvían bastante si el análisis se refiere a 2, a 1 o es global (1, 2 y 3):

Indiv.ord. de menor a mayor μ2,3	μ2,3	μ3	μ2	μ1	μ
PG	1'9	1'666...	2'2	1'85	1'888...
JR	1'9	2	1'8	2'85	2'2777...
AP	2'272727...	2	2'6	2'14	2'222...
RV	2'545454...	2'666...	2'4	2'14	2'38
RC	2'636363...	2'8333...	2'4	3'14	2'8333...
KN	2'9	2'8333...	3	2'42	2'7222...
CG	3'272727...	3'666...	2'8	3'85	3'5
PN	3'818181...	4'1666...	3'4	3'42	3'666...
LD	4'636363...	4'8333...	4'4	3'71	4'2777...

Cuadro 43

El cuadro 43 visualiza además que la ordenación a partir de μ₁ es la que posee más desviaciones con la ordenación efectuada a partir de μ_2,3 o de μ₃, poniéndose de relieve la influencia de aspectos, como la consideración que cada individuo tiene de sí mismo, incluso el grado de conocimiento y sinceridad con uno mismo, no controlados en esta investigación.

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